soluciones-prueba3
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DuocUC MAT 200 Programa de Matemática Álgebra
1
SOLUCIONES GUIA RESUMEN PRUEBA Nº3
1) Resuelva los siguientes problemas de Progresiones Aritméticas:
a) En la Progresión Aritmética: ....;.17 ;13 ;9 . Determine la suma de los 3.000 primeros términos.
Podemos saber que: 49131317 =−=−=d ; 9=a
Por lo tanto lo que piden es la suma de los 3.000 primeros términos, utilizando la fórmula:
( )[ ]dnan
Sn
⋅−+⋅⋅= 122
→ ( )[ ] 000.021.1841000.3922
000.3
000.3=⋅−+⋅⋅=S
Respuesta: La suma de los 3.000 primeros términos es 18.021.000.
b) En el primer año de negocios un hombre ganó 5.000 dólares y en el último ganó 19.000 dólares. Si cada año ganó 2.000 dólares más que en el año anterior. ¿Cuántos años tuvo el negocio y cuánto ganó en total durante esos años?
Primer año ganó : US$ 5.000 Segundo año ganó: US$ 7.000 Tercer año ganó : US$ 9.000
.
. Último año ganó : US$ 19.000
P.A. { { { 321n321
000.19 ...;;......... 000.9 ; 000.7 ; 000.5
aaaa
→
Donde: 000.2000.5000.7000.7000.9 =−=−=d ; 000.5=a
1º) ( ) dnaan
⋅−+= 1 → ( ) 000.19000.21000.5 =⋅−+ n
8
000.16000.2
000.19000.2000.2000.5
=
=
=−+
n
n
n
2º) ( )[ ]dnan
Sn
⋅−+⋅⋅= 122
→ ( )[ ] 000.96000.218000.522
8
8=⋅−+⋅⋅=S
Respuesta: Tuvo el negocio 8 años y ganó en total US$ 96.000.
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2
c) Considere una Progresión Aritmética de primer término 11 y el término de lugar 132 es 404. Determine el término de lugar 40 y la suma de los 58 primeros términos.
Sabemos que: 11=a ; 404132
=a
Para obtener el valor de la diferencia constante “d”, utilizamos la fórmula:
( ) dnaa
n⋅−+= 1 → ( ) 404113211
132=⋅−+= da
3
393131
40413111
=
=⋅
=⋅+
d
d
d
Por lo tanto lo que piden es 40a y
58S , esto es:
1º) ( ) dnaan
⋅−+= 1 → ( ) 12831401140
=⋅−+=a
2º) ( )[ ]dnan
Sn
⋅−+⋅⋅= 122
→ ( )[ ] 597.531581122
58
58=⋅−+⋅⋅=S
Respuesta: El término de lugar 40 es 128 y la suma de los primeros 58 términos es 5.597.
d) Una persona debe pagar una deuda en 32 semanas, pagando $50 la primera semana, $80 la segunda semana, $110 la tercera semana y así sucesivamente. Determine el pago de la semana 20 y el valor total de la deuda.
Primera semana pagó : $ 50 Segunda semana pagó : $ 80 Tercera semana pagó : $ 110
.
.
.
.
P.A. { { { {32321
? ...;;......... 110 ; 80 ; 50
aaaa
→
Donde: 30508080110 =−=−=d ; 50=a
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1º) ( ) dnaa
n⋅−+= 1 → ( ) 6203012050
20=⋅−+=a
2º) ( )[ ]dnan
Sn
⋅−+⋅⋅= 122
→ ( )[ ] 480.16301325022
32
32=⋅−+⋅⋅=S
Respuesta: El pago de la semana 20 fue de $620 y el valor total de la deuda es de $16.480. 2) Resuelva los siguientes problemas de Progresiones Geométricas:
a) La razón de una Progresión Geométrica es 5 y el quinto término es 875.1 . Calcule los tres primeros términos de la progresión.
SOLUCIÓN:
Podemos saber que: 5=R ; 875.1
5=a
Por lo tanto lo que nos piden lo calcularemos, de la siguiente manera:
1º) 1−⋅= n
nRaa → ( ) 875.15
15 =⋅ −a
875.1625 =⋅a → 3=a
2º) P.G. { { { ........ ; 75 ; 15 ; 3
321aaa
→
RESPUESTA: Los 3 primeros términos de la P.G. son; 75 15, ,3 .
b) Cuatro personas se reparten una cantidad de dinero, que obtuvieron de premio en el Kino, donde cada persona recibirá 4 veces lo que recibirá la anterior. Si la tercera persona recibió $3.200. ¿Cuál fue la suma repartida?
SOLUCIÓN:
Podemos saber que: 4R = ; 200.3a
3=
Por lo tanto lo que nos piden lo calcularemos, de la siguiente manera:
1º) 1−⋅= n
nRaa → ( ) 200.34
13 =⋅ −a
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200.316 =⋅a → 200=a
2º) ( )1
1
−−⋅
=R
RaS
n
n →
( )( ) 000.17
3
000.51
14
14200 4
4==
−−⋅
=S
RESPUESTA: La suma repartida fue de $17.000. 3) Calcule las siguientes sumatorias:
a) ∑=
−+
60
1
339
k
kk
SOLUCIÓN:
∑=
−+
60
1
339
k
kk ∑∑∑====
⋅−+606060
3
111 39
kkkkk
( ) ( )950.343.3
2
160603609
4
1606022
=+⋅
⋅−⋅++⋅
=
b) ∑=
+
45
1
38
k
k
SOLUCIÓN:
∑=
+
45
1
38
k
k ∑∑===
+4545
3
118
kkk
( )585.071.1458
4
1454522
=⋅++⋅
=
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c) ∑=
−102
40 3
23
k
k
SOLUCIÓN:
∑=
−102
40 3
23
k
k ∑
∑
===
−−−39102
11 3
23
3
23
kkkk
∑∑∑∑=====
+⋅−−⋅3939102102
1111 3
2 3
3
2 3
kkkkkk
( ) ( )377.13
3
239
2
139393
3
2102
2
11021023 =⋅+
+⋅⋅−⋅−
+⋅⋅=
d) ∑=
+
52
8k
2 k5k
SOLUCIÓN:
∑=
+
52
8k
2 k5k ( ) ( )∑∑==
+−+=7
1k1kk5kk5k 2
522 ∑∑∑∑
====⋅−−⋅+=
772
5252 2
1k1k1k1kk 5k k 5k
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
840.542
1775
6172177
215252
56
152215252 =+⋅⋅−+⋅⋅+⋅−+⋅⋅++⋅⋅+⋅=
4) Considere la sucesión { }
kx cuyos términos están definidos en la siguiente tabla:
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9
kx 4,5 2,1 1,2 3,4 1,6 2,5 6,2 1,8 5,1
Calcule: ( )27
2
∑=k
kx
SOLUCIÓN:
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6
( )27
2
∑=k
kx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2xxxxxx +++++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2,65,26,14,32,11,2 +++++=
66,64=
5) Resuelva en los reales las siguientes ecuaciones:
a) 6)103(2
log =+x
SOLUCIÓN:
( )
18 3
54 64103
103261032
log 6
=⇒=⇔=+
+=⇔=+
xxx
xx
RESPUESTA: La solución de la ecuación es 18=x .
b) 2)32(3)2(3 loglog =−++ xx
SOLUCIÓN:
( ) ( )( ) ( ) ( )
0152
96432
322323223
2
2
2log
=−+
=−+−
−⋅+=⇔=−⋅+
xx
xxx
xxxx
15
1
2
−=
=
=
c
b
a
→ ( ) ( ) ( ) ( )( ) =
±−=
+±−=
⋅
−⋅⋅−±−=
4
111
4
12011
22
1524112
x
2
5
4
10
4
111
1==
+−=x ∧ 3
4
12
4
111
2−=
−=
−−=x
RESPUESTA: La solución de la ecuación es 2
5=x .
6) Determine el valor de n , si:
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a) ( ) n35,26,3 =
SOLUCIÓN:
( )
.)( 465985,05,23
6,3
5,2 36,3
/ 5,2 6,3
log
log
loglog
log3
apróxn
n
n
=⋅
=
⋅=
=
RESPUESTA: El valor de n es 0,465985.
b) ( ) 6,1832,51022 =⋅ n
SOLUCIÓN:
( )
.)( 178262,02,52
8,1
8,1 2,5 2
/ 102
6,183 2,5
log
log
loglog
log2
apróxn
n
n
=⋅
=
=⋅
=
RESPUESTA: El valor de n es 0,178262.
7) Dados los siguientes números complejos:
iz 321
−= ; iz 512
+= ; iz 653
+=
Determine:
a) 23zz +
SOLUCIÓN:
23zz + iii 1165165 +=+++=
b)
2132 zz −⋅
SOLUCIÓN:
21
32 zz −⋅ ( ) ( ) iiiii 21115364513322 −=−−−=+⋅−−⋅=
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c) 13zz −
SOLUCIÓN:
13zz − ( ) ( ) 1039093 93 3265 22 ==+=+=−−+= iii
d) 23
2 zz ⋅−
SOLUCIÓN:
23
2 zz ⋅− ( ) iiii 434351265 +=−== +⋅−+
e)
21zz ⋅
SOLUCIÓN:
21zz ⋅ ( ) ( ) iiiiiii 71715721531025132
2 +=++=−−+=+⋅−=
f)
12zz ÷
SOLUCIÓN:
12zz ÷
( )( ) ( )
ii
i
i
i
iii
i
i
i
i+−=
+
+−=
−
−+=
−
+++=
+
+⋅
−
+= 1
94
1313
94
15132
32
151032
32
32
32
51
222
2
8) Usando tablas de verdad, clasifique las siguientes proposiciones en Tautología, Contradicción o
Contingencia.
a) ( ) ( )pqqp ⇔⇒∨
(1) (2)
p
q
qp∨
pq ⇔
)2()1( ⇒
V V F V V
V F V F F
F V V F F
F F F V V
RESPUESTA: La proposición es una CONTINGENCIA.
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b) ( ) ( )qpqp ∧⇔⇒
(1) (2)
p
q
q
qp⇒
qp ∧
)2()1( ⇔
V V F F V F
V F V V F F
F V F V F F
F F V V F F
RESPUESTA: La proposición es una CONTRADICCIÓN.
c) ( )rpq ∧⇒
(1) (2)
p
q
r
r
rp ∧
)2()1( ⇒
V V V F F F
V V F V V V
V F V F F V
V F F V V V
F V V F F F
F V F V F F
F F V F F V
F F F V F V
RESPUESTA: La proposición es una CONTINGENCIA.
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d) ( ) ( )qpqp ∨⇒∧
(1) (2)
p
q
qp ∧
qp ∨
)2()1( ⇒
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
RESPUESTA: La proposición es una TAUTOLOGÍA.
9) Sean p y q proposiciones. Si qp ∧ es Verdadera, determine el valor de verdad de:
( ) ( )qpqp ⇒∧∨
SOLUCIÓN:
Verdaderaqp : ∧ Esto nos permite saber el valor de verdad de p y q , por lo que
tenemos que: Vp : ; Vq :
( ) ( )( ) ( )
F
VF
VFFF
qpqp
∧⇒∧∨
⇒∧∨
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10) Sean p y q proposiciones. Si qp⇒ es falsa, determine el valor de verdad de:
( ) ( )pqqp ∨⇔⇒
SOLUCIÓN:
Falsaqp :⇒ Esto nos permite saber el valor de verdad de p y q , por lo que
tenemos que: Vp : ; Fq :
( ) ( )( ) ( )
V
VV
VVFF
pqqp
⇔∨⇔⇒
∨⇔⇒
11) Sean p y q proposiciones. Si pq⇒ es falsa, determine el valor de verdad de:
( ) ( )qpqp ∧∨⇒
SOLUCIÓN:
Falsapq :⇒ Esto nos permite saber el valor de verdad de p y q , por lo que
tenemos que: Vq : ; Fp :
( ) ( )( ) ( )
V
FV
FVVV
qpqp
∨∧∨⇒
∧∨⇒
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