resumen métodos de integración
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A. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE)
La base teórica del método de integración por sustitución es la regla de la cadena, la cual establece que
.d
f g x f g x g xdx
Dado que la integración es la operación inversa de la diferenciación, al integrar ambos lados obtenemos
.f g x g x dx f g x
Ahora, una integral dada en esta forma la podemos transformar mediante la sustitución u g x con la cual resulta que
du g x dx y
.f g x g x dx f u du f u f g x
Al sustituir u g x en la integral original ésta se transformar en una más simple que involucra la variable u .
Después de resolver la integral transformada se debe regresar a la variable original x cambiando la variable u por g x .
B. INTEGRACIÓN POR PARTES
Según la regla para la derivada de un producto de funciones,
f x g x f x g x g x f x ,
podemos ver que f x g x es una antiderivada de la función f x g x g x f x ; es decir,
f x g x g x f x dx f x g x .
Ahora, de acuerdo con las propiedades básicas de la integral indefinida, la ecuación anterior se puede expresar como
f x g x dx g x f x dx f x g x ,
por lo tanto,
f x g x dx f x g x g x f x dx .
Equivalentemente, si u f x y v g x , entonces du f x dx , dv g x dx y la fórmula anterior se
expresa como:
udv uv vdu .
C. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
sen cosm nx xdxIntegrales de la forma
n es impar ( 2 1n k ; k un entero). 2 1 2sen cos sen cos sen 1 sen coskkm n m mx x x x x x x
.
Usamos la sustitución sen cosu x du xdx .
m es impar ( 2 1m k ; k un entero). 2 1 2sen cos sen cos 1 cos cos sen
kkm n n nx x x x x x x
.
Utilizamos la sustitución cos senu x du xdx .
m y n son pares. Se emplean las identidades: 2 12
sen 1 cos 2x x y 2 12
cos 1 cos 2x x ; a veces se usa
12
sen cos sen 2x x x .
tan secm nx xdxIntegrales de la forma
n es par. -2 -22 2-2 2 2 2 2 2sec sec sec sec sec tan 1 sec
n nn nx x x x x x x . Usamos la sustitución
2tan secu x du xdx .
m es impar. 1
21 1 2 1tan sec tan sec tan sec sec 1 sec tan sec .m
m n m n nx x x x x x x x x x
Usamos sec sec tanu x du x xdx .
n es impar y m es par. 2 22 2tan tan sec 1m m
m x x x . Aplicamos secn xdx .
sen cos , sen sen , cos cosmx nxdx mx nxdx mx nxdx Integrales de la forma y
Se utilizan, respectivamente, las identidades:
1sen cos sen sen
2
1sen sen cos cos
2
1cos cos cos cos
2
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
D. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Cuando el integrando contiene una expresión de la forma 2 2a x , 2 2a x , o 2 2x a , donde 0a , se
emplean una sustitución trigonométrica adecuada que transforma la integral original en otra que contiene funciones
trigonométricas y es más fácil de resolver. Las sustituciones adecuadas son:
E. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES
CASO 1 El denominador Q x es un producto de factores lineales distintos.
Significa que Q x tiene k factores lineales, es decir
1 1 2 2 k kQ x a x b a x b a x b
k factores
y será necesario determinar las constantes i
A que satisfacen la ecuación:
1 2
1 1 2 2
k
k k
R x AA A
Q x a x b a x b a x b
.
CASO 2 Q x es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.
Por ejemplo, supongamos que 3
1 1 2 2 3 3Q x a x b a x b a x b en donde 1 1
a x b se repite 3 veces.
Entonces es necesario determinar las constantes i
A que satisfacen:
3 51 2 4
2 31 1 2 2 3 31 1 1 1
R x A AA A A
Q x a x b a x b a x ba x b a x b
CASO 3 Q x contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite.
Procedemos en forma análoga al caso 1. Supongamos que Q x tiene k factores lineales distintos y r factores
cuadráticos irreductibles diferentes, entonces debemos encontrar constantes i
A , j
B y j
C tales que:
1 2 1 1 2 2
2 2 21 1 2 2 1 1 1 2 2 2
k r r
k k r r r
R x AA A B x C B x C B x C
Q x a x b a x b a x b c x d x e c x d x e c x d x e
.
CASO 4 Q x contiene uno o más factores cuadráticos irreductibles repetidos.
Procedemos como en el caso 2.
2 2a x sen cosx a dx a d , 2 2 2 21 sen cos
2 2a x 2tan secx a dx a d ,
2 2 2 21 tan sec
2 2x a sec sec tanx a dx a d , 2
0 o 32 2 2sec 1 tan
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN QUE INVOLUCRAN A LAS FUNCIONES RACIONALES PROPIAS MÁS SIMPLES:
1.
1
1 1
1
ln 1
n
n
ndx n x a
x ax a n
2.
12 2
2
2
2
122 1
ln 12 2
n n
n
A Ab dxB n
aa n ax bx c ax bx cAx Bdx
ax bx c A Ab dxax bx c B n
a a ax bx c
3.
1 122 2 2 2
2 3 22
1 41 4n n n
n adx ax b dx
n ac bax bx c n ac b ax bx c ax bx c
4.
1 2
2
2
2
2 2tan 4 0
2 4 0
2
21ln 4 0
2
ax bq ac b
q q
dxq ac b
ax bx c ax b
ax b qq ac b
q ax b q
para
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