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Soluciones a los ejercicios, problemas y cuestiones
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
EJERCICIOS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
6
1
5
2
3
14
5
1)5
2
12
3
14)
35
1
4
15
2
12)
3
2
6
1
2)
xxxd
xxxc
xxx
bx
xx
a
SOLUCIÓN:
.82
9;5121040306
;30
5
30
12
30
1040
30
30
30
6;
6
1
5
2
3
14
5
1)
8
31;3036286
;6
30
6
36
6
28
6
6;5
2
12
3
14)
.65
19;1965 ;604155
;20
60
20
4
20
525
20
1020;3
5
1
4
15
2
12)
13
1;113;419;
6
4
6
1
6
6
6
3;
3
2
6
1
2)
xxxx
xxxxxxd
xxxx
xxxxxxc
xxxx
xxxx
xxb
xxxxxxxx
xx
a
2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
006,05,0)0152)
02154)0253)
0145)02)
22
22
22
xxfxxe
xxdxxc
xxbxxa
SOLUCIÓN:
a) x1 2, x2 1
b) x1 7, x2 2
c) x1 1
3, x2 2
d) x1 7
4, x2 3
e) x1 3, x2 5
f ) x1 0,3, x2 0,2 3. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
04
1
5
3)0
9
4)
273)0204)
22
22
xxdxc
xbxxa
SOLUCIÓN:
a) 4x2 20x 0; 4x(x 5) 0; x1 0, x2 5
b) 3x2 27; x 27
3 9; x1 3, x2 3
c) x2 4
9 0; x
4
9
2
3; x1
2
3, x2
2
3
d)3
5x2
1
4x 0; x
3
5x
1
4
0; x1 0, x2
5
12
4. Escribe, en cada caso, la ecuación de segundo grado que tenga por soluciones:
11)30)
3
12)31)
ydyc
ybya
SOLUCIÓN:
a) (x 1)(x 3) x2 4x 3 0
b) (x 2)(x 1/ 3) x2 5/ 3x 2/ 3 0
c) (x 0)(x 3) x2 3x 0
d) (x 1)(x 1) x2 1 0 5. Determina sin resolver el número de soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
05,12,0)012)
062)01253)
22
22
xxdxxc
xxbxxa
SOLUCIÓN:
a) 52 4 3 (12) 0. Tiene dos soluciones reales.
b) (2)2 4 1 6 0. No tiene soluciones reales.
c) (2)2 4 1 1 0. Tiene una única solución (raíz doble)
d) 0,2 2 4 1 (1,5) 0. Tiene dos soluciones reales 6. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado:
2
)13)(3(
3
2
2
)1(
3
1)
132,0125,01)
413)
23
2
3
)2()
2
22
2
2
xxxxd
xxxxc
xx
xxb
xxx
a
SOLUCIÓN:
.3,3
1
24
4032
24
576102432;0123212
9249436322;38334)12(3)1(2
;133341312;2
)13)(3(
3
2
2
)1(
3
1)
.3172,4,0772,05,1
8624,1018,3
5,1
75,01124,1018,3
025,018,375,0;132,025,05,025,012
;132,01225,012;132,0125,01)
.2,5
6
10
164
10
240164;01245;01245
41284;4
32;4
33;4
13)
.1;62
57
2
24497
067;62344;623)2(;23
2
3
)2()
21
2
2222
22
21
222
2222
21
22
222
22
22
21
2222
xxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx
d
xxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxc
xxxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxxxx
xxb
xxx
xxxxxxxxxxxx
a
7. Resuelve las ecuaciones:
2
2
22
22
2)
123
)12(
2
)1()
2
)3(
24
32
3
1)
)3(3)1()2()
xbxaxbxad
xx
xxxc
xxxxb
xxxxxa
SOLUCIÓN:
.2
)1(4
;0)1(;2;2)
.11
2,2
22
2420
22
57620;042011;6928833
;636144233;123
)12(
2
)1()
.10
23;
10
23
10
23;2310
;18669644;1866)32(3)1(4
;12
)3(6
12
6
12
)32(3
12
)1(4;
2
)3(
24
32
3
1)
.33;331244
331244);3(3)1()2()
2
2222
21
222
222
21
2
2222
2222
2222
2222
baaax
baaxxxbxaxbxaxabxbxaxbxad
xx
xxxxxxxx
xxxxxxx
xxxx
c
xxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxb
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxa
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS 8. Resuelve las ecuaciones bicuadradas:
0483)016
735)
0592)034)
2424
2424
xxdxxc
xxbxxa
SOLUCIÓN:
reales. soluciones tieneNo
.2,3
2
6
48
6
48648;0483
:queda dosustituyen;;0483)
.2
1
4
1
4
1
20
5;
20
7
20
7
.20
5,
20
7
10
2
13
10
4
13
10
16
14093
016
735
:queda dosustituyen;;016
735)
real.un valor es no que2
1
2
1;55
.2
1,5
4
119
4
1219
4
40819t;0592
:queda dosustituyen;;0592)
.11;33
.1,32
24
2
12164;034t
:queda dosustituyen;;034)
212
24224
22
212
24224
22
212
24224
22
212
24224
ttttt
txtxxxd
xxxx
ttt;tt
txtxxxc
xxxx
tttt
txtxxxb
xxxx
tttt
txtxxxa
9. Resuelve las ecuaciones polinómicas:
061133)
03232)
01074)
234
23
23
xxxxc
xxxb
xxxa
0103)
1464)
13)1()
23
234
23
xxxf
xxxxe
xxd
SOLUCIÓN:
.doble) (raíz 1,3,2 :sonecuación la de soluciones las Por tanto
.0)1)(3)(2(61133
tienese polinomio el doFactorizan)
.2
3,1,1 :sonecuación la de soluciones las Por tanto
.0)32)(1)(1(03232
tienese polinomio el doFactorizan)
.5,2,1 x:sonecuación la de soluciones las Por tanto
.0)5)(2)(1(01074
tienese polinomio el doFactorizan )
321
2234
321
23
321
23
xxx
xxxxxxx
c
xxx
xxxxxx
b
xx
xxxxxx
a
.5,2;2
73
2
4093;0103
0 :son soluciones Las.0)103(;0103)
.cuádruple) (raíz 1Solución .0)1(01464
: tienese polinomio el doFactorizan .01464)
.63;63;2
246
2
12366;036
,0 :son soluciones las Luego
.036;036;013)1(;13)1()
322
1223
4234
234
322
1
2232323
xxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxe
xxxxx
x
xxxxxxxxxxd
10. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) 60
5615
10
13
43
32
xxxx b) 13)7()4(4)3(5 2 xxxxx
c) 013)2()3(7)1(5 22 xxxx d) 4
816
15 2
2 x
x
SOLUCIÓN:
a) m.c.m (3,4,10,60)=60. Por tanto, podemos eliminar los denominadores multiplicando cada término por el mínimo común múltiplo y obtenemos la ecuación:
56156181560405615)13(615)32(20 xxxxxxxx
22x 110 x 5
b) 13716415513)7()4(4)3(5 2322 xxxxxxxxxx
02113 23 xxx Si aplicamos Ruffini para x = -2 obtenemos la descomposición:
0)15)(2( 2 xxx y resolviendo la ecuación de segundo grado del segundo factor obtenemos
que las soluciones son 2
29
2
5,
2
29
2
5,2 xxx
c) 013221755013)2()3(7)1(5 32222 xxxxxxxx 01377 23 xxx
Aplicando Ruffini para x =1, obtenemos:
0)136)(1( 2 xxx ,
resolviendo ahora la ecuación de segundo grado, obtenemos que las soluciones son:
223,223,1 xxx .
d) ,06081248124604
812415
4
816
15 24242
2
2
2
xxxx
x
xx
x
Efectuando el cambio 2xt , obtenemos la ecuación: .0202780608124 22 tttt
Resolviendo obtenemos como soluciones .8/5,4 21 tt
Si 244 xt .
Si 55 2 xt y no hay ningún valor real de x que cumpla esa ecuación.
Luego las soluciones son: 21 x , 22 x .
11. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 1031256 23 xxx b) 063343 345 xxx
c) 012026316124 234 xxxx d) 03696974711 2345 xxxxx
SOLUCIÓN:
a) Aplicando Ruffini, para x = 2, obtenemos resto nulo y la descomposición del polinomio
en: 0)5136)(2( 2 xxx . Resolviendo la ecuación de segundo grado: 05136 2 xx , obtenemos como soluciones
.2
1,
3
5 xx Por tanto las soluciones de la ecuación son: .2,
2
1,
3
5321 xxx
b) Sacando factor común tenemos: 0)63343( 23 xxx . Una de las soluciones es, por tanto,
0x . Resolviendo ahora la ecuación de segundo grado 063343 2 xx obtenemos
.9,3
7 xx Por tanto las soluciones de la ecuación son: .0,9,
3
7321 xxx
c) Sacando factor común tenemos: 0)12026316124( 23 xxxx , luego una solución es .0x
Aplicando la regla de Ruffini para x=8 (que es uno de los divisores del término independiente)
obtenemos la descomposición: 0)153124)(8( 2 xxxx . Si resolvemos ahora la ecuación
0153124 2 xx , obtenemos como soluciones: 3
5,
8
3 xx . Por tanto las soluciones de la
ecuación son: 8,3
5,
8
3,0 4321 xxxx .
d) Aplicando la regla de Ruffini para x = 1, x = 2 y luego para x = 3, obtenemos que son raíces y por tanto el polinomio se descompone en: 0)65)(3)(2)(1( 2 xxxxx . Resolviendo la
ecuación de segundo grado 0652 xx , tenemos como soluciones: 2,3 xx . Por tanto las
soluciones son: 1,2,3 321 xxx .
12. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 014425 24 xx b) 0601075913 234 xxxx
c) 24
83
6
7 2 xx
xx
d)
10
77)4(
2
)3(
5
)2( 22
xxx
SOLUCIÓN:
a) Se trata de una ecuación bicuadrada, efectuando el cambio tx 2
, la ecuación se transforma
en: 0144252 tt , cuyas soluciones son: .9,16 21 tt Si 399 2 xxt , y si 41616 2 xxt . Luego las soluciones son: .3,3,4,4 4321 xxxx
b) Aplicando la regla de Ruffini, obtenemos dos raíces x = 1 y x = 3, y la descomposición
factorial del polinomio en: 0)209)(3)(1( 2 xxxx . Resolviendo la ecuación 02092 xx
obtenemos como soluciones: 4,5 xx . Por tanto las soluciones de la ecuación son: .5,4,3,1 4321 xxxx
c) Como 12)2,4,6.(.. mcm , multiplicando cada término por el m.c.m. obtenemos la ecuación
equivalente: 038512612249142612)83(3)7(2 222 xxxxxxxxxx y resolviendo
obtenemos como soluciones: .2,
12
1921 xx
d) Como 10)10,1,2,5.(.. mcm entonces multiplicando cada miembro por el m.c.m. la ecuación se transforma en
048307740104530588277)4(10)3(5)2(2 22222 xxxxxxxxxx
0)16(3 xx , luego las soluciones son: .0,16 21 xx
ECUACIONES RACIONALES 13. Resuelve las ecuaciones:
a) 06)2(5
33
)3(5
48 2
xxx
b) 2
32
6
28 2
x
xx
x
x
c) 24
4
2
24 24
1 xx
x
x
xx
d) 3
2
3
3
1
27279 223
x
x
x
x
x
xxx
SOLUCIÓN:
a) Como )2)(3(5)2(5),3(5... xxxxmcm , multiplicando a todos los términos por el m.c.m.
obtenemos: 0)3015105)(6(993396480)2)(3(5)6()3(33)2(48 222 xxxxxxxxxxx
0180906030301510519515 22334 xxxxxxxx
0330151555 3434 xxxxxx . Si aplicamos la regla de Ruffini para x = 1, obtenemos la descomposición:
321
3 3,10)3)(1(5 xxxx .
b)
.1,14
10)1(
140140)1)(14(0142916
;181584148
);32)(6()2)(28(
2
32
6
28
21
2
223
232
2
2
xx
Soluciones
xx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxx
x
xx
x
x
c)
02524024242424)1(24))(( 46846484648242424 xxxxxxxxxxxxxxxxx
0)2524( 244 xxx
Una primera solución es .01 x
Resolvamos ahora la ecuación bicuadrada: 02524 24 xx efectuando el cambio tx 2 ,
tenemos 025242 tt , luego resolviendo 1,25 21 tt .
Para 5,525 21 xxt .
Para 11 2 xt , no hay soluciones reales para x. Soluciones:
x1 0, x2 5, x3 5
d) )3)(1()3,1.(.. xxxxmcm . Por tanto, multiplicando los términos de la ecuación por el
mínimo común múltiplo conseguimos eliminar los denominadores, y resulta la ecuación: )1(2)1)(3()3)(27279( 223 xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx 2233812781272793 22322334
078495 234 xxxx . Aplicamos la regla de Ruffini para x = 2 y x = -3 y resulta la descomposición:
0)136)(3)(2( 2 xxxx .
Resolviendo la ecuación de segundo grado 01362 xx obtenemos que no existe solución real.
Por tanto las únicas soluciones son: .3,2 21 xx
Pero como para 3x se anula uno de los denominadores, entonces tenemos que la única
solucion es 2x . 14. Resuelve las ecuaciones racionales:
a) 262
5
5
5
3
3
x
x
x
x b) 17
18
1
3
3
5
x
x
x
x
x
x
c) 15
7
5
4
1
532
x
x
x
x d) 2
41
5
11
5
3 2
x
x
x
x
SOLUCIÓN:
a)
)153(5)262)(8(
262
5
153
8
262
5
)5(3
15)5)(3(
262
5
5
5
3
3 22
xxxxxx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
0)13352(0133527515208102 223223 xxxxxxxxxxx .
Una solución es x = 0, las otras dos se obtienen al resolver la ecuación de segundo grado
013352 2 xx por lo que las soluciones son: .2
19,7,0 321 xxx
b)
.0122371454691468106282
17
18
34
462
17
18
)1)(3(
9)1)(5(
17
18
1
3
3
5
232323
2
22
xxxxxxxxx
x
x
xx
xx
x
x
xx
xxx
x
x
x
x
x
x
Aplicando la regla de Ruffini para x = -2, obtenemos una solución y el polinomio se descompone en:
0)6112)(2( 2 xxx . Resolviendo la ecuación de segundo grado 061122 xx , obtenemos las
otras dos soluciones. Por tanto las soluciones son: 976,976,2 321 xxx .
c)
15
7
55
219
15
7
)5)(1(
)1)(4()5)(53(
15
7
5
4
1
5323
23
2
2
2 xxx
xxx
xx
xxxx
x
x
x
x
02801425083573573151351515 232323 xxxxxxxxx . Aplicando la regla de Ruffini para x = 4, obtenemos una de las raíces y por tanto una de las soluciones, así como la descomposición del polinomio en:
0)70188)(4( 2 xxx . Resolviendo la ecuación 070188 2 xx no obtenemos ninguna solución
real. Por tanto la única solución es: 4x .
d)
)41(25)2)(6015(
2
41
25
55515
2
41
5
11
5
3 222
xxxxx
x
x
xx
x
x
x
x,
031361003013060100100253010560 232332 xxxxxxxxxx .
Aplicando la regla de Ruffini para x=-1, obtenemos una de las soluciones y la descomposición:
0)31610)(1( 2 xxx . Resolviendo ahora la ecuación 031610 2 xx obtenemos las dos
soluciones restantes. Las soluciones son: 10
34
5
4,
10
34
5
4,1 321 xxx .
ECUACIONES CON RADICALES 15. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 18123 xx b) xx 216917 c) 21234 xx d) 3672
1
x
x
SOLUCIÓN:
a) .03201129)1(43241089)12()183(18123 2222 xxxxxxxxx
Resolviendo la ecuación tenemos que 9
40;8 21 xx .
Comprobación de soluciones:
186249224:81 x , es solución;
183
26
3
14
3
40
3
72
3
40
9
492
3
401
9
402
9
403:
9
402 x , luego no es solución.
Única solución 8x .
b) 060171203420289341691716916917 222222
22
xxxxxxxxxxx
Resolviendo la ecuación obtenemos: 5;12 21 xx .
Comprobación de soluciones:
12225172517144169171216917:12 21 x no es solución;
529121714417516917:5 22 x no es solución. Luego ninguna solución es válida,
lo cual quiere decir que la ecuación no tiene soluciones.
c) .0133416)12(941616123)24(21234 222
2 xxxxxxxxx
Resolviendo la ecuación: 2
1;
8
1321 xx .
Comprobación de soluciones:
22
4
2
9
2
13
2
33
2
13
4
93
2
131
4
133
2
131
8
1323
8
134:
8
131 x , es solución;
203212
123
2
14:
2
12 x , es solución.
Luego los dos valores son soluciones de la ecuación inicial.
d)
51842016196114721147217362
1367
2
1 222
xxxxxxxxx
xx
051852017196 2 xx
392
572017
392
32492017
x ,
196
1037
392
5720171
x , 5
392
5720172
x .
Comprobación:
Si 196
1037x : 36
14
553
28
1037
2
14
29
196
10377
2
1196
1037
luego no es solución.
Si 36352
15:5
x sí es solución.
Luego la única solución es x = 5. 16. Resuelve las ecuaciones con radicales:
a) 2344 xxx b) 515 xx c) 4
5
4
2
8
1
xx d) 916272 xx
SOLUCIÓN:
a) 03444)2(4242344 2222
xxxxxxxxxxxx ,
y sus soluciones son: 3,0 21 xx .
Comprobemos si dichos valores son solución de la ecuación inicial:
Para 203220440:0 x , luego no es solución.
Para 2)3(311121)3(443:3 x , sí es solución.
La única solución es x = -3.
b) 01011251015)5(15515 2222
xxxxxxxxx .
Resolviendo obtenemos .1,10 21 xx
Comprobemos si dichos valores son solución de la ecuación inicial:
Para 51051510:10 x , sí es solución.
Para 5144151:1 x , no es solución.
La única solución es x = 10.
c)
4858844
4
5
48
824
4
5
4
2
8
1xxxx
xx
xx
xx
)324(25884432458844 22
2 xxxxxxxx
8001002532464)8(64)4(16 22 xxxxxx
8001002532464512646416 22 xxxxxx
5126464168001002532464 22 xxxxxx
1248202532464 22 xxxx
22
22 1248202532464 xxxx
155750449920620001000625131072163844096 2342 xxxxxx 0168857666304660961000625 234 xxxx
Si probamos con la regla de Ruffini obtenemos que x = 8 es una raíz. El resto de raíces resulta muy complejo de calcular sin ayuda de un sistema de cálculo algebraico. Si resolvemos con DERIVE por ejemplo obtendremos dos soluciones complejas y dos soluciones reales: x = 5,731620065 y x = 8.
d) 16216218817216297216297291627222
xxxxxxxxx
2
916225162
18
901621890 xxxx .
Comprobemos que este valor es solución de la ecuación inicial:
9542516162
927
2
92 , por tanto sí es solución.
Solución x = 9/2. 17. Determina el valor que debe tener c para que las siguientes ecuaciones tengan como solución el
valor indicado en cada caso:
a) 5,54103 xcxx b) 3,1261643 xxcx
c) .3
14,
2
3
5324
2
x
x
c
x d) 9,
5
3
72
7
3
x
x
xx
c
SOLUCIÓN:
a) Sustituyendo x por 5 en la ecuación tenemos:
025255541053 , luego solución: c = 0.
b) Sustituyendo x por -3 en la ecuación tenemos:
,121869643312616)3(43 cccc solución : c = 12.
c) Sustituyendo x por 3
14 en la ecuación obtenemos:
2
3
362
32
2
3
3
3
62
2
2
3
514
3
656
2
2
3
53
1432
3
144
2 cccc
.31
1863
2
9
124
18612558
622
312629
622
346233
62
32
2
3
3
cc
c
solución .31
1863
2
9c
d) Sustituimos x por 9 en la ecuación y resulta:
,6165
12
5
7
65
39
718
7
93
c
ccc , solución c = 6.
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 18. Resuelve las ecuaciones:
4802222)
433)
04254)
321
1
xxxx
xx
xx
c
b
a
SOLUCIÓN:
a) 0425)2(0425)2(04254 22 xxxxxx
Efectuando el cambio yx 2
0452 yy cuyas soluciones son 1;4 21 yy
Para ,2424 1 xy x y para .0121 2 xy x
b) 43
33433 1
x
xxx , efectuando el cambio yx 3
0344343 22 yyyyy
y resolviendo obtenemos 1,3 21 yy
Para ,1333 1 xy x para .03131 20 xy x
c) 48022222224802222 32321 xxxxxxxx realizando el cambio yx 2 tenemos la
ecuación:
.3215
48048015480842 yyyyyy
Si .5232232 5 xy x
19. Resuelve las siguientes ecuaciones:
59049
93)
010552955)
77766)
749
7)
2
)13(5
123
5
5
1
xxx
xxx
x
x
x
d
c
b
a
SOLUCIÓN:
a) Intentamos expresar la ecuación con potencias de base 7:
.10101977777
7
77
7
77
49
7 9)102()1(
102
1
52
1
5
1
xxxxxx
x
x
x
x
x
x
b) Expresando los dos miembros de la ecuación como potencias de base 6: .105566 55 xxx
c) Expresamos cada término con potencias tipo x5 :
0105)5(29)5(5)5( 23 xxx
Efectuando el cambio de variable xt 5 :
0105295 23 ttt , Si factorizamos el polinomio usando la regla de Ruffini y la fórmula de ecuaciones de segundo grado tenemos:
3,5,70)3)(5)(7( 321 tttttt
Si 7log7log5log757 555 xt xx
Si 555 xt , y no existe ninguna potencia que dé un número negativo.
Finalmente, si 3log353 5 xt x .
d) Expresamos la ecuación con potencias de base 3:
015161025153102)13)(5(333
93 2222102)13)(5(
10
)13(5 22
xxxxxxxxxxxxx
xx
Resolviendo: .1;15 21 xx
20. Resuelve las siguientes ecuaciones:
.3)23(log)12/5log)
0)3ln()5log)
4
25
xdxc
xbxa
SOLUCIÓN:
a) .312555log 55 xxx
b) .2,204130)3ln( 212202 xxxxex
Comprobación:
Para :2x 01ln)34ln( luego es solución.
Para :2x 01ln)34ln( también es solución.
c) 4
1
20
520510
2
510log
2
5log1
2
5log
xx
xxx.
Comprobamos: 10log25log2log5log2log1log5log2/1
5log
, por tanto es solución.
d) 2266364234233)23(log 34 xxxxx .
Comprobamos: 34log64log)266(log 3444 , luego es solución.
21. Resuelve las ecuaciones:
xxd
xxc
xxb
xxa
log26log3log)
)10/11log(1log2)
log2)16log(2)
log24log)8log()
SOLUCIÓN:
a) 0324432log4)8log(log24log)8log( 222 xxxxxxxx resolviendo obtenemos .8,4 21 xx
Comprobemos si dichos valores son soluciones de la ecuación inicial:
4log24log4log4log)48log(:4 x , luego sí es solución.
;4log16log4log)88log(:8 x pero no se puede calcular )8log(2 , luego no es solución.
Única solución: .4x
b) 016001001600100log)16(100loglog)16log(100loglog2)16log(2 2222 xxxxxxxxxx
Resolviendo la ecuación obtenemos .20,80 21 xx
Se puede comprobar que ambas son soluciones válidas.
c) .011101110)10/11(10loglog)10/11log(10loglog)10/11log(1log2 2222 xxxxxxxxxx
Sus soluciones son .1,11 21 xx Solución válida .11x
d) .2
1,00)12(3036636log3loglog26log3log 21
222 xxxxxxxxxxxx
Única solución válida: .2
1x
22. Resuelve las ecuaciones:
0)1(4log)9(log)1(log2log) 222
22 xxxxa 1)53(log3
1) 2 xb
xxc log3log2log)110log() 2 1)17(log
5log)1(log2)
2
22
x
xd
SOLUCIÓN:
a)
44
9log
1
2log)1(4log)9(log
1
2log0)1(4log)9(log)1(log2log 222222222
222
x
x
x
xxx
x
xxxxx
.099)9)(1()44(244
9
1
2 232
2
xxxxxxx
x
x
x
x Factorizando el polinomio tenemos:
.3,3,10)9)(1( 3212 xxxxx
Comprobemos si son soluciones: 0log8log0log2log:1 2222 x , no se puede calcular 0log2 , luego no es solución.
08log6log8log6log:3 2222 x , luego es solución;
6log:3 2x no se puede calcular, luego no es solución.
La única solución es .3x
b) 33
33
2
3/1
2222 25325`32log)53(log2log)53(log3
11)53(log
3
1xxxxx
.133853 xxx
Comprobación: 133
12log
3
1)53(log
3
1 322 . Luego la única solución es .1x
c) 0232032203log2)110log(log3log2log)110log( 2222 xxxxxxxx Resol
viendo la ecuación obtenemos las posibles soluciones: .4
1,
5
221 xx
Comprobación:
5
2log3log
5
6log
25
30log2log
25
15log2log1
25
40log2log)1
25
410log(:
5
2
x , sí es solución;
2log16
6log2log
16
1610log2log1
16
110log:
4
1
x , no existe el logaritmo de un número
negativo, luego no es solución.
La solución es .5
2x
d)
17)1(5)17(log5)1(log)17(log5log)1(log21
)17(log
5log)1(log2 2
2
2
2222
2
22 xxxxxxx
x
06175175105 22 xxxxx , resolviendo obtenemos 5
2,3 21 xx .
Comprobación:
120log
54log
20log
5log4log
20log
5log2log2
)121(log
5log)13(log2:3
2
2
2
22
2
22
2
22
x , luego es solución;
13
14log
5log13
2log2
:3
2
2
22
x , pero no existe 3
1log1
3
2log 32
, luego no es solución.
Única solución: .3x SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS 23. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
0
452
22
zyx
zyx
zyx
b)
62
2463
62
zyx
zyx
zyx
c)
4762
3
2742
zyx
zyx
zyx
d)
142
22
223
yx
zyx
zyx
e)
84
162
873
zyx
zyx
zyx
f)
0223
1427
72
zyx
zx
yx
g)
06
733
1322
zyx
zyx
zyx
h)
723
2129
725
zyx
zyx
zyx
i)
104
1123
62
zyx
zyx
zyx
j)
2
4436
1327
zyx
zyx
zyx
k)
1083
24
114
zyx
zyx
zyx
l)
1292
56
633
zy
yx
zyx
SOLUCIÓN:
a)
1410
264
22
2334223
264
22
13
12
0
452
22
z
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
Con el sistema triangular obtenido, despejando la última ecuación obtenemos 5
7
10
14z .
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación tenemos: 5
8
5
32
5
42242
5
424
yyy .
Finalmente sustituyendo en la primera ecuación y, z por los valores anteriores y despejando tenemos:
.5
1
5
922
5
7
5
16 xx
Solución: x = 1/5, y = 8/5, z = -7/5. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.
b)
122
6695
62
13
1322
62
2463
62
z
zy
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx.
Con el sistema triangular obtenido despejamos en la última ecuación y resulta 6z .
Sustituyendo en la segunda .245
12066545
yy
Sustituyendo ahora y y z en la primera ecuación: .1224266242 xxx Se trata de un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. Solución: x = 12, y = -24, z = 6.
c)
7711
3363
2742
234453
3363
2742
23
122
4762
3
2742
z
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
A partir de este sistema triangular, es fácil deducir que 7z de la última ecuación.
Sustituyendo en la segunda ecuación el valor obtenido de z tenemos 333423 yy .
Finalmente sustituyendo en la primera ecuación y y z resulta: .122272832 xxx Es un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO, cuya única solución es: x = 1, y = -3, z = -7.
d)
30
828
223
23528
828
223
223
123
142
22
223
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
EE
yx
zyx
zyx
Por la última igualdad deducimos que se trata de un SISTEMA INCOMPATIBLE.
e)
48861
4054
873
25347295
4054
873
243
123
84
162
873
z
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
A partir del sistema triangular obtenido, de la última ecuación deducimos que 861
488
z .
Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos que 0y .
Finalmente sustituyendo en la primera ecuación el valor de z e y se obtiene 0x . Luego el sistema es SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.
f)
2147
2147
72
1332
1722
0223
1427
72
zy
zy
yx
EE
EE
zyx
zx
yx
Como la segunda y tercera ecuaciones son idénticas, si consideramos x = t, despejando en la primera y = 7-2t y sustituyendo en la segunda, al despejar z tenemos z = 7/2t -7. Se trata de un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO.
g)
60
1394
1322
23794
1394
1322
23
122
06
733
1322
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
.
Como la última igualdad es imposible concluimos que el sistema es INCOMPATIBLE.
h)
02
28414
725
2328416
28414
725
133
12
723
2129
725
x
zx
zyx
EEzx
zx
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx.
De la última ecuación deducimos que x=0. Sustituyendo en la segunda obtenemos que z=-7 y finalmente sustituyendo estos valores en la primera ecuación deducimos que y=7. Solución: x=0, y=7, z=-7. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
i)
42
53
62
13
12
104
1123
62
x
yx
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
.
De la última ecuación deducimos que x=2. Sustituyendo este valor en la segunda ecuación deducimos que 3y=3, es decir y=1. Y finalmente sustituyendo estos valores en la primera obtenemos que z=-3. Solución: x=2, y=1, z=-3. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.
j)
2
829
7221
2
829
1549
362
371
2
4436
1327
zyx
zy
zEE
zyx
zy
zy
EE
EE
zyx
zyx
zyx
.
De la primera ecuación deducimos que 2
7z . Sustituyendo en la segunda tenemos
.9
119879 yyy
Finalmente, sustituyendo los valores obtenidos para y, z en la tercera ecuación:
.18
292
2
7
9
1 xx
Solución: .2
7,
9
1,
18
29 zyx SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.
k)
00
933
114
27332177
933
114
13
12
1083
24
114
yx
zyx
EEyx
yx
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
. Tomando como parámetro x=t, de la segunda ecuación deducimos que y=3-t, y sustituyendo estos valores en la primera ecuación obtenemos z=5t-14. Se trata de un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO. Solución: x=t, y=3-t, z=5t-14.
l)
23
76
633
2231292
76
633
122
1292
56
633
z
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
zy
yx
zyx
.
De la última ecuación deducimos que 3
2z . Sustituyendo este valor en la segunda ecuación:
.374 yy Finalmente, sustituyendo estos valores en la primera ecuación:
.3
1136233 xxx
Solución: x=1/3, y=3, z=-2/3. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
24. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a)
0144
122
yx
yxx b)
42
2 2
xy
xxy c)
123
832
xy
yxx d)
0157
52
22
yx
yx
e)
6182
1522
22
xyx
yx f)
63
233
xy
yx g)
)1(91
71
7
2
345
xy
xyx h)
xy
xyx
10252
52
SOLUCIÓN: a) Utilizamos el método de igualación despejando la incógnita y en ambas ecuaciones:
144
122
xy
xxy02314412 22 xxxxx .
Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos: 1,2 21 xx .
Si 61482 yx , y si 101441 yyx .
Soluciones 6,2 11 yx , .10,1 22 yx
b) Despejando la incógnita y en las dos ecuaciones, usando el método de igualación:
xy
xxy
24
2 2
06242 22 xxxxx .
Resolviendo, tenemos .3,2 21 xx
Si 0442 yx , y si .10643 yx .
Luego las soluciones son: 0,2 11 yx y .10,3 22 yx
c) Aprovechando que en la primera ecuación la incógnita y está despejada en función de x, sustituyendo en la segunda tenemos:
2,24128123)183( 21222 xxxxxxx .
Si 68642 yx , y si 188642 yx .
Las soluciones son: 6,2 11 yx y .18,2 22 yx
d) Método de reducción:
0157
52
22
yx
yx01075157 22 yyyy
Resolviendo obtenemos 5,2 21 yy , por tanto
Si 11452 2 xxy , 202555 2 xy no existe valor para x.
Luego las soluciones son: 2,1 11 yx y 2,1 22 yx .
e) Método de reducción:
6182
1522
22
xyx
yx02118421184 22 xxxx ,
resolviendo la ecuación 1,7 21 xx .
Por tanto, si 34154915497 22 yyyx
y si 141511 22 yyx .no existe ningún valor para y.
Las soluciones son: 34,7 11 yx y 34,7 22 yx
f) Método de sustitución,
Como 63 xy , sustituyendo en la primera ecuación:
0340182461263189)63(23)63(3263
33 2222
xxxxxxxxxxxxxx
Resolv
iendo la ecuación: 3,1 21 xx .
Por tanto, si 31 yx y si 3693 yx
Soluciones: 3,1 11 yx y 3,3 22 yx
g)
3
4
91
7145
5
91
7145
7
2)1(
91
71)1(
91
71
7
2
345
xxx
xyxyxy
xyx
01802406013560180375)4520(31808045534
4520
455 22 xxxxxxxxxxx
0342 xx , resolviendo la ecuación obtenemos .3,1 21 xx
Si 7
2
91
26
91
71451
yx , y si
13
24
91
168
91
213453
yx .
Solución: 13
24,3 11 yx , .
7
2,1 22 yx
h) ;251025925102
2592
25102
25102
10252
)5(2
10252
52 22222
xxx
xy
xxy
xy
xxyx
xy
xyx
xy
xyx
.1,00)1(02 xxxxxx
Para 505250;252;0 yx luego sí es solución, y para
516362510;3525102;1 yx , sí es solución
Por tanto las soluciones del sistema son:
, 2
25,0 yx . y
2
35,1 yx
25. Resuelve e interpreta gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
3
322
xy
yxx b)
104
743 2
xy
yxx
c)
13
763 2
xy
yxx d)
20
89
275 2
y
xxy
SOLUCIÓN: a) Usando el método de sustitución, como y está despejada en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:
06332 22 xxxxx
Resolviendo: 3,2 21 xx .
Si 53442 yx y si 03693 yx .
Soluciones: 5,2 11 yx y 0,32 yx .
Si representamos la parábola y la recta observamos que sus dos puntos de corte son las soluciones del sistema.
b) Utilizamos el método de sustitución. Como y está despejada en la primera sustituyendo en la segunda ecuación: 11331073104743 2222 xxxxxxx .
Si 67431 yx y si 147431 yx .
Luego las soluciones son: 6,1 11 yx y 14,1 22 yx .
c) Apliquemos nuevamente el método de sustitución. Despejamos y en la segunda ecuación:
xy 31
Sustituyendo en la primera: 023069331763 222 xxxxxxx
Resolviendo la ecuación 2,1 21 xx
Si 4311 yx y si 7612 yx .
Las soluciones son 4,1 11 yx y .7,2 22 yx
Si representamos la parábola y la recta observamos que los dos puntos de corte entre ambas son las soluciones del sistema:
d) Utilizamos el método de igualación:
020
49750
20
89275
20
89275 222 xxxxxx
Resolviendo la ecuación de segundo grado:
10
7x , tiene una única solución.
Si 20
89
10
7 yx . Al representar la parábola y la recta observamos que el único punto de corte
es justamente el vértice de la parábola:
INECUACIONES. SISTEMAS DE INECUACIONES. 26. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales:
a) 5
)2(7)1(23x
xxx
b) 84
38
3
5
x
xx
SOLUCIÓN:
a) .3
2060396040
5128
5147223
5)2(7)1(23 xxxx
xx
xxxx
xxxx
b) .32
85853296129242049612)38(3)5(48
4
38
3
5
xxxxxxxxx
xx
27. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:
a) 082 23 xxx b) 024222 23 xxx c) 02450274 2345 xxxx
d) 011258572 234 xxxx e) 054158 23 xxx SOLUCIÓN:
a) 0)4)(2(082 23 xxxxxx . Las raíces son 0,-2,4. Por tanto dividimos la recta real en
cuatro intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de cada uno de los factores en la siguiente tabla:
)2,(
)0,2(
)4,0(
),4(
x - - + +
2x - + + +
4x - - - +
)4)(2( xxx - + - +
Luego la solución es ).4,0()2,(
b) 0)4)(2)(32(024222 23 xxxxxx .
Las raíces del polinomio son 3/2, 2 y -4. Dividimos la recta real en cuatro intervalos, y analizamos el signo de cada factor en la siguiente tabla:
)4,( )2/3,4( )2,2/3( ),2(
)32( x - - + +
)2( x - - - +
)4( x - + + +
)4)(2)(32( xxx - + - +
Luego la solución es )2,2/3()4,( .
c) 0)34)(2)(4(02450274 22345 xxxxxxxx .
Analizamos el signo de cada factor en la siguiente tabla, teniendo en cuenta que las raíces del polinomio determinan los intervalos en los que dividimos la recta real:
)0,( )4/3,0( )2,4/3( )4,2( ),4( 2x + + + + +
4x - - - - +
2x - - - + +
34 x - - + + +
)34)(2)(4(2 xxxx - - + - +
Luego la solución es ,42,4/3}0{ . (Atención a la inclusión del 0, que es solución de la
inecuación).
d) 0)2)(8)(1)(7(011258572 234 xxxxxxxx .
Como las raíces son 7,1,-8,-2, dividiremos la recta real en cinco intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de cada uno de los factores en la siguiente tabla:
)8,( )2,8( )1,2( )7,1( ),7(
7x - - - - +
1x - - - + +
8x - + + + +
2x - - + + +
)2)(8)(1)(7( xxxx + - + - +
Luego la solución es: 7,12,8 .
e) 0)9)(2)(3(054158 23 xxxxxx . Las raíces del polinomio del primer miembro son
3,-2,-9. Con estos valores dividimos la recta real en cuatro intervalos, sobre los cuales debemos analizar el signo de cada factor y obtenemos:
)9,( )2,9( )3,2( ),3(
3x - - - +
2x - - + +
9x - + + +
)9)(2)(3( xxx - + - +
La solución es ),3()2,9( .
28. Resuelve las inecuaciones racionales siguientes:
a) 01
1822
2
x
x b) 0
4013
2762
2
xx
xx
c) 0189
481423
2
xxx
xx d) 078
127234
2
xxx
xx
e) 07
21112 2
x
xx f) 0992
52
xx
x
SOLUCIÓN:
a) 0)1)(1(
)3)(3(20
)1)(1(
)9(20
1
182 2
2
2
xx
xx
xx
x
x
x . Los valores que anulan numerador y
denominador son: 3,-3, 1,-1. Con estos valores dividimos la recta real en 5 intervalos y analizamos el signo del numerador y denominador en la siguiente tabla:
)3,( )1,3( )1,1( )3,1( ),3(
3x - - - - +
3x - + + + +
Numerador + - - - +
1x - - - + +
1x - - + + +
Denominador + + - + +
Fracción + - + - +
La solución es: ),3()1,1()3,(
b) 0)8)(5(
)3)(9(0
4013
2762
2
xx
xx
xx
xx . A partir de los valores que anulan numerador y
denominador: 9,-3, 5, 8 estudiamos en la siguiente tabla el signo de los diferentes factores sobre los cinco intervalos en que dividimos la recta real:
)3,( )5,3( )8,5( )9,8( ),9(
9x - - - - +
3x - + + + +
Numerador + - - - +
5x - - + + +
8x - - - + +
Denominador + + - + +
Cociente + - + - +
Solución: ).9,8()5,3(
c) 0)6)(3(
)8)(6(0
189
481423
2
xxx
xx
xxx
xx . Los valores que anulan numerador y denominador son
0, 6, 8 y 3. A partir de ellos dividimos la recta real en cinco intervalos, sobre los cuales estudiamos el signo de los diferentes factores y el cociente final:
)0,( )3,0( )6,3( )8,6( ),8(
x-6 - - - + +
8-x + + + + -
Numerador - - - + -
3-x + + - - -
x-6 - - - + +
x - + + + +
Denominador + - + - -
Cociente - + - - +
Tenemos que incluir aquellos valores que anulan el numerador, en este caso solamente 8, luego la solución es: ,8)3,0( .
d) 0)1)(7(
)3)(4(0
78
1272234
2
xxx
xx
xxx
xx.Los valores que anulan numerador y denominador son
4, 3, 0, 7 y 1. Con estos valores dividimos la recta real en 6 intervalos sobre los cuales analizamos el signo de cada uno de los factores:
)0,( )1,0( )3,1( )4,3( )7,4( ),7(
4-x + + + + - -
x-3 - - - + + +
Numerador - - - + - -
x2 + + + + + +
x-7 - - - - - +
x-1 - - + + + +
Denominador + + - - - +
Cociente - - + - + -
Incluimos los valores que anulan el numerador, en este caso 4 y 3, y excluimos el 0 porque anula el denominador. Así, la solución es: ).,7(4,3)1,0()0,(
e) 07
)14)(23(0
7
21112 2
x
xx
x
xx. Los valores que anulan numerador y denominador son
2/3, ¼ y -7. Con estos valores dividimos la recta real en 5 intervalos y analizamos en la siguiente tabla el signo de cada uno de los factores que componen numerador y denominador:
)7,( )4/1,7( )3/2,4/1( ),3/2(
3x-2 - - - +
4x-1 - - + +
Numerador + + - +
x+7 - + + +
Denominador - + + +
Cociente - + - +
Solución: ),3/2()4/1,7( .
f) 0)11)(9(
50
992
52
xx
x
xx
x . Los valores que anulan numerador y denominador son 5, -9
y 11. Con estos tres valores dividimos la recta real en cuatro intervalos y analizamos el signo de cada factor en la siguiente tabla:
)9,( )5,9( )11,5( ),11(
x-5 - - + +
Numerador - - + +
x+9 - + + +
x-11 - - - +
Denominador + - - +
Cociente - + - +
Incluimos el 5, que es el único valor que anula el numerador, así que la solución es:
),11(5,9 .
29. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:
a)
03
7056 23
x
xxxx
b)
05
804472
x
xxx
c)
010821
04
56313
23
2
xxx
x
xx
d)
065
05
5
2 xxx
x
e)
0635265
03916
7
23
2
xxx
xx
x
SOLUCIÓN:
a)
03
7
0)1)(5(
03
7056 23
x
x
xxx
x
xxxx
Resolvemos cada inecuación por separado.
1ª Inecuación:
Con los valores que anulan el polinomio 0, 5, 1 dividimos la recta real en cuatro intervalos sobre los que analizamos el signo de los tres factores y su producto en la siguiente tabla:
)0,( )1,0( )5,1( ),5(
x - + + +
x-5 - - - +
x-1 - - + +
x(x-5)(x-1) - + - +
La solución de la primera inecuación es 5,10, .
2ª Inecuación:
Los valores que anulan numerador y denominador son 7 y -3, con los que dividimos la recta real en tres intervalos sobre los que analizamos los signos de numerador y denominador sobre la siguiente tabla:
)3,( )7,3( ),7(
x-7 - - +
x+3 - + +
Cociente + - +
La solución de la segunda inecuación es .,73,
La solución del sistema de inecuaciones es: { 5,10, } { .,73, }= )3,( .
b)
05
8
0)11)(4(
05
804472
x
x
xx
x
xxx
.
Resolvemos cada inecuación por separado:
1ª inecuación:
Los valores que anulan el polinomio son 4 y -11. Con dichos valores dividimos la recta real en tres intervalos. En la siguiente tabla analizamos el signo de cada uno de los factores del polinomio sobre los tres intervalos:
)11,( )4,11( ),4(
x-4 - - +
x+11 - + +
Producto + - +
La solución de la primera inecuación es: ),4()11,( .
2ª Inecuación:
Los valores que anulan numerador y denominador son 8 y 5. Con estos valores dividimos la recta real en tres intervalos sobre los que analizamos el signo de numerador y denominador en la siguiente tabla:
)5,( (5,8) ),8(
x-8 - - +
x-5 - + +
Cociente + - +
Al intervalo abierto que satisface la desigualdad estricta (<) hay que añadir el único valor que
anula la fracción, que es 8. Por tanto la solución de la segunda inecuación es: 8,5 .
La solución del sistema de inecuaciones es: { ),4()11,( } { 8,5 }= 8,5 .
c)
0)9)(12(
04
)73)(8(
010821
04
56313
23
2
xxxx
xx
xxx
x
xx
.
Resolvemos cada inecuación por separado.
1ª Inecuación:
Los valores que anulan numerador y denominador son 8, 7/3 y 4. Con estos tres valores dividimos la recta real en cuatro intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de los factores y del cociente en la siguiente tabla:
)3/7,( )4,3/7( )8,4( ),8(
x-8 - - - +
3x-7 - + + +
Numerador + - - +
4-x + + - -
Denominador + + - -
Cociente + - + -
La solución de la primera inecuación es: )8,4(3/7, .
2ª Inecuación:
Los valores que anulan el polinomio son 0, 12, 9. Con estos tres valores dividimos la recta real en cuatro intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de cada factor en la siguiente tabla:
)0,( )9,0( )12,9( ),12(
x - + + +
x-12 - - - +
x-9 - - + +
Polinomio - + - +
La solución de la segunda inecuación es: 12,90, .
La solución del sistema de inecuaciones es: { )8,4(3/7, } { 12,90, }= 0, .
d)
065
05
5
2 xxx
x
Resolvemos cada inecuación por separado.
1ª Inecuación:
Los valores que anulan numerador y denominador son -5 y 5. Con estos valores dividimos la recta real en tres intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de los factores y del cociente en la siguiente tabla:
)5,( )5,5( ),5(
x+5 - + +
Numerador - + +
x-5 - - +
Denominador - - +
Cociente + - +
La solución de la primera inecuación es: 5,5 .
2ª Inecuación:
Los valores que anulan el polinomio son 2 y 3. Con estos valores dividimos la recta real en tres intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de cada factor en la siguiente tabla:
)2,( )3,2( ),3(
2x - + + 3x - - +
652 xx + - +
La solución de la segunda inecuación es: 3,2 .
La solución del sistema de inecuaciones es 3,23,2)5,2(
e)
0)2)(3)(15(
0)13)(3(
7
0635265
03916
7
23
2
xxx
xx
x
xxx
xx
x
.
Resolvemos cada inecuación por separado.
1ª Inecuación:
Los valores que anulan numerador y denominador son 7, 3 y 13. Con estos tres valores dividimos la recta real en cuatro intervalos sobre los cuales analizamos el signo de numerador y denominador en la siguiente tabla:
)3,( )7,3( )13,7( ),13(
x-7 - - + +
Numerador - - + +
x-3 - + + +
x-13 - - - +
Denominador + - - +
Cociente - + - +
La solución de la primera inecuación es: )13,7()3,( .
2ª Inecuación:
Los valores que anulan el polinomio son 1/5, 3 y 2. Con estos tres valores dividimos la recta real en cuatro intervalos sobre los cuales analizamos los signos de los factores del polinomio y el signo del polinomio final en la siguiente tabla:
)5/1,( )2,5/1( )3,2( ),3(
5x-1 - + + +
x-3 - - - +
x-2 - - + +
Polinomio - + - +
La solución de la segunda ecuación es: ,32,5/1 .
La solución del sistema de inecuaciones es: { )13,7()3,( } { ,32,5/1 }= )13,7(2,5
1
.
30. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:
a)
56
053
yx
yx b)
56
053
yx
yx c)
52
183
536
yx
yx
yx
d)
52
183
536
yx
yx
yx
e)
8
2129
3
076
y
xy
x
yx
f)
8
2129
3
076
y
xy
x
yx
g)
8
2129
3
076
y
xy
x
yx
h)
5
04
093
xy
yx
yx
SOLUCIÓN:
a)
56
053
yx
yx
b)
56
053
yx
yx
c)
52
183
536
yx
yx
yx
d)
52
183
536
yx
yx
yx
e)
8
2129
3
076
y
xy
x
yx
f)
8
2129
3
076
y
xy
x
yx
g)
8
2129
3
076
y
xy
x
yx
h)
5
04
093
xy
yx
yx
No tiene solución, no existe ningún recinto que cumpla las tres inecuaciones.
31. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:
a)
yx
yx
54
522
3
b)
14
7
5
85
12
4
1
3
54
xy
xyx
SOLUCIÓN:
a)
yx
yx
54
522
3
b)
14
7
5
85
12
4
1
3
54
xy
xyx
PROBLEMAS 1. De un capital de 25 000 euros se ha depositado una parte al 4 % y la restante al 5 %. La primera
produce cada tres años 570 euros más que la segunda. Halla las dos partes del capital. SOLUCIÓN: El sistema que resuelve el problema es:
57015,012,0
25000
570100
35
100
34
25000
yx
yxyx
yx
Aplicando el método de Gauss:
243027,0
25000
112,02 y
yx
EE
Luego resolviendo la última ecuación 900027,0
2430
y , sustituyendo y en la primera ecuación y
despejando la incógnita x tenemos: .16000x Las dos partes del capital son 16 000 euros (al 4 %) y 9 000 euros (al 5 %). 2. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro. Su volumen es de 937,5 m3. Calcula sus dimensiones sabiendo que son proporcionales a los números 3, 4 y 5. SOLUCIÓN: El volumen del depósito es:
625,1560
5,9375,937605,937543 33 xxxxxV
por tanto,
5,2625,153 x .
Por tanto, las dimensiones del depósito son: 7,5; 10 y 12,5 metros. 3. El perímetro de un solar en forma rectangular mide 46 m y la diagonal 17 m. Calcula las
dimensiones del solar. SOLUCIÓN: Sean x e y el largo y ancho del solar. Se verifican las siguientes ecuaciones:
289
23
17
462222222 yx
yx
yx
yx
Resolvemos utilizando sustitución, para ello despejamos y en la primera ecuación: xy 23
Sustituyendo en la segunda:
024046228952946228923223289)23( 2222222 xxxxxxxxx .
Resolviendo esta ecuación obtenemos: 8,15 21 xx .
Luego si 8152315 11 yx , si .158238 22 yx
Luego las dimensiones del solar son 15 × 8 metros. 4. Un terreno tiene forma rectangular. Halla sus dimensiones si se conoce su diagonal, 5 m, y su
superficie, 12 m2. SOLUCIÓN: Sean x e y las dimensiones del rectángulo. Entonces se verificarán:
12
5522
yx
yx
Apliquemos el método de sustitución: Despejamos la variable y en la segunda ecuación y tenemos:
xy
12
Sustituyendo en la primera:
0144252514425144
2512 2424
2
2
2
2
xxxx
xx
xx .
Para resolver la ecuación bicuadrada anterior se hace el cambio zx 2 :
0144252 zz
Resolviendo la ecuación obtenemos: 9,16 21 zz .
Para 41616 2 xxz .
399 2 xxz . Las soluciones negativas no tienen sentido en este problema, al tratarse de dimensiones. Por tanto considerando los valores positivos de x:
Si ;34/124 yx y si 43/123 yx
Luego las dimensiones son 4 × 3 metros. 5. Un grupo de alumnos realiza una excursión. El autocar les cuesta 360 euros. Finalmente 6
alumnos no pueden ir y los que van han de pagar 3 euros más cada uno. ¿Cuántos alumnos van a la excursión y cuánto tiene que pagar cada uno?
SOLUCIÓN: Llamemos: x = número de alumnos que inicialmente va a la excursión y = importe que inicialmente paga cada alumno. Se verificará:
360)3()6(
360
yx
yx
Despejando la incógnita y en la primera ecuación:
xy
360
Sustituyendo en la segunda ecuación:
36018
21603360360
3360)6(3603
360)6(
xx
x
xx
xx
07206021601833601821603360 222 xxxxxxxx
Resolviendo esta ecuación: 24,30 21 xx (solución no válida por ser negativa)
Si .1230/36030 yx
Finalmente, van 24 alumnos a la excursión y pagan 15 euros cada uno. 6. Dos ordenadores, tres televisores y un equipo de música cuestan 7 000 euros según su precio
de catálogo. En una tienda, por ese mismo número de ordenadores y televisores, sobre los que hacen un descuento del 10 % y del 15 % respectivamente, se pagaría 5 820 euros. En otra tienda, por un televisor y un equipo de música, sobre los que hacen un descuento del 20 % y 25% respectivamente, pagaríamos 940 euros. Calcula el precio de catálogo de cada aparato.
SOLUCIÓN: Llamemos x, y, z los precios de catálogo de un ordenador, un televisor y un equipo de música respectivamente.
Entonces estas cantidades verifican el siguiente sistema:
94075,080,0
582085,0390,02
700032
zy
yx
zyx
Aplicamos el método de Gauss:
5,2551215,1
582055,28,1
700032
245,1355,2431045,15,1
582055,28,1
700032
175,0394075,08,0
582055,28,1
700032
x
yx
zyx
EEyx
yx
zyx
EEzy
yx
zyx
Despejando x en la última ecuación:
2100215,1
5,2551
x
Sustituyendo en la segunda ecuación y despejando y: 800582055,221008,1 yy
Sustituyendo en la primera ecuación x e y, y despejando z: .4007000800321002 zz
Los precios de catálogo de un ordenador, un televisor y un equipo de música son 2 100, 800 y 400 euros respectivamente. 7. Estrella y Juan invierten 4 000 euros cada uno. Estrella coloca una cantidad A al 3 %, una
cantidad B al 5 % y el resto al 4 %. Juan invierte la misma cantidad A al 5 %, la B al 4 % y el resto al 3 %. Calcula las cantidades invertidas sabiendo que Estrella obtiene unos intereses anuales de 175 euros y Juan de 165 euros.
SOLUCIÓN: Sean x: cantidad A, y: cantidad B, z: cantidad C. Entonces se verifica el siguiente sistema de ecuaciones:
165100
3
100
4
100
5
175100
4
100
5
100
3
4000
zyx
zyx
zyx
Anulando los denominadores tenemos el sistema equivalente:
16500345
17500453
4000
zyx
zyx
zyx
Resolviendo por el método de Gauss:
15003
55002
4000
23235002
55002
4000
153
132
16500345
17500453
4000
z
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
Del sistema triangular obtenido, despejamos en la última ecuación z: 5003/1500 z .
Sustituyendo en la segunda y despejando y: 250055005002 yy
Finalmente, sustituyendo en la primera ecuación los valores obtenidos para y, z y despejando x: 100040005002500 xx .
Luego las cantidades invertidas son: A: 1 000 euros; B: 2 500 euros y C: 500 euros.
8. En un triángulo rectángulo un cateto mide 5 cm más que el otro. Sabiendo que el área del triángulo es de 3 cm2, ¿cuál es la medida de los catetos?
SOLUCIÓN:
06532
)5( 2
xxxx
Resolviendo la ecuación: 6,1 21 xx (solo es válida la
positiva). Por tanto los catetos miden 1 y 6 cm.
9. Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son múltiplos consecutivos de dos.
Calcúlalos. SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de Pitágoras: 222 )22()2()22( xxx
Desarrollando:
0)4(4
0164
4844484
2
222
xx
xx
xxxxx
Luego las soluciones son 4,0 xx (la única solución válida es
4x ). Por tanto, los lados miden 6, 8 y 10 unidades. NOTA: También podemos tomar 2x, 2x + 2 y 2x + 4 para los lados, pero la ecuación que se obtiene resulta más compleja que la que planteada. 10. Halla un número sabiendo que restándole su inverso se obtiene 4,8. SOLUCIÓN: Sea x el número en cuestión. Este número verifica la ecuación:
8,41
xx
Entonces:
018,48,41 22 xxxx .
Resolviendo esta ecuación, 2,0,5 21 xx (son válidas las dos soluciones).
11. Julia tiene 40 monedas de 20 y 50 céntimos de euro. Si en total tiene 16,40 euros, ¿cuántas
monedas tiene de cada tipo? SOLUCIÓN: Sean x el número de monedas de 20 céntimos e y el número de monedas de 50 céntimos.
Se verifican las siguientes ecuaciones:
40,1650,020,0
40
yx
yx
Resolviendo el sistema por sustitución: yx 40 284,83,04,165,02,084,165,0)40(2,0 yyyyyy luego .12x
Por tanto tiene 12 monedas de 20 céntimos y 28 de 50 céntimos. NOTA: Aplicando el método de Gauss:
4'83'0
40
12'0240'1650'020'0
40
y
yx
EEyx
yx
Despejando y en la última ecuación: 283'0:4'8 y
Sustituyendo y en la primera: .122840 x
12. Una empresa recoge papel usado para reciclar, que en un principio clasifica en tres tipos: bajo,
medio y bueno. Ha realizado tres pruebas con diferentes mezclas: en la primera ha obtenido 4 kg. de papel utilizando 2, 3 y 1 kg. de cada tipo, respectivamente; en la segunda, con 1, 2 y 3 kg. ha producido un total de 5 kg.; y en la tercera ha obtenido 3 kg. con 3, 1 y 2 kg. ¿Cuál es el rendimiento de cada tipo de papel?
SOLUCIÓN: Sean: x: rendimiento del papel bajo. y: rendimiento del papel medio. z: rendimiento del papel bueno. Entonces se verifican las siguientes ecuaciones:
323
532
432
zyx
zyx
zyx
Método de Gauss:
1818
65
532
2531275
65
532
133
122
323
432
532
12
21
323
532
432
z
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
A partir del sistema triangular resultante, de la última ecuación se deduce que .1z Sustituyendo en la segunda ecuación este valor y despejando y:
1165 yyy .
Sustituyendo en la primera ecuación los valores obtenidos para y, z y despejando x: .0532 xx
Luego los rendimientos son: Para el papel bajo 0, para el papel medio 1 y para el papel bueno 1. 13. Las edades de dos hermanos difieren en 12 años. Si entre los dos suman más de 40 años, ¿qué
edades puede tener el hermano mayor? SOLUCIÓN:
Sean x: la edad del pequeño y: la edad del mayor entonces se verifica:
5224012
12
40
12
yyy
yx
yx
xy
Luego 26y , es decir, el hermano mayor tiene más de 26 años.
14. En una empresa se han asignado claves a todos sus empleados para poder acceder a los
ordenadores. Las claves contienen dos dígitos y tienen dos restricciones: a) sus dígitos son menores o iguales que 6 y b) la suma de los dígitos es mayor o igual que 6. ¿Cuántas claves diferentes puede asignar como máximo la empresa?
SOLUCIÓN: Consideremos las siguientes incógnitas: x: primer dígito de la clave y: segundo dígito de la clave Las restricciones que cumplen estos valores son:
6
60
60
yx
y
x
Los dígitos claramente son números naturales. Si dibujamos el recinto del plano que satisface las tres inecuaciones y consideramos únicamente los números naturales obtenemos los puntos señalados en la región sombreada:
que son: {(0,6),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6); (1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5); (2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4);(3,3),(4,3),(5,3),(6,3); (4,2),(5,2),(6,2); (5,1),(6,1); (6,6)} Un total de 28 claves.
CUESTIONES
1. Averigua para qué valores del parámetro b la ecuación 042 bxx tiene una única solución. SOLUCIÓN: Se verificará si el discriminante es nulo, es decir 16 – 4b = 0, es decir, si b = 4.
2. La ecuación 02 cbxx tiene como soluciones 91 x y 72 x . Averigua los valores de b y
c. SOLUCIÓN: Como a = 1, entonces:
63
2
21
21
c
b
cxx
bxx. Luego el polinomio es: 6322 xx .
3. La ecuación 023 dcxbxax tiene como soluciones 7,5 21 xx y 13 x . ¿Podemos
asegurar que 35d ? Razona la respuesta. SOLUCIÓN:
)1)(7)(5(23 xxxkdcxbxax , para algún k real. De esto se deduce que el término
independiente es kk 35)1()7(5 .
Luego no podemos asegurar que d = 35. Dando valores a k podemos construir infinitas ecuaciones con las soluciones propuestas y con diferentes valores de d. Uno de dichos valores sería 35 para k=1.
4. Determina para qué valores de x es posible obtener el valor de xx 32 . SOLUCIÓN:
El valor de la raíz se puede obtener si se verifica 0)3(032 xxxx , para resolver esta inecuación
planteamos la siguiente tabla:
)3,( )0,3( ),0(
x - - +
x + 3 - + +
x(x + 3) + - +
Luego la solución es 03,x .
5. Averigua los valores que han de tener a, b y c para que el siguiente sistema tenga como solución
2,4,3 zyx :
196
3632
192
czyx
zbyx
zyax
SOLUCIÓN: Sustituyendo en el sistema de ecuaciones, x, y, z por los valores indicados tenemos:
1
6
3
22
244
93
192243
36646
19283
c
b
a
c
b
a
c
b
a
.
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