m1 - fib continguts: 5.matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. matrius, sistemes i...
TRANSCRIPT
![Page 1: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/1.jpg)
Algebra Lineal
M1 - FIB
Continguts:
5. Matrius, sistemes i determinants
6. Espais vectorials
7. Aplicacions lineals
8. Diagonalitzacio
Anna de MierMontserrat Maureso
Dept. Matematica Aplicada IIFebrer 2012
![Page 2: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/2.jpg)
5. Matrius, sistemes i determinants5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades
1
Repas de l’algebra de matrius
2
Els escalars
Per un cos d’escalars K entendrem un conjunt de nombres ambdues operacions (suma i producte) tals que
- es satisfan les propietats habituals (commutativa, associativa,distributiva, elements neutres)
- son invertibles (podem restar i dividir)
Exemples: R,Q,Zp,C
3
Matrius
Siguin m, n ≥ 1 enters. Una matriu de tipus m × n ambelements al cos K consisteix en mn elements de K arranjats enuna taula de m files i n columnesDenotarem per aij l’element que es troba a la fila i , columna jUna matriu generica la representem aixı:
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
Farem servir tambe la notacio A = (aij)m×n
El conjunt de totes les matrius m × n el denotarem per Mm×n(K)
4
![Page 3: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/3.jpg)
Tipus de matrius
I Una matriu de tipus 1× n s’anomena matriu fila
I Una matriu de tipus m × 1 s’anomena matriu columna
I La matriu nul.la Om,n (o simplement O) es la matriu tipusm × n on tots els elements son iguals a 0
I Una matriu de tipus n× n s’anomena quadrada. El conjunt detotes les matrius quadrades n × n amb elements a K esdenota per Mn(K). Una matriu quadrada (aij)n×n es
I triangular superior si aij = 0 per tot i > jI triangular inferior si aij = 0 per tot i < jI diagonal si es triangular superior i inferior simultaniament
I La matriu Diag(λ1, . . . , λn) es la matriu diagonal (dij)n×n
amb dii = λi per tot i
I La matriu identitat In es la matriu diagonal Diag(1, 1, . . . , 1)
5
Suma de matrius
Siguin A,B ∈Mm×n(K) amb A = (aij) i B = (bij)
La seva suma es la matriu A + B = (cij) ∈Mm×n(K) definida per
cij = aij + bij
PropietatsSi A,B,C ∈Mm×n(K), es compleix:
I (Associativa) (A + B) + C = A + (B + C )
I (Commutativa) A + B = B + A
I (Element neutre) A + O = O + A = A
I (Element oposat) Existeix una matriu B tal queA + B = B + A = O
(a aquesta B l’anomenem −A)
6
Producte per escalars
Siguin A ∈Mm×n(K) amb A = (aij) i λ ∈ K un escalar
El producte d’A per l’escalar λ es la matriuλA = (bij) ∈Mm×n(K) definida per
bij = λaij
PropietatsSi λ, µ ∈ K i A,B ∈Mm×n(K), es compleix:
I (Pseudoassociativa) λ(µA) = (λµ)A
I (Distributiva 1) λ(A + B) = λA + λB
I (Distributiva 2) (λ+ µ)A = λA + µA
I (Identitat) 1A = A
Fixem-nos que (−1)A = −A
7
Transposicio
Sigui A = (aij)m×n ∈Mm×n(K)
La seva transposada es la matriu At = (bij)n×m ∈M(K)n×m
definida per bij = aji
Clarament (At)t = A
Una matriu quadrada A essimetrica si At = Aantisimetrica si At = −A
8
![Page 4: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/4.jpg)
Producte de matrius
Siguin A = (aij)m×n ∈Mm×n(K) i B = (bij)n×p ∈Mn×p(K)
El seu producte es la matriu AB = (cij)m×p ∈Mm×p(K) amb
cij =n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj
Observacions
I El producte de dues matrius qualssevol no te per que estardefinit
I AB pot estar definit pero BA no
I Encara que AB i BA estiguin definits, en general AB 6= BA
I El producte es una operacio interna dins de Mn(K)
9
Propietats del producte de matrius
Si A,B,C son matrius i les operacions seguents estan definides, escompleix:
I (Associativa) (AB)C = A(BC )
I (Distributives) A(B + C ) = AB + AC i (A + B)C = AC + BC
I (Element unitat) IA = A = AI , on I es la matriu identitat deltipus que convingui
I (Relacio amb la transposada) (AB)t = BtAt
Si A ∈Mn(K), denotarem per Ak el producte AA · · ·A(es a dir, A2 = AA,A3 = AAA, etc.)
10
Matriu inversa
Siguin A,B ∈Mn(K). Diem que B es la matriu inversa d’A si
AB = BA = In
Si aixo es compleix diem que A es invertible i denotem per A−1 lamatriu inversa
Observacions
I Si existeix la inversa, es unica
I No tota matriu te inversa
I Les matrius invertibles no tenen files ni columnes nul·les
11
Propietats de la matriu inversa
Si A i B son matrius invertibles del mateix tipus i λ es un escalarno nul, es compleix:
I la matriu A−1 es invertible i (A−1)−1 = A
I la matriu Ak es invertible i (Ak)−1 = (A−1)k
I la matriu λA es invertible i (λA)−1 = (λ)−1A−1
I la matriu At es invertible i (At)−1 = (A−1)t
I el producte AB es invertible i (AB)−1 = B−1A−1
12
![Page 5: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/5.jpg)
Transformacions elementals i matrius escalonades
13
Transformacions elementals
Sigui A ∈Mm×n(K)
Una transformacio elemental per files d’A consisteix en una deles tres operacions seguents:
(I) intercanviar dues files d’A
(II) multiplicar una fila d’A per un escalar no nul
(III) sumar a una fila d’A el resultat de multiplicar una altra filaper un escalar no nul
Una matriu es elemental (per files) si es pot obtenir a partird’una matriu identitat mitjancant una unica transformacioelemental per files
14
Matrius equivalents
TeoremaSigui T una transformacio elemental i sigui M ∈Mm×n(K). Elresultat d’aplicar la transformacio T a la matriu M es EM, on E esla matriu elemental resultant d’aplicar T a la identitat Im
Una matriu B es equivalent (per files) a una matriu A si B espot obtenir a partir d’A fent una sequencia finita detransformacions elementals
Per tant, si B es equivalent a A podem escriure
B = ErEr−1 · · ·E2E1A,
on les Ei son matrius elementals
15
Matrius escalonades
Una matriu es escalonada (per files) si
- si una fila es nul.la (composta enterament per zeros), totes lesque estan per sota d’ella tambe son nul.les
- en cada fila no nul.la, el primer element no nul es un 1(anomenat l’1 dominant o el pivot de la fila)
- el pivot d’una fila sempre es troba mes a la dreta que el pivotde la fila anterior
TeoremaTota matriu es equivalent a una matriu escalonada per files
El rang d’una matriu A es el nombre de files no nul.les de qualsevolmatriu escalonada equivalent a A
16
![Page 6: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/6.jpg)
Aplicacio al calcul de la inversa (I)
LemaSi E es una matriu elemental, aleshores E es invertible i la sevainversa E−1 tambe es una matriu elemental
Comprovacio:
(I) Si B es una matriu elemental corresponent a unatransformacio de tipus (I) (intercanvi files i i j), tenim BB = I
(II) Si Cλ es la matriu elemental corresponent a una transformaciode tipus (II) (multiplicar una fila per λ 6= 0), tenimCλCλ−1 = I = Cλ−1Cλ
(II) Si Dk es la matriu elemental corresponent a una transformaciode tipus (III) (sumar a la fila i la fila j multiplicada per k),tenim DkD−k = I = D−kDk
17
Aplicacio al calcul de la inversa (II)
TeoremaSiguin A ∈Mn(K) i M una matriu escalonada equivalent a A.Aleshores A es invertible si i nomes si tots els elements de ladiagonal de M son iguals a 1
Corol·lariSiguin A ∈Mn(K), aleshores A es invertible si i nomes si el rangd’A es n
18
Metode de Gauss-Jordan per al calcul de la inversa
Sigui A ∈Mn(K)
La demostracio del teorema anterior implica quesi In = Er · · ·E2E1A, aleshores A−1 = Er · · ·E2E1
Donada A, podem seguir els passos seguents per trobar A−1, siexisteix:
I Comencem amb la matriu (A|In)
I Apliquem transformacions elementals a (A|In), amb l’objectiud’arribar a (In|B)
I Si ho aconseguim, A−1 = B
I Altrament, A no es invertible
19
![Page 7: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/7.jpg)
5. Matrius, sistemes i determinants5.2 Sistemes d’equacions lineals
20
Sistemes d’equacions lineals
Una equacio lineal en les variables x1, . . . , xn es una expressio deltipus
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,
on a1, . . . , an, b pertanyen al cos d’escalars K
Una solucio es (s1, . . . , sn) ∈ Kn tal que
a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn = b
(Obs. Una equacio lineal pot tenir entre zero i infinites solucions)
21
Sistemes d’equacions lineals
Un sistema d’equacions lineals es un conjunt d’equacions lineals(totes amb les mateixes variables x1, . . . , xn)
La forma generica d’un sistema d’equacions lineals seria doncs:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
......
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
Una solucio del sistema es una n-upla (s1, . . . , sn) ∈ Kn que essolucio de totes les equacions del sistema
22
Solucions d’un sistema
Direm que un sistema es
I incompatible si no te cap solucio
I compatible determinat si te una unica solucio
I compatible indeterminat si te mes d’una solucio
La solucio general d’un sistema es el conjunt de totes les sevessolucions
Dos sistemes son equivalents si tenen la mateixa solucio general
23
![Page 8: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/8.jpg)
Sistemes equivalents
Dos sistemes amb les mateixes equacions pero ordenades demanera diferent son equivalents
I si en un sistema
I multipliquem una equacio per un escalar (no nul), o be
I a una equacio li sumem un multiple d’una altra
el sistema resultant es equivalent al primer
24
Matriu associada a un sistemaDonat el sistema
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
......
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
la seva matriu associada i les matrius de variables i de termesindependents son
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
x =
x1x2...xn
b =
b1b2...bm
Podem escriure el sistema com un producte de matrius:
Ax = b
25
Matriu ampliada
La matriu ampliada es la matriu (A|b), es a dir,
(A|b) =
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2
......
. . ....
...am1 am2 · · · amn bm
Obs. Si es realitzen transformacions elementals a la matriuampliada d’un sistema, el sistema resultant es equivalent al primer
Per tant, tot sistema d’equacions lineals es equivalent a un en quela matriu ampliada es escalonada
26
Sistemes escalonatsUn sistema escalonat generic seria
x1 + c12x2 + c13x3 + · · ·+ c1rxr + · · ·+ c1nxn = d1x2 + c23x3 + · · ·+ c2rxr + · · ·+ c2nxn = d2
......
xr + · · ·+ crnxn = dr
(si cal reordenem les variables)
Les variables x1, . . . , xr les anomenarem principals i la resta lesanomenarem lliures
Podem resoldre el sistema aıllant “cap amunt”
La variable principal xr la podem aıllar en termes de les variableslliures:
xr = dr − cr ,r+1xr+1 − · · · − crnxn
Ara podem aıllar xr−1 en termes de xr i de les variables lliures, etc27
![Page 9: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/9.jpg)
Solucio general d’un sistema escalonat
En un sistema escalonat podem expressar totes les variablesprincipals en termes de les lliures (i de constants escalars):
x1 = f1 + e1,r+1xr+1 + · · ·+ e1,nxn
x2 = f2 + e2,r+1xr+1 + · · ·+ e2,nxn...
...
xr = fr + er ,r+1xr+1 + · · ·+ er ,nxn
Aquesta es la solucio general del sistema
Obs. Per a cada assignacio de valors que donem a les variableslliures xr+1, . . . , xn obtindrem una solucio particular del sistema
Diem que el sistema te n − r graus de llibertat
28
Forma parametrica de la solucio generalSi la solucio general d’un sistema es
x1 = f1 + e1,r+1xr+1 + · · ·+ e1,nxn
x2 = f2 + e2,r+1xr+1 + · · ·+ e2,nxn...
...
xr = fr + er ,r+1xr+1 + · · ·+ er ,nxn
anomenarem forma parametrica de la solucio a l’expressio
x1x2...xrxr+1
...xn
=
f1f2...fr0...0
+ xr+1
e1,r+1
e2,r+1...
er ,r+1
1...0
+ · · ·+ xn
e1,ne2,n
...er ,n
0...1
29
Discussio de sistemes: el teorema de Rouche-Frobenius
TeoremaConsiderem un sistema d’equacions lineals que te matriu associadaA ∈Mm×n(K) i matriu ampliada (A|b)
Sigui r el rang d’A i sigui r ′ el rang de (A|b)
Aleshores,
I si r < r ′, el sistema es incompatible (SI)
I si r = r ′ = n, el sistema es compatible determinat (SCD)
I si r = r ′ < n, el sistema es compatible indeterminat (SCI)amb n − r graus de llibertat
Anomenarem rang d’un sistema lineal compatible al rang de lamatriu associada
30
Sistemes homogenis
Un sistema d’equacions lineals es homogeni si tots els termesindependents son iguals a 0
Obs. Un sistema homogeni sempre es compatible (ja que tenim lasolucio trivial x1 = · · · = xn = 0)
Corol.lariSigui A la matriu associada a un sistema homogeni en n variables;sigui r el rang d’A. Aleshores
I si r = n, el sistema es compatible determinat i l’unica solucioes la trivial
I si r < n, el sistema es compatible indeterminat i te algunasolucio diferent de la trivial
31
![Page 10: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/10.jpg)
Resolucio de sistemes: eliminacio gaussiana
Per trobar la solucio general d’un sistema d’equacions linealsqualsevol fem el seguent:
1. Cerquem la matriu ampliada (A|b)
2. Cerquem la matriu escalonada M equivalent a (A|b)
3. Apliquem el teorema de Rouche-Frobenius per determinar si elsistema es compatible
4. Cas que el sistema sigui compatible, trobem la solucio generala partir del sistema equivalent amb matriu ampliada M
32
![Page 11: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/11.jpg)
5. Matrius, sistemes i determinants5.3 Determinants
33
Definicio de determinant
Sigui A = (aij) ∈Mn(K). Un menor d’A es qualsevol matriuformada a partir d’A eliminant un cert nombre de files i el mateixnombre de columnes
El menor associat a l’element aij es la matriu Aij obtinguda eneliminar la fila i i la columna j de la matriu A.El menor Aij es una matriu quadrada de tipus (n − 1)× (n − 1)
El determinant d’A es defineix recursivament com
- si n = 1, aleshores det(A) = a11
- si n ≥ 2, aleshores
det(A) = a11 det(A11)− a12 det(A12) + · · ·+(−1)1+ja1j det(A1j) + · · ·+ (−1)n+1a1n det(A1n)
34
TeoremaSiguin A ∈Mn(K) i i , j ∈ [n]. Aleshores
det(A) =n∑
k=1
aik(−1)i+k det(Aik)
(Calcul del determinant desenvolupant per la fila i)
det(A) =n∑
k=1
akj(−1)k+j det(Akj)
(Calcul del determinant desenvolupant per la columna j)
35
Calcul de determinants
(Enlloc de det(A), a vegades escriurem |A|)
I Matrius 2× 2 i 3× 3:∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = a det((d))− b det((c)) = ad − bc
∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣= a
∣∣∣∣e fh i
∣∣∣∣− b
∣∣∣∣d fg i
∣∣∣∣+ c
∣∣∣∣d eg h
∣∣∣∣
= a(ei − fh)− b(di − fg) + c(dh − eg)
= aei + cdh + bfg − ceg − afh − bdi
I Si A te una fila o una columna nul.la llavors det(A) = 0Si A = Diag(a1, a2, . . . , an), llavors det(A) = a1a2 . . . an
36
![Page 12: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/12.jpg)
Determinants i transformacions elementals
Siguin A,B ∈Mn(K). Si B es la matriu que s’obte d’A
I intercanviant dues files, aleshores det(B) = − det(A)(transformacio tipus (I))
I multiplicant la fila i-esima d’A per λ, aleshoresdet(B) = λ det(A) (transformacio tipus (II))
I sumant-li a una fila un multiple d’una altra, aleshoresdet(B) = det(A) (transformacio tipus (III))
Corol.lariSi M s’obte a partir d’A fent transformacions elementals,
det(M) = K det(A), on K 6= 0
Per tant, si A i M son matrius equivalents aleshores,
det(A) 6= 0 ⇔ det(M) 6= 0
37
Caracteritzacio de matrius invertibles
TeoremaUna matriu A ∈Mn(K) es invertible si i nomes si det(A) 6= 0
Corol.lariUna matriu A ∈Mn(K) te rang n si i nomes si det(A) 6= 0
TeoremaSigui A ∈Mm×n(K). El rang d’A es r si i nomes si el mes granmenor d’A amb determinant no nul es r × r
38
Determinants i operacions amb matrius
Si A,B ∈Mn(K), aleshores
I det(AB) = det(A) det(B)
I det(At) = det(A)
I si A es invertible, det(A−1) = det(A)−1
Pero en general, det(A + B) 6= det(A) + det(B)
39
![Page 13: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/13.jpg)
6. Espais vectorials
40
Rn i les seves operacions
Rn = {
x1x2...xn
: xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}
Siguin x =
x1x2...xn
i y =
y1y2...yn
elements de Rn i λ ∈ R
Suma a Rn:
x + y =
x1 + y1x2 + y2
...xn + yn
Producte per escalars a Rn:
λx =
λx1λx2
...λxn
(Es a dir, les dues operacions son “component a component”)41
PropietatsLa suma a Rn satisfa les propietats seguents:
s1) (associativa) x + (y + z) = (x + y) + z
s2) (commutativa) x + y = y + x
s3) (element neutre) x + 0 = x on 0 = (0, 0, . . . , 0)
s4) (element oposats) per tot x existeix x ′ tal que x + x ′ = 0
El producte per escalars a Rn satisfa:
p1) λ(µx) = (λµ)x
p2) λ(x + y) = λx + λy
p3) (λ+ µ)x = λx + µx
p4) 1x = x
(Totes les propietats son certes perque ho son a R i les operacionsson component a component)
42
6.2 Espais vectorialsUn espai vectorial sobre un cos K consisteix en
1. un conjunt no buit E
2. una operacio interna E × E → E (suma +) i
3. una aplicacio K× E → E (producte per escalars ·)de manera que per a tot u, v ,w ∈ E i tot λ, µ ∈ K es satisfa:
e1) (associativa) u + (v + w) = (u + v) + w
e2) (commutativa) u + v = v + u
e3) (element neutre) existeix un unic element 0E ∈ E tal queu + 0E = u
e4) (element oposat) per cada u ∈ E existeix un unic u′ ∈ E talque u + u′ = 0E
e5) λ(µu) = (λµ)u
e6) λ(u + v) = λu + λv
e7) (λ+ µ)u = λu + µu
e8) 1u = u, on 1 es el neutre del producte de K43
![Page 14: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/14.jpg)
Alguns exemples d’espais vectorials
I Rn
I Zn2: cadenes de n bits
La suma es bit a bit: p. ex.,
(0, 1, 1, 0) + (1, 1, 1, 0) = (1, 0, 0, 0)
Producte per escalars: 0u = 0Zn2
i 1u = u
I Mm×n(K) (les matrius m × n amb entrades en el cos K)
I Les matrius de Mn(R) que son triangulars superiors
I P(R): el conjunt dels polinomis amb coeficients a RI Pd(R): els polinomis de grau com a molt d i coeficients a RI L’espai vectorial trivial format per un unic element: {0E}I Les solucions d’un sistema d’equacions lineals homogeni
44
PropietatsSi v pertany a l’espai vectorial E i λ es un escalar, es satisfa:
I 0v = 0E
I λ 0E = 0E
I Si λ v = 0E , aleshores λ = 0 o v = 0E
I L’element oposat de v es (−1)v ; normalment escriurem −v
45
6.3 Subespais vectorials i combinacions lineals
Un subconjunt S ⊆ E es un subespai vectorial (SEV) si compleix
(s1) S 6= ∅(s2) per tot u, v ∈ S , u + v ∈ S
(s3) per tot u ∈ S i tot λ ∈ K, λu ∈ S
El vector 0E pertany a tots els subespais vectorials
Alguns exemples de subespais espais vectorials
I Rd [x ] es un subespai vectorial de l’espai de polinomis R[x ]
I Les matrius triangulars superiors de Mn(R) formen un SEVde Mn(R)
I Les solucions d’un sistema d’equacions lineals homogeni ambn variables i coeficients a K es un SEV de Kn
46
Interseccio de subespais
Lema Si S i S ′ son subespais vectorials d’E , aleshores S ∩ S ′
tambe ho es
La unio de subespais vectorials no es normalment un subespaivectorial, com es el cas per exemple de S = {(x , x) : x ∈ R} iS ′ = {(x ,−x) : x ∈ R} ((1, 1) + (2,−2) 6∈ S ∪ S ′)
Combinacio lineal
Donats u1, . . . , uk vectors d’E , una combinacio lineal deu1, . . . , uk es una expressio del tipus
λ1u1 + · · ·+ λkuk ,
on λ1, . . . , λk son escalars
El vector v es combinacio lineal de u1, . . . , uk si existeixenescalars α1, . . . , αk tals que
v = α1u1 + · · ·+ αkuk
47
![Page 15: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/15.jpg)
Subespai generat
Siguin u1, . . . , uk vectors d’E . El subespai generat per u1, . . . , ukes el conjunt
〈u1, . . . , uk〉 = {λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λkuk : λ1, . . . , λk ∈ K},
es a dir, el conjunt de totes les combinacions lineals de u1, . . . , uk
ProposicioEl subespai generat 〈u1, . . . , uk〉 es, com el seu nom indica, unsubespai vectorial. A mes, es el subespai mes petit que conteu1, . . . , uk
Si un espai S el podem escriure com S = 〈u1, . . . , u`〉, direm que{u1, . . . , u`} es un conjunt de generadors de S . El conjunt degeneradors d’un espai no es unic
Observem que v es combinacio lineal de u1, . . . , uk si i nomes siv ∈ 〈u1, . . . , uk〉
48
Exemples de subespais generats
I Rn = {(x1, . . . , xn) : xi ∈ R}= 〈(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)〉
I L’espai de les matrius Mm×n(K) esta generat per les matriusMij que tenen totes les entrades iguals a 0, excepte la de laposicio i , j , que es igual a 1, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ mPer exemple, M2(R) =< M11,M12,M21,M22 >, on
M11 =
(1 00 0
),M12 =
(0 10 0
),M21 =
(0 01 0
),M22 =
(0 00 1
)
49
I Si volguessim generar les matrius triangulars superiors,agafarıem de les matrius Mij anteriors nomes les que teneni ≤ j
I Subespai donant els vectors en funcio de parametres
{a + (b − a)x + (c − b)x2 + (a− c)x3 : a, b, c ∈ R}= {a(1− x + x3) + b(x − x2) + c(x2 − x3) : a, b, c ∈ R}= 〈1− x + x3, x − x2, x2 − x3〉
50
6.4 Independencia linealSiguin u1, . . . , uk ∈ E . L’equacio
λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λkuk = 0E
sempre te la solucio λ1 = · · · = λk = 0.Si aquesta es l’unica solucio direm que els vectors u1, . . . , uk sonlinealment independents (LI)
Si hi ha alguna solucio amb un λi 6= 0, direm que els vectors sonlinealment dependents (LD)
(Tambe direm que el conjunt {u1, . . . , uk} es LI o LD, resp.)
Exemples:
I El vector 0E es linealment dependent
I Donat un vector u 6= 0E , el vector u es linealment independent
I Si u es un vector qualsevol i λ es un escalar, {u, λu} es LD51
![Page 16: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/16.jpg)
Per determinar si un conjunt de vectors u1, u2, . . . , uk de Rn sonlinealment independents seguim els passos seguents:
(1) formem una matriu A amb els vectors donats, posant-los percolumnes
(2) calculem el rang r d’A
(3) I si r = k , aleshores els k vectors son LII si r < k , aleshores son LD; si hem calculat el rang escalonant la
matriu A, aleshores els vectors que corresponen a les columneson hi ha els uns dominants son un subconjunt LI el mes granpossible; si hem calculat el rang per menors, els vectors quecorresponent a les columnes del menor d’A mes gran ambdeterminant no nul son un subconjunt LI el mes gran possible
52
En general, per determinar si un conjunt de vectors u1, u2, . . . , ukd’un K-espai vectorial E son linealment independents seguim elspassos seguents:
(1) a partir de l’equacio vectorial
λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λkuk = 0E
obtenim un sistema homogeni amb incognites λ1, λ2, . . . , λk(2) discutim el sistema, si es
I compatible determinat els vectors u1, u2, . . . , uk son LII compatible indeterminat els vectors u1, u2, . . . , uk son LD
53
Propietats
Sigui S = {u1, . . . , uk} un conjunt de vectors d’un K-espaivectorial E
I Si 0E es a S , llavors u1, . . . , uk son LD
I Si u1, . . . , uk son LI, llavors 0E no es a S
I Si u1, . . . , uk son LI, tot subconjunt de S es LI
I Si u1, . . . , uk son LD, tot conjunt que conte S es LD
TeoremaSi u1, . . . , uk son LD i u1 es combinacio lineal dels altres vectors deS , aleshores
〈u1, u2, . . . , uk〉 = 〈u2, . . . , uk〉
54
Caracteritzacions
TeoremaUn conjunt de vectors S es LD si, i nomes si, hi ha un vector v a Sque es combinacio lineal de la resta de vectors de S
Corol.lariSigui v ∈ E . Si u1, . . . , uk son LI, aleshoresv , u1, . . . , uk son LI si, i nomes si, v 6∈ 〈u1, . . . , uk〉
55
![Page 17: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/17.jpg)
6.5 Bases i dimensio
Sigui E un K-espai vectorial. Un conjunt de vectorsB = {b1, b2, . . . , bn} es una base d’E si
(b1) B es linealment independent
(b2) E = 〈b1, b2, . . . , bn〉, es a dir, b1, b2, . . . , bn generen E
La base canonica
I de Kn es {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}I de Mm×n(K) es la formada per les mn matrius Mij que tenen
totes les entrades nul.les excepte la i , j , que es igual a 1
I de Kd [x ] es {1, x , x2, . . . , xd}(tambe a {xd , xd−1, . . . , 1} li direm base canonica, caldraespecificar quina usem)
56
Sigui B = {b1, . . . , bn} una base d’E
ProposicioTot vector d’E s’escriu de manera unica com a combinacio linealdels vectors de B
Sigui v ∈ E . Si v = α1b1 + · · ·+ αnbn, diem que
vB = (α1, . . . , αn)
es el vector de coordenades de v en la base B
ProposicioSigui {u1, . . . , uk} un conjunt de vectors d’E que son LI. Aleshoresk ≤ n
Corol.lariTota base d’E te n elements
57
Dimensio
Al cardinal de les bases d’un espai vectorial E (o d’un SEV)l’anomenem la dimensio de l’espai, denotada dim(E)
I Les dimensions dels espais amb els que treballemhabitualment son:dim(Kn) = n, dim(Mm×n(K)) = nm, i dim(Pd(K)) = d + 1
I La dimensio del subespai {0E} es 0
I La dimensio del subespai 〈u1, . . . , uk〉 donat per generadors esel nombre maxim de vectors LI entre {u1, . . . , uk} (que esigual al rang de la matriu que te per columnes les coordenadesde u1, . . . , uk)
I La dimensio d’un subespai donat com a solucio d’un sistemad’equacions homogeni es el nombre de graus de llibertat delsistema
58
Suposem que la dimensio d’E es n i sigui W = {w1, . . . ,wn} unsubconjunt d’E
I si W es un conjunt LI, aleshores W es una base d’E
I si W genera E , aleshores W es una base d’E
Si S es un subespai d’E aleshores
I dim(S) ≤ dim(E )
I si dim(S) = dim(E ), S = E
59
![Page 18: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/18.jpg)
Canvi de base
Siguin B = {b1, · · · , bn} i B ′ = {b′1, · · · , b
′n} dues bases d’un
K-espai vectorial E . Sigui u un vector d’EVeiem com es relacionen els vectors de coordenades uB i uB′
Anomenem matriu del canvi de la base B a la base B′ a lamatriu que te per columnes els vectors de coordenades(b1)B′ , . . . , (bn)B′ . La denotem per PB
B′
PBB′ =
......
...(b1)B′ (b2)B′ . . . (bn)B′
......
...
Aleshores
I uB′ = PBB′uB , expressant els vectors de coordenades en
columna
I PB′B =
(PBB′)−1
60
![Page 19: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/19.jpg)
7. Aplicacions Lineals
61
7.1 Definicions, exemples i propietats
Siguin E i F dos K-espais vectorials. Una aplicacio f : E → F eslineal si satisfa:
(a1) per tot u, v ∈ E , f (u + v) = f (u) + f (v)
(a2) per tot u ∈ E i tot λ ∈ K, f (λu) = λf (u)
Si E = F , direm que f es un endomorfisme
Exemples
I Aplicacio trivial. f : E → F on f (u) = 0F , u ∈ E , es lineal
I Aplicacio identitat. IE : E → E on IE (u) = u, u ∈ E , es lineal
I L’aplicacio seguent no es lineal
f :M2×2(R)→ R2[x ], f
((a bc d
))= x2−(a+d)x+(2c−b)
I L’aplicacio f : R2 → R2, f (x , y) = (x2y2, x + y) no es lineal
62
PropietatsSigui f : E → F una aplicacio lineal. Aleshores
I f (0E ) = 0F
I f (−u) = −f (u), per a tot u ∈ E
I si S es un subespai d’E , f (S) es un subespai d’F
I si S ′ es un subespai d’F , f −1(S ′) es un subespai d’E
ProposicioSigui B = {b1, . . . , bn} una base d’E . Aleshores f estaunıvocament determinada per f (b1), . . . , f (bn)
Es a dir, a partir de la imatge d’una base podem obtenir la imatgede qualsevol vector d’E :si u = α1b1 + · · ·+αnbn, aleshores f (u) = α1f (b1) + · · ·+αnf (bn)
Corol.lariSi S = 〈v1, . . . , vk〉 es un subespai d’E , aleshores
f (S) = 〈f (v1), . . . , f (vk)〉63
Siguin B = {b1, . . . , bn} una base d’E , W una base de F i m ladimensio de F
La matriu associada a f en les bases B i W es la matriu que teper columnes les imatges dels vectors de la base B expressades encoordenades en la base W . La denotem per MB
W(f)
MBW (f ) =
......
...f (b1)W f (b2)W . . . f (bn)W
......
...
∈Mm×n(K)
Per trobar el vector de coordenades de la imatge d’un vector u ∈ En’hi ha prou en fer el seguent producte matricial:
f (u)W = MBW (f )uB ,
posant els vectors de coordenades en columna
64
![Page 20: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/20.jpg)
7.2 Nucli i imatge
Sigui f : E → F una aplicacio lineal
El nucli d’f es
Ker(f ) = {u ∈ E : f (u) = 0F}
La imatge d’f es
Im(f ) = {v ∈ F : v = f (u) per algun u ∈ E} = {f (u) : u ∈ E}
ProposicioKer(f ) i Im(f ) son subespais vectorials d’E i F , respectivament
65
Calcul efectiu del nucli i de la imatge
Siguin B = {b1, . . . , bn} i W = {w1, . . . ,wm} bases d’E i F , resp.,i sigui M = MB
W (f ) la matriu associada a f en aquestes bases
I Nucli: treballant amb coordenades, els vectors del nucli son lessolucions del sistema homogeni de m equacions i n incognites
M
x1...xn
=
0...0
La dimensio del nucli es n − rang(M)
I Imatge: Im(f ) = 〈f (b1), . . . , f (bn)〉La dimensio de la imatge es el rang de MConsiderant una matriu escalonada equivalent a M, lescolumnes on hi ha els pivots corresponen a les columnes de Mque son vectors LI, i per tant formen una base de la imatge
66
Sigui f : E → f una aplicacio lineal i M una matriu associada a f
Teoremadim(E ) = dim(Ker(f )) + dim(Im(f ))
Les aplicacions lineals bijectives s’anomenen isomorfismes
Caracteritzacio del tipus d’aplicacio
I f es injectiva ⇔ Ker(f ) = {0E} ⇔ rang(M) = dim(E )
I f es exhaustiva⇔ dim(Im(f )) = dim(F )⇔ rang(M) = dim(F )
I f es un isomorfisme ⇔ rang(M) = dim(E ) = dim(F )
I Si E i F tenen la mateixa dimensio, llavorsf es un isomorfisme ⇔ f es injectiva ⇔ f es exhaustiva
67
7.3 Composicio d’aplicacions lineals
Proposicio
Si f : E → F i g : F → G son aplicacions lineals, l’aplicaciocomposicio g ◦ f : E → G tambe es lineal
Proposicio
Si f : E → F es un isomorfisme, f −1 : F → E tambe ho es
Si les bases d’E , F i G son B,W i V respectivament, tenim:
MBV (g ◦ f ) = MW
V (g)MBW (f )
MWB (f −1) = (MB
W (f ))−1
68
![Page 21: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/21.jpg)
7.4 Canvi de base
Veiem com es relacionen dues matrius associades a una mateixaaplicacio lineal fixant bases diferents a l’espai de sortida i/o al’espai d’arribada.
Siguin f : E → F una aplicacio lineal, B i B ′ bases d’E , i W i W ′
bases d’F
EBf−−−−→
MBW (f )
FW
IE
xPB′B
PWW ′
yIF
EB′f−−−−−→
MB′W ′ (f )
FW ′
f = IF ◦ f ◦ IEMB′
W ′(f ) = PWW ′ MB
W (f ) PB′B
69
![Page 22: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/22.jpg)
8. Diagonalitzacio
70
El problema de la diagonalitzacio
Sigui f : E → E un endomorfisme. Hi ha alguna base B d’E enque la matriu MB(f ) sigui senzilla? Mes concretament, diagonal?
DefUn endomorfisme f : E → E es diagonalitzable si existeix algunabase B d’E tal que MB(f ) sigui diagonal.
Obs. Suposem que la matriu MB(f ) no es diagonal, pero sabemque l’endomorfisme f diagonalitza en una altra base B ′. Aleshoresla matriu
(PB′B )−1MB(f )PB′
B
es diagonal.Per tant, ser diagonalitzable es equivalent a que existeixi unamatriu P invertible tal que P−1MB(f )P sigui diagonal.
71
Valors i vectors propis
DefL’escalar λ es un valor propi de l’endomorfisme f si existeix algunvector v 6= 0E tal que f (v) = λv .
Tots els vectors v 6= 0E que compleixen f (v) = λv s’anomenenvectors propis de valor propi λ.
TeoremaL’endomorfisme f : E → E diagonalitza si i nomes si hi ha algunabase d’E formada per vectors propis.
72
Calcul dels valors propisSigui M la matriu associada a f : E → E en una base B
DefEl polinomi caracterıstic de l’endomorfisme f es
pf (x) = det(M − xIn)
TeoremaEls valors propis d’f son les arrels del polinomi caracterıstic
La multiplicitat algebraica d’un valor propi λ es la multiplicitatde λ com a arrel de pf (x) i es denota mλ
L’equacio pf (x) = 0 s’anomena equacio caracterıstica
TeoremaEl polinomi caracterıstic no depen de la base en la que calculem lamatriu associada M
73
![Page 23: M1 - FIB Continguts: 5.Matrius, sistemes i determinants 6 ... · 5. Matrius, sistemes i determinants 5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades 1 Repas de l'algeb ra de](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062605/5fdb2bcf6e26ab7fe66d8fc2/html5/thumbnails/23.jpg)
Espais de vectors propis
Sigui ara λ un valor propi de l’endomorfisme f : E → EL’espai propi del valor propi λ es el conjunt
Eλ = {u ∈ E : f (u)− λu = 0E}
Propietats
I Eλ es un subespai vectorial d’E
I 1 ≤ dim(Eλ) ≤ mλ
La dimensio d’Eλ s’anomena multiplicitat geometrica de λ
74
Caracteritzacio dels endomorfismes diagonalitzables
Sigui f : E → E un endomorfisme d’un espai vectorial E dedimensio n.
TeoremaL’endomorfisme f es diagonalitzable si i nomes si te n valors propis(comptant multiplicitats) i per a cada valor propi les multiplicitatsalgebraica i geometrica coincideixen.
Corol.lariSi f te n valors propis diferents, aleshores es diagonalitzable.
75
Algorisme de diagonalitzacio
Per a decidir si l’endomorfisme f : E → E es diagonalitzable,podem seguir els passos seguents:
(1) Trobem la matriu associada a f en una base qualsevol icalculem el polinomi caracterıstic pf (x).
(2) Trobem els valors propis i les seves multiplicitats resolentpf (x) = 0.
(3) Si les multiplicitats dels valors propis sumen menys de dim(E ),l’endomorfisme no diagonalitza. Altrament anem a (4).
(4) Per a cada valor propi λ, trobem l’espai propi Eλ i la sevadimensio dim(Eλ).
(5) Si per a tot λ es compleix mλ = dim(Eλ), l’endomorfismediagonalitza. Altrament no diagonalitza.
Si l’endomorfisme diagonalitza, per trobar una base en quediagonalitzi nomes cal prendre la unio de les bases dels espais Eλ.
76