geometría vectorial - tobias alvarez y hector fabio arcila
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UNIDAD 1 SISTEMAS DE COODENADAS
1.1. Definición: Sistemas de coordenadas: Es un conjunto de ejes coordenados, con unas reglas que permiten ubicar un punto, en el plano, en espacio o en el espacio tiempo
En cinemática, un sistema de referencia es un conjunto de convenciones para poder medir la posición de un objeto físico en el tiempo y el espacio. En mecánica clásica frecuentemente se usa el término para referirse a un sistema de coordenadas ortogonales para el espacio euclídeo (dados dos sistemas de coordenadas de ese tipo siempre existe un giro y una traslación que relacionan las medidas de esos dos sistemas de coordenadas). El primer elemento es el punto de referencia. Consiste en un punto escogido al azar, perteneciente a un objeto físico, a partir del cual se toman todas las medidas. El segundo elemento son los ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas tienen como origen el punto de referencia, y sirven para determinar la dirección y el sentido del cuerpo en movimiento. Cuando el objeto se mueve en línea recta, sólo se necesita un eje. Cuando se mueve por un plano hacen falta dos ejes. Para movimientos en el espacio se utilizan tres ejes. Los ejes de coordenadas
más utilizados son los usuales en las matemáticas, llamados )(x,y,z , donde el eje x mide la
profundidad, positivo hacia el frente y negativo hacia atrás, el eje y positivo hacia la derecha y
negativo hacia la izquierda; y el eje z positivo hacia arriba y negativo hacia abajo. El tercer elemento es el origen en el tiempo, un instante a partir del cual se mide el tiempo. Este instante acostumbra a coincidir con un suceso concreto, por ejemplo el nacimiento de Cristo que se utiliza como origen en el calendario cristiano. En cinemática el origen temporal coincide habitualmente con el inicio del movimiento que se estudia. Estos tres elementos: punto de referencia, ejes de coordenadas y origen temporal, forman el sistema de referencia. Para poder utilizar un sistema de referencia, sin embargo, se necesitan unas unidades de medida que nos sirvan para medir. Las unidades son convencionales y se definen tomando como referencia elementos físicamente constantes; el metro que inicialmente se tomó como la longitud de una diezmillonésima parte de una cuadrante de la tierra, medido desde el polo norte hasta el ecuador. A un conjunto de unidades y sus relaciones se le llama sistema de unidades. En el Sistema Internacional de Unidades o S.I., se utiliza el metro como unidad del espacio y el segundo como unidad del tiempo.
1.1.1. Sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares
Definiciones: Punto: El punto no se define, se acepta, en forma intuitiva, que es la huella dejada en una hoja de papel por la punta de un lápiz. El punto es a dimensional. Línea: sucesión de puntos continuos y unidos entre sí. Una marca delgada hecha por lápiz. La línea es recta si no tiene curvas, no tiene grosor y se extiende en ambas direcciones sin tener un final (infinitamente) Recta orientada: Cuando tenemos una línea recta, podemos movernos a lo largo de ella en dos sentidos opuestos, dichos sentidos se distinguen asignando a cada uno de ellos un signo positivo o negativo. Una vez que el sentido positivo ha sido determinado, decimos que la línea está orientada y la llamamos eje. Eje de coordenadas: Es una recta orientada con una división de escala y una regla que indica cómo ubicar un punto en ella.
2
Ejes de coordenadas en el plano
En un plano P escojamos un par de rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical. La horizontal se llama el eje x o eje de las abscisas, y la vertical, el eje y o eje de las ordenadas
Tomamos un sistema de coordenadas, con las condiciones siguientes: el origen para ambos ejes,
será el punto ( )0,0 donde se cortan. El eje x está orientado de izquierda a derecha, el eje y de
abajo hacia arriba. La parte del eje x hacia la derecha serán las abscisas positivas, se llama eje
x positivo y la parte del eje y hacia arriba serán las ordenadas positivas, se llama eje y positivo
Coordenadas
Sea P(a, b) cualquier punto del plano. La recta vertical que pasa por P(a, b) , corta al eje x en
un solo punto; sea a la coordenada de este punto sobre el eje x . El número a se llama
coordenada x de P (o abscisa de P). La recta horizontal que pasa por P(a, b) corta al eje y en
un solo punto; sea b su coordenada sobre el eje y . El número b se llama la coordenada y de P
(u ordenada de P). De esta forma, todo punto P tiene un único par (a, b) de números reales
asociados con él. Recíprocamente, todo par (a, b) de números reales está asociado a un único
punto del plano. La figura indica las coordenadas de un punto.
Cuadrantes
Sea un plano π en el que hemos definido un sistema de coordenadas. El plano, exceptuados los ejes de coordenadas, se puede dividir en cuatro partes iguales, llamadas cuadrantes. Todos los puntos con ambas coordenadas positivas forman el primer cuadrante, o Cuadrante I, en la parte superior derecha. El Cuadrante II es el de los puntos con coordenada x negativa y coordenada y
positiva. El Cuadrante III es que tiene los puntos con ambas coordenadas negativas y el cuadrante IV es el que tiene la abscisa x positiva y la ordenada y negativa, ver figura 1-2
P(a b) b
a
IV
I II
III
P(x1, y1)
Q(x2, y2)
R (x3, y3)
S (x4, y4)
Figura 1- 1: Ubicación de un punto
en el plano coordenado
Figura 1- 2: Los cuadrantes en el plano
3
Los puntos del eje x tienen coordenadas de la forma ( )0,a . Los del eje y tienen ordenadas de la
forma ( )),0 b . Dado un sistema de coordenadas, es usual referirse al punto de coordenadas ( )ba,
como "el punto ( )ba, ". Por ejemplo, podemos decir que "el punto (3,1) está a tres unidades sobre
el eje x y a una unidad sobre eje y ".
Figura 1- 1: Plano cartesiano
Fórmula de la distancia Calcular la distancia entre dos puntos en el plano es muy sencillo. Se hace un dibujo como el de la
figura 1.6, la distancia horizontal entre los dos puntos ( )11, yxP y ( )22 , yxQ es ( )12 xx − , y la
distancia vertical es 12 yy − por el teorema de Pitágoras, la distancia entre los puntos es la
hipotenusa, se tiene que
1 2 3 4-1 -2 -3 -4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
)1,3(P•
x
y
4
La distancia entre los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) es:
( ) ( )2
12
2
12 yyxxAB −+−=
Fórmulas del punto medio
El punto ( )), yxM que está en el
centro del segmento que une los
puntos ( )111 , yxP y ( )222 , yxP tiene
coordenadas
2
2
21
21
yyy
xxx
+=
+=
Las coordenadas de ese punto medio son los promedios de las coordenadas de los puntos terminales.
Cambio de sistema de referencia en coordenadas cartesianas.
Supongamos que conocemos las coordenadas cartesianas de un punto, respecto a unos ejes determinados y queremos saber las coordenadas de ese punto respecto a otro sistema de coordenadas. Se pueden presentar tres casos: 1. Los nuevos ejes están desplazados respecto al antiguo.
Sean ( )yx, las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y.
P(x, y) =P’( x’,y’)
X
Y
X’
Y’
(x0, y0)
x0 x
x0 + x = x’
y
y0
y0 + y = y’
Figura 1.5
P(x2, y2)
Q(x1, y1)
Figura 1.6
12 yy −
12 xx −
5
Sean ( )00 , yx las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y respecto al nuevo
sistema de coordenadas X'-Y'.
Puede verse fácilmente en el dibujo que las nuevas coordenadas ( )',' yx son:
xxx += 0´
yyy += 0'
2. Los nuevos ejes están girados respecto al antiguo.
Sean ( )yx, las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y. Sea α el ángulo
que se giran los ejes.
)( θα += rseny
y
),( yxP
r r
)','(' yxP
x
α
θ
αcosrx =
αrseny =
)cos( θα += rx
6
αcosrx = , αrseny =
)cos(' θα += rx , )(' θα += rseny
θαθαθα senrsenrrx −=+= coscos)cos(' ,
θαθαθα coscos)(' rsensenrrseny +=+=
αα ysenxx −= cos'
αα cos' yxseny +=
3. Los nuevos ejes están girados y desplazados respecto al antiguo.
4.
Figura 1- 2
Sean ( )yx, las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y.
Sean ( )00 , yx las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y respecto al nuevo
sistema de coordenadas X'-Y'. Sea α el ángulo que se giran los ejes.
αα ysenxxx −+= cos' 0
αα cos' 0 yxsenyy ++=
r
),( oo yxP
),( yxP
)','( yxP
r
α θ
( ) ( )2
12
2
12
____
yyxxPQ −+−=
7
1.1.2 Coordenadas polares
El sistema más utilizado para localizar un punto suele ser el de las coordenadas cartesianas, pero hay otro muy utilizado también: el de coordenadas polares. En este método se utiliza la distancia desde el origen hasta el punto, medido sobre el segmento que los une, y el ángulo positivo medido en sentido anti horario, desde el eje polar hasta el lado terminal del ángulo. Este sistema se utiliza para localizar un punto en el plano. Figura 1.7.
Si ( )yx, son las coordenadas cartesianas de un
punto, las coordenadas polares de ese punto
serán θy r
Cambio de coordenadas polares a cartesianas
Si ( ) ,θr son las coordenadas polares de un
punto, las coordenadas cartesianas serán:
θ r x cos= , r senθy = .
Cambio de coordenadas cartesianas a polares
22yxr += y
=
x
yarctanθ
1.1.3 Coordenadas cartesianas en tres dimensiones
En tres dimensiones el punto se determina por medio de tres coordenadas una en el eje de las x ,
una en el eje de las y , otra en el eje de las z . El punto se denota como ( )zyxP ,, . En este caso
ya no se habla de cuadrante sino de octante.
Figura 1.7
( )θ,rP
θ
polar Eje
Eje de 2
π
Polo
y
x
z
P(x1, y1, z1)
(x1, y1, 0)
(0, y1, 0)
(x1, 0, 0)
(0,0,, z1)
(0, 0, 0)
Figura 1- 3
8
La distancia entre los puntos ����, ��, ��� y ��, �, �� es:
( ) ( ) 2
12
2
12
2
12 )( zzyyxxAB −+−+−=
Fórmulas del punto medio en tres dimensiones es
El punto ( )zyxM ,, que está en el centro del segmento que une los puntos ( )1111 ,, zyxP y
( )2222 ,, zyxP tiene coordenadas
2
2
2
12
21
21
zzz
yyy
xxx
+=
+=
+=
De la misma forma que en dos dimensiones, las coordenadas de ese punto medio son los promedios de las coordenadas de los puntos terminales.
1.1.4 Coordenadas cilíndricas
Este sistema se utiliza para localizar un punto en el espacio. Consiste la medida de la longitud del segmento del punto al origen y lo denotamos por r , el ángulo que forma con el eje horizontal que
denotamos como θ y la altura sobre el plano que llamamos z , luego el punto se denota como:
( )zrP ,, θ
Cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas
θcosrx =
θrseny =
zz =
9
Cambio de coordenadas de cartesianas a cilíndricas
22yxr +=
=
x
yarctanθ
zz =
1.1.5. Coordenadas Esféricas
Consiste en ubicar un punto en el espacio tomando la distancia del origen al punto ���, θ,ϕ� , como
r, θ el ángulo polar que hace la proyección ����� con el plano horizontal (XY), φ el ángulo que hace
����� con el eje z. En este caso el punto se denota como ���, θ,ϕ�. Se exige que � � 0 , 0 � � � 2�, 0 � � � � en radianes o también 0� � � � 360� , 0� � � � 180�
Cambio de coordenadas cartesianas a esféricas
222zyx ++=ρ
x
y=θtan
222cos
zyx
z
++=ϕ
Cambio de coordenadas esféricas a cartesianas
z
),,( zrP θ•
z
θ
x
y
θ
ϕ
),,( ϕθρP ρ
Figura 1- 4
Figura 1- 5
10
ϕρ
ϕθρ
ϕθρ
cos
cos
=
=
=
z
senseny
senx
con 0≥ρ , πθ 20 ≤≤ , πϕ ≤≤0
Ejemplo 1: Pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas el punto (1,-1,1)
Solución: 3111222222
=++=++= zyxρ
41
1arctanarctan
πθ −=
−=
=
x
y
oz74.54955.0
3
1arccosarccos ≈=
=
=
ρϕ
Ejemplo 2: Pasar de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas el punto (3, π/6, π/4) Solución:
4
63
2
2
2
33
46cos3cos =
=
==
ππϕθρ sensenox
( )4
23
2
2
2
13
463 =
=
==
ππϕθρ sensensenseny
2
23
4cos3cos =
==
πϕρz
Ejemplo 3: Sea un punto con coordenadas cartesianas (2, -3, 6). Hallar sus coordenadas esféricas y localizarlo
Solución: 49632222222
=++=++= zyxρ
o
x
y3.5698.0
2
3arctanarctan −=−=
−=
=θ
0315411.07
6arccosarccos ≈=
=
=
ρϕ
z
11
Problemas propuestos.
1. Pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas polares los siguientes puntos �3,4�, �4,3�, �6,8�, �9,12�.
2. Pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas los siguientes puntos: �5, 53.13��, �5, 37��, �10, 53��, �15, 53�.
3. Pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas los siguientes puntos �3,4,7�, �8,5,10�, �!9,5,14�, �6, !4,8�.
4. Pasar de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas los siguientes puntos �5, 53� , 7�, �9.4, 32� , 10�, �10.3, 160� , 14�, �7.2, 326�, 8�
5.
x
y
z
ϕ
θ
o
o
56
31
7
−=
=
=
θ
ϕ
ρ
( )6,3,2 −
Figura 1- 6
11
UNIDAD 2
VECTORES
2.1. Conceptos Básicos
Geometría: Las matemáticas, históricamente, comenzaron con la Geometría. Es razonable que fuese así: la Geometría se necesitaba para medir las tierras (de ahí viene su nombre), y en general para las obras (puentes, acueductos, edificios, etc.) que se realizaban.
La Geometría es la rama de las Matemáticas que ha estado sometida a más cambios a lo largo de la historia. Con los griegos alcanzó su plenitud, después cayó en el olvido como consecuencia de los éxitos del Álgebra y del Cálculo. En el siglo XIX recobró la importancia que tiene actualmente. El texto de Geometría más importante, es sin duda el escrito por Euclides, titulado “Elementos”. Es un tratado matemático y geométrico compuesto de trece libros.
Vectores libres
Definiciones:
Escalares: Es una cantidad que queda completamente determinada, asignándole un valor numérico y una unidad que lo identifique. Ejemplos: 20 sillas, 30 estudiantes, 2545 bestias, 40 Newton, 9.8 m/s
2.
Vector: Es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. Ejemplos: la velocidad, la aceleración, la fuerza.
Vectores geométricos: Es un segmento de recta orientado, de tal forma que la longitud del segmento representa la magnitud o modulo del vector y la flecha indica la dirección y sentido del vector
Representación gráfica y notación
El segmento orientado corresponde a un vector cuyo punto inicial es el punto A y punto final el punto P
Vector deslizante: Es aquel que se puede desplazar libremente sobre una línea recta conservando sus características y las del cuerpo sobre el cual actúa.
A
a
b c
d
Punto inicial
Punto final
Figura 2-1
P
12
Figura 2-2
Vector de posición: Es aquel que en un marco de referencia siempre parte del origen. Un marco de referencia es un sistema de coordenadas definido para un observador específico.
Vectores libres: son aquellos que se pueden mover en el plano o en el espacio conservando sus características, es decir su posición u origen no son determinantes.
Magnitud de un vector: Es la longitud del segmento de recta orientado que lo representa.
Dirección del vector:
a) En el plano: La dirección del vector es un ángulo cuya medida está entre 0 radianes y
2 radianes o entre , entre cero grados y 360 grados.
b) En el espacio: En coordenadas rectangulares se determina por tres ángulos , y definidos de la siguiente manera
es el ángulo formado por el vector con el eje positivo de las x
es el ángulo formado por el vector con el eje positivo de las y
es el ángulo formado por el vector con el eje positivo de las z
se denominan ángulos directores del vector
a
a
b
b
z
x
P(x, y, z)
(x, y, 0)
(0,y,0)
(x, 0, 0)
(0,0, z)
y
Figura 2-3
13
Las medidas de los ángulos , y está entre 0 y radianes es decir
0
0
0
Igualdad entre vectores: Sean ba
y dos vectores libres. Se dice que ba
sí y solo si tiene
la misma magnitud, ba
y la misma dirección.
Vector nulo: Es el vector que tiene magnitud cero y no tiene dirección. Se denota por 0
.
Geométricamente un punto representa el vector nulo.
Vector unitario. Es el vector que tiene magnitud uno y es a dimensional. | | Por a dimensional se entiende que no tiene unidades ya corresponde a un vector dividido por su
magnitud, es decir:
| | , luego las unidades del vector se cancelan con las unidades de la
magnitud del vector. Ejemplo: Sea el vector de velocidad
con un ángulo de θ = 30º
con la horizontal, un vector unitario en la dirección de es
las unidades
del
numerador se cancelas con los
del denominador.
Vector opuesto: Sea y vectores, se dice que es el opuesto de si y solo si | |=| | ,
y tienen igual dirección pero sentidos opuestos , decimos que
2.2. Operaciones con vectores
2.2.1 Suma de vectores
2.2.1.1 Regla del paralelogramo: Para sumar dos vectores construimos el ángulo cuyo vértice es el inicio de los dos vectores y completamos el paralelogramo dibujando los lados opuestos a estos dos vectores, el vector suma o vector resultante es la diagonal que va desde el vértice formado por los dos vectores al vértice opuesto, la dirección es hacia el vértice opuesto, ver figura 2-5.
Figura 2-4
a
b
c
d
b
a
Figura 2-5
14
2.2.1.2. Regla del triángulo: Es una forma abreviada de la regla del paralelogramo, consiste en dibujar un vector a continuación del otro, el vector resultante es el que va desde el inicio del primer vector hasta la flecha del segundo vector, ver figura 2-6. 2.2.1.3. Regla del polígono: Para sumar tres o más vectores se ubica un vector a continuación del otro similar a la regla del triángulo, el vector suma o vector resultante es aquel que va desde el inicio del primer vector hasta el final del último vector
2.2.2 Resta de vectores: Para restar vectores se dibuja el vector que está precedido del signo menos en dirección contraria y se realiza la suma usual, ejemplo: Sean los vectores:
Luego
Figura 2-6
Punto inicial
Punto final
Figura 2-7
a
b
Figura 2-8a
b
b
ba
a
Figura 2-8b
a
b
15
Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos sí y sólo si tienen la misma dirección, y sentido igual o contrario, es decir si el ángulo entre ellos es de , ver figura 2-9a y 2-9b Ejemplo:
2.2.3. Multiplicación de un escalar por un vector: Sea v
un vector y un escalar, entonces
v
es un vector tal que
Figura 2-9a: El ángulo entre estos dos vectores es 0
o
Figura 2-9b: El ángulo entre estos dos vectores es de 180
o
v
= v
si = 1
vv
Si 1
vv
Si 11
vv
Si 1,1
16
Interpretación gráfica: ba
3 luego 3
2.2.4. Combinación lineal: si 1v
, 2v
, son vectores, en el espacio y 1 , 2 , 3 son
escalares, entonces el vector
332211 VVV
Es una combinación lineal (CL.) de los vectores 1V
, 2V
, 3V
Ejemplo: Dados los vectores geométricos. , los escalares α, β, δ. Luego el vector
+δ ver figura
Figura 2-11
Solución: Como se puede observar en la figura: el vector a
está en la dirección positiva del eje
de las , el vector b
está en la dirección positiva del eje de las y el vector c
está en el eje
de las
x
y
z
a
b
e
d
c
a
b
Figura 2-10
17
Podemos demostrar que:
Obsérvese que
Pero
Luego Por la propiedad conmutativa de la suma de vectores se tiene que
2.2.5. Propiedades de la suma de vectores libres.
Sean a
, b
y c
vectores libres y un escalar:
Propiedad 1: Clausurativa. cba
, Si se suman dos vectores el resultado es otro vector.
Propiedad 2: Asociativa cbacba
si se suman más tres vectores, el resultado
es independiente de la forma en cómo se agrupan.
c
Figura 2-12
a
1
x
y
z
a
b
e
d
18
Propiedad 3: Elemento neutro. aaa
00 . Donde 0
es el vector nulo. Si a un vector se
le suma el vector nulo, el resultado es el mismo vector.
Propiedad 4: Elemento inverso. 0)(
aa . Donde a
es un vector con dirección contraria
y magnitud igual que a
.
Propiedad 5: Conmutativa. abba
El orden como se suman los vectores no altera el
resultado. 2.2.6. Componentes rectangulares de un vector en el plano De acuerdo con la suma de vectores
jvivv yxˆˆ
, son cantidades escalares, , son vectores unitarios en la dirección de los ejes x, y
respectivamente.
j
i
v
yv
xv x
y
Figura 2-13
19
Para el plano. Luego se tiene por el teorema de Pitágoras que: 22
yx vvv
y la dirección
del vector se determina como
x
y
v
varctan
En tres dimensiones el vector se representa como , la magnitud del vector
como | | √
, en tres dimensiones se tienen tres ángulos, llamados ángulos
directores que se calculan a partir de los cosenos directores:: Los cosenos directores
(
| |)
(
| |)
(
| |)
Ángulos directores
(
| |)
(
| |)
(
| |)
2.2.7. Suma analítica de vectores. Todo vector se puede escribir como combinación lineal de
los vectores : o en coordenadas cartesianas ( ) . Luego la
suma analítica de dos vectores se define como:
Sea y la suma
de donde
Combinación lineal. Ecuación 2-1
Vector coordenado: Ecuación 2.2
Ejemplo:
Sea y .
Problemas resueltos De Geometría Vectorial
20
1. Hallar cada uno de los vectores que forman el triángulo, por medio de sumas y restas de los vectores que lo forman
CBACAB
AB =
CB -
CA
AC =
AB +
BC
AC =
BC -
BA
BA =
BC +
CA
BA =
CA -
CB
BC =
BA +
AC
BC =
AC -
AB
CA=
CB +
BA
CA=
BA -
CB
2. Demuestre en hexágono regular ABCDEF se cumple Solución:
BDABAD Ecuación 1
Pero también
FDAFAD Ecuación 2
y también se tiene que
AEBD y
ACFD
Ahora sumando las ecuaciones 1 y 2 y reemplazando se tiene
AFAEACABAD2 Ecuación 3
Si le sumamos a ambos lados de la ecuación 3 el vector
AD tenemos
ADAFAEACABADAD2
Quedando finalmente
ADAFAEACABAD3 Lo que se queria demostrar
F E
C B
A D
A B
C
21
3. Demostrar que el polígono que resulta de unir los punto medios de los lados de un
cuadrilátero es un paralelogramo
Solución: Sean ABCD el cuadrilátero dado y P, Q, R y S los puntos medios de sus lados, entonces
,2
1baPQ
,2
1cbQR
,2
1dcRS
adSP
2
1
Ahora bien 0
dcba y por lo tanto
2
1
2
1
SRdcbaPQ
y
PSadcbQR
2
1
2
1
como los lados opuestos del polígono formado son iguales y paralelos, dicho polígono es un paralelogramo
4. Demostrar que si los vectores a
y b
no tienen la misma dirección, la igualdad vectorial
0
byax implica que 0 yx
Solución: Supongamos que 0x . Entonces, de 0
byax se deduce que byax
es
decir bx
ya
. Esto quiere decir que a
y b
tienen la misma dirección, lo cual es contrario
a la hipótesis. Por consiguiente 0x y de 0by
se desprende que 0y
5. Demostrar que si a
y b
son dos vectores cuyas direcciones se cortan, la igualdad vectorial
byaxbyax
2211 implica que 21 xx y 21 yy
Solución: byaxbyax
2211
02211
byaxbyax , o bien 02121
byyaxx
por lo tanto, según el problema anterior
0y 0 2121 yyxx luegoo yy , 2121 xx
6. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio Solución: Como
B A
C D
P Q
R S
a
b
c
d
P
B
A
C
D
a
a
b
b
22
A B
C
M N
,baBD
)( abBD
y ,
BDxBP
Entonces
)( abxBP
Como ,baAC
)( bayPBAPAB
Ahora bien ,
BPAPPBAPAB con lo que
bxyayxabxbaya
)()()()(
Como las direcciones de a
y de b
se cortan según problema anterior, 1 y x ,
y -x 0 es decir y x 2
1 por lo tanto P es punto
medio de las dos diagonales
7. Demostrar que
MN es un AB
2
1
Solución:
ABCBAC
ABNBMNAM
ABMNCBAC
2
1
2
1
ABMNCBAC
2
1
ABMNAB
2
1
ABABMN
2
1
ABMN2
1
Lugo
MN es paralelo a
AB
8. Demostrar que en el trapecio ABCD si P y Q son puntos medios de los lados no paralelos
entonces PQ
DC
AB
PQ
AB
DC
23
Solución: Trapecio ABCD (a) P punto medio de AD (b) Q punto medio de CB
(c) AP +
PQ +
QB =
AB Suma vectorial
(d) PQ =
AB - (
AP +
PQ )
(e) AP =
AD
2
1
(f) PQ =
CB
2
1
(g) PQ =
AB -
CBAD
2
1
(h) AD +
DC +
CB =
AB
(i) AD +
CB =
AB -
DC
(j) PQ =
AB -(
AB -
DC )
(k) PQ =(1/2)
AB +(1/2)
DC =
CBAD
2
1 Lo que se queria demostrar
(l) AB =
DC con un real
(m) PQ =
DCDC
2
1
(n) PQ =
DC1
2
1
(o) PQ =
DC con 1
2
1 un numero real
(p) PQ
DC
AB Lo que se queria demostrar
9. Sea ABCD un trapecio P punto medio de AC y Q punto medio DB demostrar que PQ
DC
AB
A B
D C
P Q
24
Demostración
(a) Hipotesis: ABCD es un trapecio, P es punto medio de
AC y Q es punto medio de
DB
Tesis PQ =
DCAB
2
1,
PQ
DC
AB
(b) AP +
PQ +
QB =
AB
(c) QB =
DB
2
1=
ADAB
2
1
(d) PQ =
AB -
AC
2
1-
AB
2
1+
AD
2
1
(e) PQ =
AB
2
1-
ADAC
2
1
(f) PQ =
AB
2
1-
DC
2
1 =
DCAB
2
1
(g) DC
AB
(h) DC =
AB es un numero real
(i) PQ =
ABAB
2
1
(j) PQ =
AB1
2
1
(k) PQ =
AB
2
1
(l) PQ
DC
AB
10) ABCD es un cuadrilátero. O es un punto de referencia P es el punto medio del segmento MN que une los puntos medios de las diagonales AC y BD. Demostrar que OP es (OA + OB +OC +OD)/4 Solución: OP = OB + DB/2 + MN/2 OP = OA + AC/2 + NM/2 OP = OD + DB/2 + MN/2 OP = OC + CA/2 + NM/2 Pero NM = -MN luego se tiene OP = OB + DB/2 + MN/2 OP = OA + AC/2 - NM/2 OP = OD + DB/2 + MN/2 OP= OC + CA/2 - NM/2 Sumando esta s cuatro ecuaciones se tiene OP = OB + DB/2 + MN/2
B
D
A
C
P
M
N
O
25
OP = OA + AC/2 - MN/2 OP = OD + DB/2 + MN/2 OP= OC + CA/2 - MN/2 _____________________ 4OP = OA+ OB + OC + OD y se tiene finalmente que OP = (OA+ OB + OC + OD)/4 Lo que se quería demostrar.
a
b
c
b
a
26
El vector se puede representar como la suma de + Teorema de la base: Si dos vectores en el plano no son paralelos entonces cualquier vector en el plano es una combinación lineal de estos dos vectores
A B
C
C
C A B
A
B
27
28
SUMA DE VECTORES
Figura L 1: Mesa de fuerzas Objetivos: Comprobar la suma de vectores por medio de algunos experimentos. Mostrar la relación que existe entre la resultante de varios vectores y el equilibrio de estos. Ilustrar y practicar soluciones gráficas para la suma de vectores. Resolver sumas analíticas de varios vectores. Teoría Como un ejemplo del proceso de sumar vectores, considerase el caso de algunas fuerzas con diferentes magnitudes y direcciones, las cuales actúan en el mismo punto. Se desea encontrar el efecto neto producido por algunas fuerzas, encontrando una fuerza única que sea equivalente en su efecto, al producido por algunas fuerzas aplicadas, este vector único es llamado vector resultante de los vectores aplicados. Este vector se puede hallar teóricamente a través de la suma vectorial.
Considerase los vectores Na 30
y Nb 20
que representan fuerzas, tomemos la escala
de N Cm 101 , asumamos que estos actúan en el mismo punto pero formando ángulos de
60º y 30º respectivamente, Utilizando el método del paralelogramo, dibujamos en papel los
vectores a
y b
, completamos el paralelogramo, como se muestra en la figura L 2. Tenemos
que le vector resultante es ba
:
29
Figura L 2: Suma de vectores
Material 1 mesa de fuerzas 4 poleas 30 cm cordel Un dinamómetro de 1000 gr. fuerza Procedimiento Proceso experimental
a
Figura 1 b
ba
o30
o60
30
A. Dos fuerzas aplicadas Coloque una polea a 20º en la mesa de fuerzas, con una masa total de 0.100 Kg. sobre el terminal de la cuerda. Tenga en cuenta la masa del soporte. Calcule la magnitud de la fuerza (En Newtons) producida por la masa. Trabaje con tres cifras en todos sus cálculos. Registre el valor de F1 en el cuadro de datos. Coloque una polea a 90º en la mesa de fuerzas y colóquele una masa total de 0.200 Kg. en el terminal de la cuerda, calcule la fuerza producida y regístrela como F2 en el cuadro de datos. Experimentalmente determine por ensayo y error la magnitud de la masa requerida y el ángulo en que se debe colocar para alcanzar el equilibrio. Este se logra cundo el anillo esta completamente centrado en la mesa de fuerzas. golpee suavemente la mesa para asegurarse, que el sistema esta efectivamente en equilibrio. Para la masa calculada experimentalmente calcule la fuerza producida y regístrela como la fuerza equilibrante E1 Del valor de la fuerza equilibrante E1, Determine experimentalmente la magnitud y dirección de la fuerza resultante y regístrela en la cuadro de datos como fuerza resultante R1. La fuerza resultante tiene la misma magnitud que la fuerza equilibrante pero su dirección es 180º menor. Tres fuerzas aplicadas Coloque una polea a 30º con una masa de 0.175 Kg. otra a 100º con una masa de 0.200 Kg. y otra a 150º con una masa de 0.100 Kg. Calcule la fuerza producida por estas tres masas y regístrelas como F3, F4, F5 en la cuadro de datos.
0 180
135
225 315
90
270
45
15
30
60
75 105
120
150
165
195
210
240
255 285
300
330
345
o20
31
Use el mismo procedimiento (pasos c, d, e del numeral anterior) determine experimentalmente la masa que hace que el sistema se ponga en equilibrio. Registre los valores de la fuerza equilibrante como E2 y la resultante como R2 en el cuadro de datos. Construcción gráfica Encuentre la resultante de dos fuerzas aplicadas por el método del paralelogramo. Usando regla y transportador, construya vectores cuya longitud y dirección representan a F1 y F2. Sea muy cuidadoso al colocar la dirección de cada vector. Mida la magnitud y dirección de la fuerza resultante. Y regístrela como R1 en el cuadro de cálculos. Para tres fuerzas aplicadas calcule la resultante usando el método del polígono Solución analítica: Usando cálculos trigonométricos, calcule las componentes de F1 y F2 y regístrelas el cuadro analítico. Sume las componentes algebraicas y determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante, registre estos valores en el cuadro de cálculos. Calcule también para tres fuerzas aplicadas. Calcule: el porcentaje de error de la magnitud de los valores experimentales de la fuerza resultante R comparada con la solución analítica. el porcentaje de error de la magnitud de la solución gráfica. el porcentaje de error para los ángulos en cada caso. Determine la fuerza equilibrante de estas tres fuerzas, registre su magnitud y dirección en la Cuadro 4 de datos como R Calculo de error Para calcular el porcentaje de error se procede así
100*%analíticoValor
analíticoValoralExperimentValorError
Porcentaje de error para dos fuerzas Magnitud experimental comparada con la analítica =__________________ % Magnitud Gráfica Comparada con la analítica = __________________ % Angulo Experimental comparado con el analítico = __________________ % Angulo gráfico comparado con el analítico = __________________ % Porcentaje de error para tres fuerzas Magnitud experimental comparada con la analítica = = __________________ % Magnitud Gráfica Comparada con la analítica = __________________ % Angulo Experimental comparado con el analítico = __________________ % Angulo gráfico comparado con el analítico = __________________ % Cuadro 1. Proceso experimental
Fuerza Masa (Kg.) Fuerza (N) (grados)
F1 0.100 20.0o
F2 0.200 90.0o
E1
R1
F3 0.175 30.0o
F4 0.200 100.0o
F5 0.100 150.0o
32
E2
R2
Cuadro 2 Solución Gráfica
Fuerza Masa (Kg.) Fuerza (Newton) Dirección
F1 0.100 20.0o
F2 0.200 90.0o
R1
F3 0.175 30.0o
F4 0.200 100.0o
F5 0.100 150
R2
Cuadro 3 Solución analítica
Fuerza Masa (Kg.) Fuerza (N) Dire. Vector
comp. x comp.y
F1
F2
R1
E1
F3
F4
F5
R2
E2
33
Problemas propuestos
1. Las coordenadas polares de un punto son mr 5 y o240 . ¿Cuáles son las
coordenadas cartesianas de este punto. 2. Una mosca aterriza en una pared de una habitación. La esquina inferior izquierda de la
pared se elige como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos
dimensiones. Si la mosca se encuentra en el punto de coordenadas (2,1)m , (a)
¿Cuál es la distancia respecto al origen de coordenadas? (b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?
3. Un pirata enterró un tesoro en una isla que tenía cinco árboles, ubicados en los puntos , , , y todos medidos en relación con un origen, como se muestra en la figura. La bitácora del barco indica comenzar en el árbol A y mover hacia el árbol B, pero solo cubrir la mitad de la distancia entre A y B. Luego moverse hacia el árbol C, cubrir un tercio de la distancia de la distancia entre su ubicación actual y C. A continuación debe moverse hacia el árbol D y cubrir un cuarto de la distancia, entre donde está y D. Por último moverse hacia el árbol E, detenerse y cavar, ¿Cuáles son las coordenadas donde está enterrado el tesoro? b) y si no sabe la forma en que el pirata marcó los árboles, que ocurriría con la respuesta si reordenara los árboles.
4. Dos puntos en el plano xy tienen las coordenadas cartesianas m5,3 y m4,4
determine (a) La distancia entre estos puntos. (b) sus coordenadas polares.
5. Si las coordenadas polares del punto yx, son ,r determinar las coordenadas
polares del punto (a) yx, ; (b) yx 2,2 y (c) yx 3,3 .
6. Cada uno de los vectores de desplazamiento A
, B
mostrados en la figura tiene una
magnitud de 3 m. Calcular gráficamente (a) BA
, (b) BA
, (c) AB
, (d)
70 10 20 30 40 50 60
-20
-30
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-20 -30 -40 -50 -60 -70
A
B
C
C
D
E
34
BA
2 . Definir todos los ángulos en el sentido contrario a las agujas del reloj a partir del eje x positivo.
7. Para el vector kji 423 Calcular: a) La magnitud del vector, b) los cosenos
directores, c) los ángulos directores.
8. Dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo estable mientras es bajado a su
posición definitiva. Sabiendo que la magnitud de la P
es 680 N determine, por
trigonometría. (a) por trigonometría el ángulo requerido si la resultante R
de las
dos fuerzas aplicadas en A es vertical. (b) La magnitud correspondiente de R
9. La tierra se mueve alrededor del sol en una circunferencia de radio mxR 111050.1
a una rapidez constante. a. Tomando como origen la posición de hoy de la tierra, dibuje un diagrama que
muestre el vector de posición 3 meses, 6 meses, 9 meses, 12 meses después.
A
35
b. Trace el vector de desplazamiento entre las posiciones del mes 0 y del mes 3, las posiciones del mes 3 y del mes 6, Calcule la magnitud del desplazamiento entre los meses o y 3, 0 y 6, 0 y9, 0 y 9, 3 y 6, 6 y 9.
10. Para ir de Medellín a Bogota un viajero hace el recorrido siguiente. Recorre 5 Km.
hacia el norte y llega al municipio de Bello, luego gira 30º al sur del este y recorre 160 Km. hasta llega al municipio de puerto triunfo, gira hacia el sur y recorre 120 Km. Hasta llegar al municipio de Honda y por ultimo gira al sur este y recorre 150 Km. Hasta llegar a Bogotá. Cuál es la magnitud y dirección del desplazamiento. Cuál es la distancia recorrida.
11. Si 3a
hallar, y s
a. a
4
b. a
5
c. as
12. Sea 0
a , si 1
as hallar as
13. Si ba
entonces ba
, explique.
14. Encuentre escalares ,a b y c diferentes de cero tales que
0
BAcBAbAa para todo.
15. Para el problema que seplantea marque la respuesta correcta dedeste el literal a hasta el lieral f.
Sobre un objeto actúan dos fuerzas, una de las fuerzas, F1 = 15000 Newton y actúa con
una dirección de 60º sobre la horizontal. a. La componente x de la fuerza F1 es:
1. 1470 N
2. 1400 N
3. 12990.38
4. 7500 N
5. Ninguno de los anteriores
b. La componente y de la fuerza F1 es
1. 16000 N
2. 17000 N
3. 75001 N
4. 12990.38 N
5. Ninguno de los anteriores
c. La magnitud de la fuerza F2 para que la resultante sea una fuerza de 4500 Newton y
paralela al eje del automovil es
1. 13332.29 N
2. 2271 N
3. 2795 N
4. 1500 N
5. Ninguno de los anteriores
d. La dirección con respecto al eje positivo de las x de la tensión en el segundo cable para
que la resultante sea una fuerza de 4500 Newton y paralela al eje del automovil es
1. 82.5 2. -353º 3. 277.40º 4. 257º 5. Ninguno de los anteriores
e. La componente x de la tensión en el segundo cable es:
1. 686 N
P
36
2. -3000 N
3. 1273 N
4. –360 N
5. Ninguno de los anteriores
f. La componente y de la tensión en el segundo cable es:
1. -2771 N
2. -735 N
3. -1273 N
4. –12990.381273 N
5. Ninguno de los anteriores
g. Si kjiV ˆ347ˆ430ˆ175
es un vector en el espacio (R3)
El coseno director con el eje x es:
1. 0.56575
2. 0.30
3. -12990.38
4. 0.523
5. Ninguno de los anteriores
h. El coseno director con el eje y es:
1. –0.5747
2. 0.636287
3. 0.7555
4. 0.74
5. Ninguno de los anteriores
i. El coseno director con el eje z es:
1. 0.53
2. 0.5747
3. 0.565
4. –0.287
5. Ninguno de los anteriores
j. El ángulo que forma el vector con el eje las x es
1. 40º
2. 55º
3. 42º
4. 107º
5. Ninguno de los anteriores
16. (valor 20 %) Dados los vectores 258a
y con un ángulo 60º , 120b
y con un ángulo
160º, 350c
y con un ángulo 270º. Calcular y tales que bac
En el triángulo ABC, M, N, R son los puntos medios de las diagonales de los lados AB y BC Y CA
respectivamente. Demostrar que
AN + BR + CM = 0
17.
N R
A B
C
M
37
18. (valor 20 %) Para los vectores que se dan en la página cuadriculada, realizar las siguientes
operaciones gráficamente
a. BA
b. BA
c. DCBA
d. DCBA
e. DCBA
A
B
C
D
37
UNIDAD 3
Producto Escalar
3.1. Definiciones.
3.1.1. Ángulo entre dos vectores: Sean a
y b
, vectores
diferentes de 0
. Definimos el ángulo entre dos vectores
como el menor ángulo de medida positiva que forma sus correspondientes vectores de posición. 3.1.2. Observación:
Si 0y ba
entonces el ángulo entre a
y b
es 0o.
sí 0y ba
entonces el ángulo entre a
y b
es 180o.
3.1.2. Producto escalar o interno: Dados dos vectores a
y b
, diferentes de 0
. Su producto
escalar o interno ba
se define como el producto de sus módulos (magnitudes) por el coseno
del ángulo que forman, es decir:
cosbaba
Ecuación 3.1
Ejemplo: Sea kajaiaaaaa zyxzyx
,,
zyx bbbb ,,
kbjbib zyx
ba
= kbjbibkajaia zyxzyx
Ecuación 3- 1
ba
=
kkbajkbaikba
kjbajjbajiba
kibajibaiiba
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
Las componentes rectangulares del vector son cantidades escalares, el producto de escalares
es escalar, luego zzyzxzzyyyxyzxyxxx bababababababababa ,,,,,,,, , son cantidades
escalares. Así que, los productos escalares a resolver, es el de los vectores unitarios, es decir
kkjkikkjjjjikijiii
,,,,,,,, , pero
090cos11
10cos11
o
o
jkikkjijkiji
kkjjii
θ
Figura 3.1
38
Así se tiene que, todos los productos cruzados son cero, permaneciendo sólo las componentes de igual dirección, quedando que el producto interno es la suma de los productos de las respectivas componentes de cada vector:
zzyyxx babababa
Ecuación 3.3
3.1. Propiedades del producto escalar.
ABBA
Propiedad conmutativa.
CABACBA
Propiedad distributiva del producto escalar.
BABABABA
)( es un escalar
1 kkjjii
Definición del producto escalar para vectores unitarios
0 jkikkjjikiji
Ortogonalidad del producto escalar
BA
Es un número real determinado de forma única.
2
AAA
Definición del producto escalar
BABA
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Demostración de la propiedad conmutativa:
Sean kajaiaA zyxˆ
, kbjbibB zyx
ˆ
vectores
BA
kbjbibkajaia zyxzyxˆˆ
Producto usual
BA
zzyyxx bababa Definición de producto punto
zzyyxx bababa =
zzyyxx ababab Propiedad conmutativa de escalares
zzyyxx ababab = AB
Definición de producto escalar
BA
AB
3.2. Vectores ortogonales:
Definición: Sean a
y b
dos vectores no nulos. Decimos que a
y b
son ortogonales (o
perpendiculares), y escribimos ba
si y sólo si 0ba
; es decir, dos vectores son
ortogonales si y sólo si su producto escalar es igual a cero:
0 baba
3.3. Proyección Escalar: Observemos la figura 3.1,
cosOAOP Ecuación 3.4
39
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por b
y reemplazamos OA por a
y tenemos que
cosbabOP
Pero cosba
es la definición de
producto escalar, luego
babOP
y se tiene que:
b
baOP
Que llamaremos
proyección escalar del vector a
sobre el
vector b
,
y escribimos así:
b
ba
b
acomp
Observaciones:
La proyección escalar del vector a
sobre el vector b
, que escribimos b
acomp
es
una cantidad escalar.
Si oo 900 , entonces la .
b
acomp
es positiva.
Si oo 18090 entonces la
b
acomp
es negativa.
Si o90 entonces la
b
acomp
= 0
3.4. Proyección Vectorial Si se multiplica ambos lados de la proyección escalar por el vector unitario en la dirección de
b
tenemos:
a
bproyb
b
acompb
b
acomp
a
bproy
b
b
b
acompb
b
acomp
,
Donde b
bb
ˆ =es el vector unitario en la dirección de b
La proyección vectorial del vector a
sobre el vector b
, denotada por a
bproy
es igual a la
proyección escalar del vector a
sobre el vector b
, multiplicada por el vector unitario, , es
decir:
b
O
a
P
A
Figura 3.2
40
b
b
ba
b
b
b
bab
b
acompOP
2
ˆ
3.5. Proyección vectorial ortogonal
El vector PA = a
-OP , pero el vector OP
es la proyección vectorial del vector a
sobre el vector b
, luego, se tiene:
PA = a
- b
b
ba
2
El vector PA será llamado proyección vectorial ortogonal.
Ejemplo: Sean los vectores kjia ˆ5ˆ4ˆ3
y el vector kjib ˆ4ˆ8ˆ10
Hallemos: a) La proyección escalar. b) La proyección vectorial. c) La proyección vectorial ortogonal.
Solución:
a) La proyección escalar del vector a
sobre el vector b
, denotada por b
acomp
b
ba
. Resolvamos el producto escalar entre el vector a
y el vector b
ba kjikji ˆ4ˆ8ˆ10ˆ5ˆ4ˆ3
ba 4584103 xxx = 203230 =18
Calcular la magnitud de b
222 4810 b
168b
b
acomp
=168
18=
96.12
18=1.38
b) La proyección vectorial del vector a
sobre el vector b
, denotada por a
bproy
=
bb
b
ba ˆ168
182
A
a
Figura 3.3
P O
41
a
bproy
= b
168
18= kji ˆ4ˆ8ˆ10
168
18
a
bproy
= kjikji ˆ43.0ˆ86.0ˆ7.10ˆ4ˆ8ˆ10107.0
c) La proyección vectorial ortogonal:
PA = a
-a
bproy
PA = kji ˆ5ˆ4ˆ3 - kji ˆ43.0ˆ86.0ˆ7.10
PA = kji ˆ43.5ˆ85.4ˆ93.14
3.6. Problemas resueltos:
1) Demostrar que bA
es igual a la
proyección de A
sobre B
, siendo b
el vector unitario en la dirección y
sentido de B
.
Solución: Como indica la figura 3.3, los planos
perpendiculares a B
trazados por el origen y
el extremo de A
cortan a aquel en dos puntos G y H respectivamente, por lo tanto,
La proyección de A
sobre B
cosAEFGHB
Aproy
,
ya que b
es un vector unitario, por tanto su
magnitud es 1 y se tiene
coscos bAA
por la definición del producto escalar, se tiene: bAbA
cos
bAbAEFGH
cos
y se tiene:
bAB
Aproy
2) Demostrar el teorema del coseno: El teorema del coseno dice. En un triangulo cualquiera de lados: a, b, c se cumple que el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos, ver figura 3.5, es decir:
cos2222 abbac .
A
E F
G H
b
B
Figura 3.4
42
Solución
cba
Suma de vectores
bac
Despejando c
22bac
Elevando al cuadrado
ambos lados de la ecuación Pero
22
cccc
y bababa
2
Luego 22
ac +2
b -
2
c 2a +2b -2 ba
el producto escalar es
conmutativo.
2
c 2a +2b -2 cosba
2
c2
a +2
b -2 cosba
3) Hallar el valor de de forma que kjia
2 y kjib
224 sean
perpendiculares: Solución:
Si a
y b
son perpendiculares, entonces 0ba
, por lo tanto
kjiba
2 0224 kji
021242 ba
0228 ba
026
3 .
4) Demostrar que los vectores: kjickj-ikjia ˆ4ˆˆ2 ,ˆ5ˆ3b ,23
forman un triangulo rectángulo. Solución: Demostremos en primer lugar, que los vectores forman un triangulo.
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Figura 2.5
a
c
b
Figura 3.5
43
De la figura se deduce que ello ocurre si: a) Uno de los vectores, por ejemplo, (3) es la resultante de los otros dos (1) y (2). b) La resultante de los vectores (1) + (2) + (3) es el vector nulo. Como indican las
figuras, puede ocurrir que dos vectores tengan un extremo común, o bien que
ninguno de los extremos coincidan. En nuestro caso se puede ver que a
= cb
,.
Veamos:
kjikj-ikji ˆ4ˆˆ2ˆ5ˆ3 23
Por lo tanto los vectores forman un triangulo. Para saber si el triangulo es rectángulo basta con que el producto interno entre dos vectores sea 0.
14563ˆ5ˆ3 23 kj-ikji
0426ˆ4ˆˆ223 kjikji
5) Demostrar que los vectores 9 , 7 , 5a
y 46- 13,- 101,b
son
perpendiculares. Solución:
4691371015 ba
41491105 ba
0105105 ba
Luego son perpendiculares ya que el producto escalar es cero.
6) Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares.
Solución: Un rombo es un cuadrilátero de lados iguales.
baBCABAC
cbCDBCBD
por ser rombo los lados opuestos son paralelos, si
definimos el vector bBC
y el vector dDA
se observa que bd
luego se tiene,
baabBD
si se aplica el producto escalar se
tiene,
babaBDAC
bbabbaaababa
Pero
abba
y se tiene
oo bbaabbaababa 0cos0cos
,
A
C
B
D
a
b
c
d
Figura 2.6
44
pero 10cos o, luego
bbaababa
El rombo tiene lados de igual medida lo que significa que ba
y por tanto
0 bbaababa
y si el producto escalar es cero, los vectores son
perpendiculares
7) Un auto con una masa de 1300 Kg. sube por una pendiente que tiene un grado de inclinación de 15º . Cual es la magnitud de la fuerza mínima que debe hacer el motor para evitar que el carro ruede pendiente abajo.
15º
45
Solución: Sobre el auto actúan dos fuerzas, es decir, dos vectores, el peso debido a la gravedad y la fuerza que el motor le ejerce al carro.
La fuerza del motor
mF
debe anula la
proyección vectorial debida al peso, para que el carro no se desplace pendiente abajo. Luego proyectando el peso sobre el vector unitario en dirección de la pendiente, encontramos la
fuerza necesaria para sostenerlo. Este vector unitario es jseniu
15 15cos ver figura
Luego jiu
26.097.0
La proyección de jmg
sobre u
es:
u
ujmg
u
mgiproye
u
jijmg
u
mgiproye
26.097.0
u
jijs
mKg
u
mgiproye
26.097.08,9.13002
Nu
s
mKg
u
mgiproye 1274
26.08,9.13002
Así, la magnitud de la fuerza mínima, para que el carro no ruede hacia abajo es N1274 , N
significa Newton, es la unidad fundamental de fuerza. 7) Demostrar que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. Solución:
15º
mg
mF
i 15cos
jsen
15
jmg
mF
u
46
El ángulo ABC está inscrito en la semicircunferencia. Los lados de
este son BA y BC , los vectores
correspondientes son BA y BC .
ABC es recto si BA es
perpendicular a BC y esto ocurre
si el producto escalar entre ellos es cero, esto es:
0 BCBA
Llamemos cOA
, bOB
y cOC
Tenemos que cBAb
Y también cBCb
Luego bcBA
y bcBC
bcbcBCBA
22 bcbcbcBCBA
22 bcBCBA
pero bc
entonces 22 bc y por tanto 0 BCBA
8) Demostrar que si ABCD es un tetraedro regular y M y N los puntos medios de los
segmentos AB y CD respectivamente entonces MN es perpendicular a AB y es
perpendicular a MN .
Solución: Hipótesis
ABCD es tetraedro regular
ABMN y CDMN
Veamos primero que es
ABMN luego
0 ABMN
pero
CDBCABMN2
1
2
1
pero se tiene también que,
ACADCD esto implica
A
B
C
O
A
B
C
D
M
N
47
ACADBCABMN 2
1
2
1
02
1
2
1
ABACADBCAB
02
1
2
1
ABACADABBCABAB
0cos2
1cos
2
1 2
ABACABADABBCAB
Donde es el ángulo que forman los dos vectores del producto escalar, en su origen, luego
debemos tomar el vector CBBC para que al formar el producto escalar los orígenes de
los vectores coincidan, así se tiene:
0cos2
1cos
2
1 2
ABACABADABCBAB
por se el tetraedro regular todos los vectores tienen igual magnitud, por lo tanto se tiene:
0coscos2
1cos
2
1 2
ABABABABABABAB ,
el ángulo 60 por ser tetraedro regular, y se tiene:
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2222
ABABABAB
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
22
0
22
ABABABAB
002
10
000 Si el producto escalar es cero los dos vectores son perpendiculares por lo tanto se
cumple ABMN .
Se deja par el estudiante demostrar que CDMN
Resolver en MATLAB los siguientes productos escalares:
48
Sea )4270,3800,1500(a
y )7956,6380,5420(b
Solución: El algoritmo es:
4270,3800,1500a enter
7956,6380,5420b enter
),( badotc enter
c = 66346120
1
Producto vectorial
4.1. Producto vectorial o externo
Definición: dados los vectores A
y B
su producto vectorial o externo es otro vector
BAC
, el módulo de BA
es el producto de sus módulos por el seno del ángulo que
forman. La dirección de BAC
es la perpendicular al plano que forman A
y B
y su
sentido es tal que , , CBA
forman un triedro a derecha. Por lo tanto usenBABA ˆ
,
siendo u un vector unitario saliendo o entrando al plano formado por los vectores A
y B
,
donde | |y | | son las magnitudes de los vectores A
y B
Triedro: Ángulo en el espacio formado por tres aristas.
Ejemplo: Sean kajaiaA zyxˆˆˆ
y
kbjbibB zyxˆˆˆ
realizar el producto
vectorial
BA
= kbjbibkajaia zyxzyxˆˆˆˆˆˆ
kkbajkbaikba
kjbajjbaijba
kibajibaiiba
BA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
Las componentes de los vectores son números reales, escalares, por los tanto los productos de componentes son también reales, lo que quiere decir que el producto vectorial a resolver es el de los vectores unitarios, es decir
jk, ik, kj, ij, ki, jikkjjii ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ,ˆˆ ,ˆˆ ,ˆˆ ,
el módulo de 1ˆˆˆ k j i , por lo tanto 0011ˆˆˆˆˆˆ osenkkjjii ; pero
jki
kij
ijk
jik
ikj
kji
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆ
luego,
BA
= kibajiba zxyxˆˆˆˆ + kjbaijba zyxy
ˆˆˆˆ + jkbaikba yzxzˆˆˆˆ
BA
= jbakba zxyxˆˆ - ibakba zyxy
ˆ + ibajba yzxzˆˆ .
A
B
BA
Figura 4.1
2
También se puede definir BA
como el seudo determinante escrito de la siguiente forma:
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
BA
Que se resuelve de la siguiente forma
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
BA
=
yx
yx
zx
zx
zy
zy
bb
aak
bb
aaj
bb
aai ˆˆˆ
BA
= kbabajbabaibaba xyyxxzzxyzzyˆˆˆ
4.2. Propiedades geométricas del producto vectorial
Sean A
y B
dos vectores no nulos
Propiedad 1: BA
es perpendicular los vectores A
y B
Demostración: Para demostrar esta propiedad de BA
con el vector A
y luego con el vector
B
Veamos:
ABA
Akbabajbabaibaba xyyxxzzxyzzy
ˆˆˆ
= kajaiakbabajbabaibaba zyxxyyxxzzxyzzyˆˆˆˆˆˆ
= zxyyxyxzzxxyzzy ababaababaababa
= zxyzyxyzxyxzxyzxzy abaabaabaabaabaaba
= 0 zxyzyxyzxyxzxyzxzy abaabaabaabaabaaba
Del mismo modo se procede con B
Propiedad 2: BA
= 0
, entonces los vectores son paralelos
Demostración: de acuerdo con la definición usenBABA ˆ
como A
y B
son vectores
no nulos, luego sus magnitudes son diferentes de cero, un producto es cero cuando alguno de
sus factores es cero, por lo tanto sen tiene que ser cero luego es 0o ó 180
o; por lo tanto A
y B
son paralelos.
Propiedad 3: BA
es el área del paralelogramo que tiene a los vectores A
y B
como
lados adyacentes. Demostración El área del paralelogramo es base por altura, en
este caso la base es la magnitud, A
.
senBh
luego
A
B
h
Figura 4.2
3
Área = A
h = A
senB
,
pero A
senB
es la magnitud del producto
vectorial y por lo tanto
Área = BA
4.3. Triple producto escalar.
Sean kajaiaA zyxˆˆˆ
, kbjbibB zyx
ˆˆˆ
y kcjcicC zyxˆˆ
entonces
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
CBA
Observaciones: En un determinante cambia el signo si se intercambian dos filas, luego si se hacen dos intercambios el signo no cambia por lo tanto estos triples productos escalares son equivalentes:
BACACBCBA
Propiedad geométrica del triple producto escalar: La magnitud del triple producto escalar es
igual al volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes son los vectores C y B, A
Demostración: El área del paralelogramo es igual a la magnitud del producto vectorial de dos
vectores adyacentes, BAS
, pero el volumen del paralelepípedo es igual al área de la
base por la altura, luego
hBAV
cosCh
Recordemos que BA
es un vector y lo llamaremos D
por tanto tenemos
cosCDV
CDV
Por definición del producto escalar.
Así que
CBAV
BACV
El producto escalar es conmutativo
Figura 4.3 A
B
C
h
BA
cosCBAV
4
4.4. Vectores coplanares (L. D)
Los vectores 111 ,, zyxa
222 ,, zyxb
y 333 ,, zyxb
son coplanares, linealmente
dependientes, si y sólo si:
0
333
222
111
zyx
zyx
zyx
cba
4.5 Ejercicios resueltos:
1) Demostrar que ABBA
Solución:
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
BA
ˆˆˆ
= yzzy babai ˆ -
xzzx babaj ˆ + xyyx babak ˆ
Si realizamos el producto AB
se tiene
zyx
zyx
aaa
bbb
kji
AB
ˆˆˆ
zyyz babai ˆ - zxxz babaj ˆ +
yxxy babak ˆ
Si multiplicamos por -1 se tiene
zyx
zyx
aaa
bbb
kji
AB
ˆˆˆ
- zyyz babai ˆ + zxxz babaj ˆ -
yxxy babak ˆ
Reorganizando términos, se tiene
zyx
zyx
aaa
bbb
kji
AB
ˆˆˆ
yzzy babai ˆ - xzzx babaj ˆ +
xyyx babak ˆ que es
justamente BA
; por lo tanto
ABBA
2) Hallar el área del paralelogramo que tiene a los vectores dados por dos lados adyacentes:
A
B
BA
A B
AB
Figura 4.4
5
kjia
23 y kjib
32
Solución: El área del paralelogramo es igual a la magnitud del producto vectorial de dos de su lados adyacentes, luego
baA
, pero
kji
kji
ba
261926
321
123
kjiba
4108
3222 42.131804108 uba
3) Calcular el volumen del tetraedro que tiene como coordenadas de dos de sus
vértices )1,1,0(A y )2,1,2( B y dos de sus aristas que concurren a B están dadas por los vectores
kjiv 321
y kv 42
, todas la unidades están en metros:
Solución:
El volumen del tetraedro está dado como
ShVol3
1 donde S representa el área
de la base y h la altura. El área de la
base se puede calcular como la mitad de la magnitud del producto vectorial de los
vectores AB y el vector 2v
. El vector de
superficie 22
1vABS
, es
perpendicular al plano formado por los
vectores AB y 2v
, la altura h es la
proyección vectorial de 1v
sobre S
,
luego:
21126
1
2
1
3
1vABvvvABVol
y se sabe que el triple producto escalar se
puede calcular como:
400
122
132
= 010211042310422 = 82416 y se tiene
finalmente:
3
3
48
6
1mVol
4) Hallar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son, ,
kjib 2
y kjic 23
1v
A B
C
D
Figura 3.5
2v
6
Solución: El volumen es el valor absoluto del triple producto escalar
cbaVol
213
121
432
Vol = 2.31.141.32.13)1.12.22
La doble línea vertical significa que es el valor absoluto del triple producto escalar.
28156 Vol
7Vol
5) Sea jia 42
y jib 10
Hallar de modo que
a. ba
y
b. ba
//
Solución:
a) Si ba
entonces 0ba
luego
jijiba 1042
0420 ba
420
4
20
5
b) Si ba
// entonces 0
ba luego
0402
010
042
k
kji
ba
20
6) Demostrar que si a
y b
son vectores en 3 entonces
bababa
22
Solución:
22
senbaba
donde es el ángulo que forman a
y b
, luego
2222
senbaba
2222
cos1 baba
222222
cosbababa
7
2222
bababa
Problemas propuestos.
1. ( ) ( ) Hallar .
2. Hallar dos vectores perpendiculares a los vectores dados:
a) ,
b) ,
c) ,
3. El viento ejerce sobre una flor una fuerza horizontal de , el tallo de
la flor mide m de largo se inclina hacia el este formando un ángulo de
con la vertical. Encuentre el producto vectorial entre y el vector de posición.
4. Si el momento angular es , donde es el vector de posición y
llamado momento lineal, la masa de un cuerpo y la velocidad que lleva el cuerpo.
Calcular si se sabe que , la masa del cuerpo es
de 4 Kg.
5. Hallar el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores:
, .
6. Utilice el producto cruz para hallar el seno del ángulo entre los vectores.
, .
7. Hallar el área del triangulo cuyos vértices son: ( ), ( ),
( ).
9. Hallar el área del paralelogramo cuyos vértices son: ( ) ( ) ( ) ( ).
10. Los vectores 42 cm a y 23 cm parten del origen. Ambos ángulos se
miden contra las manecillas del reloj desde el eje x. Los vectores forman dos lados de
un paralelogramo.
a) Encuentre el área del paralelogramo.
b) Encuentre la longitud de su diagonal más larga.
11. Sea y . Evalue:
a)
| |
b)
| |
12 Suponga que ¿Cuál es el ángulo entre
13. Un estudiante afirma que encontró un vector tal que (
) . ¿Cree usted esta afirmación? Explique.
14. Hallar el volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes son los vectores
, ,
15. Un paralelepípedo tiene los siguientes vértices ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). Calcule el volumen de éste.
16. Sean y vectores, θ el ángulo entre ellos.
a) Hallar utilizando el producto cruz.
b) Hallar utilizando el producto punto.
c) Hallar .
17. Sean =, y . Hallar
8
a)
b)
c) ( )
d) ( )
e) ( )
f) ( )
g) ( )- ( ).
h) Los resultados del inciso g) y e) son iguales.
i) Los resultados del inciso g) y f) son iguales.
j)
k) ( ) ( )