semana 01

Facultad de Ingeniería Semestre 2015-II

CURSO: CÁLCULO II

Tema :

ANTIDERIVADA

Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua de un tanque

quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto tiempo. Un

administrador que conoce el costo marginal de una producción puede interesarse en

deducir el costo total de la producción. En cada caso, el problema es hallar una

función cuya derivada sea una función conocida. Si existe tal función F, se le

denomina una ANTIDERIVADA de f.

Definición:

Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I, si:

'( ) ( ) F x f x x I

Ejemplo:

Sea 2

( )f xx

. Una antiderivada es ( ) 4F x x porque 2

'( ) '( )F x f xx

.

Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada más general

de f en I es:

( ) ;F x C

Dónde: C es una constante arbitraria.

Ejemplos:

1. La antiderivada más general de ( ) sin( )f x x es ( ) cos( )F x C x C .

2. La antiderivada más general de ( ) 2f x x es2

( ) 23

F x C x x x C .

Definición:

Al conjunto de todas las antiderivadas de se le llama INTEGRAL INDEFINIDA de y se

representa por:

( ) ( )f x dx F x C

Antiderivación e integral indefinida


Ejemplos:

1. cos( ) sin( )x dx x C

2. 1

ln( )dx x Cx

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

Sean , f g funciones derivables, además , k C constantes, entonces tenemos:

1. ( ) ( )kf u du k f u du

2. ( ) ( ) ( ) ( )f u g u du f u du g u du

3. 0du C

4. du u C

5. kdu ku C

6. 1

1

nn u

u du Cn

7. lndu

u Cu

8. u ue du e C

9. , 0, 1ln( )

uu a

a du C a aa

10. sin( ) cos( )u du u C

11. cos( ) sin( )u du u C

12. sin( )

cos( )ku

ku du Ck

13. cos( )

sin( )ku

ku du Ck

14. tan( ) ln cos( )u du u C


15. c ( ) ln sin( )tg u du u C

16. sec( ) ln sec( ) tan( ) ln tan2 4

uu du u u C C

17. csc( ) ln csc( ) ( ) ln tan2

uu du u ctg u C C

18. 2sec ( ) tan( )u du u C

19. 2csc ( ) ( )u du ctg u C

20. sec( ) tan( ) sec( )u u du u C

21. csc( ) ( ) csc( )u ctg u du u C

22. 2 2

1arctan

du udu C

u a a a

23. 2 2

1ln

2

du u aC

u a a u a

24. 2 2

1ln

2

du u aC

a u a u a

25. 2 2

arcsindu u

Caa u

26. 2 2

2 2ln

duu u a C

u a

27. 2 2

2 2ln

duu u a C

u a

28. 2

2 2 2 2 arcsin2 2

u a ua u du a u C

a

29. 2

2 2 2 2 2 2ln2 2

u au a du u a u u a C

30. 2

2 2 2 2 2 2ln2 2

u au a du u a u u a C

31. 2 2

1arcsin , 0

uduC a

a au u a


32. 2 2

2 2

1 ln( )du a a uC

a uu a u

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

INTEGRACION DIRECTA: Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de

derivadas y la aplicación de la tabla básica considerando algunos recursos algebraicos y

las propiedades señaladas. Algunas veces, antes de realizar la integral

correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede

integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se

descomponen en otras más sencillas, transformándose en una simple suma de

integrales más elementales.

Ejemplos:

1. 6

5 5 66 6 66

xx dx x dx C x C

2. 4 3 2

3 23 5 3 4 3 5 3 44 3 2

x x xx x x dx x C

3. 2

3 2 3 3 2 3 3x dx x x dx xdx xdx xdx

23

24 3

32 3

xx x C

4. 3 5

2 22

1 1 15

x x x dx x dx x x C

5. 3 2

2

2 7 4x xdx

x

Solución:

Al descomponer la fracción en suma de fracciones: 3 2 3 2

2

2 2 2 2

2 7 4 2 7 42 7 4

x x x xx x

x x x x

Se tiene que:


3 2

2

2

2 1

2

2 7 42 7 4

2 7 42 1

47

x xdx x x dx

x

x xx C

x x Cx

6. Determinar 33 5

5 2

2 7 4

3

x x xdx

x

.

Solución:

Transformando las raíces en potencia, descomponiendo en suma de fracciones

y simplificando, tenemos:

5 53 3

33 5 3 32 2

2 2 2 25 2 5 5 5 5

19 31110 15 5

2 7 4 2 7 4 2 7 4

3 3 3 3 3

2 7 4

3 3 3

x x x x x x x x x

x x x x x

x x x

Por lo que la integral nos queda: 19 311

33 5 10 15 5

5 2

19 31110 15 5

34 82110 15 5

2 7 4 2 7 4

3 3 33

2 7 4

3 3 3

20 105 5

63 102 6

x x x x x xdx dx

x

x x xdx dx dx

x x x C

7. Determinar 5 2 6

3 2

3 2x x xdx

x

.

Solución: 5 2 6 5 2 6

2 2 23 2 3 3 3

13 1643 3 3

16 7 193 3 3

3 23 2

3 2

9 6 3

16 7 19

x x x x x xdx dx dx dx

x x x x

x dx x dx x dx

x x x C


8. Determinar 5

1dx

x.

Solución: 5 1

5

5 4

1 1

5 1 4

xdx x dx C C

x x

9. Determinar 2

2

25

16

xdx

x

.

Solución: 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2 2 2

25 16 9 169

16 16 16 16

16 916

116 16ln 16 9ln 16

2

x x x dxdx dx dx

x x x x

dxx dx

x

x x x x x x C

EJERCICIOS PROPUESTOS I.- En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas:

1. 4

5

xdx

2. 3

1

2dx

x

3. 4

6

3dx

x

4. 7 63a x dx

5. 4 5( 7 )x x x dx

6. dxx

xx

3

652

7. 2(2 3)x

dxx

8. 2ln xe xdx

9. 5 7

4

te tdt

10. 5 15

3x dx

x

11. 4

2 3 xe dxx x

12. 2( 3)

2

tedt

13. (5 ) 7

6

xe sen x xdx

14. 5t te e dt

15. ( )( )x x a x b dx

16. 2 2

3 2

( 1)( 2)x xdx

x

17. 2tansenx x dx

18. 2

2sin 2x dxx

19. 2

2 4

xdx

x

20. 1/2 3/2 2 2t t t dt


21. 2

2

9

4

xdx

x

22. 2( )x x

x x

a bdx

a b

23. (cot )x senx dx

24. 2

2

2 cos xdx

sen x

25. 2

2

xdx

x

26. 4 3

2

12 5x x dx

x

II.- Resuelve los siguientes problemas

1) Una partícula, inicialmente en reposo, se mueve a lo largo del eje x de manera

que su aceleración en el tiempo 0t está dada por ( ) cos( )a t t . En el tiempo

0t , su posición es 3. (a) Determinar las funciones velocidad y la posición de

la partícula. (b) Encontrar valores de t para los cuales la partícula está en

reposo.

2) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q

unidades de cierto artículo es 2'( ) 4 1.2R q q q dólares por unidad. Si el

ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el

ingreso esperado por la producción de 40 unidades?

3) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol

crece de tal forma que su altura ( )h t después de t años cambia a una razón de

2/3'( ) 0.2 pies/añoh t t t

Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27 años?

4) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el

tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea ( )M t el número

de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se

determina como 2'( ) 0.4 0.005M t t t

a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10

minutos?

b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10

minutos (del tiempo 10t al 20t )?

5) CRECIMIENTO DE POBLACIÓN. La tasa de crecimiento dtdP / de una población

de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t , donde P es el tamaño de

la población y t es el tiempo en días ( 100 t ). Esto es, tkdtdP / . El


tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un día la población ha

crecido hasta 600. Estimar el tamaño de la población después de 7 días.

6) La utilidad marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es 2P'(x) 4 6x 3x , y la “utilidad” cuando ningún artículo se vende es de –40

dólares. Encuentra la función de utilidad.

7) La función que describe el costo marginal de fabricar un producto es

100)(' xxC , donde x es el número de unidades producidas. Se sabe

también que el costo total es 40000$ , cuando x = 100. Determine la función de

costo total.

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