tema8_reduccio matrius endomorfismes vaps veps
Post on 21-Feb-2018
219 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
1/63
8.1
Tema 8
Reducci de matrius / endomorfismes.
8.1, ... , 8.3.- Endomorfismes i matrius triangularitzables /diagonalitzables.
Donada una matriuA, ens preguntem per matrius de canvi de base Sque simplifiquinla matriu transformada
ASSA1
Aix facilitar els clculs i problemes on intervingui A, com illustren els exemplessegents.
Notem que aquesta possibilitat de simplificaci dependr en bona part del cosdescalars considerat ( , , ...).
Exem.
(1) Per a la matriu
5214A
tenim:
60
03
21
11 1ASSAS
(2) Apliquem-ho per calcular kAk, :
11
1
1111
2122
21223
11
12
3
1
60
03
21
11kk
kk
k
k
k
kkk
SASSASSASSASA
(2) En particular:
22
11
3
1
6
1lim
k
A
(3) Apliquem-ho igualment per resoldre un sistema dequacions diferencials de matriuA
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
2/63
8.2
yxy
yxx
52
4
amb les condicions inicials: 1)0(,2)0( yx .
Amb el canvi de variables anterioryxyyxx 2,
resulta1)0()0(;6,3 yxyyxx
de resoluci immediata
ttetyetx
63 )(,)(
Per tant, la soluci del sistema inicial s:
tt
tt
eety
eetx
63
63
2)(
)(
Def. ( matrius i endomorfismes triangularitzables / diagonalitzables)
(1) Una matriunMA ( ) es diu triangularitzable / diagonalitzable sobre si hi ha
una matriu de canvi de base nMS ( ), 0det S , per a la qual la matriutransformada ASSA 1 s triangular / diagonal, respectivament.
(2) EssentEun -espai vectorial, un endomorfisme EEf : es diu triangularitzable/ diagonalitzable si la seva matriu ho s, s a dir, si per una certa nova base la sevamatriu resulta triangular / diagonal, respectivament.
Exem.
(1) Hem vist a lexemple anterior que
52
14A
s -diagonalitzable:
60
03
21
11 1ASSS
(2) La matriu
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
3/63
8.3
01
10A
s -diagonalitzable:
i
iASSii
S0
011 1
Veurem que no s -diagonalitzable.
(3) La matriu
21
10A
s -triangularitzable
10
21
11
11 1ASSS
Veurem que no s -diagonalitzable, ni -diagonalitzable.
Obs.
(1) El nostre objectiu s determinar la existncia i clcul de S, per tal de simplificar almxim la matriu en qesti (sobre , , ...).
(2) Veurem de seguida que saconsegueix prenent la base S adaptada als anomenatssubespais invariants.
(3) En particular, els ms interessants sn els subespais invariants uni-dimensionals, elsgeneradors dels quals sanomenen vectors propis (VEPs).
(4) La situaci idnia es donar quan puguem obtenir una base de VEPs, en quin cas lamatriu A resulta diagonal, com als exemples inicials.
(5) El darrer exemple mostra que no sempre s possible la diagonalitzaci. Tanmateix,veurem que tota matriu s triangularitzable sobre .
8.4, ..., 8.9. Subespais Invariants
Def. Essent EEf : lineal
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
4/63
8.4
(1) Un subespai EN sanomena subespai invariant respecte a f (o simplement f-invariant) si NNf )( , s a dir
Nvf )( , per a tot Nv
(1) En direm tambA-invariant, onAs la matriu defen una base qualsevol.
(2) Aleshores, sanomena restricci defaN,N
f , laplicaci lineal:
NNfN
:
definida simplement per:
)())(( vfvfN
, si Nv
Exem.
(1) Els subespais trivials 0 iEsnf-invariants per tot EndEf , i les restriccions snsimplement 0if.
(2) Si :f2 2s una rotaci dangle , amb 0 , no hi ha cap subespai
f - invariant (fora dels trivials).
(3) Si : 3 3s la projecci vertical sobre el pla horitzontal
)0,,(),,( yxzyx
sn subespais - invariants
0:),,( zzyxN 0:),,( yxzyxL
amb restriccions respectives:
IdN | ; 0| L
(4) Essent EndEf , siNiLsn f invariants, tamb ho sn LN i LN .
(5) En general, si EndEf i )(tP n[t], sfinvariant el subespai
)(fNucPN En efecte:
NvffvfPf
vfPfvffPvffP
vfPNv
)(0)0()))(((
))(())()(())()((
0))((
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
5/63
8.5
(5) Aix, snf invariants:
kk fNucvfEv 0)(:
vvfvvIfEv )(:0))((:
)()(:0))((:
22
vfvfvvffEv
La proposici segent recull una caracteritzaci i les propietats principals dels subespaisinvariants:
Prop. Essent EndEf i EN subespai vectorial:
(1) Si ),,( 1 duu es una base deN:
Nf invariant Nufufn )(,),(
1
dufufuurang dd )(,),(,,, 11
(1) Aleshores la matriu de la restricci Nf| en la base ),,( 1 duu s:
))(,),(()( 1),,(|),,( 11 duuNuuN ufufMatfMatA dd
(2) Si ampliem la base anterior a una base de Eadaptada a N, ),,,,,( 11 ndd uuuu ,
aleshores la matriu defen aquesta base s de la forma:
(3) En particular, si
ELN , subespaisf invariantsELN
i prenem una base adaptada
),,( 1 duu base deN
),,( 1 nd uu base deL
la matriu defen aquesta base resulta:
on )( |),,( 1 NuuN fMatA d , )( |),,( 1 LuuL fMatA nd .
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
6/63
8.6
Obs. El resultat anterior es generalitza de forma natural a ms de dos subespais:
ENN s ,,1 subespaisf invariants
ENN s 1
),,( 1 nuu reuni de bases de sNN ,,1
aleshores
on iA s la matriu de la restricci defa iN , en la base corresponent.
Exem.
(1) Reprenem lexemple anterior de la projecci : 3 3, )0,,(),,( yxzyx , i els
subespais invariants 0 zN , 0 yxL . Clarament LN 3.Si prenem
),( 21 uu base deN; )( 3u base deL
la matriu de en la base ),,( 321 uuu resulta
(2) Considerem
012110
111
A
21 ,uuN ),0,(),1,1,1( 21 uu
Observem que 2dim N per tot , , ja que 2),( 21 uurang .
(2.1) En primer lloc, vegem per a quins valors de , sA-invariant el subespaiN:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
7/63
8.7
22,
2
0
2
1
1
1
2
,
3
0
3
212
211
uuAu
uuAu
(2.1) Alternativament:
200
230
331
231
001
31
),,,( 2121
rang
rangAuAuuurang
(2.2) En particular, per 1 , calculem la matriu de la restricci:
33
10
321
2
3
3
0
3
212
21
NA
uuAu
uAu
(2.3) Si ampliem la base deNamb )0,0,1(3 u , resulta:
(3) Considerem
0:),,(
:),,(
330
125
411
3
1
zyxzyxL
zyxzyxN
A
(3.1) Base deN: )( 1u , amb )1,1,1(1 u
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
8/63
8.8
11 2uAu
Per tant,N sA-invariant, i la matriu de la restricci en base )( 1u s:
)2(N
A
(3.2) Base deL: ),( 32 uu , amb )1,1,0(),0,1,1( 32 uu
32 uAu ; 23 uAu
Per tant,LsA-invariant i la matriu de la restricci en base ),( 32 uu s:
01
10L
A
(3.3) Clarament 0LN . Per tant 3 = LN , i podem prendre la base),,( 321 uuu , en la qual la transformada deAser:
Aplicacions . Per simplificar, treballarem amb sistemes dinmics discrets, per tot s
igualment vlid per a sistemes dinmics diferencials.(1) Subsistema restricci dun sistema dinmic.
(1.1) Considerem el sistema dinmic discret
012
110
111
),()1( AkAxkx
Hem vist que
21 ,uuN ; )1,0,1(),1,1,1( 21 uu
s un subespaiA-invariant.
Completem, com abans, una base de 3 amb )0,0,1(3 u , i designem les
noves coordenades:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
9/63
8.9
2
1
3
2
1
;x
xx
x
x
x
xN
Amb aquesta notaci
03 xNx
i el sistema donat pot escriures com:
Per tant:
NkxNkxNkx )2()1()(
Concloem, doncs, que Ns dinmicament invariant, i podem considerar elsubsistema restricci a Ndel sistema donat, el qual en les noves coordenadeses pot descriure per:
kkx
AkxAkxNNNN
,0)(
33
10;)()1(
3
(1.2) Aquest exemple es generalitza a un sistema dinmic discret qualsevol:
)()1( kAxkx
Com abans, per un subespai N n, sn equivalents:
(i)NA-invariant(ii)Ns dinmicament invariant, s a dir:
NkxkxNkx ),2(),1()(
Aleshores es pot, doncs, considerar el subsistema restricci aN.
(1.2) Una descripci explcita pot obtenir-se mitjanant una base adaptada:
),,( 1 duu base deN
),,,,( 1 nd uuu base den
Sabem que en aquesta base la matriu transformada t la forma:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
10/63
8.10
Amb la notaci:
),,,,( 1 nd xxxx , coordenades en aquesta base
),,( 1 dN xxx
el subsistema restricci sexpressa:
)()1( kxAkxNNN
0)()(1 kxkx Nd , per a tot k
(1.2) Observem que si 03
A , no podem desacoblar les variables),,( 1 dN xxx de la resta ),,( 1 nd xx , quan considerem punts fora deN.
(2) Descomposici en subsistemes desacoblats
(2.1) Considerem el sistema dinmic discret
330
125
411
3
1;)()1( AkAxkx
Hem vist en un exemple anterior:
)1,1,1(, 11 uuN , sA-invariant )1,1,0(),0,1,1(,, 3232 uuuuL , sA-invariant
LN 3
Acabem de veure que podem considerar els subsistemes restricci aNiL, comabans:
),,( 321 xxxx coordenades en base ),,( 321 uuu ),(),( 321 xxxxx LN
el sistema inicial resulta:
01
10),2( LN AA
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
11/63
8.11
o equivalentment com a dos subsistemes desacoblats:
)()1(
)()1(
kxAkx
kxAkx
LLL
NNN
(2.1) Cadascun daquests subsistemes s fcilment resoluble:
enN, cada pas s una homotcia de ra 2.
enL, cada pas s una rotaci dangle 2 .
Podem doncs recompondre el sistema total:
per punts fora deNiL,la trajectria s una corba helicodal,
deix 0 zyxN ,que en cada gir duplica la distncia al pla 0 zyxL .
(2.2) En general, per a un sistema dinmic discret
)()1( kAxkx
si hi ha subespaisN,Lamb:
LN, subespaisA-invariants
LN3
les equacions del sistema inicial poden transformar-se en dos subsistemesdesacoblats, s a dir, on les variables de cadascun no apareixen a laltre:
)()1(
)()1(
kxAkx
kxAkx
LLL
NNN
En efecte, si com abans prenem:
),,( 1 duu base deN),,( 1 nd uu base deL
la matriu transformada en aquesta base resulta de la forma
Separant les noves coordenades en:
),,( 1 dN xxx
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
12/63
8.12
),,( 1 ndL xxx
obtenim les equacions desacoblades buscades.
(2.2) A partir de les solucions de cada subsistema podem obtenir les de linicial
mitjanant:
))(,0()0),(()( kxkxkxLN
(3) Subsistema controlable dun sistema de control
(3.1) Considerem el sistema discret de control
1
1
1
,
012
110
111
;)()()1( bAkbukAxkx
Ja hem vist en temes anteriors que el subespai destats assolibles s:
212 ,
631
301
631
Im),,Im(),(Im uubAAbbbAKN
amb )1,0,1(),1,1,1( 21 uu .
Hem vist en un exemple anterior que s A-invariant. Si prenem la base),,( 321 uuu , amb )0,0,1(3 u , els sistema resulta
Observem que, com abans, si un punt duna trajectria pertany a N, aleshores
tamb hi pertanyen tots els segents, qualsevol que sigui el control aplicat:
NkxNkx )1()( , per qualsevol )(ku
Ms especficament
)(01
3310
0
)1(
0
)(
ku
kxkx
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
13/63
8.13
Podem, doncs, considerar la restricci del sistema inicial a Im ),( bAK :
)(0
1)(
33
10)1( kukxkx cc
que t tamb Im ),( bAK com conjunt destats assolibles. Sanomenasubsistema controlable de linicial.
8.10, ..., 8.12. - VAPs i VEPs.
Idea. A lapartat anterior hem vist que podem simplificar una matriu prenent basesadaptades a subespais invariants. La mxima simplificaci la obtindrem ambsubespais invariants de dimensi 1: clarament vN ser f-invariant si i noms si
Nvf )( , s a dir, vvf )( per algun . Aix motiva la definici segent deVAPs i VEPs, eines extraordinriament tils i utilitzades tant en els desenvolupamentsterics com en les aplicacions tecnolgiques.
Def. Essent EEf : lineal i A la seva matriu en una base qualsevol, un vector0v sanomena un vector propi (VEP), amb el seu valor propi (VAP), si
vvf )(
o equivalentment
nn x
x
x
x
A
11
on ),,( 1 nxx sn les coordenades de v en la base considerada.
Obs.
(1) Sovint es denominen eigenvectorsi eigenvalues, respectivament.
(2) Sanomena espectre dA, )(A , al conjunt dels seus VAPs.
(3) Si hi ha un VAP de mdul estrictament ms gran que els altres, sanomena VAPdominant.
Exem.
(1) Per qualssevol endomorfismef i vector 0v :
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
14/63
8.14
v VEP, amb VAP Nucfv 0
(2) Per qualssevol endomorfismef i vector 0v :
v VEP rang (v, f(v))= 1
(3) Per
52
14A
tenim:
2
16
12
6
2
1;
1
13
3
3
1
1AA
Per tant: )1,1(1 v s VEP, amb VAP 31
)2,1(2 v s VEP, amb VAP 61
(4) Per
01
10A
tenim:
i
iii
Ai
iii
A 11
1;11
1
Per tant: ),1(1 iv s VEP, amb VAP i1
),1(2 iv s VEP, amb VAP i1
(5) Esbrinem si ),1,1( v s VEP de
400
131
113
A
per algun :
4
2
2
1
1
4
2
2
1
1
A
Per tant:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
15/63
8.15
0 vs VEP, amb VAP 2 . 2 vs VEP, amb VAP 4 . 2,0 vno s VEP.
(6) En E 2:
(6.1)funa homotcia, de ra :
tots els vectors 0v sn VEPs, amb VAP .
(6.2)funa rotaci, amb angle k :
cap vector s VEP.
(6.3)f la simetria respecte leix 0x :
els vectors 0),0,( xx , sn VEPs, amb VAP 1 .
els vectors 0),,0( yy , sn VEPs, amb VAP 1 .
(7) EssentDla derivaci:
(7.1) Per :D t t , els nics VEPs sn:
les constants, amb VAP 0 .
(7.2) Per CD : ( ) C ( ), els VEPs (funcions prpies) sn:
les constants, amb VAP 0 . les exponencials, atet )( , amb VAP a .
(7.3) Per CD :2 ( ) C ( ), els VEPs sn els de (7.2) i:
les trigonomtriques tsin i tcos , amb VAP 2 .
Aplicacions. Ja hem dit que els VAPs i VEPs sn molt presents a lenginyeria:
(1) Les rotacions en 3 es caracteritzen per tenir un VAP 1 , simple. Els VEPscorresponents formen leix de rotaci.
(2) Les direccions/moments principals dinrcia sn els VEPs/VAPs de la matriudinrcia.
(3) Les direccions principals de deformaci sn els VEPs del tensor deformaci.
(4) Els modes propis de vibraci sn les funcions prpies de loperador diferencialcorresponent.
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
16/63
8.16
(5) Els VEPs/VAPs de la matriu dun sistema poblacional donen, respectivament, les
distribucions estacionries i la taxa global de creixement de cadascuna.
(6) Lestabilitat dun sistema dinmic depn dels VAPs de la seva matriu.
(7) Els pols de la matriu de transferncia dun sistema de control sn els VAPs de lamatriu de lequaci destats.
(8) El cercador Google es basa en cercar el VEP de VAP ms gran duna matriurelacionada amb la de connexions de la xarxa.
s clar el resultat fonamental segent:
Prop. Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol:
(1) diagonalitzable existeix una base de VEPs
(2) De forma ms precisa:
(2.1)
n
v fMat
i
0
01
)(
(2.2)
1
11
0
0
ASS
Exem.
(1) Ja hem vist:
60
03
21
11,
52
14 1ASSSA
(2) Tamb:
i
iASS
iiSA
0
011,
01
10 1
(3) Per la matriu:
400
131
113
A
ja hem vist:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
17/63
8.17
)0,1,1(1 v s VEP, amb VAP 21
)2,1,1(2 v s VEP, amb VAP 42
Afegim ara:
)1,0,1(3 v s VEP, amb VAP 43
Per tant:
400
040
002
120
011
1111ASSS
(4) En apartats prxims veurem criteris per verificar fcilment que no s diagonalitzable
la matriu
10
11A
Fem-ho ara per laplicaci directa de la definici:
)0,1(1 v s VEP, amb VAP 11
No s possible formar una base de VEPs, ja que els vectors l.i. amb 1v sn de la
forma )1,(2 v , i cap dells s VEP:
222 ,11
1
110
11
Av
8.14, ... , 8.16 Clcul elemental de VAPs i VEPs:polinomi caracterstic, subespais propis.
Idea. Notem que:
(1) VAP: v VEP 0),()( vIfNucvvvf
(2) VAP 0)det(0)( IfIfNuc
Aix motiva la definici i la proposici segents.
Def. Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol:
(1) El seu polinomi caracterstic s:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
18/63
8.18
)det()det()( tIAtIftQ
(2) Si ns VAP, sanomena el subespai propi associat:
)( IfNucE
Prop. En les condicions anteriors:
(1) VAP s arrel de )(tQ
(2) VAP : els seus VEPs = 0E
Exem. Refem els exemples anteriors:
(1)
52
14A
)9)(3(18952
14det)( 2
tttt
t
ttQ
VAPs: 31 , 62
VEPs: )1,1(,22
11)3( 111
vvNucIANucE
)2,1(,12 12)6( 222
vvNucIANucE
(2)
01
10A
))((11
1det)( 2 ititt
t
ttQ
VAPs: i1 , i2
VEPs: ),1(,1
1
)( 111 ivvi
i
NuciIANucE
),1(,1
1)( 222 ivv
i
iNuciIANucE
(3)
400
131
113
A
2
)4)(2(400
131
113
det)(
ttt
t
t
tQ
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
19/63
8.19
VAPs: 21 , 42
VEPs: )0,1,1(,200
111
111
)2( 111
vvNucIANucE
)1,0,1(),2,1,1(,,000
111111
)4( 32322
vvvvNucIANucE
(4)
10
11A
2)1(10
11det)(
t
t
ttQ
VAPs: 11 VEPs: )0,1(,
00
10)( 111
vvNucIANucE
(5) )()()1()(
01
1
n
n
n
tttQA
Obs.
(1) De vegades )(tQ es defineix permutant lordre dels minuend/subtrahend, de maneraque el signe canvia per a dimensions imparelles, resultant sempre mnic (coeficient
principal igual a 1).
nn ttIAAtI )det()1()det(
Vegeu els exemples (3) i (5) anteriors. bviament aquest canvi de signe no afectales seves arrels, s a dir, els VAPs.
(2) Aquesta forma de calcular els VAPs s poc eficient numricament per a dimensionselevades. Trobar algorismes tils per al clcul dels VAPs duna matriu granconstitueix un problema numric clssic.
(3) Tanmateix, aquesta caracteritzaci dels VAPs proporciona propietats estructuralsinteressants, com per exemple el corollari immediat a lapartat segent.
Matlab/Octave.-
(1) Lordre poly( ) dona el polinomi caracterstic, per amb un possible canvi de signe(vegeu (1) de la observaci anterior):
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
20/63
8.20
poly(A) = det )()1()( tQAtI n
Recordem que el presenta con un vector, donant-nos els seus coeficients (en grausdecreixents).
(2) Els VAPs podrem obtenir-los amb la funci roots( ) sobre el polinomi anterior, perresulta poc eficient. Es millor obtenir-los directament per lordre eig( ):
eig(A) )(AAVAPs
Els presenta llistats en vertical, cadascun repetit tants cops com la seva multiplicitat(sovint apareixen com lleugerament diferents).
(2) Lordre max(abs( )) en seleccionaria el VAP dominant, si nhi ha.
(3) Per cada VAP, podrem obtenir una base de VEPs dels seu subespai propi mitjanantlordre null( ).
null(A *eye(n)) = base E base 0VEPs
(4) Es poden obtenir directament els VAPs i els VEPS mitjanant
[V, D] = eig(A)
que dona un matriu Vde vectors columna i una matriu diagonalD:
-
a la diagonal de D apareixen els VAPS, repetits tants cops com la sevamultiplicitat.
- per cada VAP, les columnes corresponent de V en sn VEPs, que generen elsubespai propi corresponent, per no necessriament l.i.(!); per obtenir una base,cal eliminar les columnes l.d. (per exemple, seleccionant les columnes pivot).
- aix, doncs:A V= V D
(4) En particular, si rank(V) = n, les columnes de Vformen una base de VEPs deEiper tantAdiagonalitza:
DAVV 1
Corol. En les condicions anteriors:
(1) El mxim nombre de VAPs s n.
(2) Si ns imparell, com a mnim hi ha un VAP real.
Aplicaci. (Eix de rotaci duna rtula)
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
21/63
8.21
(1) Considerem una rtula, s a dir, un slid rgid amb noms un punt fix. Aparentmentla resta de punts poden moures, tots ells, de molt diverses maneres. Tanmateix,anem a veure que, de fet, per tot moviment (o successi de moviments) duna rtula,la correspondncia entre la posici final i la inicial s justament una rotaci.
En efecte, observem que la correspondncia entre la posici inicial i la final dequalsevol moviment ha de ser un endomorfisme de 3. Per tant, segons acabem deveure, ha de tenir com a mnim un VAP i en conseqncia un VEP, s a dir, unarecta invariant passant pel punt darticulaci. Com que el slid s rgid i es preservala orientaci, el VAP en qesti ha de ser precisament igual a 1, de manera quelendomorfisme en qesti no s ms que una rotaci, deix el subespai propidaquest VAP.
(2) Les condicions per que un movimentf sigui el dun slid rgid amb lorigen fix sn:
0)(),( 21 efef
1)()( 21 efef
)()()( 213 efefef
Per exemple:
)1,1,4(23
1
)(
)1,1,0(2
1)(
)2,2,1(3
1)(
33
22
11
efe
efe
efe
s laboris calcular el polinomi caracterstic de la matriu corresponent
1322
1322
402
23
1A
i les seves arrels. Tanmateix, el raonament anterior ens assegura que 11 ns
VAP, i que qualsevol seu VEP, com ara
)1,21,2(1 v
genera leix de rotaci.
(2) Anlogament, verifiqueu que
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
22/63
8.22
)1,2,1(6
1)(
)1,1,1(3
1)(
)1,0,1(2
1)(
33
22
11
efe
efe
efe
s una rotaci i trobeu-ne leix.
8.17, ... , 8.21. - Propietats del polinomi caracterstic.
Les propietats segents faciliten el clcul del polinomi caracterstic:
Prop. Essent nMA ( ):
(1) )()(1 tQtQASSAAA
(2) Aquesta propietat facilita el clcul de Q(t)i sobretot el dels VAPs, ja que:
VAPsA = VAPsA1 VAPsA2
(3) Si Bb
A1
, aleshores:
)(1
)( btQb
tQ BnA
(4) (Clcul de Q(t)per menors)
))1()1()1()( 221
1( nnkn
k
knnnnn
A tttttQ
on k indica la suma dels k-menors principals deA. En particular:
AtrA n det,1
(4) Per dimensions baixes:
(3.1) 2n : AttrAttQ det)( 2
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
23/63
8.23
(3.2) 3n : AtttrAttQ det)( 223
3332
2322
3331
1311
2221
12112
aa
aa
aa
aa
aa
aa
Exem. Refem alguns dels exemples anteriors:
(1)
52
14A : 189
52
14)54()( 22
ttttQ
(2)
400
131
113
A
323210)436()12128(10
det)40
13
40
13
31
13()433()(
2323
23
tttttt
AttttQ
(2) Ms eficient seria:
)4)(86()4()31
13)33(()()()( 2221 tttttttQtQtQ
VAPs: 41
2,42
26
2
32366, 32
(3)
311
040
113
A
400
131
113
010
100
0011ASSS
Per tant, el seu polinomi caracterstic s el mateix que a lexemple anterior.
(3) El polinomi caracterstic de la matriu
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
24/63
8.24
1004
14
34
14
14
14
3
tamb el podem calcular a partir de lexemple anterior mitjanant
2
14
2
532)4(32)4(10)4(
4
1)( 2323
3
tttttttQ
(4)
00
0
A
))()(()(
ttttQ
(5) SiAtriangularitza (sobre , totes ho fan!!), la diagonal sn els VAPs:
)()()1()(
01
11
n
n
n
tttQASS
Com que )(tQ s invariant per canvi de base, tamb ho sn els seus coeficients.
Prop. (invarincia dels coeficients caracterstics)
Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol:
(1) Els coeficients n ,,1 del polinomi caracterstic, )(tQ , sn invariants per canvi
de base.
(2) Suposem que )(tQ descomposa totalment (sobre , sempre; en general, pertriangularitzables)
)()()( 1 ntttQ
on suposem cada arrel ( VAP) repetida tants cops com la seva multiplicitat.Aleshores:
nn
nnj
ji
i
n
A
trA
1
131212
11
det
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
25/63
8.25
Exem.
Considerem
222
510
501
A
s evident que un VAP s 11 , ja que 0)det( IA . Tamb s clar que )1,1,1(2 v
s un VEP, amb VAP 62 .
Finalment:
3321 614 trA
Per tant, 33 .
Aplicaci .- (Signes dels VAPs)
(1) Sovint interessen, no pas els valors dels VAPs, sin els seus signes. Per dimensionsbaixes, aquests signes queden determinats pels dels coeficients de )(tQ , sensenecessitat de trobar explcitament les seves arrels. Per exemple, per n= 2:
detA trA VAPs+ + + ++ - - -- +/0/- + -0 + + 00 - - 00 0 0 0
(2) Extrems relatius
Per funcions diferenciables de 1 variable, el carcter dextrem relatiu dun puntcrtic (s a dir, un zero de la derivada) ve determinat pel signe de la derivada segona:mxim, si s negativa; mnim, si s positiva.En el cas de nvariables, ve determinat de forma anloga, no pas pel signe de lesderivades segones, sin pels signes dels VAPs (!) de la seva matriu Hessiana (= dederivades segones) en el punt.Aix, per n = 2:
: 2
0),(),( baDbaD yx
),(),( ),(),( baDbaD
baDbaDHyyyx
xyxx
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
26/63
8.26
Aleshores:
detH trH
+ + mnim relatiu en ),( ba
+ - mxim relatiu en ),( ba
- + / - punt de sella en ),( ba
(2) Per exemple:
)0,0(),(;),( 22 bayxyx
s clar que xDx 2 , yDy 2 sanullen a lorigen, i que:
2002H
Resulta que a lorigen tenim: mnim relatiu per 22),( yxyx
mxim relatiu per 22),( yxyx
punt de sella per )(),( 22 yxyx
concordant amb les seves representacions grfiques.
(3) Classificaci de cniques i qudriques
La tipologia de les cniques i qudriques queda determinada pels signes dels VAPsde les seves matrius i de les de la part quadrtica.
Per exemple, per cniques no degenerades:
01
1
y
x
Ayx , 0det A
resulta:
0detA ellipse (real o imaginria)
0detA hiprbola
0detA parbola
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
27/63
8.27
8.23, ... , 8.26. Criteri de diagonalitzaci pel polinomi caracterstic:multiplicitats dun VAP.
Ja hem vist que un endomorfisme/matriu ser diagonalitzable si hi ha una base de VEPs,s a dir, si podem trobar nVEPs l.i. Un primer pas fonamental en aquesta direcci s elsegent:
Prop.- (VEPs de VAPs diferents, sn l.i.)
Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol.
Si s ,,1 sn els seus VAPs, els seus subespais propis sEE ,,1 sn l.i. s a dir:
1v VEP de 1 , , sv VEP de s svv ,,1 l.i.
Obs. Altrament dit, els subespais propis formen suma directa: EEE s 1 . En
particularEEE s dimdimdim 1
Tindrem prous VEPs l.i. per formar una base si i noms si es verifica la igualtat. Hemarribat, per tant, a un criteri general de diagonalitzaci, amb una primera aplicacidirecta quan tots els VAPs sn simples. De seguida abordarem el cas de VAPs
mltiples.
Corol. En les condicions anteriors:
(1) Criteri general de diagonalitzaci
Diagonalitzable EEE s dimdimdim 1
(2) En particular
nVAPs diferents diagonalitzable
nVAPs simples
Exem. s diagonalitzable tota matriu triangular de la forma
n
A
0
1
, amb n ,,1 diferents.
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
28/63
8.28
Obs. A la prctica, aquesta condici s genrica, ja que les arrels dun polinominoms sn mltiples en situacions particulars, i habitualment esdevenen simples ambqualsevol petita pertorbaci o error, fora que vinguin condicionades per restriccionsespecfiques (de simetria, conservaci, ...) del problema en qesti. Els casos amb
VAPs mltiples poden dilucidar-se comparant les multiplicitats que definim acontinuaci.
Def. Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol. Si ns unVAP, definim:
(1) , multiplicitat algebraica de : la seva multiplicitat com arrel de )(tQ .
(2) d, multiplicitat geomtrica de : )(dim IArangnE
s clar que si ),,( 1 dvv s una base de E , la matriu defen una base ampliada s de
la forma:
Per tant:
Prop. En les condicions de la definici anterior
d1
En general tenim, doncs:ndd ss 11
Segons el corollari anterior, diagonalitzar si totes les desigualtats sn de fet igualtats.
Teor. (criteri de diagonalitzaci per Q(t)) .
Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol, si prenem
s ,,1 , els seus VAPs
s ,,1 , les multiplicitats algebraiques respectives
sdd ,,1 , les multiplicitats geomtriques respectives
Aleshores:
diagonalitzen si i noms si:(i) )(tQ descompon totalment:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
29/63
8.29
sstttQ
)()()( 11
(ii) les multiplicitats coincideixen:
ssdd ,,11
Obs.
(1) Les condicions del teorema venen a dir:
(i) disposar de prous VAPs(ii) per cadascun, disposar de prous VEPs l.i.
(2) La condici (i) es compleix sempre sobre
(3) La condici (ii) es compleix per VAPs simples:
11 d
(3) En particular, retrobem el corollari anterior: nVAPs simples diagonalitzable
Exem. Confirmem alguns exemples anteriors:
(1)
52
14A
Diagonalitza (sobre , amb VAPs simples):(i) )6)(3()( tttQ
(ii) 31 : 11 , 11 d
62 : 12 , 12 d
(2)
400
131
113
A
Diagonalitza (sobre , amb VAPs mltiples):
(i) 2)4)(2()( tttQ (ii) 21 : 11 , 11 d
42 : 22 , 22 d
(3)
01
10A
Diagonalitza sobre , per no pas sobre :
(i) ))((1)( 2 ititttQ
(ii) sobre :
i1 : 11 , 11 d
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
30/63
8.30
i2 : 12 , 12 d
(4)
10
11A
No diagonalitza (ni sobre , ni sobre ):(i) 2)1()( ttQ (ii) No es compleix ja que:
11 : 21 , 11 d
Matlab/Octave.- Recordem que ens permet verificar el criteri anterior, per a tots elVAPS alhora:
Adiagonalitza rank(V)= n, ssent [V, D] = eig(A)
Si volem verificar (ii) per a un VAP particular i :
- la seva multiplicitat algebraicai
s el nombre de vegades que apareix aD
- la seva multiplicitat geomtrica id s el rang de les columnes corresponents en V
(o tamb el nombre de vectors en null(A i*eye(n)) )
8.27, ... , 8.31. Alguns tipus particulars de matrius.
Teor. (matrius simtriques)
(1) nMA ( ), simtrica diagonalitza sobre .
(2) Ms encara, els VEPs de la base poden triar-se ortogonals entre ells.
Exem.
211
121
112
A
(1) )4()1(496)( 223 ttttttQ
VAPs: 11 , ( 21 ); 42 , ( 12 )
En efecte diagonalitza, ja que: 2
111
111
111
31
rangd
(1) Una alternativa ms eficient s notar directament que 11
s VAP. De fet sdoble ja que 21 d . Finalment:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
31/63
8.31
4116 22 trA
(2) VEPs:
1
1
0
,
0
1
1
;,
111
111
111
21211 vvvvNucE
1
1
1
;
211
121
112
332 vvNucE
Una base de VEPs s ),,( 321 vvv
(2) Una base de VEPs ortogonal ser ),,( 321 vvv , on 212 vvv , amb 0, 21 vv :
)2,1,1(22),1,1(),0,1,1(,0
212
21
vvv
vv
Aplicaci Les matrius simtriques apareixen abundantment en diversos mbits de lacincia i lenginyeria. Per exemple:
- tensors dinrcia- tensors tensi i deformaci- matriu dinduccions mtues
- matriu Hessiana (= de derivades segones) de funcions reals de diversesvariables- matrius de cniques i qudriques
Prop. (matrius circulants)
Sanomenen matrius circulants les de la forma
3
132
213
321
Mcccccc
ccc
Z
(
)
(1) SiZs circulant, diagonalitza per la transformaci
2
2
1
1
111
3
1
aa
aaS
on 13 a , 1a
ia
23
21
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
32/63
8.32
(1) El recproc tamb s cert.
(2) SiZ,Zsn circulants, tamb ho sn ZZ i ZZ
(2) Ms encara
Obs. Observem que 2,,1 aa sn les 3 arrels cbiques de 1, i per tant:
01 2 aa
Exem.
(1)
211
121
112
Z
Verifiquem que les columnes de Sde la proposici anterior sn efectivament VEPs:
111 4
4
4
4
3
1:
1
1
1
3
1vZvv
22
2
2
2
22
2
1
3
1
21
21
2
3
1:
1
3
1v
a
a
aa
aa
aa
Zv
a
av
322
2
2
32
3
1
3
1
21
21
2
3
1:
1
3
1v
a
a
aa
aa
aa
Zv
a
av
Per tant, en aquest cas 41 , 132 :
100
010
0041ZSS
(2) En general, per una matriu circulantZqualsevol:
,3211 ccc
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
33/63
8.33
Aplicacions
(1) Aquestes matrius apareixen en electrotcnia, com a matrius dacoblament magnticen diferents tipus de motors i mquines dinducci.
(2) Apareixen tamb en altres contextos com ara els polgons niuats, els oscilladorsacoblats i la transformada discreta de Fourier.
(3) De fet es generalitzen a dimensions superiors, a matrius circulants per blocs, ...
Prop. (matrius companion o de Sylvester)
Sanomenen aix les de la forma:
n
nnn
M
aaaa
A
121
1000
0100
0010
()
(1) El seu polinomi caracterstic s:
)()1()( 221
1 nnnnn atatattQ
(1) En particular:
2n :
12
10
aaA , 21
2)( atattQ
3n :
123
100
010
aaa
A , )()( 322
13
atatattQ
(2) La multiplicitat geomtrica de qualsevol seu VAP s 1:
1)1()( nnIArangnd
(2) En particular, no diagonalitza si algun VAP s mltiple.
Aplicacions .-
(1) Com veurem en els temes 9 i 10, apareixen com matriu del sistema dinmic associata una equaci (EDD / EDO) dordre n.
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
34/63
8.34
(2) De forma directa apareixen, per exemple, en models poblacionals. Ms freqentssn les de la forma generalitzada de Leslie:
121
1
2
1
000
000
000
aaaa
b
b
b
nnn
n
n
(3) La forma generalitzada per blocs apareix com a matrius de realitzacions desistemes de control dels quals es coneixen la seva matriu de transferncia.
(4) Vegem amb ms detall com apareixen com forma cannica de control i en laassignaci de pols per realimentaci.
Aplicaci .-
(1) Forma cannica de control
Un sistema discret de control uniparamtric
)()()1( kbukAxkx
resulta ser controlable si i noms si
nbAAbbrang n ),,,Im( 1
Si prenem com matriu de canvi de base )( 1 bAbbAT n , les matriustransformades deAi bsn:
000100
010
001
1
2
1
n
n
T
a
a
a
a
ATTA ,
1
0
0
1 bTb
on, com abans:
)()1()( 11
1 nnnnn atatattQ
Si fem el canvi addicional
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
35/63
8.35
1
01
001
0001
121
32
1
aaa
aa
a
S
nn
nn
resulta
121
1
1000
0100
0010
aaaa
SASA
nnn
C,
1
0
0
1 bSbC
Anomenada forma cannica de control.
(1) Considerem, per exemple:
11
12A ,
2
1b
33)( 2 tttQ
03
13
21
14 1ATTAT ,
1
01bTb
33
10
03
01 1SASAS C ,
1
01bSbC
(2) Assignaci de pols per realimentaci
En les condicions anteriors ens plantegem si, qualssevol que siguin
n
AVAPs ,,)( 1
s possible trobar una matriu fila F per tal que els de bFA siguin uns altresprefixats
nbFAVAPs ,,)( 1
s evident que la resposta s afirmativa per la forma cannica de control, s a dir,que hi ha
CF tal que:
)( CCC FbAVAPs = n ,,1
Ara s suficient prendre
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
36/63
8.36
1)( TSFF C
ja que:
1))()(( TSFbATSbFACCC
(2) Suposem que, essentAi bcom a (1) cerquem Fper tal que:
VAPs (A+bF) = 21 ,
s fcil trobar )( 21 hhFC amb:
VAPs ( CCC FbA ) = 21 ,
En efecte:
21 33
10
hhFbA CCC
3
3
3
3
212
211
212
211
h
h
h
h
Per tant:
15
12
7
1)33())(( 2121
121 TShhF
Per exemple, per:
2,1 21
seria:
)14(15
12
7
1)61(
F
En efecte:
21
21
2)det(
3)(
1902
2814
1112
bFA
bFAtr
bFA
(2) El problema, en termes de teoria de control, s trobar un control automtic perrealimentaci (o feedback)
)()( kFxku
de manera que el sistema dinmic resultant en lla tancat
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
37/63
8.37
)()()()()1( kxbFAkbFxkAxkx
tingui pols ( VAPs) adients. Recordem que dels seus valors depenen propietatscom ara lestabilitat o les ressonncies. Segons acabem de raonar, aquesta
reassignaci (o shifting) de pols per realimentaci s possible per a sistemescontrolables, i pot calcular-se a travs de la forma cannica de control de les matriusinicials.
8,32, ... , 8.35.- Matrius no derogatries.
Hem vist alguns casos de matrius no diagonalitzables, com per exemple lescompanion amb VAPs mltiples. Quan no s possible completar una base de VEPs,
ens plantegem bases alternatives per tal dobtenir formes simplificades o redudes de ladonada. En aquest apartat estudiarem les no derogatries i en el prxim els casosparticulars 2n i 3n .
Def. Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol, suposem el seupolinomi caracterstic totalment descomponible:
s
s
n tttQ
)()()1()( 11
Sanomena no derogatria si la multiplicitat geomtrica de cada VAP s 1:
11 sdd
Exem.
(1) Ja hem vist que totes les companion ho sn.
(2) Clarament, no diagonalitzen si algun VAP s mltiple.
(3)
10
21
A 2)1()( ttQ
VAPs: 11 ( 21 )
1)(21 IArangd
(4) En general, es demostra que una matriuAs no derogatria si i noms si existeix unvector Ev de manera que:
nvAAvvrang n ),,,( 1
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
38/63
8.38
Estudiem primer el cas dun sol VAP:
Lema (cas no derogatori, amb un sol VAP)
En les condicions de la definici anterior, suposem un sol VAP :
nn ttQ )()1()(
1)(dim IArangnEd
(1) Existeix algun vector Ew tal que:
0)()( 1 wIf n , 0)()( wIf n
(1) En particular, siAs companion, podem prendre )1,0,,0,0( w .
(2) Per qualsevol daquests vectors, una base deEs:
)()(,),)((, 1 wIfwIfw n
(3) La matriu defen aquesta base s:
10000
01000
00010
00001
00000
A
(4) El darrer vector de la base (2), i noms ell, s un VEP, i per tant base de E .
(4) Concordantment, la darrera columna de A , i noms ella, s diagonal.
Obs.
(1) En les condicions de la proposici anterior, es diu que la base (2) est formada peruna cadena (de Jordan), de llargria n, generada pel vector w.
(2) Les matrius de la forma (3) sanomenen blocs de Jordan (del VAP , i grandria n).
Exem.
(1) Per
1021A
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
39/63
8.39
Es clar que lnic VAP s =1, doble, amb d= 1. Doncs, s no derogatria i nodiagonalitzable.
Cerquem un generador ),( yxw tal que:
0
20020)(0
y
y
xwIA
0
0
00
00)(0 2
y
xwIA
Per exemple:
)1,0(w
Aleshores una cadena de Jordan s:
1
0w ,
0
2)( wIA
i la matriu en aquesta base ser el bloc Jordan de VAP 1 i grandria 2:
11
01
01
20 1ASSS
(1) Tamb podrem haver pres un altre generador:
)3,4( w
0
3
3
4)( IA
11
01)(
03
34 1SASS
(2) Considerem la matriu companion:
331
100
010
A
323 )1()133()( tttttQ
Com que 3 , no diagonalitza.
Cerquem un generador ),,( zyxw tal que:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
40/63
8.40
zyx
zyx
zyx
z
y
x
wIA
2
2
2
121
121
121
)(0 2
0
0
0
000
000
000
)(0 3
z
y
x
wIA
Per qualsevol 02 zyx , tindrem una cadena de Jordan:
z
y
x
w ,
zyx
zy
yx
wIA
23
)( ,
zyx
zyx
zyx
wIA
2
2
2
)( 2
i la matriu en qualsevol daquestes bases ser el bloc de Jordan de VAP 1 igrandria 3:
110
011
001
A
(2) En particular, essentAcompanion, podem prendre:
1
00
w ,
2
10
)( wIA ,
1
11
)( 2 wIA
Generalitzem el lema anterior al cas de diversos VAPs:
Prop. (cas no derogatori general)
Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol, suposem:
s
stttQ
)()()( 11
11 sdd
(1) Existeixen vectorss
ww ,,1 que:
0)()( 1 ii wIf i , 0)()( ii wIf
i ; si ,,1
(2) Aleshores una base deEs:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
41/63
8.41
ssssss vwIfwIfw
vwIfwIfw
s
)()(,),)((,
)()(,),)((,
1
111
11111
(3) La matriu defen aquesta base s:
(4) Per cada si ,,1 el vector )()( 1 iii wIfv i s VEP, i per tant base del
subespai propii
E .
(4) Concordantment, la darrera columna de cada bloci
A , i cap altra, s diagonal.
Obs.
(1) Es diu que la base de (2) s formada per cadenes (de Jordan), de llargries
s ,,1 , generades pels vectors sww ,,1 .
(2) La matriu de (3) sanomena la forma reduda de Jordan de la inicial. Es diagonal perblocs de Jordan, de VAPs s ,,1 , i grandries s ,,1 , respectivament.
Exem. Per
310
110
111
A
tenim:2)2)(1()( tttQ
11 : 11 ( 11 d )
21 : 22 , 1)2(32 IArangd
Per tant s no diagonalitzable, no derogatria.
Per 11 , prenem un VEP 1v :
11
210
100
110
)( vNucIANucE
,
0
0
1
1v
Per 22 , cerquem un generador 2w :
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
42/63
8.42
22
110
110
111
)2(0 wwIA
222
000
000111
)2(0 wwIA
Per exemple
0
1
1
2w ,
1
1
0
)2( 22 wIAv
En definitiva:
210
020
001
100
110
0111ASSS
8,36, ... , 8.38.- Formes redudes per n=2 i n=3.
Prop .- Classificaci de matrius per n = 2.
Podem ja relacionar les possibles formes redudes per 2MA ( ):
(1) ))(()( 21 tttQ , 21
2
11
0
0
ASS
amb: 21 vvS
1v : VEP de 1
2v : VEP de 2
(1) Si 21 , , una forma reduda alternativa amb coeficients reals s:
bia1 , bia2
ab
baSAS
1)(
amb: uuS
11 vvu
)( 11 vviu
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
43/63
8.43
(2) 2)()( ttQ ,
0
02 Ad
(3) 2)()( ttQ ,
1
01 1ASSd
amb:)( vwS
0)( vwIA
Aplicaci Classificaci de transformacions en el pla
Tota transformaci lineal en el pla es representa per una matriu 2MA ( ), i per tantshi aplica la classificaci daqueixes matrius. Grficament, es pot representar per la
imatge del quadrat unitat:
(1) Aixafaments:
(1) Rotacions:
(2) Compressions/dilatacions (homotcies):
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
44/63
8.44
(3) Cisallaments:
Prop. Classificaci de matrius per n = 3
Anlogament, per 3MA ( ):
(1)
3
2
1
1321
00
00
00
))()(()(
ASSttttQ
amb: 321 vvvS
321 ,, vvv : VEPs de 321 ,, respectivament
(1) Com abans, si 32 , , una forma alternativa real s:
ab
baASSbiabia
0
000
,1
132
amb: uuvS 1
22 vvu
)( 22 vviu
(2) 221 ))(()( tttQ , 22 d
2
2
1
1
0000
00
ASS
amb: 221 vvvS
1v : VEP de 1
22 ,vv : VEPs l.i. de 2
(3) 221 ))(()( tttQ , 12 d
2
2
1
1
10
00
00
ASS
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
45/63
8.45
amb: 221 vwvS
1v : VEP de 1
0)( 22
2 wIA , 0)( 222 vwIA
(4) 3)()( ttQ , 3d
00
00
00
A
(5) 3)()( ttQ , 1d
10
01
001ASS
amb:
vuwS 0)( 2 vwIA
wIAu )(
(6) 3)()( ttQ , 2d
00
01
001ASS
amb: vvwS
0)( vwIA v : VEP l.i. amb v
Exem. La matriu
101
020
103
A
correspon al darrer cas ja que:
323 )2(8126)( tttttQ 2)2(3 IArangd
Per tant, la seva forma reduda ser
200
021
0021ASS
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
46/63
8.46
on les columnes de S sn una base de la forma ),)2(,( vwIAvw , amb
)2(,)2( 2 IANucwIANucw )2( IANucv ; vv , l.i.
Per exemple:
010
100
011
)0,1,0(
)1,0,1(
)0,0,1(
S
v
v
w
8.39, ... , 8.45.- Forma reduda de Jordan: cas general.
Obs.
(1) Quan el polinomi caracterstic descompon totalmentntttQ
sss 11 ,)()()(
1
(recordem que sobre sempre ho fa), tota matriu pot reduir-se a lanomenada
forma cannica de Jordan, la qual en particular inclou els casos ja estudiats:ii
d (diagonalitzable)
1id (no derogatria).
Queda pendent, doncs, generalitzar el cas:
iid 1 .
que ja hem estudiat quan n= 3.
(2) Triangularitzaci
En un primer pas, es demostra per inducci que pot reduir-se a la forma triangular
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
47/63
8.47
(3) Primera descomposici
s fcil veure que la forma (2) es pot reduir a la diagonal per blocs triangulars:
Sanomenen subespais propis generalitzats els
i
i
iEIANucE
i
)(
que corresponen a cadascun dels blocs diagonals i per tant:
(3.1)s
EE ,,
1 snA-invariants
(3.2)ii
E dim ; si ,,1
(3.3) sEEE 1
(4) Segona descomposici
Finalment es construeix una base de Jordan per cadai
E separadament, essent la
base cercada la reuni de totes elles. El resultat final desprs daquesta segonadescomposici senuncia a continuaci.
Teor. (forma reduda de Jordan complexa)
Essent EEf : lineal i A la seva matriu en qualsevol base, considerem el seu
polinomi caracterstic (sobre ) i les multiplicitats geomtriques:
s
stttQ
)()()( 11
siIANucd ii ,,1;)(dim1
(1) Existeix una matriu de canvi de base
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
48/63
8.48
de manera que la matriu
ASSAJ
1
s de la forma:
(1.1)
(1.2)
ambi
d blocs diagonals, de grandries adequades.
(2) En particular:
(2.1)
i
i
iii Ad
0
0
prenenti
S una base de VEPs dei
.
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
49/63
8.49
(2.2)
i
i
ii Ad
10
1
0
1
prenent iS la cadena
iiiiii vwIAwIAw i 1)(,,)(,
generada per qualsevoli
w tal que:
0)(,0)( 1 iiii wIAwIA ii
(3) La forma JA s nica, fora de permutacions en els blocs diagonals.
Def.
(1) En les condicions anteriors, JA , sanomena forma cannica de Jordan de A, i Suna
base de Jordan.
(2) Les grandries de les submatrius diagonals de cada iA sanomenen els divisors
elementals del VAP i . Els VAPs s ,,1 , juntament amb els divisors elementals
de cadascun, determinen la forma de Jordan: sanomena la caracterstica de Segre deA.
Obs.
(1) Com casos particulars, retrobem els ja estudiats: diagonalitzable ssdd ,,11
no derogatria 11 sdd
(2) Queda pendent determinar, en lapartat prxim, els divisors elementals quaniid 1 . Reiterem que:
iid divisors elementals: 1,,1,1
1id divisors elementals: i
(2) Veurem tamb en lapartat prxim que les bases de Jordan es formen reunint lescorresponents a cada VAP
i (de forma ms precisa les de cada subespai propi
generalitzati
E ).
Per cadascun, s una reuni de id cadenes de Jordan (corresponents a cada bloc de
Jordan dei
A ), de llargries els divisors elementals.
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
50/63
8.50
En particular, una basei
E s formada pels VEPs finals de cada cadena,
corresponents a les columnes diagonals de iA (la darrera de cada bloc de Jordan).
(3) En qualsevol cas, resulta finalment que JA s diagonal per blocs de Jordan, tants
com sdd 1 :
8.42, 8.43.- Clcul del divisors elementals i de bases de Jordan.
Anem a veure com calcular els divisors elementals i com construir bases de Jordan. Persimplificar la notaci ens referirem a un VAP, ben ents que caldr aplicar-horeiteradament a tots.
Suposem doncs, en tot lapartat:
)()( ttQ ,1 d
Lema En les condicions anteriors:
(1) La cadena de subespais
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
51/63
8.51
EIAIAIA
IANucIANucE
n )()()(
)()(1
2
estabilitza a partir de la primera igualtat.
(2) Si anomenem ,,, 21 les dimensions respectives:
)(dim
)(dim
)(dim22
1
IANuc
IANuc
dIANuc
es verifica:
121d
01123121
Obs. En les condicions anteriors:
(1) s el menor exponent per al qual
)(dim IANuc
(2) ,3,2,11 321d
121 d
Teor. En les condicions anteriors:
(1) Els divisors elementals d ,,, 21 del VAP queden determinats per lesquemasegent:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
52/63
8.52
(2) Si prenem dwww ,,, 21 de manera que:
0)(,0)( 111111
vwIAwIA
..,0)(,0)(
21
2212 22
ilvv
vwIAwIA
..,,
0)(,0)(321
3313 33
ilvvv
vwIAwIA
etc.
aleshores una base de Jordan de E s formada per les cadenes generades perdwww ,,, 21 :
ddddvwIAwIAw
vwIAwIAw
vwIAwIAw
d
1
22122
11111
)(,,)(,
)(,,)(,
)(,,)(,2
1
Obs. En les condicions del teorema:
(1) El nombre de rectangles en planta baixa s d, i en total, .
(2) dvv ,,1 sn VEPs, i formen una base de E .
(3) Retrobem com casos particulars els ja coneguts:
diagonalitzable 1d
la base anterior es redueix als VEPs dvv ,,1
no derogatria 1d la base anterior es redueix a una cadena
vwIAwIAw 1)(,,)(,
Exem.
(1) Suposem que per un cert VAP s:
13)()( ttQ
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
53/63
8.53
13)(dim
12)(dim
10)(dim
7)(dim
4)(dim
5
4
3
2
IANuc
IANuc
IANuc
IANuc
IANuc
Aleshores:
Per tant, els divisors elementals seran:
1,3,4,5 4321
(1) Observem que la darrera dada (... = 13) era innecessria, ja que es derivanecessriament de la penltima (... = 12).
(2) Considerem
4200
8400
17397113
A
(2.1) 4)( ttQ 4,0
(2.2) 24)(dim rangAIANucd
44)(dim 22 rangAIANuc
2,2 21
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
54/63
8.54
(2.3) Una base de Jordan ser:
222
111
,
,
vAww
vAww
on: 1w : 0,0 112 AwwA
Per exemple: )0,0,9,3(),0,0,0,1( 11 vw
:2w
12
22
..
0,0
vambilAw
wAw
Per exemple: )2,4,7,1(),0,1,0,0( 22 vw
8.45, 8.46.- Matrius conjugades.
En apartats anteriors havem classificat les matrius per 2n i 3n . Ara podem
generalitzar-ho:
Corol. (Classificaci de matrius/endomorfismes)
Donades dues matrius A, B corresponents a dos endomorfismes de E en una basequalsevol:
(1) BASS 1 , per alguna JJ BAS
(2) De forma ms precisa:
BSSASSBAASSB
ASSAJJ
J
J
)()()(
)( 121
1121
21
2
11
1
Obs. En les condicions anteriors, es diu que les matrius A i B sn conjugades (osimilars), o tamb que ambds endomorfismes sn equivalents. Respon a la ideaintutiva que sn iguals, en el fons, tot i que aquesta igualtat noms es palesa quanels representem en bases adients.
Altrament dit:de manera anloga com la dimensi classifica els espais vectorials,
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
55/63
8.55
la caracterstica de Segre classifica els endomorfismes de cadascun.
Exem.
(1) Discutim per a quins valors de dcba ,,, sn equivalents les matrius:
a
ba
cba
dcba
BA
000
00
0,
4200
8400
1739
7113
(1.1) 4)( ttQA
4)()( tatQB
Per tant, cal: 0a
(1.2) Ja hem vist a lexemple anterior, que per 0 :
2,2 21 AA
Imposem-ho perB:
(i) 0,04)(dim2 cbrangBIBNuc (ii) Suposant 0,0 cb :
4 = 22 4)(dim rangBIBNuc , qualsevol que sigui d.
(2) SuposemA, Bcom abans, amb:
0,0 cba , dqualsevol
Cerquem Stal que:
BASS 1
(2.1) A lexemple anterior hem vist que
(2.2) Anlogament, perB:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
56/63
8.56
(2.3) Doncs, podem prendre:
0010
1000
0010100
2000
4100
7090
1031
2121
c
cd
cSSS
8.46, 8.47.- Aplicaci al clcul matricial.
Per a matrius diagonalitzables, el clcul matricial es redueix al corresponent amb elsVAPs:
Prop. (Clcul matricial: cas diagonalitzable)
Essent nMA ( ) diagonalitzable:
n
ASS
1
1
(1) 11
SSAk
n
k
k
, per qualsevol enter k .
(1) Recprocament, podem trobar arrels k-simes deA:
ASS
k
n
i
k
i
11
(2) Ms en general, considerem una funci analtica )(z de la forma
kkzazazaaz2
210)(
com ara
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
57/63
8.57
!4!21cos
!5!3
sin
!!2!11
42
53
2
zzz
zzzz
k
zzze
kz
Es defineix
kkAaAaAaIaA2
210)(
que pot calcular-se mitjanant
11
)(
)()(
SSA
n
(3) Tamb s vlid el pas al lmit; per exemple:
11
lim
lim
lim
SSAk
n
k
k
k
si cada kilim , ni1 , existeix i s finit.
(3) Igualment per la derivaci, ...
Exem. Reprenem lexemple introductori:
6003
1112
31,
2111
52
14
11 ASSSS
A
11
11
2122
21223
60
03kk
kk
k
k
k
k SSA
ABSSB kk
k
1
60
03
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
58/63
8.58
11
610
031
SSA
tttt
tttt
t
t
At
eeee
eeeeS
e
eSe 6363
6363
16
3
222
2
3
1
0
0
12
12
3
1
00
01
2sin 1SSA
14
21
3
1
10
01 1SSe
Ai
2211
31
1000
10
021
61lim 11 SSSSA
k
k
k
k
tttt
tttt
t
t
At
eeee
eeeeS
e
eSeD
6363
63631
6
3
442
222
60
03
Observem que aquest mateix resultat resulta de derivar lexpressi de Ate trobadaabans.
Observem igualment que:
AtAtAeeD
Obs (Clcul matricial: cas general).- De forma anloga, per a matrius nodiagonalitzables, el clcul matricial es redueix al corresponent amb els blocs de Jordan:
dJ
J
ASS
11 1
1
)(
)(
)(
S
J
J
SA
d
Per als blocs de Jordan tenim per exemple:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
59/63
8.59
kk
k
k
k
k
k
k
k
k
k
J
1
3
2
1
3
2
0
1
!3
!2
0
1
3
2
t
t
t
t
ee ttJ
Exem. Havem vist:
210
020
001
100
110
011
310
110
111
1ASSS
A
(1)Segons les frmules anteriors:
1
1
220
020
001
S
k
SAkk
kk
1
22
2
0
00
00
S
ete
e
e
Sett
t
t
tA
(2)Com abans, podem aplicar-ho a lmits, derivades,... Per exemple:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
60/63
8.60
1
10
1
00
1
021
lim
1
0
1
120
010
002
1
lim
1
1
1
2
1lim
SS
k
SA
k
kk
k
* AtAt AeeD
Una de les conseqncies que ms aplicarem s:
Corol.- Per a tota matriuA (real o complexa)
,10lim ik
kA VAP i
,0)(0lim iAt
tRe VAP i
onR() indica part real.
8.48, ... , 8.51.- El teorema de Cayley-Hamilton. El polinomi anullador.
Teor. (de Cayley-Hamilton)
Essent EEf : lineal,Ala seva matriu en una base qualsevol, i Q(t)el seu polinomicaracterstic, es verifica:
0)det)1(()1()( 1 IAAtrAAAQ nnnn
Obs.
(1) s evident per endomorfismes triangularitzables, i en particular per = .
(2) Com una aplicaci, observem que si 0det A :
)(det
1)1(
det)1()(
2111
21
nnn
nnn
AtrAAA
A
IAAtrAAA
(2) En particular:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
61/63
8.61
2n : )(det
11ItrAA
AA
3n : )(det
12
21 IAtrAAA
A
(3) Una altra conseqncia, molt til en teoria de control lineal, s que, per qualsevolvector columna b:
Aquest teorema justifica la definici i el corollari segents:
Def. Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol, sanomena elseu polinomi (mnim) anullador, P(t), al mnic de menor grau que anulliA:
(i) 0)( AP
(ii) 0)( AP si grPPgr (iii) )(tP mnic
Exem.
(1) SiAs diagonalitzable, amb VAPss
,,1 , s:
)()()( 1 stttP
(2) Si J s un n-bloc de Jordan, s:
nttP )()(
Prop. En les condicions anteriors, si
s
stttQ
)()()( 11
aleshores:
(1) )(tP s de la forma:
),1(,1
)()()( 11si
tttP
ii
ss
(2) De forma ms precisa:
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
62/63
8.62
i
= ms gran divisor elemental dei
Obs.
(1) Havem caracteritzat els VAPs com les arrels del caracterstic )(tQ . La proposicianterior els caracteritza com arrels de lanullador )(tP .
(2) Els exponentsi
queden caracteritzats per:
i
ii
i
EIfNucIfNuc
IfNucIfNucE
ii
ii
)()(
)()(
1
2
(3) Si no coneixem el polinomi caracterstic, lanullador pot obtenir-se assajant
successivament polinomis mnics de grau creixent:
1a tal que: (t + 1a )(A) = 01 IaA
21 ,aa tal que: 0))(( 212
212 IaAaAAatat
etc.
)(tP s el primer per al qual el sistema resulta compatible.
Corol. (criteris de diagonalitzaci i no derogaci pel polinomi anullador)
En les condicions anteriors:
(1) diagonalitzable 11 s )( iid
(2) no derogatria ss ,,11 )1( id
Aplicacions.
(1) Endomorfismes idempotents
Un endomorfisme EEf : es diu idempotent si
ff 2
Clarament equival a 02 ff , i per tant el polinomi anullador s
tttttP )1()( 2
-
7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps
63/63
fora dels casos trivials Idf 0f .
Els seus VAPs sn, doncs, 11 , 02 , i segons el corollari anterior,diagonalitza. En definitiva, la seva matriu reduda s de la forma:
0
0
0
1
01
(2) Restricci dun diagonalitzable
Anem a veure que la restricci dun endomorfisme diagonalitzable a un subespaiinvariant s tamb diagonalitzable.
Considerem EEf : lineal i EN un subespai f-invariant. Siguin Ai NA| les
matrius respectives en una base adaptada aN. Sifs diagonalitzable, segons acabemde veure ser:
)()()( 1 stttP
Com que )(fP anullar en particular els vectors deN, tindrem
0)( | NAP
de manera que )(tPN ser un divisor de )(tP .
Doncs, les arrels de )(tPN seran igualment simples i, altre cop pel corollari
anterior, Nf| ser diagonalitzable.
top related