sem nº 02 (1)
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2. VALOR DEL DINERO
EN EL TIEMPO
INGENIERA ECONMICA Y FINANCIERA
ING. PABLO MANUEL MORCILLO VALDIVIA
FUENTE: FUNDAMENTOS DE INGENIERA ECONMICA. SEGUNDA EDICIN. CHAN S. PARK. PRENTICE HALL
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2.1 EL INTERS: EL
COSTO DEL DINERO
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
ING. PABLO MANUEL MORCILLO VALDIVIA
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EL COSTO DEL DINERO
La mayora de nosotros estamos familiarizados con el
concepto de inters. Sabemos que el dinero que se
deposita en una cuenta de ahorros genera intereses y
que, con el tiempo, el saldo ser mayor que la suma de
los depsitos. Sabemos que pedir un prstamo para
comprar un automvil significa que tendremos que
pagar esa cantidad despus de un tiempo ms otra por
concepto de intereses, de manera que la cantidad
pagada ser mayor que la suma solicitada.
-
EL COSTO DEL DINERO
Lo que quiz no nos resulte tan familiar es la idea de
que, en el mundo financiero, el dinero en s es un
producto y que, al igual que otros bienes que se
compran y se venden, tambin cuesta dinero.
El costo del dinero se establece y se mide mediante
una tasa de inters, un porcentaje que se aplica y se
suma peridicamente a una cantidad (o a una variedad
de cantidades) de dinero por un periodo determinado.
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2.1.1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Imagine que tiene $100 y desea comprar un
refrigerador de $100 para su dormitorio.
Si lo compra ahora, terminar sin dinero. Pero si
invierte su dinero con un inters anual del 6%, en un
ao podr comprar el refrigerador y le sobrarn $6.
Desde luego, necesita preguntarse si la ganancia
financiera de $6 compensa el inconveniente de no
tener el refrigerador durante un ao.
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2.1.1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Si el precio del refrigerador aumenta a una tasa anual
del 8% a causa de la inflacin, no tendr suficiente
dinero (le harn falta $2) para comprar el refrigerador
dentro de un ao. En tal caso, probablemente le
convenga comprar el refrigerador ahora. Si la tasa de
inflacin es slo del 4%, entonces le sobrarn $2 si
compra el refrigerador dentro de un ao.
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2.1.1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
-
A todas luces, la tasa a la cual usted gana intereses
debe ser ms alta que la tasa de inflacin para que la
compra a futuro tenga sentido. En otras palabras, en
una economa inflacionaria, su poder adquisitivo
continuar disminuyendo a medida que siga retrasando
la compra del refrigerador. Para compensar esta
prdida futura en el poder adquisitivo, la tasa a la
cual usted gana intereses debe ser suficientemente
ms grande que la tasa de inflacin anticipada.
2.1.1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
-
Podemos definir el principio del valor del dinero en el
tiempo de la siguiente manera: el valor econmico de
una suma depende de cundo se reciba. Ya que el
dinero tiene tanto capacidad de generar ganancias
como poder adquisitivo con el paso del tiempo, un
dlar que se recibe en este momento tiene un valor
mayor que un dlar que se recibir en el futuro.
2.1.1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
-
Muchos tipos de transacciones tienen que ver con
intereses (por ejemplo, pedir dinero prestado, invertir
dinero o comprar maquinaria a crdito), pero ciertos
elementos son comunes a todos estos tipos de
transacciones. Esos elementos son los siguientes:
2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE
IMPLICAN INTERESES
Capital
Tasa de inters
Periodo de capitalizacin
Nmeros de periodos de
capitalizacin
Plan de ingresos o egresos
Cantidad futura
-
2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE
IMPLICAN INTERESES
Capital o Principal (C o P). La cantidad inicial de
dinero que se invierte o se solicita en prstamo en
una transaccin.
Tasa de inters (i). Mide el costo o precio del
dinero y se expresa en porcentaje durante un
periodo.
Periodo de capitalizacin (n). Determina la
frecuencia con la que se calcula el inters.
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2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE
IMPLICAN INTERESES
Nmeros de periodos de capitalizacin (N). Un
periodo especificado determina la duracin de la
transaccin.
Plan de ingresos o egresos (An). Patrn
especfico de flujo de efectivo en un periodo
determinado
Cantidad futura de dinero (F). Resultado de los
efectos acumulativos de la tasa de inters a lo largo
de varios periodos de capitalizacin
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2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE
IMPLICAN INTERESES
Para dar un ejemplo, supongamos que usted solicita al
banco un prstamo para educacin de $30,000, con
una tasa de inters anual del 9%. Adems, usted paga
una comisin de $300 por la tramitacin de la solicitud.
El banco ofrece dos planes de pago, uno con pagos
iguales realizados al final de cada ao por los prximos
cinco aos (plan de cuotas), y otro en el que se realiza
un pago nico despus del periodo de cinco aos del
prstamo (plan diferido).
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2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE
IMPLICAN INTERESES
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2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE
IMPLICAN INTERESES
En el plan 1:
El capital, P, es $30,000
La tasa de inters, i, es del 9%.
El periodo de capitalizacin, n, es un ao
Duracin de la transaccin (nmero de periodos de
capitalizacin) es de cinco aos (N=5).
Plan de ingresos y egresos producen un patrn de
flujo de efectivo de cinco pagos iguales, A, de
$7,712.77 cada uno.
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2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE
IMPLICAN INTERESES
En el plan 2:
El capital, P, es $30,000
La tasa de inters, i, es del 9%.
El periodo de capitalizacin, n, es cinco aos
Duracin de la transaccin (periodo de
capitalizacin) es de cinco aos (N=5).
En vez de pagos iguales, tenemos un periodo de
gracia seguido de un solo pago futuro, F, de
$46,158.72,
-
Diagramas de flujo de efectivo.
Los problemas relacionados con el valor del dinero en
el tiempo tienen la ventaja de poder representarse de
forma grfica con un diagrama de flujo de efectivo.
Los diagramas de flujo representan el tiempo mediante
una lnea horizontal marcada con el nmero de los
periodos de capitalizacin especificados. Las flechas
hacia arriba representan flujos positivos (ingresos)
y las flechas hacia abajo representan flujos
negativos (egresos).
2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE
IMPLICAN INTERESES
-
2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE
IMPLICAN INTERESES
-
Convenio del fin del periodo. Suponga, que se
depositan $100,000 durante el primer mes del ao en
una cuenta con un periodo de capitalizacin de un ao
y una tasa de inters del 10% anual. En tal caso, si el
depsito se retira un mes antes de finalizar el ao, el
inversionista sufrira una prdida de rendimientos de
$10,000, Esto, porque, de acuerdo con el convenio
del fin del periodo, el depsito de $100,000 hecho
durante el periodo de capitalizacin se ve como si se
hiciera al finalizar el ao y no 11 meses antes.
2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE
IMPLICAN INTERESES
-
El dinero se puede prestar y liquidar de muchas formas,
y tambin, puede generar intereses de muchas
maneras distintas. Sin embargo, normalmente, al final
de cada periodo de capitalizacin, el inters generado
sobre el capital se calcula de acuerdo con una tasa de
inters determinada. Los dos esquemas para calcular
este inters generado producen un inters simple o un
inters compuesto.
2.1.3 MTODOS PARA CALCULAR
INTERESES
-
El primer esquema considera el inters generado slo
sobre el capital inicial durante cada periodo de
capitalizacin. En otras palabras, en el marco del
inters simple, el inters generado durante cada
periodo de capitalizacin no genera intereses
adicionales en los periodos restantes, aunque usted
no lo retire.
2.1.3.1. INTERS SIMPLE
-
En general, para un depsito de P dlares con una tasa
de inters simple de i por N periodos, el inters total
obtenido I sera:
La cantidad disponible al final de N periodos, F, sera:
El inters simple comnmente se usa en cuentas de
ahorro, los certificados de depsitos, las cuentas a
plazos, las letras de cambio, los pagars, etc.
2.1.3.1. INTERS SIMPLE
-
Ejemplo: Una pareja compra una casa, financiada con
un prstamo de $50 000,00 a la tasa del 15% de inters
simple. El plazo total del prstamo es de 10 aos.
a) Cul ser el inters a pagarse durante todo el
plazo?,
b) Cul es el inters vencido del primer trimestre? y
c) Cul es el inters vencido de los primeros 45 das?
2.1.3.1. INTERS SIMPLE
-
Resolucin:
Los elementos del problema pueden identificarse de la
siguiente manera:
P = $ 50 000 i = 15% 0,15 I = ?
N1 = 10 aos N2 = 3 meses N3 = 45 das
Determinacin de I:
a) I1 = P x i x N1 = (50 000) (0,15) (10) = 75 000
b) I2 = P x i x N2 = (50 000) (0,15) (3/12) = 1 875
c) I3 = P x i x N3 = (50 000) (0,15) (45/360) = 937,50
2.1.3.1. INTERS SIMPLE
-
Ejemplo: Qu inversin fue la que produjo en 2 aos
un inters de S/.34 566 si la tasa de inters de la
operacin era del 24%?
Resolucin:
P = ? N = 2 aos I = S/. 34 566 i = 24% 0,24
Determinacin de P:
2.1.3.1. INTERS SIMPLE
50,72012224,0
56634
xixN
IP
-
Ejemplo: Cul fue el crdito que se otorg si se pag
$22 222,22 dlares americanos por concepto de
intereses al cabo de 9 meses si la tasa de inters que
se acord fue de 17,5%?
Resolucin:
P = ? N = 9 meses I = S/. 22 222,22 i = 17,5%
Determinacin de P:
2.1.3.1. INTERS SIMPLE
15,169312)12/9(175,0
22,22222
xixN
IP
-
Ejemplo: A qu tasa de inters anual tendr que
colocarse un capital de S/.23 456,78 para que en el
plazo de 30 meses produzca S/. 12 345,67?
Resolucin:
i = ? P = S/. 23 456,78 N = 30 meses
I = S/. 12 345,67
Determinacin de i:
2.1.3.1. INTERS SIMPLE
%05,212105,0)12/30(78,23456
67,12345
xPxN
Ii
-
El inters compuesto simplemente es la aplicacin
reiterada del inters de tipo simple a un capital que
crece a unidades constantes de tiempo llamados
periodos de conversin, capitalizacin o inters, por
efecto de sumarse el inters al capital. En trminos mas
sencillos el inters compuesto es la operacin que
consiste en sumar el inters al capital
peridicamente, formando cada vez un nuevo
capital (capitalizacin del inters)
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
En este caso, usted est incrementando la cantidad del
depsito mediante la cantidad del inters ganado. En
general, si usted depositara (invirtiera) P dlares a una
tasa de inters i, tendra P + iP = P(1 + i) dlares al
final de un periodo de capitalizacin. Si la cantidad
entera (capital e inters) se reinvirtiera a la misma tasa i
por otro periodo, usted tendra, al final del segundo
periodo: P(1 + i) + i P (1 + i) = P (1 + i) (1 + i)
= P (1 + i) 2
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
A continuacin, vemos que el saldo despus del tercer
periodo es:
P (1 + i)2 + i P (1 + i)2 = P (1 + i)3
Este proceso de generacin de inters se repite y,
despus de N periodos, el valor acumulado total (saldo)
F se habr incrementado a:
F = P (1 + i)N
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Ejemplo:
Calcular la suma que se obtendra, al trmino de 3
aos, si invertimos $150,000.00 al 18% capitalizando
los intereses semestralmente, aplicando la definicin de
inters compuesto dada inicialmente que dice que el
inters compuesto es la aplicacin reiterada del inters
simple...... y tambin si la inversin se realizara a
inters simple a la misma tasa del 18%
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Resolucin:
Aplicando la definicin el procedimiento sera:
Capital Inicial o al comienzo del plazo $150 000,00
Inters simple del 1er semestre
I = 150,000.00 x 0.18 x 6/12 = $ 13 500,00
Capital al comienzo del 2do semestre $163 500,00
Inters simple del 2do semestre
I = 163,500.00 x 0.18 x 6/12 = $ 14 715,00
Capital al comienzo del 3er semestre $178 215,00
Inters simple del 3er.semestre
I = 178,215.00x 0.18 x 6/12 = $ 16 039,35
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Al concluir el plazo tenemos la siguiente tabla
demostrativa:
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
SEMESTRE CAPITAL AL
COMIENZO
INTERS DEL
SEMESTRE
CAPITAL AL TRMINO
DE CADA SEMESTRE
1 150 000,00 13 500,00 163 500,00
2 163 500,00 14 715,00 178 215,00
3 178 215,00 16 039,35 194 254,35
4 164 254,35 17 482,89 211 737,24
5 211 737,24 19 056,35 230 793,59
6 230 793,59 20 771,43 251 565,02
TOTAL INTERESES
ACUMULADOS 101 565,02
-
Ahora si la operacin anotada como ejemplo se hubiera
realizado a inters simple, el monto o valor futuro a este
tipo de inters al final de los 3 aos de inversin sera
de: (aplicando la ecuacin de monto simple)
S = P [ 1 + t . i ] = 150 000 [1+(3)(0,18) ] = $ 231 000,00
Comparando el resultado operativo del Monto Simple
con el Monto Compuesto observamos que existe una
diferencia de $ 20 565,02 que en la prctica viene a ser
el inters generado por el propio inters.
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Definiciones previas de los factores vinculados al
inters compuesto.
a) CAPITALIZACIN: Proceso por el cual el inters generado en
una unidad de tiempo se agrega o aade o suma al capital.
b) PERIODO DE CONVERSIN O DE CAPITALIZACIN O DE
INTERS (pc): es el tiempo o plazo que se mide o transcurre
entre dos cmputos sucesivos de inters.
c) FRECUENCIA DE CONVERSIN O DE CAPITALIZACIN O
DE INTERS (fc): es el nmero de veces por ao que el
inters se capitaliza o aade o suma al capital.
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Entre el periodo y la
frecuencia de conversin
existe una directa
correspondencia, es decir a
cada periodo de conversin
o de capitalizacin le
corresponde una frecuencia
determinada, siendo los
periodos mas usados los
siguientes
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
PERIODO DE
CONVERSIN (pc)
FRECUENCIA
(fc)
Anual 1
Semestral 2
Cuatrimestral 3
Trimestral 4
Bimestral 6
Cada 45 das 8
Mensual 12
Cada 21 das 17,14
Quincenal 24
Semanal 51,43
Diario 360
-
d) TASA DE INTERS: En problemas de inters compuesto, la
tasa de inters presenta 3 valores llamados: TASA NOMINAL
(TNj j), TASA EFECTIVA por periodo de conversin,
capitalizacin o inters (TEPI i ) y TASA EFECTIVA ANUAL
(TEA ).
i. TASA NOMINAL. La primera expresin es la tasa nominal, que
denotaremos por la letra j minscula o las siglas TNj, en la
mayora de operaciones financieras se acostumbra a mencionar
la tasa anual de inters, y va acompaada de la frecuencia de
conversin capitalizacin o de inters (fc).
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
ii. TASA EFECTIVA O INTERES. Esta se define como aquella tasa
que efectivamente gana un capital prestado o invertido por
periodo de conversin capitalizacin o inters, la que
denotaremos por la letra i minscula. Para obtener el valor de
esta tasa efectiva por periodo bastar con dividir la tasa nominal
entre la frecuencia de conversin, as por ejemplo si una
operacin se lleva a cabo a la tasa del 18% capitalizable
bimestralmente, el valor de la tasa efectiva por periodo ser:
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
iii. TASA EFECTIVA ANUAL. La definimos como aquella tasa que
efectivamente gana un capital en un ao de inversin (es decir
siempre que dejemos que el inters producido se capitalice
durante un ao). En la actualidad un dispositivo legal obliga a las
entidades financieras a comunicar a sus clientes la tasa efectiva
anual que cobran en sus operaciones as como las comisiones
por cuota, portes y cargos por seguros al inicio de las
operaciones
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
e) TIEMPO: En problemas de inters compuesto el tiempo se
trabaja bajo la forma de unidades de tiempo que marcan el
ritmo del proceso de capitalizacin siendo estas llamadas
periodos de conversin o de capitalizacin o de inters.
Entonces el tiempo o plazo deber ser expresado por un
nmero "n" de periodos de conversin, que se obtiene
multiplicando el tiempo en aos o fraccin de ao por la
frecuencia de conversin, o de capitalizacin o de inters
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Ejemplo: Una transaccin econmica se realiza a un plazo de 3
aos a la tasa de inters del 21% capitalizable mensualmente.
Cuntas capitalizaciones de inters se realizarn durante ese
plazo?
Resolucin:
Para calcular dicho nmero, primero vemos qu frecuencia de
capitalizacin le corresponde a un periodo capitalizacin mensual y
observamos que es 12, luego aplicamos la frmula para calcular n
y tenemos: n = t x fc = 3 aos x 12 = 36
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Ejemplo: Calcular los montos compuestos resultantes de invertir
$50, $9 000 y $360 000 a la tasa del 14% capitalizable
trimestralmente al cabo de 5 aos.
Resolucin:
Principales: P1 = $50 P2 = $9 000 P3 = $360 000
j = 14% pc = trimestral fc = 4 i = (14% / 4) = 3,5%
t = 5 aos n = 5 x 4 = 20
F1 = ? F2 = ? F3 = ?
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
a) F1 = ?
F = P (1 + i)N = 50 (1 + 0.035)20 = $ 99,49
a) F2 = ?
F = P (1 + i)N = 9 000 (1 + 0.035)20 = $ 17 908,10
a) F3 = ?
F = P (1 + i)N = 360 000 (1 + 0.035)20 = $ 716 323,99
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Ejemplo: Se invierten S/.12 000 nuevos soles durante 3 aos a la
tasa del 18% capitalizable o convertible bimestralmente.
Determinar: a) el Monto Compuesto, b) Inters Compuesto, y c) la
Tasa efectiva anual.
Resolucin:
P = S/. 12 0000 j = 18% pc = bimestral fc = 6
i = (18% / 6) = 3% t = 3 aos n = 3 x 6 = 18
Aplicando la frmula obtenemos:
a) F = P (1 + i)N = 12 000 (1 + 0.03)18 = S/ 20 419,20
b) IC = F P = 20 419,20 12 000 = 8 419,20
c) TEA = (1 + i)fc - 1 = (1 + 0,03)6 1 = 0,19405 19,41%
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Ejemplo: Se invierten $147 500 dlares americanos durante 30
meses a la tasa del 14,4% capitalizable o convertible
mensualmente. Determinar: a) el Monto Compuesto, b) Inters
Compuesto, y c) la Tasa efectiva anual.
Resolucin:
P = S/. 147 500 j = 14,4% pc = mensual
fc = 12 i = (14,4% / 12) = 1,2% t = 30 meses
n = (30 /12) x 12 = 30
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Aplicando la frmula obtenemos:
a) F = P (1 + i)N =
F = P (1 + i)N = 147 500 (1 + 0.012)30
F = $ 210 963,54
b) IC = F P =
IC = F P = 210 963,54 147 500 = $ 63 463,54
c) TEA = (1 + i)fc - 1 =
TEA = (1 + i)fc - 1 = (1 + 0,012)12 1 = 0,15389 15,39%
2.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Ejemplo: Calcular los montos compuestos resultantes de invertir
$66,888 a la tasa del 12% capitalizable semestralmente,
trimestralmente, bimestralmente, mensualmente y quincenalmente
al cabo de 4 aos.
Resolucin:
P = $66 888 j1-2-3-4 y 5 = 12% pc = mensual
fc = 12 t = 4 aos
Para mejor comprender los diferentes resultados obtenidos,
mostramos la siguiente tabla:
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Para mejor comprender los diferentes resultados obtenidos,
mostramos la siguiente tabla:
F1 = 66 888 (1 + 0,06)8 = 66 888 x 1,59384807453 = $106 609,31
F2 = 66 888 (1 + 0,03)16 = 66 888 x 1,6047064391 = $107 335,60
F3 = 66 888 (1 + 0,02)24 = 66 888 x 1,60843724948 = $107 585,15
F4 = 66 888 (1 + 0,01)48 = 66 888 x 1,61222607768 = $107 838,58
F5 = 66 888 (1 + 0,005)96 = 66 888 x 1,61414270846 = $107 966,78
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
pc fc i = j/fc t n F
Semestral 2 12%/2 = 6% 4 aos 4 x 2 = 8 $ 106 609,31
Trimestral 4 12%/4 = 3% 4 aos 4 x 4 = 16 $ 107 335,60
Bimestral 6 12%/6 = 2% 4 aos 4 x 6 = 24 $ 107 585,15
Mensual 12 12%/12 = 1% 4 aos 4 x 12 = 48 $ 107 838,58
quincenal 24 12%/24 = 0,5% 4 aos 4 x 24 = 96 $ 107 966,78
-
Ejemplo de inters simple contra inters
compuesto:
Suponga que usted deposita $1,000 en una cuenta de
ahorros que paga intereses a una tasa del 8% anual.
Suponga que no retira el inters generado al final de
cada periodo (ao), sino que deja que se acumule. a)
Cunto tendra al final del tercer ao con un inters
simple? b) Cunto tendra al final del tercer ao con
un inters compuesto?
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
Resolucin:
P = $1 000 N = 3 aos i = 8 % anual F = ?
a) Inters simple: Utilizando la ecuacin, calculamos F como
F = $1,000 [1 + (0.08)x3] = $1,240.
Ao tras ao, el inters se acumula de la siguiente manera:
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
b) Inters compuesto: Si aplicamos la ecuacin, a nuestro caso
de tres aos con una tasa de inters del 8%, obtenemos
F = $1,000 (1 + 0.08)3 = $1,259.71.
El inters total generado es $259.71, que es $19.71 ms que el
acumulado con el mtodo de inters simple. Podemos seguir el
proceso de acumulacin de intereses con ms precisin de la
siguiente manera:
2.1.3.2. INTERS COMPUESTO
-
2.2 EQUIVALENCIA
ECONMICA
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
ING. PABLO MANUEL MORCILLO VALDIVIA
-
2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES
El comentario de que el dinero tiene un valor en el
tiempo nos lleva a una pregunta importante: Si recibir
$100 hoy no es lo mismo que recibir $100 en el
futuro, cmo medimos y comparamos flujos de
efectivo diversos? Cmo sabemos, por ejemplo, si
es preferible tener $20,000 hoy y $50,000 dentro de
10 aos, que tener $8,000 cada ao durante los
siguientes 10 aos?
-
2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES
Existe una equivalencia econmica entre flujos de
efectivo que tienen el mismo efecto econmico y que,
por lo tanto, podran cambiarse uno por otro.
Aunque las cantidades y el tiempo de los flujos de
efectivo pueden diferir, la tasa de inters apropiada
los hace iguales.
-
2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES
Qu opcin preferira usted? a) Dos pagos ($20,000
ahora y $50,000 dentro de 10 aos) o b) 10 pagos
anuales de $8,000 cada uno
-
2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES
La EQUIVALENCIA ECONMICA se refiere al hecho
de que cualquier flujo de efectivo, ya sea un solo
pago o una serie de pagos, puede convertirse en
un flujo de efectivo equivalente en cualquier
momento.
-
2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES
Lo que es importante recordar sobre el valor presente
de los flujos de efectivo futuros es que la suma actual
es equivalente en valor a los flujos de efectivo
futuros. Es equivalente porque si usted tuviera el
valor presente hoy, podra transformarlo en los
futuros flujos de efectivo simplemente invirtindolo a
la tasa de inters vigente, tambin conocida como
tasa de descuento.
-
2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES
El concepto estricto de equivalencia puede
extenderse para incluir la comparacin de las
alternativas. Por ejemplo, podramos comparar los
valores de dos propuestas encontrando los valores
equivalentes de cada una en cualquier punto comn
en el tiempo. Si las propuestas financieras que
aparentan ser diferentes resultan tener el mismo
valor monetario, entonces podemos ser
econmicamente indiferentes al elegir entre ellas.
-
2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES
-
2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES
EJEMPLO: Suponga que le ofrecen la alternativa de
recibir $2,007 al trmino de cinco aos o $1,500 hoy.
No hay duda de que la suma de $2,007 ser pagada
en su totalidad (es decir, no hay riesgo). Suponiendo
que no necesitar el dinero en los prximos cinco
aos, usted depositara los $1,500 en una cuenta que
pague un inters i%. Qu valor de i hara que usted
fuera indiferente a su eleccin entre $1,500 hoy y la
promesa de $2,007 despus de cinco aos?
-
2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES
SOLUCIN:
F = $2 007 N = 5 aos P = $1 500
Recordemos la expresin del
valor futuro: F = P (1 + i)N
Al despejar i obtenemos:
i = (F/P)1/N 1 =
i = (2007/1500)1/5 1
i = 0,06 6%
-
2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES
En este ejemplo, si i es menor
que 6%, usted preferira la
promesa de $2,007 en cinco
aos y no $1,500 hoy; si i es
mayor que 6%, usted preferira
$1,500 hoy.
Como seguramente ya acert,
a una tasa de inters ms baja,
P debe ser ms alto para ser
equivalente a la cantidad
futura.
-
2.2.2 LOS CLCULOS DE EQUIVALENCIA
REQUIEREN UNA BASE DE TIEMPO COMN PARA
SU COMPARACIN
Cuando se elige un punto en el
tiempo en el que se comparan los
valores de flujos de efectivo
alternativos, normalmente
utilizamos el tiempo presente, lo
que nos da lo que llamamos el
valor presente de los flujos de
efectivo, o un punto en el futuro lo
que resulta en su valor futuro.
-
2.2.2 LOS CLCULOS DE EQUIVALENCIA
REQUIEREN UNA BASE DE TIEMPO COMN PARA
SU COMPARACIN
Considere el conjunto
de flujos de efectivo
dado en la figura.
Calcule la cantidad
total a n = 3 a un
inters anual del 10%.
-
2.2.2 LOS CLCULOS DE EQUIVALENCIA
REQUIEREN UNA BASE DE TIEMPO COMN PARA
SU COMPARACIN
Resolucin:
Paso 1: Determine el pago
equivalente de la totalidad
de los primeros cuatro
pagos en n = 3
100(1 + 0,10)3 + 80(1+ 0,10)2 +
120(1 + 0,10)1 + 150 = 511,90
-
2.2.2 LOS CLCULOS DE EQUIVALENCIA
REQUIEREN UNA BASE DE TIEMPO COMN PARA
SU COMPARACIN
Paso 2: Determine el pago
equivalente de la totalidad
de los dos pagos restantes
en n = 3
200(1 + 0,10)-1 + 80(1+ 0,10)-2 = 264,46
-
2.2.2 LOS CLCULOS DE EQUIVALENCIA
REQUIEREN UNA BASE DE TIEMPO COMN PARA
SU COMPARACIN
Paso 3: Determine V3, el
valor equivalente total
V3 = 511,90 + 264,46 = 776,36
-
2.3 FRMULAS DE INTERS
PARA FLUJOS DE
EFECTIVOS NICOS
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
ING. PABLO MANUEL MORCILLO VALDIVIA
-
2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
Dada una suma presente P invertida por N periodos de
capitalizacin a una tasa de inters i, qu suma se
habr acumulado al trmino de los N periodos?
Probablemente not de inmediato que esta descripcin
encaja en el caso que encontramos al principio cuando
describamos los intereses compuestos. Para despejar
F (la cantidad futura), utilizamos la ecuacin:
F = P (1 + i)N
-
2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
A causa de su origen en los clculos de inters
compuesto, el factor (1 + i)N se conoce como
FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA.
Al igual que el concepto de equivalencia, este factor
es uno de los fundamentos del anlisis de ingeniera
econmica. Dado este factor, se pueden obtener
todas las dems frmulas de inters importantes
-
2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
-
2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
Notacin con factores
A medida que continuemos desarrollando frmulas de
inters, expresaremos los factores de inters
compuesto resultantes en una notacin convencional
que pueda sustituirse en una frmula que indique con
precisin qu factor de la tabla usar para resolver una
ecuacin.
-
2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
Notacin con factores
Por ejemplo, la frmula obtenida como ecuacin es F =
P(1 + i)N. Para especificar cmo usar las tablas de
inters, tambin podemos expresar ese factor en una
notacin funcional como (F/P, i, N), que se lee como
Encontrar F, dados P, i y N . Este factor se conoce
como el factor de cantidad compuesta para pagos
nicos.
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2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
Notacin con factores
Cuando incorporamos el factor de la tabla a la frmula,
sta se expresa de la siguiente manera:
F = P(1 + i)N = P(F/P, i, N)
El factor de la tabla nos indica utilizar la tabla del 12%
de inters y encontrar el factor en la columna F/P para
N =15.
-
2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
Tablas de inters
Estas tablas nos permiten encontrar el factor apropiado
para una tasa de inters dada y el nmero de periodos
de capitalizacin
-
2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
Tablas de inters
Ejemplo. Hallar el valor futuro
de $15 000, al cabo de 8 aos,
si se le aplica una tasa de
inters de 11% anual.
Resolucin:
Aplicando el uso de la Tabla,
tenemos:
F = 15 000 (F/P. i%,N)
F = 15 000 (F/P, 11%, 8)
F = 15 000 (2,3045)
F = 34 567,50
-
2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
Cantidades nicas: Determine F, dados P, i y N
Ejemplo. Si tuviera $1,000 ahora y los invirtiera al 7% de inters
compuesto anual, cunto valdran en 8 aos?
Resolucin:
1. Aplicando el uso de la calculadora
Se emplea la frmula para el valor futuro , es decir el factor de
cantidad compuesta para pagos nicos:
F = P ( 1 + i) N = 1 000 ( 1 + 0,07) 8 = 1 718,19
-
2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
2. Aplicando el uso de la
Tabla
La expresin sera:
F = P (F/P. i%,N)
F = 1 000 (F/P, 7%, 8)
F = 1 000 (1,7182)
F = $1 718,20
-
2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
3. Aplicando el uso del excel
Con Excel, el clculo del valor futuro se ve de la siguiente
manera:
F = VF (tasa; nper; pago; va; tipo) = VF (7%; 8; 0; -1 000; 0)
F = $1 718,18
tasa = es la tasa de inters por periodo
nper = es el nmero total de pagos de una inversin
pago = es el pago efectuado cada periodo, no puede cambiar durante la
inversin
va = es el valor actual o la suma total del valor de una serie de pagos. Si se
omite, VA = 0
tipo = es el nmero 0 1 e indica cuando vencen los pagos: pago al
comienzo del periodo = 1; pago al final del periodo = 0 u omitido
-
2.3.2 FACTOR DE VALOR PRESENTE
Encontrar el valor presente de una cantidad futura es
simplemente lo contrario a calcular el inters
compuesto, y se conoce como el proceso de
descuento. En la ecuacin, podemos ver que si
necesitamos encontrar una suma presente P, dada la
cantidad futura F, simplemente despejamos P.
),,/()1(
1NiFPF
iFP
N
-
2.3.2 FACTOR DE VALOR PRESENTE
El factor 1/(1 + i)N se conoce como el factor del valor
presente para pagos nicos y se designa (P/F, i, N).
Se han construido tablas para los factores P/F y para
diversos valores de i y N. La tasa de inters i y el factor
P/F tambin se conocen como tasa de descuento y
factor de descuento, respectivamente.
-
2.3.2 FACTOR DE VALOR PRESENTE
Factor de valor presente
para pagos nicos (tasa
de descuento)
Datos
i = 12%
N = 5 aos
F = $1 000
Determine
P = 1 000 (1 + 0,12)-5
= 1 000 (P/F, 12%, 5)
= 567,40
-
2.3.2 FACTOR DE VALOR PRESENTE
Cantidades nicas: Determine P, dados F, i y N
Ejemplo. Cul debe ser el precio para un bono cupn cero de 8
aos con un valor nominal de $1,000 si los bonos cero similares
estn redituando un inters anual del 6%?
Resolucin:
1. Aplicando el uso de la calculadora
Se emplea la frmula para el valor presente
P = F ( 1 + i)-N = $1 000 ( 1 + 0,06)-8 = $627,40
-
2.3.2 FACTOR DE VALOR PRESENTE
2. Aplicando el uso de la
Tabla
P = F (P/F, i, N)
P = $1 000 (P/F, 6%, 8)
P = $1 000 (0,6274)
P = $627,40
-
2.3.2 FACTOR DE VALOR PRESENTE
3. Aplicando el uso del excel
P = VA (tasa; nper; pago: vf; tipo)
P = VA (6%; 8; 0; 1000; 0)
P = - $627,41
tasa = es la tasa de inters por periodo
nper= es el nmero total de pagos de una inversin
pago= es el pago efectuado cada periodo, no puede cambiar durante la
inversin
vf = es el valor futuro o saldo en efectivo que se desea lograr despus de
efectuar el ltimo pago
Tipo = es un valor lgico: para pago al comienzo del periodo = 1; pago al final
del periodo = 0 u omitido
-
2.3.3 SOLUCIONES PARA TIEMPO Y TASAS
DE INTERS
A estas alturas, debe quedar claro que los procesos
de capitalizacin y descuento son recprocos y que
hemos estado tratando con una ecuacin en dos
formas:
Forma del valor futuro:
Forma de valor presente:
-
2.3.3 SOLUCIONES PARA TIEMPO Y TASAS
DE INTERS
Suponga que compra una
accin en $10 y la vende en
$20; su ganancia es, por lo
tanto, $10. Si eso ocurre dentro
de un ao, su tasa de inters
de retorno es un impresionante
100% ($10/$10 = 1). Si pasan
cinco aos, cul sera la tasa
de inters de retorno de su
inversin?
Ejemplo: Solucin para i
-
2.3.3 SOLUCIONES PARA TIEMPO Y TASAS
DE INTERS
DATOS:
P = $10 F = $20 N = 5 i = ?
La expresin de valor futuro es:
Reemplazando los valores obtenemos: $20 = $10 (1 + i)5
Para hallar el valor de i, se puede utilizar tres mtodos:
Mtodo 1: Prueba y error
Se realiza una serie de reemplazos en el valor de i, de manera
tal que, la ecuacin se iguale, obtenindose:
i = 14,87%
-
2.3.3 SOLUCIONES PARA TIEMPO Y TASAS
DE INTERS
Mtodo 2: Uso de Tablas de inters
De los datos se obtiene:
$20 = $10 (1 + i)5
que es equivalente a :
2 = 1 (1 + i)5 = (F/P, i, 5)
Con esa denotacin, se busca en las tablas de inters la fila N = 5, debajo
de la columna (F/P, i, N) hasta que localice el valor de 2. Este valor es
aproximado en la tabla de inters del 15% a (F/P, 15%, 5) = 2,0114,
i = 15, 00 % 14,87%
-
2.3.3 SOLUCIONES PARA TIEMPO Y TASAS
DE INTERS
Mtodo 3: Uso del Excel
En el Excel: TASA(Nper,Pago,Va,Vf,Tipo) que nos permite
calcular una tasa de inters desconocida.
i = TASA(Nper, Pago, Va, Vf, Tipo) = TASA (5, 0, -10, 20 ,0)
i = 0,148698355 14,87 %
Nper = es el nmero de periodos de pago de un prstamo o inversin
Pago = es el pago efectuado en cada periodo y no puede cambiar durante la
vigencia del prstamo o inversin
Va = es el valor actual: la cantidad total de una serie de pagos futuros
Vf = es el valor futuro o saldo en efectivo que se desea lograr despus de
efectuar el ltimo pago. Si se omite, se usa VA = 0
Tipo = es un valor lgico: para pago al comienzo del periodo = 1; para pago al
final del periodo = 0 u omitido
-
2.3.3 SOLUCIONES PARA TIEMPO Y TASAS
DE INTERS
Usted acaba de comprar 100
acciones de General Electric a
$30 cada una. Vender las
acciones cuando su valor de
mercado se duplique. Si
espera que el precio de las
acciones se incremente en un
12% anual, cunto tiempo
piensa esperar antes de
vender las acciones?
Ejemplo:
Cantidades nicas: Determine N, dados P, F e i
-
2.3.3 SOLUCIONES PARA TIEMPO Y TASAS
DE INTERS
DATOS:
P = $3 000
F = $6 000
i = 12 % anual
N = ? Aos
Este ejemplo puede ser
resuelto por dos mtodos
Cantidades nicas: Determine N, dados P, F e i
-
2.3.3 SOLUCIONES PARA TIEMPO Y TASAS
DE INTERS
MTODO 1: USO DE CALCULADORA
Utilizamos el factor de cantidad compuesta para
pagos nicos:
F = P(1 +i)N = P (F/P, i, N)
$6 000 = $3 000 (1 + 0,12)N
2 = (1,12)N , aplicando logaritmo tenemos
Log 2 = log (1,12)N , despejamos N:
N = (log 2) / (log 1,12) = 6,12 6 aos
Cantidades nicas: Determine N, dados P, F e i
-
2.3.3 SOLUCIONES PARA TIEMPO Y TASAS
DE INTERS
MTODO 2: USO DEL EXCEL
En Excel: funcin financiera NPER(tasa,pago,va,vf,tipo)
Entonces: N = NPER(12%, 0, -3000, 6000, 0)
N = 6,11625537 6 aos
Cantidades nicas: Determine N, dados P, F e i
Tasa = es la tasa de inters por periodo
Pago = es el pago efectuado en cada periodo y no puede cambiar durante la
vigencia del prstamo o inversin
Va = es el valor actual o el valor de la suma total de una serie de pagos futuroa
Vf = es el valor futuro o saldo en efectivo que se desea lograr despus de
efectuar el ltimo pago. Si se omite, se usa VA = 0
Tipo = es un valor lgico: para pago al comienzo del periodo = 1; para pago al
final del periodo = 0 u omitido
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