apunts de matemàtica discreta i Àlgebra segona …rfuster/docencia/mda/materialsdocents/...seguit...
TRANSCRIPT
Apunts de Matemàtica Discreta i ÀlgebraSegona part: Àlgebra Lineal
Tema 7: Matrius elementals i matriusinverses. Determinants
Robert Fuster
Darrera actualització: 6 de febrer de 2007
Índex
Unitat Temàtica 20. Matrius elementals i inverses 320.1. Matrius elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
20.1.1. Interpretació matricial de l’algorisme de Gauss-Jordan . . 420.2. Matriu trasposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
20.2.1. Propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520.2.2. Matrius simètriques i antisimètriques . . . . . . . . . . . . 6
20.3. Matrius triangulars i matrius diagonals . . . . . . . . . . . . . . . 620.4. Matrius inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
20.4.1. Inverses d’algunes matrius especials . . . . . . . . . . . . . 1320.5. Descomposicions LU i LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
20.5.1. Descomposició LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1320.5.2. Descomposició LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1520.5.3. Aplicació a la resolució de sistemes lineals . . . . . . . . . 15
20.6. Matrius ortogonals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Unitat Temàtica 21. Determinants d’ordre n 1821.1. Determinants i operacions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . 1921.2. Propietats dels determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21.2.1. Operacions elementals per columnes . . . . . . . . . . . . 2121.3. Càlcul de determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21.3.1. Mètode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2221.3.2. Desenvolupament per una columna o per una fila . . . . . 23
1
21.3.3. Comparació entre el métode de Gauss i el de desenvolu-pament per files o columnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Unitat Temàtica 22. Aplicacions dels determinants 2922.1. Rang d’una matriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922.2. Resolució de sistemes lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22.2.1. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022.2.2. Aplicació de la regla de Cramer a sistemes indeterminats . 31
22.3. Inversa d’una matriu regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3222.4. Determinant de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
Unitat Temàtica 20. Matrius elementals i inverses
20.1. Matrius elementalsDefinició 1
Anomenem matriu elemental a qualsevol matriu obtinguda fentuna operació elemental sobre una matriu identitat.
Exemple 1Les matrius1 0 0
0 0 10 1 0
1 0 00 3
2 00 0 1
1 0 00 1 0−5 0 1
són elementals.
Les matrius elementals són de primer, segon o tercer tipus segons el tipusd’operació elemental que les genera:
Matrius elementals de primer tipus: Ei,j és la matriu que resulta de permutarles files i i j de la identitat.
Matrius elementals de segon tipus: Ei(λ) és la matriu que resulta de multipli-car la fila i de la identitat per λ.
Matrius elementals de tercer tipus: Ei,j(λ) és la matriu que resulta de sumar ala fila i de la identitat la fila j multiplicada per λ.
Exemple 2
E2,3 =
1 0 00 0 10 1 0
E2
(32
)=
1 0 00 3
2 00 0 1
E3,1(−5) =
1 0 00 1 0−5 0 1
3
20.1.1. Interpretació matricial de l’algorisme de Gauss-Jordan
Propietat 1Siga A una matriu m× n i E una matriu elemental d’ordre m. Si Bés la matriu que resulta d’efectuar sobre A l’operació elemental quedefineix E, aleshores B = EA.
En altres paraules: permutar les files i i j de la matriu A és el mateix que mul-tiplicar Ei,jA; multiplicar per α la fila i de la matriu A és fer el producte EiαA; isumar-li a la fila i de la matriu A la fila j multiplicada per α, Ei,j(α)A. D’aques-ta manera, l’algorisme de Gauss o el de Gauss-Jordan no és altra cosa que unseguit de multiplicacions amb matrius elementals.Propietat 2
L’algorisme de Gauss-Jordan aplicat a la matriu A és el resultat de(pre)multiplicar-la per un nombre finit de matrius elementals.De manera més general, si la matriu B s’obté d’efectuar k d’operaci-ons elementals sobre A, aleshores,
B = EkEk−1 . . . E1A
on Ek, Ek−1, . . . , E1 són matrius elementals.
Si anomenem T al producte EkEk−1 . . . E1, aleshores B = TA i T es pot calcularfent sobre I les mateixes operacions elementals que es fan sobre A.Exemple 3
Càlcul d’una forma escalonada S de la matriu A = 1 2 3 4−1 1 2 40 2 3 5
i de la matriu T tal que S = TA.
1 2 3 4 1 0 0−1 1 2 4 0 1 00 2 3 5 0 0 1
E2,1(1)−→
1 2 3 4 1 0 00 3 5 8 1 1 00 2 3 5 0 0 1
E3(3)−→
1 2 3 4 1 0 00 3 5 8 1 1 00 6 9 15 0 0 3
E3,2(−2)−→
1 2 3 4 1 0 00 3 5 8 1 1 00 0 −1 −1 −2 −2 3
4
Així que
S =
1 2 3 40 3 5 80 0 −1 −1
T =
1 0 01 1 0−2 −2 3
(comproveu que TA = S).
20.2. Matriu traspostaDefinició 2
La matriu trasposta de la matriu A = (aij) ∈ Mm,n és la matriuAt = (bji) ∈ Mn,m on bji = aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, és a dir, lesfiles de At són les columnes de A.
Exemple 4
0 1 −11 4 12 3 7
t
=
0 1 21 4 3−1 1 7
0 11 42 3
t
=(
0 1 21 4 3
)
20.2.1. Propietats
Teorema 1• (At)t = A
• (A + B)t = At + Bt
• (λA)t = λAt
• (AB)t = BtAt
• (A1A2 . . . Ak)t = Atk . . . At
2At1
• Les traspostes de les matrius elementals són matrius elemen-tals del mateix tipus:
Eti,j = Ei,j Ei(λ)t = Ei(λ) Ei,j(λ)t = Ej,i(λ)
5
20.2.2. Matrius simètriques i antisimètriques
Definició 3La matriu A és simètrica si At = A, és a dir, si aij = aji, ∀i, j.
Observem que tota matriu simètrica és quadrada.Exemple 5
La matriu A =
0 1 21 4 32 3 −7
és simètrica.
Definició 4La matriu A és antisimètrica si At = −A, és a dir, si aij = −aji, ∀i, j.
Observem que tota matriu antisimètrica és quadrada.Exemple 6
La matriu A =
0 1 −2−1 0 −32 3 0
és antisimètrica, però la matriu
B =
1 1 −2−1 10 −32 3 0
no ho és.
20.3. Matrius triangulars i matrius diagonalsDefinició 5
Siga A una matriu quadrada.
• A és triangular superior si aij = 0, ∀i > j.
• A és triangular inferior si aij = 0, ∀i < j.
• A és diagonal si aij = 0, ∀i 6= j.
En altres paraules, una matriu és triangular superior quan tots els seus elementssituats per baix de la diagonal principal són zeros; triangular inferior quan sonzeros els situats per damunt, i diagonal quan són zero tots els que no estan a la
6
diagonal.Exemple 7
Les matrius
A =
1 2 00 −1 30 0 2
B =
1 0 02 −1 03 1 2
C =
1 0 00 −1 00 0 2
són respectivament triangular superior, tirangular inferior i diago-nal.
Teorema 2Siguen A, B ∈ Mn matrius triangulars superiors (triangulars inferi-ors (diagonals)) i λ ∈ R. Aleshores
• A + B, λA i AB són triangulars superiors (triangulars inferiors(diagonals)).
• At és triangular inferior (triangular superior (diagonal)).
20.4. Matrius inversesDefinició 6
Es diu que una matriu A ∈ Mn és regular, invertible o no singularsi existeix B tal que
AB = BA = I
A B se li diu inversa de A i es representa com A−1.En cas contrari, A és singular.
Recordem que en un conjunt amb una llei de composició associativa, si un ele-ment té simètric, aleshores el simètric és únic. Com que el producte de matriusés associatiu, podem assegurar la unicitat de la inversa: una matriu A no pottenir més d’una inversa.Teorema 3
La inversa d’una matriu, si existeix, és única.
També és immediat que el producte de matrius invertibles és invertible:
7
Teorema 4Si A ∈ Mn i Bn ∈ Mn són matrius regulars, aleshores AB també ésregular i (AB)−1 = B−1A−1.Més generalment, si A1, A2, . . . Ap són totes invertibles, llavors el seuproducte també ho és i
(A1A2 . . . Ap)−1 = A−1p . . . A−1
2 A−11
Podem plantejar el càlcul d’inverses com un problema de resolució de diver-sos sistemes lineals simultanis: donada la matriu A ∈ Mn, busquem una matriuX de manera que AX = I i XA = I. Anomenant X1, X2, . . . , Xn a les columnes deX i I1, I2, . . . , In a les de I, el que volem és
A(X1 X2 . . . Xn
)=(I1 I2 . . . In
)o bé,
AX1 = I1 AX2 = I2 . . . AXn = In
la qual cosa ens dóna un conjunt de n sistemes lineals amb n equacions i nincògnites, que es pot discutir i resoldre aplicant l’algorisme de Gauss-Jordan ala matriu ampliada
a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0. . .an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
Exemple 8
La matriu A =(
1 20 1
)és regular i la seua inversa és
(1 −20 1
).
Aplicarem l’algorisme de Gauss-Jordan a la matriu(1 2 1 00 1 0 1
)Com que aquesta matriu ja és escalonada, podem assegurar que rang A = 2 i,pel teorema de Rouché-Frobenius, els dos sistemes lineals tenen solució única.Aplicant l’algorisme obtenim(
1 2 1 00 1 0 1
)E1,2(−2)−−−−→
(1 0 1 −20 1 0 1
)8
De manera que la matriu B =(
1 −20 1
)compleix la condició AB = I. Compro-
vem que també BA = I:
BA =(
1 −20 1
)(1 20 1
)=(
1 00 1
)Per tant, B = A−1.Exemple 9
La matriu A =(
1 22 4
)és singular.
La matriu A té rang 1, perquè la segona fila és el doble de la primera, així que enel primer pas de l’escalonament apareix una fila de zeros. D’altra banda, el rangde la matriu
(A I
)és 2, de manera que almenys un dels dos sistemes lineals és
incompatible; de fet, l’escalonament(1 2 1 02 4 0 1
)E2,1(−2)−−−−→
(1 2 1 00 0 −2 1
)ens dóna dos sistemes incompatibles.
En realitat, aquests exemples ens donen la clau de la invertibilitat: com queel rang de la matriu identitat d’ordre n és n, per a qualsevol matriu A ∈ Mnel rang de
(A I
)és necessàriament n, així que A no pot ser invertible si el seu
rang no és complet.Propietat 3
Si la matriu A ∈ Mn és regular, aleshores rang A = n.
El recíproc d’aquest teorema també és cert, com veurem de seguida. Abansestudiarem la invertibilitat de les matrius elementals.Teorema 5
(Invertibilitat de les matrius elementals) Totes les matrius elemen-tals són regulars, i les seues inverses també són elementals del ma-teix tipus:
• E−1i,j = Ei,j
• Ei(λ)−1 = Ei(1/λ), ∀λ 6= 0
• Ei,j(λ)−1 = Ei,j(−λ), ∀λ ∈ R
9
La demostració és immediata. És interessant observar que la inversa d’una ma-triu elemental es correspon amb l’operació elemental que desfà el seu efecte.
Una vegada calculades les inverses de les matrius elementals ja podem pro-var el teorema fonamental sobre matrius inverses.Teorema 6
Una matriu A ∈ Mn és regular si i només si rang A = n.
Demostració: Ja hem justificat que si A és regular, aleshores el seu rang és n. Provemara el recíproc: si rang A = n aleshores la forma escalonada reduïda de A és I. Per tant,aplicant-hi l’algorisme de Gauss-Jordan tindrem
AE1−→ E2−→ . . .
Ek−→ I
on E1, . . . , Ek són matrius elementals, així que
EkEk−1 . . . E2E1A = I
Ara bé, com que totes les matrius elementals són regulars, multiplicant aquesta expres-sió per les inverses corresponents tindrem
A = E−11 E−1
2 . . . E−1k I = E−1
1 E−12 . . . E−1
k
la qual cosa significa que A és un producte de matrius elementals, i per tant, invertible.De fet, la inversa de A és EkEk−1 . . . E2E1. �
En realitat, el fet que una matriu siga regular quan el seu rang és completes pot reformular de moltes maneres equivalents. El següent Teorema llista lesmés interessants.
10
Teorema 7Caracterització de les matrius regulars
Siga A ∈ Mn. Les següents afirmacions són equivalents:
1. A és regular
2. Existeix una matriu B de manera que AB = I
3. rang A = n
4. Per a qualsevol B ∈ Mn,1, el sistema AX = B és compatibledeterminat
5. El sistema lineal AX = O és compatible determinat
6. Qualsevol forma escalonada de A és una matriu triangular su-perior sense zeros a la diagonal, és a dir, de la forma
a11 ∗ . . . ∗0 a22 . . . ∗
. . .0 0 . . . ann
amb aii 6= 0 ∀i.
7. Qualsevol forma escalonada principal de A és del tipus1 ∗ . . . ∗0 1 . . . ∗
. . .0 0 . . . 1
8. La forma escalonada reduïda de A és I.
9. A es pot transformar en I mitjançant operacions elementals
10. A és un producte de matrius elementals
A més a més, si A és una matriu regular, aleshores l’algorisme deGauss-Jordan transforma la matriu
(A I
)en(I A−1)
Corol.lari 1Siguen A, B ∈ Mn. Si AB és regular, aleshores A i B són regulars.
11
Demostració: Si AB és regular, aleshores A (B(AB)−1) = I i per tant, A és regular. �
Exemple 10
Càlcul de la inversa, si existeix, de la matriu A =
1 2 −13 4 00 −2 1
[A|I] =
1 2 −1 1 0 03 4 0 0 1 00 −2 1 0 0 1
E2,1(−3)−−−−→
1 2 −1 1 0 00 −2 3 −3 1 00 −2 1 0 0 1
E3,2(−1)−−−−→
1 2 −1 1 0 00 −2 3 −3 1 00 0 −2 3 −1 1
Així que rang A = 3 i A és regular
E3(−1/2)−−−−−→
1 2 −1 1 0 00 −2 3 −3 1 00 0 1 −3/2 1/2 −1/2
E2,3(−3)E1,3(1)−−−−−−−−→
1 2 0 −1/2 1/2 −1/20 −2 0 3/2 −1/2 3/20 0 1 −3/2 1/2 −1/2
E1,2(1)−−−→
1 0 0 10 10 −2 0 3/2 −1/2 3/20 0 1 −3/2 1/2 −1/2
E2(−1/2)−−−−−→
1 0 0 1 0 10 1 0 −3/4 1/4 −3/40 0 1 −3/2 1/2 −1/2
Per tant, A−1 =
1 0 1−3/4 1/4 −3/4−3/2 1/2 −1/2
.
A més a més,
A−1 =E2(−1/2)E1,2(1)E2,3(−3)E1,3(1)E3(−1/2)E3,2(−1)E2,1(−3)
i
A =E2,1(3)E3,2(1)E3(−2)E1,3(−1)E2,3(3)E1,2(−1)E2(−2)
12
20.4.1. Inverses d’algunes matrius especials
Fins ara hem introduït la matriu trasposta d’una altra, les matrius simètriquesi antisimètriques, les matrius triangulars i les diagonals. Vegem el que podemdir al respecte de les seues inverses.Propietat 4
Si la matriu A és regular, aleshores la seua trasposta també ho és i
(At)−1 =
(A−1
)t
Demostració: Basta comprovar que(At) (A−1
)t=(A−1A
)t= It = I
Les inverses més fàcils de calcular són les de les matrius diagonals:Propietat 5
Si la matriu diagonal A =( a11 0 ... 0
0 a22 ... 0...0 0 ... ann
)és regular (és a dir, si
no té cap zero a la diagonal) aleshores la seua inversa és A =(1/a11 0 ... 0
0 1/a22 ... 0...0 0 ... 1/ann
)
També es demostra fàcilment que la inversa d’una matriu triangular inferior éstambé triangular inferior (i el mateix per a les triangulars inferiors). I que lesinverses de les matrius simètriques (o antisimètriques) també són simètriques(antisimètriques).
20.5. Descomposicions LU i LS
20.5.1. Descomposició LS
Quan escalonem la matriu A fent servir l’algorisme de Gauss
AE1−→ E2−→ . . .
Ek−→︸ ︷︷ ︸T
S
si posem L = T−1 = E−11 E−1
2 . . . E−1k , aleshores A = LS. Direm que A = LS on L
és una descomposició LS de A.
13
Observem que les matrius elementals del tipus Ei(α) són diagonals, les deltipus Ei,j(α) són triangulars superiors quan j > i i triangulars inferiors quanj < i. En canvi les matrius del tipus Ei,j no són triangulars.
Com que l’algorisme de Gauss no requereix matrius elementals del tipusEi,j(α) amb j > i, resultarà que
si el procés d’escalonament es fa sense cap permutació de files ales-hores la matriu L és triangular inferior.
Exemple 11A l’exemple 3, tenim TA = S amb
A =
1 2 3 4−1 1 2 40 2 3 5
S =
1 2 3 40 3 5 80 0 −1 −1
T =
1 0 01 1 0−2 −2 3
Per tant, A = LS amb
L = T−1 =
1 0 0−1 1 00 2/3 1/3
Quan es fa alguna operació elemental del tipus permutació, A = LS però L
ja no és triangular inferior sinó una permutació d’una matriu triangular inferior.Exemple 12
Descomposició LS de la matriu A =
0 1 2 01 2 0 01 1 0 1
0 1 2 0
1 2 0 01 1 0 1
E1,2−−→
1 2 0 00 1 2 01 1 0 1
E3,1(−1)−−−−→
1 2 0 00 1 2 00 −1 0 1
E3,2(1)−−−→
1 2 0 00 1 2 00 0 2 1
= S
L = E−11,2E3,1(−1)−1E3,2(1)1 = E1,2E3,1(1)E3,2(−1) =
0 1 01 0 01 −1 1
14
20.5.2. Descomposició LU
Anàlogament, qualsevol matriu quadrada es pot transformar en una matriu Utriangular superior mitjançant operacions elementals. Aleshores A = LU on Lés triangular inferior o una permutació d’una triangular inferior.Exemple 13
Dues descomposicions LU de la matriu A =(
1 2−2 5
)(
1 2−2 5
)E2,1(2)−−−→
(1 20 9
)= U1, L1 =
(1 0−2 1
)Alternativament,(
1 2−2 5
)E1,2−−→
(−2 51 2
)E2,1(1/2)−−−−−→
(−2 50 9/2
)= U2, L2 =
(−1/2 1
1 0
)
20.5.3. Aplicació a la resolució de sistemes lineals
Si A = LS és una decomposició LS de A, aleshores el sistema lineal AX = B ésequivalent al parell de sistemes escalonats
LY = B
SX = Y
Exemple 14
Resolució del sistema AX =
123
on A =
0 1 2 01 2 0 01 1 0 1
.
A l’exemple 12 n’hem vist la decomposició LS:
L =
0 1 01 0 01 −1 1
S =
1 2 0 00 1 2 00 0 2 1
15
Així que resoldrem en primer lloc el sistema LY =
123
:
y2 = 1y1 = 2y1 − y2 + y3 = 3
y2 = 1y1 = 2y3 = 3− y1 + y2 = 2
i, en segon lloc, SX =
212
:
x1 + 2x2 = 2x2 + 2x3 = 1
2x3 + x4 = 2
x1 = 2− 2x2x2 = 1− 2x3x3 = 1− 1
2 x4
x1 = 4− 2λx2 = −1 + λ
x3 = 1− 12 λ
x4 = λ
20.6. Matrius ortogonalsDefinicions 1
Direm que un vector ~u ∈ Rn és unitari quan la seua norma és 1.Un sistema de vectors S = {~u1,~u2, . . . ,~uk} és ortogonal quan totsels seus vectors són no nuls i ortogonals dos a dos, és a dir, ~ui ·~uj =0, ∀i 6= j.Un sistema ortogonal és ortonormal quan tots els seus vectors sónunitaris.
Per exemple, el sistema S1 = {(1, 0, 0, 2), (2, 3, 5,−1), (0,−10, 6, 0)} és ortogo-nal.
Dividint un vector no nul per la seua norma s’obté un vector unitari. Aixíque a partir de S1 podem obtenir el sistema ortonormal
S2 ={
1√5(1, 0, 0, 2),
1√39
(2, 3, 5,−1),1√34
(0,−5, 3, 0)}
Definició 7Una matriu quadrada es diu ortogonal quan les seues files formenun sistema ortonormal de vectors.
Com que les columnes de la matriu Qt són les files de Q, multiplicar escalarmentdos files de Q és el mateix que multiplicar una fila de Q per una columna de Qt
i, per tant,
16
Teorema 8Una matriu Q és ortogonal si i només si QQt = I. En altres paraules,una matriu Q és ortogonal si i només si la seua inversa és Qt.
Per exemple, la matriu Q =
1 0 00 1/2 −
√3/2
0√
3/2 1/2
és ortogonal, ja que
QQt =
1 0 00 1/2 −
√3/2
0√
3/2 1/2
1 0 00 1/2
√3/2
0 −√
3/2 1/2
=
1 0 00 1 00 0 1
17
Unitat Temàtica 21. Determinants d’ordre n
Per a simplificar la notació, representarem per A1, A2, . . . , An les files de la matriuA i per A1, A2, . . . , An les seues columnes.Definició 8
El determinant d’ordre n és una aplicació
det : Mn −→ K
que verifica les següents propietats:
1. El determinant de la matriu identitat és 1: det(I) = 1
2. Si es permuten dues files de la matriu, aleshores el determi-nant canvia de signe.
3. Si es multiplica la primera fila de la matriu A per un nombre αaleshores el seu determinant també s’hi multiplica:
det
αA1A2...
An
= α det
A1A2...
An
, α ∈ K
4. Si la primera fila de la matriu A es descomposa en suma dedos matrius fila, aleshores el determinant de A és la suma delsdos determinants corresponents:
det
A1 + B1
A2...
An
= det
A1A2...
An
+ det
B1A2...
An
Es pot demostrar que hi ha una única aplicació amb aquestes característiques,és a dir, que la funció determinant d’ordre n existeix i és única. El determinantde la matriu A se sol representar com |A|.
18
21.1. Determinants i operacions elementals
A partir de la definició és immediat el càlcul del determinant de les matriuselementals i l’estudi de la relació entre operacions elementals i determinants. Jasabem que si permutem dues files el determinant canviarà de signe. Respecte ala resta d’operacions elementals,Propietat 6
Si es multiplica una fila de la matriu A per una constant, el determi-nant s’hi multiplica també: |Ei(α)A| = α |A|. Per tant, si la matriu Aconté una fila de zeros, el seu determinant és nul.
Demostració: Si es tracta de la primera fila, ja ho sabem perquè és una de les coses queexigim a la definició del determinant.
En cas contrari,
|Ei(α)A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A1...
αAi...
An
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
αAi...
A1...
An
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −α
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ai...
A1...
An
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= α
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A1...
Ai...
An
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= α |A|
Exactament igual podem demostrar quePropietat 7 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A1...
Ai + Bi...
An
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A1...
Ai...
An
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A1...
Bi...
An
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Propietat 8
Si una matriu té dues files iguals, aleshores el seu determinant észero.
Demostració: Si permutàvem les dues files iguals obtindríem |A| = − |A|
19
Propietat 9Si a una fila se li suma un múltiple d’una altra, el determinant novaria:
∣∣Eij(α)A∣∣ = |A|
Demostració:
∣∣Eij(α)A∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A1...
Ai + αAj...
Aj...
An
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A1...
Ai...
Aj...
An
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ α
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A1...
Aj...
Aj...
An
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= |A|+ α0 = |A|
Propietat 10Determinants de les matrius elementals:
|Ei(α)| = α∣∣Eij∣∣ = −1
∣∣Eij(α)∣∣ = 1
Demostració:
|Ei(α)| = |Ei(α)I| = α∣∣Eij∣∣ =
∣∣EijI∣∣ = −1∣∣Eij(α)
∣∣ =∣∣Eij(α)I
∣∣ = 1
Aquesta darrera propietat, en combinació amb les anteriors, ens permet de-duir el següent teorema, que ens va a permetre calcular el determinant d’unamatriu qualsevol i demostrar els teoremes fonamentals sobre determinants.Teorema 9
Si E és una matriu elemental, aleshores |EA| = |E| |A|.
21.2. Propietats dels determinants
Ara ja és immediat el teorema més important des del punt de vista teòric.Teorema 10
Caracterització de matrius regularsLa matriu A és regular si i només si |A| 6= 0
20
Demostració: Si A és regular, aleshores sabem que A és un producte de matrius ele-mentals. Per tant, el determinant de A serà el producte dels determinants d’aquestesmatrius elementals. Però com el determinant d’una matriu elemental no és zero, tam-poc no ho serà el de A.
En cas contrari, és a dir, si A és singular, del tema anterior es dedueix que la formaescalonada reduïda de A, R, té almenys una fila de zeros. Per tant, A = E1E2 . . . EpR onles matrius E1, E2, . . . Ep són elementals, així que
|A| = |E1| |E2| . . .∣∣Ep∣∣ |R| = 0 �
Corol.lari 2Teorema de Binet-CauchyPer a qualsevol parell de matrius d’ordre n, A i B, |AB| = |A| |B|
Demostració: Si A és singular, aleshores AB també ho és, de manera que |AB| = |A| = 0i es verifica la propietat. Si A no és singular, aleshores A és un producte de matriuselementals, A = E1E2 . . . Em, de manera que
|AB| = |E1E2 . . . EmB| = |E1| |E2| . . . |Em| |B| = |A| |B| �
21.2.1. Operacions elementals per columnes
Tot el que fins ara hem fet treballant amb les files de la matriu A es pot fertreballant amb les columnes, perquè el determinant no varia si es trasposa lamatriu.Teorema 11
|A| =∣∣At∣∣
Demostració: Si A és singular, aleshores At també ho és i els dos determinants són 0.En cas contrari, A és un producte de matrius elementals:
A = E1E2 . . . Em
de manera queAt = Et
m . . . Et2E
t1
i com que és immediat que el determinant d’una matriu elemental és el mateix que elde la seua trasposta, s’obté el resultat desitjat.
Com a conseqüència del corol.lari 2 i el teorema 11 podem obtenir la següentpropietat, a prop dels determinants de les matrius ortogonals.
21
Teorema 12Si Q és una matriu ortogonal, aleshores |Q| = 1 o |Q| = −1.
Demostració: Com que∣∣QQt
∣∣ = |Q| |Qt| i |Qt| = |Q|, resulta que |Q|2 = |QQt|. Però amés a més QQt = I, així que |Q|2 = 1 �
21.3. Càlcul de determinants
En realitat, ja sabem tot el necessari per a calcular el determinant de qualsevolmatriu quadrada mitjançant el mètode de Gauss. En aquesta secció concretemaquest mètode i en deduïm un altre.
21.3.1. Mètode de Gauss
La demostració dels darrers teoremes ens descriu la manera de calcular el deter-minant d’una matriu: basta anar aplicant operacions elementals fins a reduir-laa un producte de matrius elementals o fins a demostrar que és singular. Però,en el cas regular, no ens caldrà arribar tan lluny: bastarà reduir la matriu a laforma triangular, ja que
Teorema 13 El determinant d’una matriu triangular és el producte de la seuadiagonal.
Demostració: Observem que si T és triangular i conté algun zero a la diagonal, ales-hores T és singular i per tant el seu determinant és zero i es verifica la propietat. Encas contrari, podem reduir-la a diagonal premultiplicant-la per matrius elementals deltipus Eij(α). Com que aquestes premultiplicacions no canvien el valor del determinant,resulta que
|T| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣t11 0 . . . 00 t22 . . . 0
. . .
. . .0 0 . . . tnn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= t11t22 . . . tnn |I| = t11t22 . . . tnn
22
Exemple 15
Càlcul del determinant de la matriu A =
2 3 5−3 4 13 2 −1
∣∣∣∣∣∣2 3 5−3 4 13 2 −1
∣∣∣∣∣∣ =122
∣∣∣∣∣∣2 3 5−6 8 26 4 −2
∣∣∣∣∣∣ =122
∣∣∣∣∣∣2 3 50 17 170 −5 −17
∣∣∣∣∣∣ =1
2217
∣∣∣∣∣∣2 3 50 17 170 −85 −289
∣∣∣∣∣∣ =1
2217
∣∣∣∣∣∣2 3 50 17 170 0 −204
∣∣∣∣∣∣=
2 · 17(−204)2217
= −102
Exemple 16
Càlcul del determinant de la matriu A =
1 −1 2 −11 1 1 14 0 6 12 0 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 −11 1 1 14 0 6 12 0 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 −10 2 −1 20 4 −2 50 2 −1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 −10 2 −1 20 0 0 10 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
21.3.2. Desenvolupament per una columna o per una fila
A continuació deduirem una fórmula recursiva per al càlcul del determinant.En diem recursiva perquè el que fa aquesta fórmula és reduir el càlcul d’un de-terminant d’ordre n al càlcul d’uns quants (n) determinants d’ordre n− 1.Definició 9
Donada la matriu A ∈ M s’anomena menor al determinant de qual-sevol submatriu quadrada obtinguda eliminant unes quantes files icolumnes de A.En particular, el menor
∣∣Aij∣∣, obtingut eliminant la fila i i la columna
j, és el menor complementari corresponent a l’element aij.El nombre (−1)i+j
∣∣Aij∣∣ s’anomena adjunt o cofactor corresponent a
l’element aij.
23
La reducció del càlcul d’un determinant a determinants de menor ordre esbasa en el següent lema.Lema 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n00...0
A11
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11 |A11|
Demostració: Si A11 és singular, també ho és la matriu completa i els dos determinantssón nuls. En cas contrari, basta observar que les operacions elementals que cal realit-zar per transformar A en triangular superior són les mateixes que les que caldrien pertransformar-hi A11 i que aquestes operacions no afecten la primera fila. �
Teorema 14 (Desenvolupament del determinant per una columna) El determi-nant |A| es pot calcular sumant els productes de cada element d’una columna(arbitrària) de A pels seus respectius adjunts, és a dir per a qualsevol j,
|A| =n
∑i=1
(−1)i+jaij∣∣Aij∣∣
Demostració: Suposem en primer lloc que j = 1. En aquest cas, tenim
|A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n0 a32 . . . a3n
. . .
. . .0 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n0 a32 . . . a3n
. . .
. . .0 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ · · ·+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n0 a32 . . . a3n
. . .
. . .ann an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n0 a32 . . . a3n
. . .
. . .0 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a21 a22 . . . a2n0 a12 . . . a1n0 a32 . . . a3n
. . .
. . .0 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ · · ·+ (−1)n−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ann an2 . . . ann0 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n
. . .
. . .0 an−12 . . . an−1n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
24
On els signes alternats es justifiquen perquè, per a enviar a21 a la primera fila hem fetun intercanvi de files, per enviar a31 en fem dos...
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n00...0
A11
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a21 a22 . . . a2n00...0
A21
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ · · ·+ (−1)n+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
an1 an2 . . . ann00...0
An1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(ara hem utilitzat el fet que (−1)n−1 = (−1)n+1). Tenint en compte el lema:
|A| = a11 |A11| − a21 |A21|+ · · ·+ (−1)n+1an1 |An1|
Si la columna no és la primera, caldrà fer j− 1 intercanvis de columnes per a situar-lacom a tal, de manera que
|A| = (−1)j−1[
a1j∣∣A1j
∣∣− a2j∣∣A2j
∣∣+ · · ·+ (−1)n+1anj∣∣Anj
∣∣]= (−1)1+ja1j
∣∣A1j∣∣+ (−1)2+ja2j
∣∣A2j∣∣+ · · ·+ (−1)n+janj
∣∣Anj∣∣
Corol.lari 3El determinant |A| es pot calcular sumant els productes de cada ele-ment d’una fila (arbitrària) de A pels seus respectius adjunts, és adir per a qualsevol i,
|A| =n
∑j=1
(−1)i+jaij∣∣Aij∣∣ (1)
Exemple 17
Càlcul del determinant de la matriu
2 1 41 0 1−2 1 2
Desenvolupant per la segona fila obtenim:∣∣∣∣∣∣
2 1 41 0 1−2 1 2
∣∣∣∣∣∣ = −1∣∣∣∣1 41 2
∣∣∣∣+ 0∣∣∣∣ 2 4−2 2
∣∣∣∣− 1∣∣∣∣ 2 1−2 1
∣∣∣∣= −1(1 · 2− 4 · 1) + 0− 1(2 · 1− 1 · (−2))= −2
25
21.3.3. Comparació entre el métode de Gauss i el de desenvolupament perfiles o columnes
Com que tenim dos métodes per a calcular el determinant, és raonable que elscomparem per veure quin resultarà més eficient. La millor manera de fer aques-ta comparació consistirà en comptar el nombre d’operacions que cal realitzar encada cas.
En primer lloc, calcularem el nombre d’operacions necessàries per a calcularun determinant pel métode de Gauss: Observem que per a canviar per zerostots els elements per baix de a11 cal fer el següent càlcul: Canviar la fila Ai,2 ≤ i ≤ n per Ai − ai1
a11A1. Així, haurem de
1. Calcular ai1a11
: una operació (per cada fila des de la segona).
2. Canviar ai1 per zero: cap operació.
3. Canviar aij, 2 ≤ j ≤ n per aij − ai1a11
a1j: una suma i un producte per cada j:2(n− 1) operacions (per cada fila des de la segona).
Això ens dóna un total de (n− 1)(1 + 2(n− 1)) = (n− 1) + 2(n− 1)2 operaci-ons per a reduir la primera columna. És clar que per reduir la segona columnacaldrà fer (n − 2) + 2(n − 2)2 operacions i així successivament. En definitiva,per reduir A a la forma triangular hem de fer
n−1
∑k=1
k + 2n−1
∑k=1
k2 =(n− 1)n
2+ 2
n(2n− 1)(n− 1)6
=n(n− 1)(4n + 1)
3
operacions. Finalment, cal multiplicar els n elements diagonals: n− 1 produc-tes. Així doncs, el nombre total d’operacions és
n− 1 +n(n− 1)(4n + 1)
3
Vejam ara quantes operacions caldria fer per tal de calcular un determinantd’ordre n aplicant successivament el métode de desenvolupament per una filafins a reduir-lo completament.
A la fórmula 1 del corol.lari 3 s’hi suma n termes, és a dir, cal fer-hi n −1 sumes. Cadascun dels termes que hi sumem és un producte. Per tant calfer n productes on un dels factors és un determinant d’ordre n − 1. Així que,anomenant an al nombre d’operacions corresponent a un determinant d’ordren,
an = (n− 1) + n + nan−1 = n(2 + an−1)− 1 > nan−1 > n(n− 1)an−2 > · · · > n!
26
n Gauss Desenvolupant per files2 4 33 15 144 37 635 74 3246 130 1 9557 209 13 6988 315 109 5999 452 986 408
10 624 9 864 09911 835 108 505 11012 1 089 1 302 061 34313 1 390 16 926 797 48414 1 742 236 975 164 80315 2 149 3 554 627 472 07416 2 615 56 874 039 553 21517 3 144 966 858 672 404 68818 3 740 17 403 456 103 284 41919 4 407 330 665 665 962 403 99820 5 149 6 613 313 319 248 079 99921 5 970 138 879 579 704 209 680 02022 6 874 3 055 350 753 492 612 960 48323 7 865 70 273 067 330 330 098 091 15424 8 947 1 686 553 615 927 922 354 187 74325 10 124 42 163 840 398 198 058 854 693 624
Quadre 1: Nombre d’operacions en el càlcul d’un determinant
Com que ara és més complicat el càlcul exacte ens hem conformat amb unaaproximació: per calcular el determinant desenvolupant per files cal fer més den! operacions.
La taula 1 compara els dos métodes per a matrius d’ordres 2, 3, . . . 20 (s’hacalculat el nombre exacte d’operacions, amb l’ajut del programa Derive) i mos-tra clarament que el métode de desenvolupament per files o columnes no ésgens recomanable (excepte potser per a matrius d’ordres molt petits). En qual-sevol cas, en la pràctica pot ser convenient una combinació dels dos métodes ien general de les propietats conegudes dels determinants per tal de simplificaral màxim els càlculs.
27
Exemple 18
Càlcul del determinant de la matriu A =
0 1 3 21 2 0 0−1 0 1 00 −1 2 2
Convé aprofitar el fet que A conté molts zeros: desenvolupem el determinant per ladarrera columna:
|A| = −2
∣∣∣∣∣∣1 2 0−1 0 10 −1 2
∣∣∣∣∣∣+ 2
∣∣∣∣∣∣0 1 31 2 0−1 0 1
∣∣∣∣∣∣En el primer determinant sumarem a la segona fila la primera i en el segon sumarem ala tercera fila la segona:
|A| = −2
∣∣∣∣∣∣1 2 00 2 10 −1 2
∣∣∣∣∣∣+ 2
∣∣∣∣∣∣0 1 31 2 00 2 1
∣∣∣∣∣∣A continuació desenvolupem els dos determinants per la primera columna i finalmentcalculem directament els determinants d’ordre 2:
|A| = −2∣∣∣∣ 2 1−1 2
∣∣∣∣+ 2(−1)∣∣∣∣1 32 1
∣∣∣∣ = (−2)(5)− 2(−5) = 0
28
Unitat Temàtica 22. Aplicacions dels determinants
22.1. Rang d’una matriuPropietat 11
El rang d’una matriu A ∈ Mm×n és el màxim ordre dels seus me-nors no nuls.
Demostració: Siga r el rang de A. En primer lloc demostrarem que existeix un me-nor no nul de A d’ordre r. Si R és la forma escalonada reduïda de A, aleshores R =En . . . E2E1PA on les matrius Ei són elementals (no permutacions) i P és una matriu per-mutació.
Si R1 és la submatriu de R que resulta de suprimir les columnes que no contenenuns principals, aleshores
R1 =[
IrO
]i la submatriu de A que resulta de suprimir les mateixes columnes és
B = P−1E−11 . . . E−1
n−1E−1n R1 =
[A1A2
]Ara distingirem dos casos:
• P = I (és a dir, es pot escalonar A sense permutar files).En aquest cas, és fàcil veure que la forma escalonada reduïda de A1 és Ir
1. Aixòvol dir que A1 és regular i
|A1| 6= 0
• P 6= I.Si és així, l’apartat anterior demostra que PA té un menor no nul. Però és evidentque, reordenant-hi les files, d’un menor no nul de PA se n’obté un altre de A.
Per concloure la prova, hem de demostrar que no hi ha menors no nuls d’ordremajor que r. Ho farem per reducció a l’absurd:
Suposem que existeix una submatriu A1, d’ordre p > r, el determinant de la qual ésno nul. Permutant convenientment les files i les columnes de A considerem la matriu
B =[A1 A2A3 A4
]D’una banda, sabem que el sistema lineal
AX = 0 (2)
1Perquè totes les files de A2 s’anulen quan es pivota sobre les de A1
29
té exactament r incògnites principals. Observem d’altra banda que les solucions delsistema
BX = 0 (3)
són reordenacions de les solucions de (2). Per tant, (3) té també exactament r incògnitesprincipals. Ara bé, com que A1 és regular, la forma escalonada reduïda de B és[
Ip R2O R4
]que té almenys p uns principals.
Exemple 19
Rang de la matriu A =
0 1 3 21 2 0 0−1 0 1 00 −1 2 2
Hem vist a l’exemple 18 que el determinant de A és nul. Per tant, el seu rang és menorque 4. D’altra banda, ∣∣∣∣∣∣
2 0 00 1 0−1 2 2
∣∣∣∣∣∣ = 4
així que el rang és 3.
22.2. Resolució de sistemes lineals
Quan un sistema lineal de n equacions i n incògnites és determinat es pot re-soldre fent servir la regla de Cramer, que consisteix en una fórmula per a cadauna de les incògnites. Aquestes fórmules comporten el càlcul de n + 1 deter-minants d’ordre n, de manera que tenen poca utilitat pràctica (excepte en el casde sistemes de dues o tres equacions, el nombre d’operacions que cal realitzarés grandíssim). Ara bé, les fórmules de Cramer són útils en algunes demostra-cions teòriques i, a més a més, permeten calcular alguna incògnita aïlladament(en algunes aplicacions, d’un determinat sistema només ens interessarà el valord’alguna de les incògnites).
22.2.1. La regla de Cramer
Teorema 15 (Regla de Cramer) Si A és una matriu regular i A(i) és la matriuque resulta de sustituir la columna i de A pel vector columna b, aleshores la
30
solució del sistema AX = b és
xi =|A(i)||A| , i = 1, 2, . . . , n (4)
Demostració: Si b = AX aleshores, b = x1A1 + x2A
2 + · · ·+ xnAn, així que
det(A1 A2 . . . Ai−1 b Ai+1 . . . An) =
det(A1 A2 . . . Ai−1 ∑n
j=1 xjAj Ai+1 . . . An
)= x1 det
(A1 A2 . . . Ai−1 A1 Ai+1 . . . An)
+ x2 det(A1 A2 . . . Ai−1 A2 Ai+1 . . . An)
+ . . .
+ xi det(A1 A2 . . . Ai−1 Ai Ai+1 . . . An)
+ . . .
+ xn det(A1 A2 . . . Ai−1 An Ai+1 . . . An)
= xi det(A1 A2 . . . Ai−1 Ai Ai+1 . . . An) = xi det A
De manera que
xi =det
(A1 A2 . . . Ai−1 b Ai+1 . . . An)
det A�
Exemple 20
Solució del sistema(
1 12 −1
)(xy
)=(
21
)
x =
∣∣∣∣2 11 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣1 12 −1
∣∣∣∣ = 1 y =
∣∣∣∣1 22 1
∣∣∣∣∣∣∣∣1 12 −1
∣∣∣∣ = 1
22.2.2. Aplicació de la regla de Cramer a sistemes indeterminats
Si el sistema AX = b és compatible indeterminat i el rang A és k, siga A1 unasubmatriu de A regular i d’ordre k (que existeix, per la propietat 11). El sistemalineal que resulta de suprimir les files de A que no intervenen en A1 té les ma-teixes solucions que AX = b (perquè té el mateix nombre d’uns principals). En
31
aquest subsistema es poden elegir com a principals les incògnites corresponentsa les columnes de A1 i, escrivint-lo en la forma
A1X1 = b1 − A2X2
es pot resoldre mitjançant la regla de Cramer.Exemple 21
Solució del sistema
1 1 11 1 −13 3 1
xyz
=
35
11
Com que els rangs de A i A∗ són els dos iguals a 2, el sistema és indeterminat.Elegim una submatriu de A que siga regular i d’ordre 2. Per exemple, A1 =( 1 1
1 −1), que correspon a les dues primeres files i a les columnes primera i tercera
de A. Per tant, suprimim la tercera equació i elegim la segona variable com alliure. El sistema que en resulta és:(
1 11 −1
)(xz
)=(
3− y5− y
)Resolent-lo per la regla de Cramer obtindrem:
x =
∣∣∣∣3− y 15− y −1
∣∣∣∣∣∣∣∣1 11 −1
∣∣∣∣ =−8− 2y−2
= −4− y
z =
∣∣∣∣1 3− y1 5− y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 11 −1
∣∣∣∣ =2−2
= −1
22.3. Inversa d’una matriu regular
Definició 10 (Matriu adjunta) Si A ∈ Mn, la matriu adjunta de A, que repre-sentarem com adj A, es defineix com la matriu formada substituint cada entradade A pel seu determinant adjunt i transposant la matriu obtinguda, és a dir,
adj A =
|A11| − |A21| . . . (−1)n+1 |An1|− |A12| |A22| . . . (−1)n+2 |An2|
. . .
. . .(−1)1+n |A1n| (−1)2+n |A2n| . . . |Ann|
32
Cal dir que alguns textos anomenen adjunta de la matriu A a la que resultade substituir cada element pel seu adjunt (sense transposarla).Teorema 16
Si A és una matriu regular, llavors A−1 = 1|A| adj A.
Demostració: Si A−1 =(B1 B2 . . . Bn) aleshores AA−1 = I, de manera que
A(B1 B2 . . . Bn) =
(I1 I2 . . . In)
o, equivalentment,AB1 = I1, AB2 = I2, . . . , ABn = In
de manera que B1 és la solució del sistema AX = I1. Aplicant-hi la regla de Cramer,
B11 =1
det A
∣∣∣∣∣∣∣∣1 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n
. . .0 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣ =1
det A|A11|
B21 =1
det A
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 1 . . . a1na21 0 . . . a2n. . .an1 0 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣ = − 1det A
|A12|
i així successivament. �
22.4. Determinant de Vandermonde
El determinant de Vandermonde té interès teòric perquè apareix en diversosproblemes matemàtics, com ara la interpolació polinomial, les equacions dife-rencials lineals...
Es tracta del determinant
V(a1, a2, . . . , an) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 . . . 1a1 a2 . . . ana2
1 a22 . . . a2
n. . .. . .
an−11 an−1
2 . . . an−1n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
33
Amb dos o tres variables el podem calcular sense cap dificultat:
V(a1, a2) =∣∣∣∣ 1 1a1 a2
∣∣∣∣ = a2 − a1
V(a1, a2, a3) =
∣∣∣∣∣∣1 1 1a1 a2 a3a2
1 a22 a2
3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣1 0 0a1 a2 − a1 a3 − a1a2
1 a22 − a2
1 a23 − a2
1
∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣a2 − a1 a3 − a1a2
2 − a21 a2
3 − a21
∣∣∣∣ =
(a3 − a1)(a2 − a1)∣∣∣∣ 1 1a2 + a1 a3 + a1
∣∣∣∣= (a3 − a2)(a3 − a1)(a2 − a1)
En general,V(a1, a2, . . . , an) = ∏
j>i(aj − ai),
de manera que podem assegurar que el determinant de Vandermonde és nul sii només si algun dels nombres ai està repetit.
Per exemple,
V(1,−1, 3, 5) = (5− 1)(5 + 1)(5− 3)(3− 1)(3 + 1)(−1− 1) = 768
34