raices. 4 ¿qué es una raíz? una raíz es una expresión que consta de un indice, un símbolo de...

RAICES

4

¿Qué es una Raíz?

Una Raíz es una expresión que consta de un INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.

¿Indice, raíz, cantidad subradical?

24

IndiceCantidad Subradical

(-5,3)8

5

4

Símbolo de Raíz

2

Elementos de una Raíz

m an

Exponente del SubradicalINDICE

SUBRADICALSímbolo de Raíz

_

_

¿Qué significa la Raíz?

(-5,3)3

5

4 =

Ojo: El Indice 2 no se escribe.

Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.

425 =

5

2_4254

3

(-5,3)

_2

=3

(-5,3)

6

5

4 77

6

Raíz Potencia=3

(-0,6)2

= (-0,6)23

2

_

7

2=6

7

277

6

Transforma las siguientes Potencia a Raíces

Transforma las siguientes raíces a Potencia

4

2

1

6

37

5

3

3

7

4

3 5

3 47

3

2

3

5

5m

m nd

2

5

3,0

2

9

5

2

3

2

4

7

1

3

6

5

7

b

c

a

2

1

4

2

3

7

2

1

5

3

2

3

7

4

3

1

5

3

4

7

3

2

3

5

m

n

d

2

5

m

6

53,0

9

5

2

3 24

73

6

5

7

b ca

_

Importante:

Lectura de una Raíz.

-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej. -Indice 3, Raíz Cúbica. Ej. -Indice 4, Raíz Cuarta. Ej.

3 76

56

4 76

En General

anb =

b

nanba

0 = 0ba a 1 = 1b

a ≥ 2

Pero es solo una aproximación decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representar a es como .

Raíz Cuadrada

4 ya que2 22 4

9 ya que3 33 9

16 ya que4 44 16

25 ya que5 55 25

2 ...1688724273095048804142135623,1

2 2Esto sucede con muchas raíces que no entregan un

resultado exacto

Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representar a es como .

Raíz Cúbica

3 8 ya que2 222 8

3 27 ya que3 333 27

3 64 ya que4 444 64

3 125 ya que5 555 125

3 3 ...6163831077907408382324422495703,1

3 3 3 3

2

2

_

Propiedades: 1.- El Índice Igual al Exponente.

Sabiendo que:7

23 =3

2 737

¿Cuál será el resultado de?

525 =

5

2_555

=

_an =

a

nanaaEn General: = n

21

2=2

2

2 - Multiplicación de Raíces de Igual Índice.

¿Cuál será el resultado de?

9=

a n =nxaEn General:

57• 2 9 7•5

• mya a nx•my

Ejemplos: Resuelve usando la Propiedad

a)

b)

c) 33

16

9

4

3

33 366

28

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

5635 33

3333 9243

52,12,1

3

2

35

4

3

2

3

2

3 43 5 mm

57 nn

3 753 23 nnnn baba

6

4

4

3

15303

6

32,1

9

4

3m

6n

nnba 32

7

3 .- División de Raíces de Igual Indice.

¿Cuál será el resultado de?

5=

a n =nxEn General:

57÷ 75 75

mya a nx my

÷

÷ ÷

Resuelve:

a)

b)

d)

2

8 2

3

3

3

81

3 4

3 7

5

5c)

83

2813

3

e)

f)

h)

02,0

08,0

33

81

4

3

256

3 23 2

3 83 5

nm

nmg)

36

5

3

4

3 2 d

a

b

d

a

b

3

5

2

3

2

12

2mn

b

a

Obs: n

na an

bb

“El coeficiente se eleva al índice de la raíz y luego multiplica al radicando.

Ej.

n nna b a b

3 33 5 532 32 2 2 2

5.- Descomponer una Raíz

a a am n m n

Resolver lo siguiente:

750x6225 xx

25

732x

5

6216 xx

4

16

2 x 6x2 x 3x 2 x 3x

xx 25 3 xx 24 3Son términos semejantes

xx 29 3

2 x 6x

Otro ejemplo

45 20

Son términos semejantes

54

80 125

59 54

59

544 255

54 544 255

53 52 522 55

53 52 54 55

6.- Raíz de una Raíz.

7

¿Cuál será el resultado de?

5

a =En General:

=

mn b•a mn

754 75 = 7563

b

Resuelve usando la Propiedad Raíz de una Raíz:

a)

b)

c)

e)

d)

f)

16

3 7

3 4 5

48nm

3 3 18

3 24

x

x

36

12

y

x

2

6 7

12 5

42nm

y

x2

2x

3 4 124 3 73 42 8 2 2 2 g)

7.- Racionalización

Racionalizar es amplificar una fracción donde el denominador presenta una Raíz, con el fin de

que ésta no aparezca.

Ejemplos:

2

1

2

2 3a

a

3 23n

n

3

93 n

¿Qué es lo que hay que saber?

Amplificar:2

7

4

4

8

28

Multiplicar Raíces 82 41682

53 xx 4853 xxxx Potencias

Raíz como Potencia

Propiedad de Raíces: xxx nn

n n

a

a

i) Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma aq

p

3

7

3

3

3

7 3337

23

37

3

37

xm

n

x

x

xm

n

xxm

xn

2xm

xn

mx

xn

7

52

7

7

7

52

77

752

27

7572

7

3572

aq

p a

a

aq

p

aaq

ap 2aq

ap

qa

apEn General

1)

2)

3)

5

7

n

14

7

nn

nn47

n

n

nn27

nn

n2

74)

3

7

n

n

Ejemplo: Racionaliza las siguientes Expresiones

11

7

11

7

a

ax

a

ax

52

15

52

15

a

ba

a

ba

10

40

10

40 22

33 a

aa

a

aa

49

7

49

7

ab

ab

2

28

xyxy

yxxy

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

vii)

viii)

ii) Racionalizar Raíces de la Forma n kaq

p

3 4

7

3 2

3 2

3 4

4

4

7

3 2

3

44

47

3 3

3

4

47

4

474

4 3xm

n

4

4

4 3 x

x

xm

n

4 3

4

xxm

xn

4 4

4

xm

xn

mx

xn4

3 2

3

a

aa

3

3

3 2

3

3 a

a

a

aa

3 2

33

3 aa

aaa

3 3

33 2

3 a

aaa

a

aaa

3

33

n kaq

p

n kn

n kn

n k a

a

aq

p

n knk

n kn

aaq

ap

n n

n kn

aq

apEn General

1)

2)

3)

aq

ap n kn

3 74

74)

3 6 44

7

33 6 44

7

32 44

7.....

4

4

44

73 2

3 2

32

Racionaliza las siguientes Expresiones

33 11

7

11

7

3 23 2 52

15

52

15

a

ax

a

ax

3 2

2

3 2

2

10

40

10

40

a

ba

a

ba

3 2

3

3 2

3

ba

aab

ba

aab

33 49

7

49

7

3 5ab

ab

4 3

4 74 11

2

22

7 69

7 623

yx

yxx

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

vii)

viii)

6

7 2

2 2

6 7 2 6 7 26 ( 7 2) 6( 7 2)2 7 2

7 4 3( 7 2)7 2 7 2

Ejemplo 1 7

5 2

2 2

7 5 2 7 5 27 ( 5 2) 7( 5 2)

5 2 3( 5 2)5 2 5 2

Ejemplo 2

En ambos ejemplos tuvimos que amplificar por uno ( ), para formar una “suma por diferencia“ :(a+b)(a-b)= a2 – b2

Resumiendo, podemos generalizar de la siguiente Manera:

a b ca

b cb c

a

b c

iv) Racionalización de expresiones con trinomios:

4

7 3 1

Ejemplo 1: 2 2

4( 7 3 1)

( 7 3) 1

2 2 2

4( 7 3 1)

( 7) 2 7 3 ( 3) 1

4( 7 3 1)

7 2 21 3 1

4( 7 3 1)

9 2 21

4( 7 3 1) (9 2 21)

(9 2 21) (9 2 21)

2 2

4( 7 3 1)(9 2 21)

9 (2 21)

4( 7 3 1)

( 7 3 1)( 7 3 1)

4( 7 3 1)(9 2 21)

81 4 21

4( 7 3 1)(9 2 21)

81 84

4( 7 3 1)(9 2 21)

3

4( 7 3 1)(2 21 9)

3

OBS. Resumiendo, podemos decir este caso es similar al anterior, OBS. Resumiendo, podemos decir este caso es similar al anterior, pero se debe repetir dos veces.pero se debe repetir dos veces.

A

B C D

3 3

a

b cv) Racionalización de expresiones con raíces cúbicas:

3 3

8

4 2

Ejemplo 1:

3 32 23

3 3 3 32 23

8 ( 4 4 2 2 )

( 4 2) ( 4 4 2 2 )

33 3

3 33 3

8( 16 8 4)

( 4) ( 2)

338( 8 2 2 4)

4 2

3 38(2 2 2 4)

2

3 34(2 2 2 4)

Obs. Para este caso, debemos recordar : 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b

Ecuaciones Irracionales.

Definición: Una Ecuación Irracional es aquella en que la incógnita se encuentra bajo raíces.

Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:

73 x

xx 213

13743 xxx

1375123 xx

Para resolverlas hay que seguir dos pasos muy sencillos:

i) Si hay más de una raíz, se debe aislar en uno de los lados de la ecuación.

ii) Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.

Nota. En estricto rigor la solución de la ecuación debe estar en el siguiente conjunto:

Ejemplo 1) de Resolución de Ecuaciones Irracionales:

642 x

,2

2/

Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada en uno de los dos lados de la ecuación.

642 x Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos lados de la igualdad a 2.

22642 x El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y

el exponente se simplifiquen.

3642 x Se resuelve como una ecuación de primer grado con una incógnita.

20x

Ejemplo 2) de Resolución de Ecuaciones Irracionales:

138 xx

2/

Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos lados de la ecuación.

Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos lados de la igualdad a 2.

El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y el exponente se simplifiquen y en el otro

lado de la igualdad tengamos que realizar el cuadrado de un binomio.

xx 318

22318 xx

xxx 33218

x 324 Debemos volver al paso i), raíz aislada y elevamos al cuadrado ambos lados de la

igualdad.

2/ 22 324 x

x 3416

x41216

x1

Aquí en adelante la Ecuación Irracional se transforma en una Ecuación de Primer Grado

con una Incógnita

Curiosidades

...21

2

12

12

112

1)2) Algoritmo para determinar una raíz.

Links

http://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htm

http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada

http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.php

http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327

http://www.redmatematica.bligoo.cl

Prof. Isaías Correa M.2012