punto fijo

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA

FACULTAD DE SISTEMAS

Materia: Métodos Numéricos

Tema: Método de Punto Fijo

Profesor: Irma Delia García Calvillo

Alumno: Carlos Iván Monsiváis Bravo

Arteaga Coahuila México a 23 de Octubre del 2015

El método de punto fijo o de aproximaciones sucesivas es, junto con el de Bisección, uno de los primeros métodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes. 

      Sea  F(x)  = 0 una  ecuación  algebraica  o   trascendente caulquiera.   Se   suma   x   en   ambos   miembros   y   se obtiene:                                                                                                                                                                                     (1)

F(x) + x = xdonde el miembro izquierdo es otra función de x que se define como                                                          (2)

G(x) + x = xSe sustituye en la ecuación (1):                                                                                                                                       (3)

x = G(x)Obsérvese ahora que cualquier ecuación puede representarse en esta forma, siguiendo el procedimiento anterior.

        Si x = a es una raíz de la ecuación, entonces

F (a) = 0o bien, al sustituir en la ecuación (3)

a = G (a)El método de aproximaciones sucesivas consiste en sustituir un valor inicial (x0) apropiado (cercano a la raíz) en el segundo miembro de la ecuación (3). Si x0 es la raíz, se deberá cumplir la ecuación (4); esto es:

x0 = G(xo)pero esto será difícil de que ocurra; seguramente el valor inicial principal proporcionado xo será solo un valor cercano a la raíz. Entonces, en el caso general:

x0 =/ G(x0) o bien, x1 = G(x0)donde x1 es la nueva aproximación de la raíz a. se sustituye x1 en el segundo miembro de la ecuación (3) y se obtiene:

x2 = G(x1)Al proceder reiteradamente en esta forma se induce que la n-ésima aproximación es:

Xn = G(Xn-1)n = 1,2,3,.....

De acuerdo con lo visto en los temas anteriores, puede afirmarse que si el método converge, la diferencia en valor absoluto entre valores proporcionados en dos iteraciones sucesivas será cada vez más pequeña a medida que n aumnete, y con esto se tendrá un criterio para saber cuándo termina la aplicación del método.

Es posible afirmar que si en la n-ésima iteración el método se está aproximando a la raíz o converge a ella, entonces:

|G´(t)| = |a - Xn| / |a - Xn-1| <1Es decir, el método es convergente si: 

  |G´(t)|<1 Xn-1<t<aEsto significa que el método converge en la n-ésima iteración cuando el valor absoluto de la derivada de G(x) 

en cualquier punto del intervalo (Xn-1, a) es menor que la unidad.

   Por otra parte el método es divergente si

|a - Xn| > |a - Xn-1|

Recordar que el método dePunto Fijo, nos dice que, solo podra haber y tener un unico punto o raíz