razones y proporciones razÓnrazÓn es la relación o comparación entre dos magnitudes. se...

RAZONES Y

PROPORCIONES

RAZÓN

Es la relación o comparación entre dos magnitudes.

Se representa a : b

Ejemplo: a: 3 kilos de arroz b: 6 dólares

Tipos de Razón

Existen dos tipos: Razón Aritmética (R.A) R.A = a – b Razón Geométrica (R.G) R.G = a/b

Es una comparación entre dos cantidades, a y b.

Expresiones: “8 de cada diez casos registrados son varones”

se expresa como:

8:10

8-------------------

10

Razones y proporciones

Cuando decimos “la razón entre el número a y el número b es...” estamos diciendo lo siguiente: “la división entre el número a y el número b es ...” O de otra forma: “a dividido por b es la razón entre a y b”

La palabra razón entonces es sinónimo de división. Así de simple.

¿Porqué, entonces, usar razón en vez de división?

Realicemos la siguiente división3

2

Esto es, dos divido por 3, o en nuestro nuevo lenguaje, la razón entre 2 y 3 es:

66666,03

2

Razones y proporciones

Pues bien, entonces la razón entre 2 y 3 es 0,66666.

Calculemos ahora la razón entre 4 y 6, esto es6

4

No resulta complicado verificar que la “división” entre 4 y 6 tiene como resultado la misma razón entre 2 y 3

Por lo demás,

66666,03

2

32

22

6

4

De manera que, podemos decir que existe la “misma razón” entre 2 y 3 que entre 4 y 6.

RazonesAhora daremos una explicación de porqué utilizar, en algunos casos, la parabra razón más que la palabra división

Observe esta antena, compuesta por una barra vertical y una horizontal. La barra vertical tiene una longitud de tres metros, y la barra horizontal tiene una longitud de dos metros. De este modo la razón entre la longitud horizontal y la longitud vertical es de 2/3

3 metros

2 metros

Razones y proporciones

Ahora construiremos una antena de longitud horizontal de 4 metros y de longitud vertical de 6 metros

Esta nueva antena, más grande, tiene la misma razón entre la barra horizontal y la barra vertical que la antena más pequeña.

3 metros

2 metros

6 metros

4 metros

De tal forma que, más que una división entre longitud vertical y longitud horizontal, la razón nos está indicando una forma de “construcción”, un cierto “patrón” de cómo construir antenas similares a la antena pequeña.

Razones y proporciones

Entendiendo ahora la razón entre la cantidad a y la cantidad b como una medida de relación entre a y b, se tiene una poderosa herramienta de medición con muchas aplicaciones al entorno real

Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de

1000

17

Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 17 bebés.

Entonces ¿por cada 2000 habitantes cúantos nacimientos ocurrirán durante el año? (recuerde la antena, en este caso la barra horizontal son los recien nacidos y la barra vertical los habitantes)

Razones y proporciones

1000 habitantes

17 recién nacidos

2000 habitantes

x recién nacidos

Ambas antenas, que representan esquematicamente a la población, deben estar en la misma razón, esto es

20001000

17 x 34

1000

172000 x

Esto es, por cada 2000 habitantes nacerán 34 bebés anualmente.

Razones y proporciones

La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional.

Por ejemplo, se sabe que la población de la Segunda Región de Antofagasta es de 493984 personas, y también se sabe que la superficie de la Segunda Región es de 126000 kilómetros cuadrados.

Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de

4939843,92

126000 habitantes por kilómetro cuadrado

¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!

Una proporción es una igualdad de dos razones equivalentes. En general una proporción se escribe:

A:B=C:D ó A/B=C/D

En ambos casos, se lee: A es a B como C es a D.

Las proporciones

pueden ser:

Directa

inversa

Compuesta

Cuarta proporcional

La cuarta proporcional consiste en, conocidas tres magnitudes de una proporción, averiguar la cuarta magnitud.

3 12----- = ----- 5 X

Para averiguarla, se multiplica en cruz los valores conocidos y el resultado se divide por el valor que ha quedado solo,

12 * 5 X = --------- 3

60= ----- = 20 3

Sigue con ejerciciosSigue con ejercicios

Ejemplo

:

Ejercicios Cuarta proporcional

• Primer paso, planteamiento de las magnitudes:

Ejemplo: Una fábrica produce 420 tornillos en 7 minutos, ¿Cuánto tiempo tardará en producir 1.200 tornillos?

tornillos minutos 420 71.200 X

• Segundo paso, cuarta proporcional: 420 1.200---------- = ---------- 7 X

Tomamos la primera línea del planteamiento y decimos: 420 es a 7, como 1.200 es a X, ya de la segunda línea.

• Tercer paso, resolvemos: 1.200 * 7X = ----------------- 420

Método a seguir ante los problemasMétodo a seguir ante los problemas

Proporción Directa

Una proporción es directa cuando al aumentar una magnitud, también aumenta la otra; o cuando disminuye una, también disminuye la otra.

Ejemplos:

Un grupo de pintores utiliza 12 litros de pintura para pintar 36 cuadros. ¿Cuántos litros de pintura necesitaran para pintar 486 cuadros?

Proporción InversaUna proporción es inversa cuando al aumentar el valor de una magnitud, disminuye la otra, o viceversa.

Ejemplos:

Un vehículo tarda dos horas y media en recorrer una distancia a una velocidad promedio de 70 kilómetros por hora. ¿cuánto tardara en recorrer la misma distancia si la velocidad aumenta a 100 kilómetros por hora?

Proporción compuesta

Son proporciones compuestas las que tienen más de dos magnitudes.

Ejercicios de explicación:

; ;

;

Seis cajas de conserva de 8 tarros cada una valen $72.000 ¿Cuánto valen 10 cajas de 12 tarros cada una? 1. Establecemos

las razones : 6 cajas10 cajas

8 tarros12 tarros

$72.000

$ x

2. Resolvemos relacionando número de cajas y precio :

6 cajas10 cajas

$72.000

$ x