taller 6 - geometría vectorial
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7/23/2019 Taller 6 - Geometría Vectorial
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Geometrıa Vectorial y Analıtica
Taller 6: Operaciones con transformaciones lineales y conmatrices. Imagen de un conjunto bajo una transformacion
lineal.
1. Sea T la transformacion lineal del plano tal que T
2−1
=
−24
,
T
13
=
3−5
y sea S la transformacion reflexion con respecto a la
recta L con ecuacion x − 3y = 0 y P la transformacion proyeccionsobre L. Halle:
(a) T
x
y
y P
x
y
para todo
x
y
de R2.
(b) La imagen bajo T de cada uno de los siguientes conjuntos:i) La recta con ecuacion 3x − 2y = 5
ii) El segmento de recta con extremos P =
23
y Q =
01
.
iii) El paralelogramo determinado por los vectores
2−1
y
13
.
(c) m(S ), m (2T − S ) y ( 2T − S )x
y para todo
x
y de R2.
(d) m (S ◦ T ) y (S ◦ T )
x
y
para todo
x
y
de R2.
2. Sean A =
1 −11 2
, B =
0 11 −2
y C =
0 −11 0
:
(a) Calcule A2, AB, BA y BC, (para una matriz M, M 2 se entiendecomo M M.)
(b) Para cada numeral, defina una transformacion lineal T que satis-faga la condicion dada:
i) m (T ) = B ii) m (T ) = A2B iii) m (T ) = C 2
1
7/23/2019 Taller 6 - Geometría Vectorial
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3. Considere los puntos A = 1
3 , B =
3
1 y C =
4
4, y sea T la
transformacion cuya matriz es
2 −1−3 2
(a) Describa parametricamente el triangulo T con vertices A, B y C .
(b) Muestre que la imagen de T bajo la transformacion T es el triangu-lo con vertices T (A), T (B) y T (C ).
(c) Calcule las areas de los triangulos T y T (T ).
4. Sea T la transformacion lineal cuya matriz es
3 11 −2
y sea C el
cuadrilatero con vertices
00
,
01
,
10
y
22
. ¿Es la imagen de C
bajo T un cuadrilatero? Justifique la respuesta.
5. El cırculo D con centro en el origen y radio 1 es el conjunto de los
puntos
x
y
∈ R
2 tales que su distancia al origen es menor o igual que
1. Sea U =
11
.
(a) Halle la imagen de D bajo la proyeccion P U .
(b) Halle la imagen de D bajo la reflexion S U .
(c) Sea T la transformacion cuya matriz es
2 11 2
. ¿Es T (D) un
cırculo? Justifique la respuesta.
2
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