soluciones ii caracterÍsticas de las …...(valores de x en los que g y h están definidas a la vez...
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1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
1. Completa los siguientes pares: (3, ) ( ,7− ) (2, ) (0, ) y ( ,0) de modo que pertenezcan al
grafo de la función 63
1)( +−= xxf .
� )5,3(5633
1)3(3 ⇒=+⋅−=⇒= fx
� )7,39(393
1136
3
177 −⇒=⇒⋅−=−⇒+⋅−=−⇒−= xxxy
�
⇒=+−=+⋅−=⇒=
3
16,2
3
166
3
262
3
1)2(2 fx
� )6,0(6603
1)0(0 ⇒=+⋅−=⇒= fx
� )0,18(1863
16
3
100 ⇒=⇒=⋅⇒+⋅−=⇒= xxxy
2. Si xxxf −= 2)( comprueba que )()1( xfxf −=+ .
xxxxxxxxf +=−−++=+−+=+ 222 112)1()1()1(
xxxxxf +=−−−=− 22 )()()(
3. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) 12)( += xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
b) 2
1)(
−=
xxf función racional }2{}02/{)( −ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
c) 3)1()( −= xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
d) 1
1)(
2 −=
xxf función racional }1,1{}01/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
1 ò 11101 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
e) 3
1)(
xxf = función racional }0{}0/{)( 3 −ℜ==−ℜ=→ xxfDom
000 33 =⇔=⇔= xxx
f) 1)( 2 ++= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
g) 25
7)(
2 −=
xxf función racional }5,5{}025/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
5 ò 52525025 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
h) 1
1)(
4 −=
xxf función racional }1,1{}01/{)( 4 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
1 ò 11101 444 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
i) 62)( 5 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
j) 43
2)(
2
7
+−−=xx
xxf función racional ℜ==+−−ℜ=→ }043/{)( 2 xxxfDom
realsolución existe no2
16930432 =−±=⇔=+− xxx
k) 2)1(
2)(
+−=
x
xxf función racional }1{}0)1/({)( 2 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom
10)1( 2 −=⇔=+ xx
l) 96)( 49 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
m) xxxxf 65)( 23 +−= función polinómica ℜ=→ )( fDom
n) 42)( −= xxf función radical con índice par ),2[}042/{)( +∞=≥−ℜ∈=→ xxfDom
),2[242042 +∞∈⇔≥⇔≥⇔≥− xxxx
o) x
xf−
=1
3)( función racional }1{}01/{)( −ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
p) 3 2)( −= xxf función radical con índice impar ℜ=−==→ )2()( xyDomfDom
q) 2)( −= xxf función radical con índice par ),2[}02/{)( +∞=≥−ℜ∈=→ xxfDom
r) 2
1)(
−=
xxf función radical con índice par ),2(}02/{)( +∞=>−ℜ∈=→ xxfDom
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha de ser estrictamente mayor que 0.
s) 3 2
1)(
−=
xxf función radical con índice impar }2{)( −ℜ=→ fDom
Nota: El denominador no puede ser 0
202023 ≠⇔≠−⇔≠−⇒ xxx
t) 4
1)(
2 −−=
x
xxf función racional }2,2{}04/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
u) 16
4)(
2
2
+−=
x
xxxf función racional ℜ==+−ℜ=→ }016/{)( 2xxfDom
realsolución tieneno 16016 22 ⇒−=⇔=+ xx
v) 4 216)( xxf −= función radical con índice par ]4,4[}016/{)( 2 −=≥−ℜ∈=→ xxfDom
016 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥− x
Ceros
4 ò 41616016 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
w) 3 216)( xxf −= función radical con índice impar ℜ=−==→ )16()( 2xyDomfDom
x) x
xxf
1)(
−= función radical con índice par
≥−ℜ∈=→ 0
1/)(
x
xxfDom
01
:inecuación laresolver que Tenemos ≥−x
x
Ceros Polos
101 =⇔=− xx 0=x
),1[)0,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom
y) 31
)(x
xxf
−= función radical con índice impar }0{1
)( −ℜ=
−==→x
xyDomfDom
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
z) 642
53)(
2 −−+=
xx
xxf función racional }3,1{}0642/{)( 2 −−ℜ==−−−ℜ=→ xxxfDom
−=−=
=+=
=±=+±=⇔=−−⇔=−−
12
42
32
42
2
162
2
12420320642 2
)2(:
2
x
x
xxxxx
4. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) 5 2 1
1)(
−=
xxf función radical con índice impar }1,1{}01/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
Nota: El radical aparece en el denominador por eso no puede ser 0
1110101 225 2 ±≠⇔±≠⇔≠⇔≠−⇔≠− xxxxx
b) 4 29
1)(
xxf
−= función radical con índice par }09/{)( 2 >−=→ xxfDom
(Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha der ser estrictamente mayor que 0)
09 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >− x
Ceros
3 ò 39909 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
)3,3()( Por tanto, −=fDom
c) 826)( +−= xxxf ),0[)()( +∞===→ xyDomfDom
d) 73
232)(
2 +−+=
xx
xxf función racional ℜ==+−−ℜ=→ }073/{)( 2 xxxfDom
realsolución existe no6
8411073 2 =−±=⇔=+− xxx
e) 2
3)(
−+=
x
xxf función radical con índice par
≥
−+ℜ∈=→ 0
2
3/)(
x
xxfDom
02
3 :inecuación laresolver que Tenemos ≥
−+
x
x
Ceros Polos
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
303 −=⇔=+ xx 202 =⇔=− xx
),2(]3,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom
f) 4
1)(
−+=
x
xxf
{)]()([)()(
)()( Como ∈−∩=⇒= DomxhDomgDomfDom
xh
xgxf
(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez
excepto aquellos en los que h se anula)
� ),1[}01/{Dominio1 +∞−=≥+ℜ∈=→+= xxxy
� ℜ=→−= Dominio4xy
� 404 ≠⇔≠− xx
),4()4,1[)( Por tanto, +∞∪−=fDom
g) 3
2
6
4)(
−−=
x
xxf
{)]()([)()(
)()( Como ∈−∩=⇒= DomxhDomgDomfDom
xh
xgxf
(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy
04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥−x
Ceros
2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
� ℜ=→−= Dominio63 xy
� 6063 ≠⇔≠− xx
),6()6,2[]2,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
h) 1
65)(
4
2
−+−=
x
xxxf
}0)(/)({)]()([)()(
)()( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDom
xh
xgxf
(Valores de x en los que g
y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
� ℜ=→+−= Dominio652 xxy
� ),1()1,(}01/{Dominio1 44 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque el
denominador no puede ser 0)
Ceros
1 ò 11101 444 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
),1()1,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom
i) 32
6
44
15)(
+−+−=
xx
xxxf función radical con índice impar =
+−+−==→
44
15)(
2
6
xx
xxyDomfDom
}2{}044/{ 2 −ℜ==+−−ℜ= xxx
=−
=+
=±=−±=⇔=+−
22
04
22
04
2
04
2
161640442 xxx
j) 42 65
)7()(
+++=xx
xxxf función radical con índice par
≥
+++ℜ∈=→ 0
65
)7(/)(
2 xx
xxxfDom
)(2(
)7(0
65
)7( :inecuación laresolver que Tenemos
2 +++⇔≥
+++
xx
xx
xx
xx
Ceros Polos
7 o 00)7( −==⇔=+ xxxx 2 o 30652 −=−=⇔=++ xxxx
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
),0[)2,3(]7,()( Por tanto, +∞∪−−∪−−∞=fDom
k) 81721)( 3 −−= xxxf función polinómica
ℜ=→ )( fDom
l) 79
97)(
4 ++=
x
xxf función racional ℜ==+−ℜ=→ }079/{)( 4xxfDom
realsolución tieneno 9
7079 44 ⇒−=⇔=+ xx
m) 3 9
72)(
x
xxf
−+=
}0)(/)({)]()([)()(
)()( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDom
xh
xgxf
(Valores de x en los que g
y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
� ℜ=→+= Dominio72xy
� ℜ=→−= Dominio93 xy
n) 99
846)(
23
23
+−−++−=
xxx
xxxxf función racional }099/{)( 23 =+−−−ℜ=→ xxxxfDom
09923 =+−− xxx
9 9 1 1 −−
9 0 1 −+ 0 9 0 1 −
±=⇒=−
=⇒=−⇔=−⋅−⇔=+−−
309
101
0)9()1(0992
223
xx
xx
xxxxx
}3,1,3{)( Por tanto, −−ℜ=fDom
rdenominado al anula porque dominio elen está no 9 luego 9093 →≠⇔≠− xx
}9{)( Por tanto, −ℜ=fDom
1
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
o) 62
34)(
2
++−=
x
xxxf (similar al ejercicio 9.n))
}0)(/)({)]()([)()(
)()( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDom
xh
xgxf
(Valores de x en los
que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
p) 2
2)(
−=
xxf }2{
2
2)( −ℜ=
−==→
xyDomfDom
5. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) )23ln()( 2 +−= xxxf ),2()1,(}023/{Dominio 2 +∞∪−∞=>+−ℜ∈=→ xxx
023 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >+− xx
Ceros
1
2
213
2893
0232
=
=±=−±=⇔=+−
x
x
xxx
),2()1,()( Por tanto +∞∪−∞=fDom
b) 1ln)( −= xxf
),[}1ln/{}01ln/{Dominio +∞=≥ℜ∈=≥−ℜ∈=→ exxxx
),[1ln 1ln +∞∈⇔≥⇔≥⇔≥ exexeex x
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
EL SIGUIENTE APARTADO ES ALGO MÁS COMPLICADO QUE EL RESTO, REVISARLO Y SINO YA LO MIRAREMOS CON DETALLE EN CLASE
c)
+−=
1
3ln)(
2
x
xxxf
≥
+−
+−=∈=→ 0
1
3ln/
1
3lnDominio
22
x
xx
x
xxyDomx
+−
1
3ln de dominio el lugar,primer en ,determinar que Tenemos )1º
2
x
xx
>+−ℜ∈=
+−= 0
13
/1
3lnDominio
22
x
xxx
x
xxy
01
3 :inecuación la Resolvemos
2
>+−
x
xx
Ceros Polos
3 o 003 2 ==⇔=− xxxx 101 −=⇔=+ xx
)3,0()1,(01
3/
1
3lnDominio ,Por tanto
22
∪−−∞=
>+−ℜ∈=
+−=
x
xxx
x
xxy
01
3ln dominiosu de valoresqué para determinar que tenemosAhora )2º
2
≥
+−
x
xx
01
120
1
1301
1
31
1
30
1
3ln
2222
)(
2
≥+
−+−⇔≥+
−−−⇔≥−+−⇔≥
+−⇔≥
+−
∗ x
xx
x
xxx
x
xx
x
xx
x
xx
10ln que Recuerda )( ≥⇔≥∗ aa
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
01
12 inecuación laresolver que tenemosdecir, Es
2
≥+
−+−x
xx
Ceros Polos
10122 =⇔=−+− xxx 101 −=⇔=+ xx
)1,()( Por tanto −−∞=fDom
d) 3
ln)(
−=
x
xxf
� ),0(Dominioln +∞=→= xy
� ),3(}03/{Dominio3 +∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque como el
radical está en el denominador no puede ser 0)
El dominio de la función es la intersección de los dos intervalos anteriores,
Por tanto, ),3()( +∞=fDom
e) )1ln(
)(−
=x
xxf
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
� ℜ=→= Dominioxy
� ),1(}1/{}01/{Dominio)1ln( +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=→−= xxxxxy
� 2110)1ln( ≠⇔≠−⇔≠− xxx
),2()2,1()( Por tanto, +∞∪=fDom
f) 29log)( xxf −= )3,3(}09/}{09/{Dominio 22 −=>−ℜ∈>−ℜ∈=→ xxxx
09 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >− x
Ceros
3 ò 316909 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
g) )3log()( 2 −= xxf ),3()3,(}03/{Dominio 2 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→ xx
03 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >−x (No lo desarrollo con detalle porque ya hemos resuelto muchas inecuaciones de este tipo)
h)
i) 1ln)( −= xxf }1{}01/{Dominio −ℜ=>−ℜ∈=→ xx
j) 1ln
1)(
−=
xxf }2,0,1{}01ln/{}01/{Dominio −ℜ==−−>−ℜ∈=→ xxxx
}1{01 −ℜ∈⇔>− xx
0 o 21101ln ==⇔=−⇔=− xxxx
k) xxxf −−+= 32)(
� ),2[}02/{Dominio2 +∞−=≥+=→+= xxxy
� ]3,(}03/{Dominio3 −∞=≥−=→−= xxxy Por tanto, ]3,2[]3,(),2[)( −=−∞∩+∞−=fDom xsenxxf cos)( −= ℜ=→ Dominio
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
l)
m) 2cos
)(−
=x
senxxf ℜ==−−ℜ=→ }02cos/{)( xxfDom
n) 1
)(−
=senx
xxf
Ζ∈+−ℜ==−−ℜ=→ kksenxxfDom con 2
2}01/{)( ππ
Ζ∈+=⇔=⇔=− kkxsenxsenx con 22
101 ππ
o)
−=
xx
xxf
3cos)( }1,0,1{}0/{Dominio 3
3−−ℜ==−−ℜ=
−==→ xxx
xx
xyDom
1 o 0 0)1(0 23 ±==⇒=−⇔=− xxxxxx xxxx ∀≤≤−→=⇔=− 1cos1 que yasolución tieneno 2cos02cos
p) )7()( += xsenxf ℜ=+==→ )7(Dominio xyDom
q)
−=
2
2cos)(
2xxf }2{
2
2Dominio
2±−ℜ=
−==→
xyDom
2202 22 ±=⇔=⇔=− xxx
r) Ζ∈= k
kxsenxf con
)(
1)(
}{}0)(/{)( π−ℜ==ℜ∈=→ kxsenxfDom
ππ =⇔Ζ∈=⇔= xkkkxkxsen con 0)(
6. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) 25)( −= xxf ℜ=−==→ )2(Dominio xyDom
b) 42
2)(
−=
x
x
xf
���� ℜ=→= Dominio2xy
���� ℜ=→−= Dominio42xy
���� 242042 ≠⇔≠⇔≠− xxx
Por tanto, }2{)( −ℜ=fDom
c) xxxf 32)( −= ]0,(}032/{)( −∞=≥−−ℜ=→ xxxfDom
)0 cuando azul la de encimapor está roja gráfica (la 032032 ≤≤⇔≥⇔≥− xxxxxx
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
7.
d)
1)(
+=
x
x
e
exf
� ℜ=→= Dominioxey
� ℜ=→+= Dominio1xey
� ) devalor cualquier para 0(solución tieneno101 xeee xxx >⇒−=⇒=+ Por tanto, ℜ=)( fDom
e) 132
2
1)(
+−
=xx
xf ℜ=+−==→ )13(Dominio 2 xxyDom
f) xxxf −−= 9)52()(
�
+∞∈→>− ,2
5052 xx
� ℜ=→−= Dominio9 xy
+∞=ℜ∩
+∞= ,2
5,
2
5)( Por tanto, fDom
g) 24)53()( xxxf −−=
�
+∞∈→>− ,3
5053 xx
� ]2,2[}04/{Dominio4 22 −=≥−ℜ∈=→−= xxxy
04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥− x
Ceros
2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
=−∩
+∞= 2,3
5]2,2[,
3
5)( Por tanto, fDom
h) 23 2
55
38)(
−
−−=
x
x
xxf
�
∈→>−
−3
8,10
55
38x
x
x
Ceros Polo
3
8038 =⇒=− xx 1055 =⇒=− xx
� ℜ=→−= Dominio23 2xy
=ℜ∩
=3
8,1
3
8,1)( Por tanto, fDom
i) x
x
xxxf
1log
2
63
5)(
−−=
063
5 es "" de valoresqué para determinar que moslugar teneprimer En )1º
2
>−−
x
xxx
� ),5[]0,(Dominio52 +∞∪−∞=→−= xxy
� }2{63 −ℜ→−= xy
� 2063 ≠⇔≠− xx
� Por tanto, ),5[]0,(63
5Dominio
2
+∞∪−∞=
−−=
x
xxy
Ahora, del conjunto anterior ),5[]0,( +∞∪−∞ determinamos los valores para los que 063
52
>−−
x
xx
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
),5(063
5 ,Por tanto
2
+∞∈⇔>−−
xx
xx
),0(01
/Dominio1
log de dominio el osdeterminamón continuaciA )2º +∞=
>=→=
xx
xy
),5(),0(),5()( ,Finalmente )3º +∞=+∞∩+∞=fDom
j) 26
94
45)( −+
= x
x
xf
−+==→
26
94Dominio
x
xyDom
� ℜ=→+= Dominio94 xy
�
+∞=>ℜ∈=>−ℜ∈→−= ,3
1}26/{}026/{26 xxxxxy (la desigualdad es estricta porque el
denominador no puede anularse)
El dominio de )(xf es la intersección de los dos conjuntos anteriores, por tanto,
+∞=
+∞∩ℜ= ,3
1,
3
1)( fDom
7. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
SE ESTUDIAN LAS FUNCIONES PARCIALES EN CADA UNO DE LOS SUBINTERVALOS EN LOS
QUE ESTÁN DEFINIDAS.
a)
≤+
>−=
0 2
1
0 1)(
xsix
xsixxf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(),0( Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=
� )(]0,2()2,( }2{Dominio2
1fDom
xy ∈−∪−−∞⇒−−ℜ=→
+=
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
}2{)( Por tanto, −−ℜ=fDom
b)
≥−<<−
≤=
−
5 1
41 3
1 2
)(
xsi
xsix
xsi
xf
x
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(]1,( Dominio2 fDomy x ∈−∞⇒ℜ=→= −
� )()4,1( Dominio3 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=
� )(),5[ Dominio 1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=
),5[)4,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom
c)
≥−<≤
<+=
3 2
30 2
0 2
)(
xsix
xsi
xsix
xf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )()0,( Dominio2 fDomxy ∈−∞⇒ℜ=→+=
� )()3,0[ Dominio2 fDomy ∈⇒ℜ=→=
� )(),3[ Dominio 2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=
ℜ=)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo fDom
d)
≥−<<
<
=1 2
10 ln
0 1
)(
xsix
xsix
xsix
xf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )()0,( }0{Dominio1
fDomx
y ∈−∞⇒−ℜ=→=
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
� ),0(Dominio)ln( +∞=→= xy )()1,0( fDom∈⇒
� )(),1[ Dominio 2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=
}0{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −ℜ=fDom
e)
>−
≤<
≤<−
=
5 10
53 1
22 1
)(
xsix
xsi
xsix
xf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(]2,0()0,2( }0{Dominio1
fDomx
y ∈∪−⇒=−ℜ=→=
� ℜ=→= Dominio1y )(]5,3( fDom∈⇒
� )(]10,5( ]10,(Dominio 10 fDomxy ∈⇒−∞=→−=
]10,3(]2,0()0,2()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪∪−=fDom
f)
≥
<<≤+
=
5 1
51 ln
1 1
)(
2
xsix
xsix
xsix
xf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(]1,( Dominio12 fDomxy ∈−∞⇒ℜ=→+=
� ),0(Dominio)ln( +∞=→= xy )()5,1( fDom∈⇒
� )(),5[ }0{Dominio 1
fDomx
y ∈+∞⇒−ℜ=→=
ℜ=)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo fDom
g)
≤−
>−=
0 2
1
0 1)(
xsix
xsixxf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(),0( ),0[Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒+∞=→−=
� )(]0,( }2{Dominio2
1fDom
xy ∈−∞⇒−ℜ=→
−=
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
ℜ=)( Por tanto, fDom
8. Halla la expresión analítica de las siguientes funciones:
A)
≤≤≤≤−
≤<−
<≤<
=
122
15 ò 20 si
2
1
52 si 12
156 ò 0 si 1
)(
xx
x
xx
xf
Todas las funciones parciales son funciones constantes y, por tanto, de la forma ℜ∈= kky con
B)
� Tramo I) 2 constantefunción =→ y � Tramo II) nmxy +=→ linealfunción
• Ordenada en el origen 2)2,0( punto elen ordenadas de eje el corta recta la =→→ n
• Pendiente m →
11)2(0
02
xdeVariación
y deVariación (0,2)P
(-2,0)P puntos lospor pasa recta La
01
01
1
0 =⇒=−−
−=−−==⇒
mxx
yym
Por, tanto 2+= xy � Tramo III) nmxy +=→ linealfunción
• Ordenada en el origen 2)2,0( punto elen ordenadas de eje el corta recta la =→→ n
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
• Pendiente m →
110
20
xdeVariación
y deVariación (2,0)P
(0,2)P puntos lospor pasa recta La
01
01
1
0 −=⇒−=−=−−==⇒
mxx
yym
Por, tanto 2+−= xy
� Tramo IV) 2 constantefunción =→ y
POR TANTO,
>≤≤+−
<≤−+−<
=
2 si 2
20 si 2
02 si 2
2 si 2
)(
x
xx
xx
x
xf
C)
� Tramo I) nmxy +=→ linealfunción
• 22)3(2
20
xdeVariación
y deVariación 2,0)(P
3,2)(P puntos lospor pasa recta La
01
01
1
0 −=⇒−=−−−
−=−−==⇒
−−
mxx
yym
• 462)3(22 recta) laen punto el os(sustituim )2,3(P punto elpor Pasa
22
1
−=⇒+=⇒+−⋅−=⇒
−+−=⇒−=
nnnnxym
Por, tanto 42 −−= xy
� Tramo II) nmxy +=→ linealfunción
• Ordenada en el origen 4)4,0( punto elen ordenadas de eje el corta recta la −=→−→ n
• 44)2(0
44 xdeVariación y deVariación
)4,0(P
2,4)(P puntos lospor pasa recta La
01
01
1
0 =⇒=−−−−=
−−==⇒
−−
mxx
yym
Por, tanto 44 −−= xy
� Tramo III) nmxy +=→ linealfunción
• Ordenada en el origen 4)4,0( punto elen ordenadas de eje el corta recta la −=→−→ n
• Pendiente m →
4402
)4(4 xdeVariación y deVariación
(2,4)P
)4,0(P puntos lospor pasa recta La
01
01
1
0 =⇒=−−−=
−−==⇒
−
mxx
yym
Por, tanto 44 −= xy � Tramo IV) nmxy +=→ linealfunción
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
• 2203
)4(2 xdeVariación y deVariación
)2,3(P
4)(0,P puntos lospor pasa recta La
01
01
1
0 =⇒=−−−=
−−==⇒
−
mxx
yym
• 462)3(22 ecuación) laen punto el os(sustituim)2,3(P punto elpor Pasa
22
1
−=⇒+=⇒+⋅=⇒+=⇒=
nnnnxym
Por, tanto 42 −= xy
POR TANTO,
>−≤≤−
<≤−−−−<−−
=
2 si 42
20 si 44
02 si 44
2 si 42
)(
xx
xx
xx
xx
xf
9. Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes, el signo y la simetría de las siguientes funciones:
a) 22)( 23 +−−= xxxxf
� Función polinómica ℜ=→ )( fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+−−=
0
22 23
y
xxxy (Utilizamos el método de igualación) 022 23 =+−−⇒ xxx
2 1 2 1 +−−
2 1 1 −−+
0 2 1 1 −−
=−=⇒=−−
=⇒=−⇔=−−⋅−⇔=+−−
2 o 102
101
0)2()1(0222
223
xxxx
xx
xxxxxx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− )0,1( y )0,2(
� Puntos de corte con el eje OY
=+−−=
0
22 23
x
xxxy(Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 220020 23 =+−⋅−=y ⇒ 2=y
Luego, el punto de corte con el eje OY es )2,0( .
� Signo de la función
• ℜ=)( fDom
• 2 ò 1 10220)( 23 ==−=⇔=+−−⇔= xxxxxxxf
)2)(1)(1(22 23 −−+=+−− xxxxxx
1
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
�∞ �1 1 2 �∞
Por tanto,
)2,1()1,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf
),2()1,1( si 0)( +∞∪−∈> xxf
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
222)()(2)()( 2323 ⇒
−≠++−−=+−−−−−=−
xf
xf
xxxxxxxf
b) 44)( 24 ++= xxxf
� Función polinómica ℜ=→ )( fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=++=
0
44 24
y
xxy (Utilizamos el método de igualación) 044 24 =++⇒ xx
044 variablede cambio el Hacemos
044 bicuadradaEcuación 22
24
=++⇒=•
=++•
tttx
xx
realsolución existe no2 variablede cambio el Deshacemos
2
2
2
04
2
16164 grado 2º deecuación la Resolvemos
2 ⇒−=⇒•
−
−=±−=−±−=•
x
t
SIGNO DE f(x) − + − +
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
�∞ �∞
Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.
� Puntos de corte con el eje OY
=++=
0
44 24
x
xxy (Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 44040 24 =+⋅+=y ⇒ 4=y
Luego, el punto de corte con el eje OY es )4,0( .
� Signo de la función
• ℜ=)( fDom
• realsolución tieneno 0440)( 24 ⇔=++⇔= xxxf
Por tanto,
ℜ∈∀> xxf 0)(
� Simetría de la función
⇒=+=+−+−=− )(444)(4)()( 2424 xfxxxxxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)
c) 23
)(2
2
+−=
xx
xxf
� Función racional }2,1{}023/{)( 2 −ℜ==+−−ℜ=→ xxxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
SIGNO DE f(x) +
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
2 �∞ �∞ 1 0
=+−
=
0232
2
yxx
xy
(Utilizamos el método de igualación) 00023
22
2
=⇒=⇒=+−
⇒ xxxx
x
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,0(
� Puntos de corte con el eje OY
=+−
=
0232
2
xxx
xy
(Utilizamos el método de sustitución) 002030
02
2
=⇒=+⋅−
=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(
� Signo de la función
• }2,1{)( −ℜ=fDom
• 0023
0)(2
2
=⇔=+−
⇔= xxx
xxf
Por tanto,
),2()1,0()0,( si 0)( +∞∪∪−∞∈> xxf
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
232)(3)(
)()(
2
2
2
2
⇒
−≠
++=
+−−−−=−
xf
xf
xx
x
xx
xxf
SIGNO DE f(x) + + − +
)2,1( si 0)( ∈< xxf
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
1 �∞ �∞ -1
d) 1
1)(
2
4
−+=
x
xxf
� Función racional }1,1{}01/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−+=
01
12
4
yx
xy
(Utilizamos el método de igualación) realsolución existe no0101
1 42
4
⇒=+⇒=−+
⇒ xx
x
Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.
� Puntos de corte con el eje OY
=−+=
01
12
4
xx
xy
(Utilizamos el método de sustitución) 1110
102
4
−=⇒−=−+=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0( −
� Signo de la función
• }1,1{)( −−ℜ=fDom
• realsolución hay no0 101
10)( 4
2
4
⇒=+⇔=−+⇔= x
x
xxf
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
Por tanto,
)1,1( si 0)( −∈< xxf
),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf
� Simetría de la función
⇒=−+=
−−−=− )(
1
1
1)(
)()(
2
4
2
4
xfx
x
x
xxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)
e) x
xxf
−=
1)(
3
� Función racional }1(}01/{)( −ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−
=
01
3
yx
xy
(Utilizamos el método de igualación) 0001
33
=⇒=⇒=−
⇒ xxx
x
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,0(
� Puntos de corte con el eje OY
=−
=
01
3
xx
xy
(Utilizamos el método de sustitución) 001
03
=⇒=−
=⇒ yx
y
Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(
� Signo de la función
SIGNO DE f(x) + − +
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
1 �∞ �∞ 0
• }1{)( −ℜ=fDom
• 00 01
0)( 33
=⇒=⇔=−
⇔= xxx
xxf
Por tanto,
),1()0,( si 0)( +∞∪−∞∈< xxf
)1,0( si 0)( ∈> xxf
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
1)(1
)()(
33
⇒
−≠
+−=
−−−=−
xf
xf
x
x
x
xxf
f) 13)( +−= xxf
� Función radical ),3[}03/{)( +∞=≥−−ℜ=→ xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+−=
0
13
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒−=−⇒=+−⇒ 13013 xx
negativo) númeroun ser puede no 3 de resultado (el realsolución tieneNo −⇒ x
SIGNO DE f(x) − + −
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.
� Puntos de corte con el eje OY
=+−=
0
13
x
xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
)( 0)()( 013),3[ 03 fDomxxffDomxxxx ∈∀>⇒∈∀>+−⇒+∞∈∀≥−
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
13)( ⇒
−≠+−−=−
xf
xf
xxf
Observa que ),3[)( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni
respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.
Observa también que 13)( +−= xxf es la función xy = trasladada verticalmente 1 unidad hacia
arriba y 3 unidades a la derecha.
g) x
xxf
2)( =
� }0{)( −ℜ=fDom
� Puntos de corte con el eje OX
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
�∞ �∞ 0
=
=
02
yx
xy
(Utilizamos el método de igualación) ⇒=⇒=⇒=⇒ 0002
xxx
xNo hay puntos de corte
con el eje OX pues )(0 fDom∉
� Puntos de corte con el eje OY
=
=
02
xx
xy
OY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
• }0{)( −ℜ=fDom
• solución tieneNo 0)( ⇔=xf
Por tanto,
)0,( si 0)( −∞∈< xxf
),0( si 0)( +∞∈> xxf
� Simetría de la función
s)coordenada deorigen al respecto (simétrica IMPAR es )( )(22)(2
)( xfxfx
x
x
x
x
xxf ⇒−=−=
−=
−−
=−
Observa que la función se puede expresar como una “función definida a trozos”.
>=
<−=−
==0 si
2
1
2
0 si 2
1
22
)(
xx
x
xx
x
x
xxf
SIGNO DE f(x) − +
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
�∞ 3 -1
h) 12)( +−= xxf
� Función radical ),1[}01/{)( +∞−=≥+−ℜ=→ xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+−=
0
12
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx
3412)1( 22 =⇒=+⇒=+⇒ xxx
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,3(
� Puntos de corte con el eje OY
=+−=
0
12
x
xy(Utilizamos el método de sustitución) 11102 =⇒=+−=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0(
� Signo de la función
)0,1[)( −=fDom
0)( =xf ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx 3412)1( 22 =⇒=+⇒=+ xxx
Por tanto,
),3( si 0)( +∞∈< xxf
)3,1[ si 0)( −∈> xxf
� Simetría de la función
SIGNO DE f(x) + −
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
conocidas simetríashay No
)(
)(
12)( ⇒
−≠+−−=−
xf
xf
xxf
Observa que ),1[)( +∞−=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni
respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.
Observa también que 12)( +−= xxf es la función xy −= trasladada verticalmente 2 unidades
hacia arriba y 1 unidades a la izquierda.
i) x
xxf
3 2 5)(
−=
� Dominio
⇒=)(
)()(
xh
xgxf
(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se
anula)
ℜ=−=→−= )5(Dominio5 23 2 xDomxy
}0{−ℜ→= xy Eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse
}0{)( Por tanto, −ℜ=fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=
−=
0
53 2
yx
xy (Utilizamos el método de igualación) 05050
5 23 23 2
=−⇒=−⇒=−⇒ xx
x
x
552 ±=⇒=⇒ xx
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
5 �∞ �∞ 0 5− 0
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(
� Puntos de corte con el eje OY
=
−=
0
53 2
xx
xy OY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
• }0{)( −ℜ=fDom
• 50)( ±=⇔= xxf
Por tanto,
)5,0()5,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf
),5()0,5( si 0)( +∞∪−∈> xxf
� Simetría de la función
⇒−=−−=−
−−=− )(
55)()(
3 23 2
xfx
x
x
xxf La función es IMPAR (su gráfica es simétrica respecto al
origen de coordenadas)
SIGNO DE f(x) − + − +
1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
j) 1
)(2
24
+−=
x
xxxf
� Dominio
Función radical con índice par
≥+
−ℜ∈=→ 01
/)(2
24
x
xxxfDom
01
)1)(1(0
1 :inecuación laresolver que Tenemos 2
2
2
24
≥+
+−⇔≥+−
x
xxx
x
xx
Ceros
1 o 00)1(0 2224 −±==⇔=−⇔=− xxxxxx
Polos
realsolución tieneno 101 22 ⇒−=⇔=+ xx
),1[}0{]1,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+
−=
012
24
yx
xxy
01
01 2
24
2
24
=+
−⇒=
+−
⇒x
xx
x
xx1 o 00)1(0 2224 −±==⇒=−⇒=−⇒ xxxxxx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,0( )0,1(− y )0,1(
� Puntos de corte con el eje OY
=+
−=
012
24
xx
xxy
0010
002
22
=⇒=+
−=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(
� Signo de la función
• ),1[}0{]1,()( +∞∪∪−−∞=fDom
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
0 ∞− 1 1− ∞+
• 1 o 00)( −±==⇔= xxxf
Por tanto,
)( 0)( fDomxxf ∈∀≥
� Simetría de la función
⇒=+
−=+−−−−=− )(
11)()()(
)(2
24
2
24
xfx
xx
x
xxxf La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al
eje OY)
k) 182)( 3 −−= xxf
� ℜ=)( fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−−=
0
1823
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−−⇒ 1820182 33 xx
29
921821)82( 333 =⇒=⇒=−⇒=−⇒ xxxx
Luego, el punto de corte con el eje OX es
0,2
9
� Puntos de corte con el eje OY
=−−=
0
1823
x
xy (Utilizamos el método de sustitución) 331218023 −=⇒−=−−=−−⋅=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )3,0( −
� Signo de la función
SIGNO DE f(x) + +
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
�∞ ∞− 2
9
ℜ=)( fDom
0)( =xf29=⇔ x
Por tanto,
∞−∈<2
9. si 0)( xxf
+∞∈> ,2
9 si 0)( xxf
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
182)( 3 ⇒
−≠−−−=−
xf
xf
xxf
l) 23)( 12 2
+= +xxf
� ℜ=)( fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+= +
0
23 12 2
y
y x
23023 1212 22
−=⇒=+⇒ ++ xx )( 0)( 0 Pero, fDomxxfba b ∈∀>⇒ℜ∈∀>
Luego, no hay puntos de corte con el eje OX
� Puntos de corte con el eje OY
=+= +
0
23 12 2
x
y x
552323 102 2
=⇒=+=+=⇒ +⋅ yy
SIGNO DE f(x) − +
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
Luego, el punto de corte con el eje OY es )5,0(
� Signo de la función
)( 0)( 023 03 0 1212 22
fDomxxfxxba xxb ∈∀>⇒∀>+⇒∀>⇒ℜ∈∀> ++
� Simetría de la función
⇒==+=− ++− )(2323)( 121)(2 22
xfxf xx La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al eje
OY)
m) xxxf −=3
5)(
� ℜ=−== )()( 3 xxyDomfDom
� Puntos de corte con el eje OX
== −
0
53
y
y xx
053
=⇒ −xx xa x 0 puessolución tieneNo ∀>⇒
Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.
� Puntos de corte con el eje OY
== −
0
53
x
y xx
1150 =⇒==⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0(
� Signo de la función
ℜ∈∀>⇒ℜ∈∀> xxfba b 0)( 0
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
55)(33 )()( ⇒
−≠==− +−−−−
xf
xf
xf xxxx
n) )4log()( 2 −= xxf
� ),2()2,(}04/{)( 2 +∞∪−−∞=>−−ℜ= xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−=
0
)4log( 2
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx
552 ±=⇒=⇒ xx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(
� Puntos de corte con el eje OY
=−=
0
)4log( 2
x
xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
• ),2()2,()( +∞∪−−∞=fDom
• 0)( =xf ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx 552 ±=⇒= xx
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
5 �∞ �∞ 0 5− -2 2
Por tanto,
)5,2()2,5( si 0)( ∪−−∈< xxf
),5()5,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf
� Simetría de la función
OY) eje al respecto simétrica es gráfica(su PAR es )( )()4log()4)log(()( 22 xfxfxxxf ⇒=−=−−=−
o) 1)7log()( −+= xxf
� ),7(}07/{)( +∞−=>+−ℜ= xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−+=
0
1)7log(
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=+⇒=−+⇒ 1)7log(01)7log( xx
3107 =⇒=+⇒ xx
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,3(
SIGNO DE f(x) + − − +
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
�∞ 3 -7
� Puntos de corte con el eje OY
=−+=
0
1)7log(
x
xy1)7log(01)70log( −=⇒=−+=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )1)7log(,0( −
� Signo de la función
• ),7()( +∞−=fDom
• 0)( =xf 3=⇒ x
•
Por tanto,
)3,7( si 0)( −∈< xxf
),3( si 0)( +∞∈> xxf
� Simetría de la función
),7()( +∞−=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni respecto al
origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.
Observa que )(xf es la función xy log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y horizontalmente
7 unidades a la izquierda.
p) 6log)( 2 −= xxf
SIGNO DE f(x) − +
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
�∞ 7 6
� ),6(}06/{)( +∞=>−−ℜ= xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−=
0
6log2
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 1606log2 xx 7=x
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,7(
� Puntos de corte con el eje OY
=−=
0
6log2
x
xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
• ),6()( +∞=fDom
• 0)( =xf 7=⇒ x
•
Por tanto,
)7,6( si 0)( ∈< xxf
),7( si 0)( +∞∈> xxf
� Simetría de la función
),6()( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni respecto al
origen de coordenas. Es decir, no puede ser par ni impar.
SIGNO DE f(x) − +
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
10. Obtener toda la información posible de las siguientes funciones:
1) }2{)( −−ℜ=fDom
2) ℜ=)(Re fc
3) }2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=
2−=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
4) Puntos de corte con el eje OX: )0,0( y )0,5(
Puntos de corte con el eje OY: )0,0(
5) Signo de )(xf
)5,0()0,2( si 0)( ∪−∈< xxf
),5()2,( si 0)( +∞∪−−∞∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) Asíntota vertical: 2−=x
9) )3,0()4,( si decrece )( ∪−−∞∈xxf
),3()0,2()2,4( si crece )( +∞∪−∪−−∈xxf
10) Mínimos relativos: )1,4(− y )2,3( −
Máximos relativos: )0,0(
No tiene extremos absolutos
11) No está acotada (recuerda que ℜ=)(Re fc )
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
1) }3{)( −ℜ=fDom
2) }0{)(Re −ℜ=fc
3) }3{dcontinuida de Dominio −ℜ=
3=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
4) Puntos de corte con el eje OX: No hay
Puntos de corte con el eje OY: )1,0(
5) Signo de )(xf
),3( si 0)( +∞∈< xxf
)3,( si 0)( −∞∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) Asíntota vertical 3=x
Asíntota horizontal: 0=y
9) dominiosu en todo crece )(xf
10) No tiene ni extremos relativos ni extremos absolutos
11) No está acotada (recuerda que }0{)(Re −ℜ=fc )
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
1) }2,2{)( −−ℜ=fDom
2) ),1[)0,()(Re +∞∪−∞=fc
3) }2,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=
2−=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
2=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
4) Puntos de corte con el eje OX: No hay
Puntos de corte con el eje OY: )1,0(
5) Signo de )(xf
),2()2,( si 0)( +∞∪−−∞∈< xxf
)2,2( si 0)( −∈> xxf
6) Es Par (simétrica respecto al eje OY)
7) No es periódica
8) Asíntotas verticales: 2y 2 =−= xx
Asíntota horizontal: 0=y
9) )0,2()2,( si decrece )( −∪−−∞∈xxf
),2()2,0( si crece )( +∞∪∈xxf
10) Mínimos relativos: )1,0(
Máximos relativos: No hay
No tiene extremos absolutos
11) No está acotada.
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
1) }1,3{)( −−ℜ=fDom
2) ℜ=)(Re fc
3) }1,3{dcontinuida de Dominio −−ℜ=
3−=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
1=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
4) Puntos de corte con el eje OX: )0,1(−
Puntos de corte con el eje OY: )1,0( −
5) Signo de )(xf
)1,1()3,( si 0)( −∪−−∞∈< xxf
),1()1,3( si 0)( +∞∪−−∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) Asíntotas verticales: 1y 3 =−= xx
Asíntota horizontal: 0=y
9) dominiosu en todo decrece )(xf
10) No tiene ni extremos relativos ni extremos absolutos
11) No está acotada.
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
1) ℜ=)( fDom
2) ),4[)(Re +∞−=fc
3) )(xf es continua en todo su dominio
4) Puntos de corte con el eje OX: )0,0( )0,5(
Puntos de corte con el eje OY: )0,0(
5) Signo de )(xf
)5,0( si 0)( ∈< xxf
),5()0,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) No tiene asíntotas
9) )2,( si decrece )( −∞∈xxf
),2( si crece )( +∞∈xxf
10) Mínimo relativo y absoluto: )4,2( −
No tiene máximos relativos y absolutos.
11) No está acotada superiormente.
Está acotada inferiormente
4 Ínfimo −=
4 absoluto Mínimo −=
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
1) ),2()2,1()0,()( +∞∪∪−∞=fDom
2) ),2[)(Re +∞−=fc
3) ),2()2,1()0,2()2,(dcontinuida de Dominio +∞∪∪−∪−−∞=
2−=x discontinuidad de salto finito
0=x discontinuidad asintótica o de salto infinito (por la izquierda)
1=x discontinuidad asintótica o de salto infinito (por la derecha)
2=x discontinuidad evitable
4) Puntos de corte con el eje OX: )0,4(− )0,1(− )0,4(
Puntos de corte con el eje OY: No hay
5) Signo de )(xf
)4,2()1,2[)4,( si 0)( ∪−−∪−−∞∈< xxf
),4()2,1()0,1()2,4( si 0)( +∞∪∪−∪−−∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) 0=x asíntota vertical por la izquierda ))(lim(0
+∞=−→
xfx
1=x asíntota vertical por la derecha ))(lim(1
+∞=+→
xfx
2−=y asíntota horizontal por la izquierda )2)(lim( −=−∞→
xfx
3=y asíntota horizontal por la derecha )3)(lim( =+∞→
xfx
9) )3,2()2,1()2,3( si decrece )( ∪∪−−∈xxf
),3()0,2()3,( si crece )( +∞∪−∪−−∞∈xxf
10) Mínimo relativo y absoluto: )2,3( −
Máximo relativo )4,3(− No tiene máximo absoluto.
11) No está acotada superiormente.
Está acotada inferiormente. 2 Ínfimo −= . 2 absoluto Mínimo −=
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
11. Dadas las siguientes funciones efectúa las operaciones que se indican, calculando en cada caso el
dominio de la función resultante:
4
1)(
2 −=
xxf }2,2{)( −−−ℜ=→ fDom
6)( 2 −= xxg ℜ=→ )( fDom
4
6)( 2 −
=x
xxh }2,2{)( −−ℜ=→ fDom
1)( += xxp ),1[}01/{)( +∞−=≥+ℜ∈=→ xxfDom
1
1)(
+−=
x
xxj }1{)( −−ℜ=→ fDom
1
2)(
2 −+=
x
xxk }1,1{)( −−ℜ=→ fDom
34)( 2 +−= xxxl ),3[]1,(}034/{)( 2 +∞∪−∞=≥+−ℜ∈=→ xxxfDom
034 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥+− xx
Ceros
3 ò 10342 ==⇔=+− xxxx
4)( −= xxm ℜ=→ )( fDom
1
3)(
−−=
x
xxs }1{)( −ℜ=→ fDom
3
12)(
+−=
x
xxr }3{)( −−ℜ=→ fDom
ℜ=→ )( fDom
}2{)( −ℜ=→ fDom
a) 4
2510
4
24461
4
)6)(4(1)6(
4
1)()())((
2
24
2
224
2
222
2 −+−=
−+−−+=
−−−+=−+
−=+=+
x
xx
x
xxx
x
xxx
xxgxfxgf
• Por tanto, 4
2510))((
2
24
−+−=+
x
xxxgf
• }2,2{})2,2{()()()( −−ℜ=ℜ∩−−ℜ=∩=+ gDomfDomgfDom
b) =−
+++−=+=+
12
11
)()())(( 2x
x
x
xxkxjxkj =
−+++−=
+−++−=
+−++
+−
1212
)1)(1(2)1(
)1)(1(2
11
2
22
x
xxx
xx
xx
xx
x
x
x
1
32
2
−+−=
x
xx
• Por tanto, 1
3))(( 2
2
−+−=+
x
xxxkj
• }1,1{})1,1{(})1{()()()( −−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=+ kDomjDomkjDom
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
c) 341)()())(( 2 +−++=+=+ xxxxlxpxlp
• Por tanto, 341))(( 2 +−++=+ xxxxlp
• ),3[]1,1[)),3[]1,((),1[)()()( +∞∪−=+∞∪−∞∩+∞−=∩=+ lDompDomlpDom
d) =++
+−+−−−+=++
−+−+−=+−−
+−=−=−
)3)(1(12233
)3)(1()12)(1()3)(1(
312
11
)()())((22
xx
xxxxxx
xx
xxxx
x
x
x
xxrxjxrj
342
)3)(1(2
2
22
++−+−=
++−+−=
xx
xx
xx
xx
• Por tanto, 34
2))(( 2
2
++−+−=−
xx
xxxrj
• }1,3{})3{(})1{()()()( −−−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=− rDomjDomrjDom
e) 22
6
)1)(2(
6
)1()2()2(
)2(6
1
2
4
6)()())((
232222 +−−=
−−=
−⋅−⋅++⋅=
−+⋅
−=⋅=⋅
xxx
x
xx
x
xxx
xx
x
x
x
xxkxhxkh
• Por tanto, 22
6))(( 23 +−−
=⋅xxx
xxkh
• }2,1,1,2{)1,1{(})2,2{()()()( −−−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=⋅ kDomhDomkhDom
f) 4
34)()(
))((2
−+−==
x
xx
xm
xlxml
• Por tanto, 4
34))(/(
2
−+−=
x
xxxml
• ),4()4,3[]1,(}4{]),3[]1,[(}0)(/{)]()([)/( +∞∪∪−∞=−ℜ∩+∞∪−∞==−∩= xmxmDomlDommlDom
),3[]1,()( +∞∪−∞=lDom
ℜ=)(mDom
4040)( =⇔=−⇔= xxxm
g) 32
2
33
2
)3)(1(
2
)3)(1)(1(
)1)(2(
1
3:
1
2
)(
)())((
222 ++−+=
−+−+=
−++=
−+−−+=
−−
−+==
xx
x
xxx
x
xx
x
xxx
xx
x
x
x
x
xs
xkxsk
• Por tanto, 32
2))(/( 2 ++−
+=xx
xxsk
• }3,1,1{}3{}]1{}1,1{[}0)(/{)]()([)/( −−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ==−∩= xsxsDomkDomskDom
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
}1,1{)( −−ℜ=kDom
}1{)( −ℜ=sDom
301
30)( =⇔=
−−⇔= x
x
xxs
h) 1
6)()(
))((2
−−==
x
x
xp
xgxpg
• Por tanto, 1
6))(/(
2
−−=
x
xxpg
• ),1(}1{)],1[[}0)(/{)]()([)/( +∞=−+∞∩ℜ==−∩= xpxpDomgDompgDom
ℜ=)(gDom
),1[)( +∞=pDom
1010)( =⇔=−⇔= xxxp
i) 128
1
4)4(
1]4[)]([))((
22 +−=
−−=−==
xxxxfxmfxmf o
}6,2{}}2,2{4/{)}()(/)({)( −ℜ=−−ℜ∈−ℜ∈=∈∈= xxfDomxmmDomxmfDom o
224 ≠⇔−≠− xx 624 ≠⇔≠− xx
j) 153
1441
411
11
)]([))((+−−=
+−−−=−
+−=
+−==
x
x
x
xx
x
x
x
xmxjmxjmo
}1{}11
/}1{{)}()(/)({)( −−ℜ=ℜ∈+−−−ℜ∈=∈∈=
x
xxmDomxjjDomxjmDom o
k) 3
23
3
3121
3
12
3
12)]([))((
++=
+++−=+
+−=
+−==
x
x
x
xx
x
x
x
xpxrpxrp o
+∞−∪−−∞=+∞−∈+−−−ℜ∈=∈∈= ,
32
)3,()},1[312
/}3{{)}()(/)({)(x
xxpDomxrrDomxrpDom o
0323
01312
1312 ≥
++⇔≥+
+−⇔−≥
+−
x
x
x
x
x
x
Ceros Polos
32
023 −=⇔=+ xx 303 −=⇔=+ xx
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
l) 11
13]1[)]([))((
−++−=+==
x
xxsxpsxps o
),0()0,1[}}1{1/),1[{)}()(/)({)( +∞∪−=−ℜ∈++∞−∈=∈∈= xxsDomxppDomxpsDom o
01111 ≠⇔≠+⇔≠+ xxx
m) x
x
x
xx
xx
x
xxx
x
x
xx
x
x
xrxsrxsr
2
73
1
21
126
1
333
11
26
31
3
11
32
1
3)]([))((
+−=
−
−+−−
=
−−+−
−−
−
=+
−−
−
−−
=
−−==o
}0,1{}}3{1
3/}1{{)}()(/)({)( −−ℜ=−−ℜ∈
−−−ℜ∈=∈∈=
x
xxrDomxssDomxsrDom o
002333)1(3331
3 ≠⇔≠⇔+−≠−⇔−⋅−≠−⇔−≠−−
xxxxxxx
x
n) 1−m
� Primero comprobaremos si 4)( −= xxm es inyectiva, es decir, ])()( si[ babmam =⇒=
bababmam =⇒−=−⇒= 44)()(
Por tanto, )(xm es inyectiva y existe )(1 xm−
� Ahora calculamos )(1 xm−
1) 44)( −=⇒−= xyxxm
2) 4−= yx
3) 4+= xy
4) 4)(1 +=− xxm
� COMPROBACIÓN
xxxmmxmm =−+== −− 4)4()]([))(( 11o
xxxmmxmm =+−== −− 4)4()]([))(( 11o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y
tercer cuadrantes)
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
ℜ=)(mDom ℜ=)(Re mc
ℜ=− )( 1mDom ℜ=− )(Re 1mc
o) 1−j
� Primero comprobaremos si 1
1)(
+−=
x
xxj es inyectiva, es decir, ])()( si[ babjaj =⇒=
⇒−+−⋅=−−+⋅⇒−⋅+=+⋅−⇒+−=
+−
⇒= 11)1()1()1()1(11
11
)()( babababababab
b
a
abjaj
baba =⇒=⇒ 22
Por tanto, )(xj es inyectiva y existe )(1 xj−
� Ahora calculamos )(1 xj−
1) 11
11
)(+−=⇒
+−=
x
xy
x
xxj
2) 1
1
+−=
y
yx
3) x
xyxyxxyyxyxxyyyx
−+=⇒−⋅=+⇒−=+⇒−=+⇒−=+⋅
11
)1(1111)1(
4) x
xxj
−+=−
11
)(1
� COMPROBACIÓN
xx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
xjxjjxjj ==
−−++
−+−+
=+
−+
−−+
=
−+== −−
2
2
1
111
11
11
1
11
1
1
1)]([))(( 11
o
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
xx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
xjxjjxjj ==
++−+
+++−
=
+−−
++−
=
+−== −−−
2
2
1
111
11
1
11
11
1
1
1)]([))(( 111
o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y
tercer cuadrantes)
}1{)( −−ℜ=jDom }1{)(Re −ℜ=jc
}1{)( 1 −ℜ=−jDom }1{)(Re 1 −−ℜ=−jc
p) 1−p
� Primero comprobaremos que 1)( += xxp es inyectiva, es decir, ])()( si[ babpap =⇒=
babababpap =⇒+=+⇒+=+⇒= 1111)()(
Por tanto, )(xp es inyectiva y existe )(1 xp−
� Ahora calculamos )(1 xp−
1) 11)( +=⇒+= xyxxp
2) 11 2 +=⇒+= yxyx
3) 12 += xy
4) 1)( 21 −=− xxp con ),0[ +∞∈x
� COMPROBACIÓN
xxxppxpp =+−== −− 11)]([))(( 211o
xxxppxpp =−+== −− 1)1()]([))(( 211o
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y
tercer cuadrantes)
),1[)( +∞−=pDom ),0[)(Re +∞=pc
),0[)( 1 +∞=−pDom ),1[)(Re 1 +∞−=−pc
q) 1−g
� Primero comprobaremos si 6)( 2 −= xxg es inyectiva, es decir, ])()( si[ babgag =⇒=
babababgag ±=⇒=⇒−=−⇒= 2222 66)()(
Por tanto, )(xg NO es inyectiva
En consecuencia no existe la función )(1 xg − (aunque existe la correspondencia inversa )(1 xg − no es una función).
� Lo que haremos será restringuir el dominio de )(xg a un conjunto en el que sí sea una función
inyectiva y, por tanto, sí exista la función )(1 xg − .
6)( 2 −= xxg 1) ∪⇒>= 01a 2) Vértice )6,0( − 3) Tabla de valores
x 3− 2− 1− 0 1 2 3 y 3 2− 5− 6− 5− 2− 3
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
Restringuimos 6)( 2 −= xxg al conjunto ),0[ +∞
� Ahora calculamos )(1 xg −
1) 66)( 22 −=⇒−= xyxxg
2) 66 22 +=⇒−= xyyx
3) 6+= xy
4) 6)(1 +=− xxg con ),6[ +∞−∈x
� COMPROBACIÓN
xxxggxgg =−+== −− 6)6()]([))(( 211o
xxxggxgg =+−== −− 66)]([))(( 211o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y tercer
cuadrantes)
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
),0[)( +∞=gDom ),6[)(Re +∞−=gc
),6[)( 1 +∞−=−gDom ),0[)(Re 1 +∞=−gc
1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I
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