semana 01
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Facultad de Ingeniería Semestre 2015-II
CURSO: CÁLCULO II
Tema :
ANTIDERIVADA
Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua de un tanque
quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto tiempo. Un
administrador que conoce el costo marginal de una producción puede interesarse en
deducir el costo total de la producción. En cada caso, el problema es hallar una
función cuya derivada sea una función conocida. Si existe tal función F, se le
denomina una ANTIDERIVADA de f.
Definición:
Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I, si:
'( ) ( ) F x f x x I
Ejemplo:
Sea 2
( )f xx
. Una antiderivada es ( ) 4F x x porque 2
'( ) '( )F x f xx
.
Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada más general
de f en I es:
( ) ;F x C
Dónde: C es una constante arbitraria.
Ejemplos:
1. La antiderivada más general de ( ) sin( )f x x es ( ) cos( )F x C x C .
2. La antiderivada más general de ( ) 2f x x es2
( ) 23
F x C x x x C .
Definición:
Al conjunto de todas las antiderivadas de se le llama INTEGRAL INDEFINIDA de y se
representa por:
( ) ( )f x dx F x C
Antiderivación e integral indefinida
Facultad de Ingeniería Semestre 2015-II
Ejemplos:
1. cos( ) sin( )x dx x C
2. 1
ln( )dx x Cx
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
Sean , f g funciones derivables, además , k C constantes, entonces tenemos:
1. ( ) ( )kf u du k f u du
2. ( ) ( ) ( ) ( )f u g u du f u du g u du
3. 0du C
4. du u C
5. kdu ku C
6. 1
1
nn u
u du Cn
7. lndu
u Cu
8. u ue du e C
9. , 0, 1ln( )
uu a
a du C a aa
10. sin( ) cos( )u du u C
11. cos( ) sin( )u du u C
12. sin( )
cos( )ku
ku du Ck
13. cos( )
sin( )ku
ku du Ck
14. tan( ) ln cos( )u du u C
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15. c ( ) ln sin( )tg u du u C
16. sec( ) ln sec( ) tan( ) ln tan2 4
uu du u u C C
17. csc( ) ln csc( ) ( ) ln tan2
uu du u ctg u C C
18. 2sec ( ) tan( )u du u C
19. 2csc ( ) ( )u du ctg u C
20. sec( ) tan( ) sec( )u u du u C
21. csc( ) ( ) csc( )u ctg u du u C
22. 2 2
1arctan
du udu C
u a a a
23. 2 2
1ln
2
du u aC
u a a u a
24. 2 2
1ln
2
du u aC
a u a u a
25. 2 2
arcsindu u
Caa u
26. 2 2
2 2ln
duu u a C
u a
27. 2 2
2 2ln
duu u a C
u a
28. 2
2 2 2 2 arcsin2 2
u a ua u du a u C
a
29. 2
2 2 2 2 2 2ln2 2
u au a du u a u u a C
30. 2
2 2 2 2 2 2ln2 2
u au a du u a u u a C
31. 2 2
1arcsin , 0
uduC a
a au u a
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32. 2 2
2 2
1 ln( )du a a uC
a uu a u
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACION DIRECTA: Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de
derivadas y la aplicación de la tabla básica considerando algunos recursos algebraicos y
las propiedades señaladas. Algunas veces, antes de realizar la integral
correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede
integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se
descomponen en otras más sencillas, transformándose en una simple suma de
integrales más elementales.
Ejemplos:
1. 6
5 5 66 6 66
xx dx x dx C x C
2. 4 3 2
3 23 5 3 4 3 5 3 44 3 2
x x xx x x dx x C
3. 2
3 2 3 3 2 3 3x dx x x dx xdx xdx xdx
23
24 3
32 3
xx x C
4. 3 5
2 22
1 1 15
x x x dx x dx x x C
5. 3 2
2
2 7 4x xdx
x
Solución:
Al descomponer la fracción en suma de fracciones: 3 2 3 2
2
2 2 2 2
2 7 4 2 7 42 7 4
x x x xx x
x x x x
Se tiene que:
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3 2
2
2
2 1
2
2 7 42 7 4
2 7 42 1
47
x xdx x x dx
x
x xx C
x x Cx
6. Determinar 33 5
5 2
2 7 4
3
x x xdx
x
.
Solución:
Transformando las raíces en potencia, descomponiendo en suma de fracciones
y simplificando, tenemos:
5 53 3
33 5 3 32 2
2 2 2 25 2 5 5 5 5
19 31110 15 5
2 7 4 2 7 4 2 7 4
3 3 3 3 3
2 7 4
3 3 3
x x x x x x x x x
x x x x x
x x x
Por lo que la integral nos queda: 19 311
33 5 10 15 5
5 2
19 31110 15 5
34 82110 15 5
2 7 4 2 7 4
3 3 33
2 7 4
3 3 3
20 105 5
63 102 6
x x x x x xdx dx
x
x x xdx dx dx
x x x C
7. Determinar 5 2 6
3 2
3 2x x xdx
x
.
Solución: 5 2 6 5 2 6
2 2 23 2 3 3 3
13 1643 3 3
16 7 193 3 3
3 23 2
3 2
9 6 3
16 7 19
x x x x x xdx dx dx dx
x x x x
x dx x dx x dx
x x x C
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8. Determinar 5
1dx
x.
Solución: 5 1
5
5 4
1 1
5 1 4
xdx x dx C C
x x
9. Determinar 2
2
25
16
xdx
x
.
Solución: 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
25 16 9 169
16 16 16 16
16 916
116 16ln 16 9ln 16
2
x x x dxdx dx dx
x x x x
dxx dx
x
x x x x x x C
EJERCICIOS PROPUESTOS I.- En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas:
1. 4
5
xdx
2. 3
1
2dx
x
3. 4
6
3dx
x
4. 7 63a x dx
5. 4 5( 7 )x x x dx
6. dxx
xx
3
652
7. 2(2 3)x
dxx
8. 2ln xe xdx
9. 5 7
4
te tdt
10. 5 15
3x dx
x
11. 4
2 3 xe dxx x
12. 2( 3)
2
tedt
13. (5 ) 7
6
xe sen x xdx
14. 5t te e dt
15. ( )( )x x a x b dx
16. 2 2
3 2
( 1)( 2)x xdx
x
17. 2tansenx x dx
18. 2
2sin 2x dxx
19. 2
2 4
xdx
x
20. 1/2 3/2 2 2t t t dt
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21. 2
2
9
4
xdx
x
22. 2( )x x
x x
a bdx
a b
23. (cot )x senx dx
24. 2
2
2 cos xdx
sen x
25. 2
2
xdx
x
26. 4 3
2
12 5x x dx
x
II.- Resuelve los siguientes problemas
1) Una partícula, inicialmente en reposo, se mueve a lo largo del eje x de manera
que su aceleración en el tiempo 0t está dada por ( ) cos( )a t t . En el tiempo
0t , su posición es 3. (a) Determinar las funciones velocidad y la posición de
la partícula. (b) Encontrar valores de t para los cuales la partícula está en
reposo.
2) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q
unidades de cierto artículo es 2'( ) 4 1.2R q q q dólares por unidad. Si el
ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el
ingreso esperado por la producción de 40 unidades?
3) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol
crece de tal forma que su altura ( )h t después de t años cambia a una razón de
2/3'( ) 0.2 pies/añoh t t t
Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27 años?
4) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el
tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea ( )M t el número
de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se
determina como 2'( ) 0.4 0.005M t t t
a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10
minutos?
b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10
minutos (del tiempo 10t al 20t )?
5) CRECIMIENTO DE POBLACIÓN. La tasa de crecimiento dtdP / de una población
de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t , donde P es el tamaño de
la población y t es el tiempo en días ( 100 t ). Esto es, tkdtdP / . El
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tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un día la población ha
crecido hasta 600. Estimar el tamaño de la población después de 7 días.
6) La utilidad marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es 2P'(x) 4 6x 3x , y la “utilidad” cuando ningún artículo se vende es de –40
dólares. Encuentra la función de utilidad.
7) La función que describe el costo marginal de fabricar un producto es
100)(' xxC , donde x es el número de unidades producidas. Se sabe
también que el costo total es 40000$ , cuando x = 100. Determine la función de
costo total.
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