RAZONES Y PROPORCIONES

unidad

2.1 Razones y proporciones

a) Concepto de razón y proporción

b) Variación directa

c) Variación inversa

2.2 Problemas de tanto por ciento

Autoevaluación

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2.1 RAZONES Y PROPORCIONES ACTIVIDAD 1. Realiza la lectura del texto.

20 minutos

a) Concepto de razón y proporción Hay dos formas para hacer comparaciones entre dos cantidades:

a)Una, cuando se quiere saber cuánto excede una cantidad a otra, a esta se le conoce como la razón aritmética o diferencia y se calcula con una resta.

b)La segunda, cuando se busca conocer cuántas veces contiene una cantidad a otra, se llama razón geométrica o cociente y se obtiene realizando una división. Nuestro estudio se centra en este tipo de comparaciones.

Una razón geométrica se expresa en cualquiera de sus dos formas más usuales:

a) Como fracción: a

b , se lee “ ‘a’ es a ‘b’ ”

b) Como una división: :ba , se lee “ ‘a’ es a ‘b’ ”

Al elemento “a” se le conoce como antecedente y al “b” como consecuente.

Una razón geométrica en forma de fracción se escribirá como fracción irreducible. Dado que una fracción es una división expresada, las propiedades de las razones geométricas serán las mismas que las de una división:

1. Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.

2. Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida o multiplicada por ese mismo número, respectivamente.

3. Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.

Ejemplo 1. Encontrar la razón entre las edades de dos personas de 15 y 20 años.

SOLUCIÓN: La razón es 3

4, porque es la reducción máxima de la fracción

15

20 .

Ejemplo 2. La razón de dos números es 5

6, si el menor es 20 ¿cuánto vale el mayor?

SOLUCIÓN: es 24, porque si el 5 se multiplicó por 4, entonces el 6 también. Esto se ajusta a la tercera propiedad de las razones geométricas.

Ejemplo 3. Se quieren repartir $100 a razón 2

3 entre Germán y Alexa, ¿cuánto le toca a cada quién?.

SOLUCIÓN: Esta repartición ocurre en “rondas”, en la primera ronda de repartición a Germán le tocan $2, mientras que a Alexa le tocan $3, si se repite el experimento hasta acabarse el dinero, Germán termina con $40 y Alexa con $60. Lo más práctico en estos casos es conocer primero cuántas veces se puede repetir el experimento. Esto se puede saber, haciendo la división del total a repartir entre la suma del antecedente y el consecuente y finalmente multiplicar este cociente con el antecedente y el consecuente.

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Ejemplo 4. Se reparten $ 40 000 000 a tres colonias de una ciudad a razón 5:6:9 para proyectos de urbanización. ¿Cuánto le toca a cada una?

SOLUCIÓN: Cuando se hace la suma de los elementos de la razón se obtiene 5 +6 + 9 = 20, entonces en cada ronda completa de repartición se entregan $20. El experimento se pueda repetir dos millones de veces, entonces se acaban los $40 000 000. Así, a la primera colonia le tocan $10 000 000, a la segunda $12 000 000 y a la tercera $18 000 000.

Una proporción geométrica o equicociente, es la igualdad de dos o más razones geométricas. Una proporción geométrica se escribe en cualquiera de los dos modos siguientes:

a c

b d ó a:b: :c:d Se lee “ ‘a’ es a ‘b’ como ‘c’ es a ‘d’”.

Ejemplos de proporciones: 3 6

4 8 ,

2 8

5 x , o bien

2 4 8

5 10 20

Cuando dos o más razones son proporcionales, sus cocientes son iguales. Esto lleva a concluir que entonces se trata de fracciones equivalentes, así,

ak

b (1) y

ck

d (2)

Una ventaja que se puede obtener de este tipo de operaciones es que aunque se desconozca ‘a’, ‘b’, ‘c’ o ‘d’ (uno a la vez), teniendo tres de estos se puede conocer el cuarto elemento.

Ejemplo 1. En una proporción, 15 varia directamente respecto al 5, si se conserva el mismo estilo de variación, ¿qué número corresponde a la variación del 6?.

SOLUCIÓN: Para resolverlo utilizamos una proporción, en donde la constante de proporcionalidad es k= 3 porque

153

5 Sustituyendo en (2), se tiene:

Esta operación también se puede reducir a una proporción estudiada en la escuela primaria, sin embargo, el modelo propuesto es útil cuando se trata de proporciones más complejas como el caso siguiente.

Ejemplo 2. Suponer que ‘y’ varía en proporción directa a ‘x2’. Suponer además que y = 12 cuando x = 2. Calcular ‘y’ cuando x = 4.

SOLUCIÓN: 2

yk

x Sustituyendo se tiene

2

12

2k de aquí se tiene que k = 3, la constante de variación es 3. Volviendo

a la razón original 2

yk

x y sustituyendo el dato último del problema se tiene:

36

(3)(6)

18

ck

d

c

c

c

2

2( )

34

(16

4

)

48

3

3

y

y

y

y

- 45 -

ACTIVIDAD 2. Resuelve los ejercicios. 30 minutos

1. Conforme a los dibujos escribe la razón correspondiente.

a) Cantidad de autobuses a cantidad de autos de carrera:

_____________________

b) Número de mujeres a número de hombres:

______________________

c) Cantidad de trompos a cantidad de espadas:

______________________

2. Completa cada tabla de modo que haya proporcionalidad entre la primera y segunda columna. a) b) c) d) e) f)

Número

de boletos

Costo de

entrada al

cine

2 $80

$40

3

$240

Razón 2 : 7

4

6

8

x y

4

12 9

20

32 24

48

100

x y

40

11

17 85

100

27 135

175

x y

3

5 25

11

18

21 105

26

x y

2.72

5.3

5.6

8.1 6.48

10.6

10.4

- 46 -

3. Resuelve. Incluir planteamientos, resolución y solución a) Tres amigos obtienen un premio de $10 000.00 en la lotería. ¿Cómo deben repartírselo si para comprar el billete uno puso $12.00, el otro $8.00 y el tercero $5.00? Solución: __________________________________ b) En una votación para elegir doce representantes estudiantiles, la planilla A obtuvo 527 votos, la B 185 y la C 342. ¿Cuántos representantes le corresponden a cada planilla? Solución: ____________________________________ c) Yo tengo naranjas, Guillermo y Tito tienen manzanas. Por cada cinco naranjas Guillermo me da tres manzanas, y por cada ocho naranjas Tito me da cinco manzanas. ¿Con quién hago trato? Solución: ____________________________________ d) En una prueba de ortografía, un estudiante cometió 17 errores en seis páginas de escritura y otro cometió 22 en ocho páginas. ¿Cuál de los dos es más eficiente? Solución: ____________________________________

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

3

aciertos ______

- 47 -

b) Variación directa ACTIVIDAD 3. Realiza la lectura del texto.

30 minutos

Si dos cantidades “ x ”(antecedente) y “ y ”(consecuente) varían de forma tal que su cociente y

x permanece constante,

se dice entonces que se trata de una variación directa. La forma matemática de expresar esta situación es:

y

kx (3)

Para entender mejor este tipo de variación consideremos la tabla de costos de tacos que maneja un vendedor. Si cada taco costara $9.00, entonces la tabla de costos es como sigue:

x (número de tacos) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n y (precio $) 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 9n

al dividir el precio de cierta cantidad de tacos entre el número de tacos respectivo se obtiene siempre “9” . Así que la tabla anterior trata de una variación directa por cumplir con la definición de variación directa.

Despejando “ y ” de (3) se tiene y kx (4)

La fórmula (4) se lee “ y es directamente proporcional a x ”. En las fórmulas de proporciones, “ k ” se llama constante

de proporcionalidad y es necesario calcularla a menos que ya venga mencionada en el problema.

Puede darse el caso en que “ y ” no varía respecto a “ x ” sino a una potencia de “ x ”, para estas situaciones se dice que

“ y varía en proporción directa a la n -ésima potencia de x ” . La potencia “ n ” es un número entero positivo.

ny kx (5)

Las variaciones también pueden representarse de manera gráfica. La gráfica de costos del vendedor de tacos quedaría como sigue:

GRÁFICA DE COSTOS DE TACOS

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Número de tacos

Pre

cio

($)

Por acuerdos de interpretación

universal de datos en las gráficas,

se ha establecido que el

antecedente se represente en el

eje horizontal y el consecuente

en el vertical. Este criterio está en

total conformidad con la

representación de variables en el

plano cartesiano: La variable

independiente (antecedente) en

el eje “ x ” y la variable

depediente (consecuente) en el

eje “ y ”.

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c) Variación inversa

Si dos cantidades “ x ”(antecedente) y “ y ”(consecuente) varían de forma tal que su producto xy permanece

constante, se dice entonces que se trata de una variación inversa. La forma matemática de expresar esta situación es: xy k (6)

Despejando “ y ” de (6) se tiene k

yx

(7)

La fórmula (7) se lee “ y es inversamente proporcional a x ”. La constante de proporcionalidad “ k ” necesariamente es

un valor no nulo ( 0k ). Y debe calcularse siempre a menos que ya venga mencionada en el problema.

La ecuación de la proporción inversa k

yx

no es una ecuación lineal, de hecho, al graficarla tomando en cuenta

1k se obtiene:

La gráfica se llama hipérbola y consta de dos curvas conocidas como sus ramas. En cada rama, cuando un punto se mueve alejándose del origen se acerca cada vez más a uno de los ejes coordenados, pero nunca lo llega a tocar, entonces los ejes son las asíntotas de las ramas. Un movimiento asintótico existe cuando una curva se va acercando cada vez más a una recta guía pero nunca ocurre la intersección.

Ejemplo 1. Tomar 10

yx

. Encontrar y cuando a) 2x y cuando b) 8x .

SOLUCIÓN: y varía en proporción inversa a x . Lla constante de variación es 10k (ver ecuación 7).

a) Cuando 2x , b) Cuando 8x ,

10

52

y 10 5

8 4y

1y

x

- 49 -

Ejemplo 2. Se quiere repartir cien paletas entre los niños que estén en un parque. Hacer una tabla que indique el número de paletas que le tocaría a cada uno dependiendo de cuantos de ellos hay en el lugar. Tomar en cuenta que los dulces solo se pueden repartir en piezas enteras y no troceadas.

SOLUCIÓN:

x (número de niños) 100 50 25 20 10 5 4 2 1 y (cantidad de dulces que le toca a cada uno)

1 2 4 5 10 20 25 50 100

Esta tabla corresponde a una variación proporcional inversa porque el producto xy para cada pareja

respectiva fue un valor constante, en todos los casos 100k .

Al observar los valores de la tabla, se nota el clásico comportamiento de una variación proporcional inversa: cuando

una variable disminuye, la otra aumenta.

Ejemplo 3. La presión P que genera el peso w de un cuerpo sobre una superficie A es inversamente proporcional al

área de la superficie sobre la que descansa el cuerpo. Encontrar la presión que genera un peso de 500 N sobre una superficie de 0.0016 m2.

SOLUCIÓN: P varía en proporción inversa a A. Entonces

wP

A

El peso es constante, 500 w N , entonces cuando 0.0016A m2, se tiene:

2 2

500 N312 500 312 500

0.0016

NP Pa Pascales

m m

El hecho de que la presión sea inversamente proporcional al área implica que a mayor área sobre la que se aplica la fuerza, menor es la presión y viceversa, a menor área mayor presión. Esto es verificable al recibir un pisotón: si los tacones de los zapatos de la otra persona son anchos, duele poco a comparación del dolor que pueden producir los tacones delgados.

Ejemplo 4. Cierto trabajo puede ser acabado por cinco personas en 40 días, si el mismo trabajo lo hicieran veinte personas igual de laboriosas que las anteriores, ¿en cuántos días lo terminarían?

SOLUCIÓN: Esta situación fácilmente puede hacernos equivocar si se pensara que se puede resolver como una variación proporcional directa. De hecho, si planteamos el problema con una proporción directa se obtendría 160 días, lo cual es ilógico, pues se entiende que si un mayor número de personas hace el trabajo, el tiempo a emplear es menor. Por lo tanto, esta es otra situación más que requiere de una variación proporcional inversa para resolverse.

Tomemos como “x” el número de personas trabajando y “y” los días que ocupan para hacer el trabajo, en el primer caso se tiene:

5 40

200

xy k

k

k

luego,

20 200

200

20

10

xy k

y

y

y

para el segundo caso.

Así se sabe que se necesitan tan solo 10 días para terminar el trabajo si se ocuparan veinte personas.

- 50 -

ACTIVIDAD 4. Resuelve los ejercicios. 50 minutos

1. En los siguientes ejercicios tomar en cuenta que “y” varía en proporción directa a “x”. a) Si 4y cuando 6x . Hallar “ y ” cuando 3x b) Si 5y cuando 12x . Hallar “ x ” cuando 35y

c) Si 15y cuando 3x . Hallar “ y ” cuando 2x d) Si 52 ty a cuando 5x b . Hallar “ y ” cuando 15x b

e) Tomar que “ y ” varía en proporción directa a “ 3x ”. f) Si 3

4y cuando 4x . Hallar “ y ” cuando 54y cuando

3x . Hallar “ y ” cuando 4x 5 6 10x .

2. Resolver los problemas. Incluir planteamiento y pasos en la solución.

a) Cierto cubo tiene densidad uniforme.

Suponer que se duplica su arista.

¿Por cuál factor se multiplica su peso?

Si se supone que el fondo no se pinta, ¿por

cuál factor aumenta el costo de pintar dicha

base?

b) La distancia que recorre una pelota al

rodar por un plano inclinado varía en

proporción directa al cuadrado del tiempo

de su movimiento. Si la pelota rueda 3 m

durante los 2 primeros segundos, ¿cuánto

más rodará durante los próximos dos

segundos?

- 51 -

3. En los siguientes ejercicios tomar en cuenta que “y” varía en proporción inversa a “x”. a) Si 4y cuando 6x . Hallar “ y ” cuando 3x b) Si 8y cuando 9x . Hallar “ x ” cuando 36y

c) Si 15y cuando 3x . Hallar “ y ” cuando 5x d) Si 4y cuando 6x . Hallar “ y ” cuando 8x

e) Si 2

5y cuando 4x . Hallar “ x ” cuando 2y f) Tomar que “ y ” varía en proporción inversa a “ 2x ”.

Si 4y cuando 2x . Calcular “ y ” cuando 8x

4. Resolver los problemas. Incluir planteamientos y pasos en la solución.

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

2

aciertos ______

a) El peso de un cuerpo varía en proporción

inversa a su distancia al centro de la Tierra.

Suponer que el radio terrestre mide 6 436 km.

Si un hombre pesa 75 kg en la superficie del

planeta, ¿cuánto pesará a 1 609 km arriba de

ésta?

b) La población de venados en cierta zona

varía en proporción inversa a la cantidad de

días que se permite su caza. Si hay 10 000

venados en esa región cuando se

permitieron 50 días de caza, ¿cuántos días de

caza son necesarios para reducir la

población de venados a 4 000?

- 52 -

2.2 PROBLEMAS DE TANTO POR CIENTO ACTIVIDAD 1. Realiza la lectura del texto.

15 minutos

El porcentaje (%) es una proporción definida a partir de grupos de cien, de hecho, la frase “por ciento” se debe interpretar como “tantos por cada cien”. Los planteamientos para calcular un porcentaje son muy parecidos entre sí, pues todos tienen como primera razón el porcentaje convertido a una fracción cuyo denominador es el número cien, por lo tanto, los porcentajes son una familia de proporciones.

Porcentaje Expresado en forma

de fracción con denominador cien 9 % 9

100

28 % 28

100

50 % 50

100

135 % 135

100

Finalmente, obtener el porcentaje de alguna cantidad consiste en compararla con la razón determinada por el “por

ciento” para formar una nueva razón equivalente. En esta comparación de razones impera el orden parte parte

todo todo .

Ejemplo 1. Calcular el 30 % de 450.

SOLUCIÓN: El ejercicio se puede interpretar “si hay 30 por cada cien, ¿cuántos hay en 450 si se conserva la misma

razón?”. 30% en forma de fracción con denominador cien es 30

100. La proporción y su solucionamiento es:

Respuesta: El 30% de 450 es 135 Ejemplo 2. ¿Qué porcentaje representa el 40 en el 500?

SOLUCIÓN: En este ejercicio se busca conocer el porcentaje, así que la incógnita se ubicará ahora en la primera razón. La proporción y su solucionamiento quedan así:

Respuesta: 40 es el 8 % de 500

30

100 450

30 450

100

135

x

x

x

40

100 500

40 100

500

8

x

x

x

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ACTIVIDAD 2. Resuelve los ejercicios. 30 minutos

1. Resuelve: a) 25 % de 340 b) 8 % de 4000 c) 40 % de 150 d) 95 % de 700

e) 50 % de 3

4 f) 70 % de 0.35 g) 120 % de 600 h) ¿36 es el 15 % de

qué número? 2. Resuelve los problemas. Incluir planteamiento y pasos en la resolución. Solución: ____________________________________ Solución: ____________________________________

a) A Ronaldo le gustó un televisor cuyo precio

de lista era $6 800.00. El día en que fue a

comprarlo, el televisor tenía 25% de

descuento sobre el precio de lista, ¿cuánto

pagó finalmente por el televisor?

b) Hay dos escuelas, una con 120 alumnos

y otra que tiene 500, al preguntar entre la

población por el gusto deportivo se obtiene

que en la primera les gusta el fútbol 90

alumnos y en la segunda a 375. ¿En cuál

escuela hay mayor porcentaje de alumnos

que les gusta el fútbol?

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Solución: _________________________________________ Solución: ____________________________________ e) En una fábrica de bolsas hay dos máquinas para la manufacturación de tal producto.

La máquina “Filemona” produce el 70 % de las bolsas, mientras que la máquina “Pancracia” produce el 30 % restante. El 5 % de los artículos producidos por la máquina “Filemona” y el 8 % de los producidos por la máquina “Pancracia”

resultan con algún defecto. ¿Qué porcentaje de las bolsas producidas en la fábrica resultan defectuosas?, ¿qué porcentaje del total de artículos defectuosos proviene de la máquina “Pancracia”? Solución: ____________________________________________ f) El precio de lista de una lámpara es de $500 en dos tiendas diferentes A y B. De pronto las tiendas lanzan la oferta del artículo:

La tienda A ofrece un 20 % de descuento La tienda B ofrece un 10 % de descuento y sobre el precio ya descontado ofrece un 10 % adicional.

Demostrar numéricamente en qué tienda conviene comprar la lámpara o si da igual comprarla en una u otra.

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

2

aciertos ______

c) El peso de los perros callejeros de cierto lugar

está constituido en un 2 % por pulgas y un 3 % por

garrapatas, si hay un perro que pesa 45 kilos, hallar

el peso respectivo de las pulgas y de las

garrapatas.

d) Darío necesita $1800 para pagar la

mensualidad de su automóvil y pide un préstamo

en la caja de ahorros de su sindicato. Si en el

sindicato le retienen como garantía el 10 % del

préstamo, ¿cuánto debe solicitar para obtener

exactamente los $1800 requeridos?

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AUTOEVALUACIÓN 1. Escribe el concepto de razón: ______________________________________________________________________________________________________________ 2. Escribe las dos formas para expresar una razón usando los elementos “a” y “b”. ______________________________________________________________________________________________________________ 3. Escribe la razón que represente a cada enunciado: a) “30 médicos por cada 150 habitantes” ________________ b) “10 nacimientos por cada 2 muertes” ________________ c) “10 litros de agua por cada 4 kilogramos” ________________ d) “540 kilómetros por cada 60 litros de gasolina” ________________ 4. Resuelve a) Joaquín reparte $1 000 entre su hijo Alberto y Fernando a razón 2:3, ¿cuánto le toca a cada uno? b) La razón de producción de helicópteros, aviones y avionetas que tiene una armadora es 7:3:2. Si la producción de un año es de 2400 unidades en total, ¿cuántas unidades de cada tipo se produjeron? 5. Escribe el concepto de proporción: ______________________________________________________________________________________________________________ 6. Escribe la forma como se expresa matemáticamente una proporción, utiliza los elementos “a”, “b”, “c” y “d”. 7. Suponer que “y” varía en proporción directa a “x”. Encontrar el elemento faltante. y1 x1 y2 x2 a) 10 5 70 b) 3 21 33 c) -2 1 1

d) 5 2 1

10

8. Suponer que “ y ” varía en proporción directa a “ 4x ”. Si 32y cuando 2x . Hallar “ y ” cuando 3x

9. La variación proporcional directa tiene como estructura y

kx , donde al despejar “ y ” queda y kx . Investigar y encontrar

dos fórmulas que tengan esta estructura y hacer la interpretación correspondiente. (Ejemplo: C D , “la circunferencia varia

directamente proporcional al diámetro y la constante de variación k ).

- 56 -

10. La densidad ( ) de un objeto es directamente proporcional a su masa e inversamente proporcional a su volumen

(m

V ). Encontrar la densidad de un objeto cuya masa es 2 700 kg y su volumen es 3m3. ¿Este objeto es capaz de flotar en

agua? 11. Cierta ciudad genera 3000 empleos en cada bimestre, si el ritmo de generación de empleos se conserva al estilo de variación proporcional directa, ¿cuántos empleos se generan en un año? 12. Hacer 3 recortes de periódicos o revistas donde se muestren casos relacionados con la variación proporcional directa. 13. La variación proporcional inversa se reconoce por la estructura xy k . Encontrar dos fórmulas de física o matemáticas

que se ajusten a este tipo de variación. 14. Menciona dos diferencias básicas entre la variación proporcional directa y la inversa. 15. Suponer que “y” varía en proporción inversa a “x”. Encontrar el elemento faltante. y1 x1 y2 x2 a) 10 5 25 b) 4 15 3 c) -2 -10 4

d) 3

5 4

2

5

16. La ley de Boyle establece que a temperatura constante, la presión (p) de un gas comprimido es inversamente proporcional al volumen (v) del gas. Suponer que la presión es de 50 libras por pulgada cuadrada cuando el volumen es de 200 pulgadas cúbicas. Determinar la presión cuando se comprime el gas a 125 pulgadas cúbicas. 17. Una persona realiza un trabajo en 64 días. Hacer una tabla que indique cuántos días enteros serían necesarios si más personas se ocuparan en ese trabajo y que fueran igual de trabajadoras que la primera persona. Realizar una gráfica de la situación.

18. Suponer que “ y ” varía en proporción inversa a “ 2x ”. Si 25y cuando 2x . Hallar “ y ” cuando 5x

19. ¿Por qué se dice que el porcentaje es una familia de proporciones? 20. Calcular: a) el 35% de 500 b) ¿el 45 es el 30% de qué número? 21. Manuel ha comprado dos entradas para ir al fútbol con un 10% de recargo. Si las vende ahora con un 15% de incremento sobre el precio de taquilla, se gana un 5% sobre el recargo que pagó. ¿De acuerdo? Explica tu respuesta. 22. Una mercancía encareció un 10% y luego abarató en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de encarecerla o después de abaratarla? Explica. 23. Un tratante de arte prehispánico vendió un día dos reliquias por novecientos noventa pesos cada uno. Con uno sacó un beneficio del 10% y con el otro sufrió una pérdida del 10%. "Eso significa que hoy me he quedado igual que estaba", se dijo. ¿Es correcta su idea? 24. Un iPod costó $2 090 ya incluido el 10% de IVA, ¿cuál era el precio de lista de tal artículo? (Los precios de lista generalmente no tienen incluido el IVA). 25. Visita y utiliza la página electrónica para calcular porcentajes: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/ies_boabdil/departamentos/porcentajes.htm