prohibida su ventamaterial de apoyo exclusivo para uso ......ejercicio 1 1. a ab a b 2 = 2. 2 8 1 2...
Post on 12-Mar-2020
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
EJERCICIO 1
1. 1. 1. 1. 1. a
ab
a
b
2
=
2. 2. 2. 2. 2. 2
8
1
42
a
a b ab=
3. 3. 3. 3. 3. x y
x y xy
2 2
3 3
1=
4. 4. 4. 4. 4. ax
x y
a
x y
3
5 24 4=
5. 5. 5. 5. 5. 6
32
2 33m n
mmn=
6. 6. 6. 6. 6. 9
24
3
8
2 3
2 3 4 2
x y
a x y a xy=
7. 7. 7. 7. 7. 8
24 3
4 3 2
2 2
3m n x
mn x
m n=
8. 8. 8. 8. 8. 12
32
3
8
3 4 5
2
2 2 4x y z
xy z
x y z=
9. 9. 9. 9. 9. 12
60
1
5
2 3
3 5 6 2 6
a b
a b x ab x=
10. 10. 10. 10. 10. 21
28
3
4
3 6
4 2 2
4
3
mn x
m n x
nx
m=
11. 11. 11. 11. 11. 42
26
21
13
2 3
4 5 2 2
a c n
a c m
n
a c m=
12. 12. 12. 12. 12. 7
34
1
2
3 4 6
7 8 10 4 4 4
x y z
x y z x y z=
13. 13. 13. 13. 13. 30
45
2
3
6 2
3 4 3
2 2
3 3
x y
a x z
x y
a z=
14. 14. 14. 14. 14. a b
a b c a b c
5 7
8 9 3 23
1
3=
15. 15. 15. 15. 15. 21
63 3
8 10 12
4 2
4 9 10a b c
a bc
a b c=
16. 16. 16. 16. 16. 54
63
6
7
9 11 13
10 12 15 2
x y z
x y z xyz=
17. 17. 17. 17. 17. 15
75 5
12 15 20
11 16 22 2
a b c
a b c
a
bc=
18. 18. 18. 18. 18. 75
100
3
4
7 5
3 12 3
4
7 3
a m
a m n
a
m n=
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
EJERCICIO 2
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )3
2 23
23
22 3 2
aba x a
aba x a
ba x a+
=+
=+
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )xy
x y xyxy
xy x y x y3 3 31
32 2−=
−=
−
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
2 43 6
2 23 2
23
ax bxay by
x a by a b
xy
++
=++
=
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x x
xx x
xx
2 2 33
3 13
1− −
−=
− +−
= +
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )10
80 8 8
2 3
3 2
2 3
2
3a b ca a b
a b ca a b
b ca b−
=−
=−
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )
( )x
ax ax x
a xx
a
2 45 10
2 25 2
25
−+
=+ −
+=
−
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )( )( )
( )( )[ ]( )( )
( )( )( )( )
3 4 155 6
3 4 3 453 2
3 9 3 5 3
3 23 3 53 2
3 52
2
2
2
x xx x
x xx x
x x
x xx xx x
xx
− −− +
=− −
− −
=− + ÷
− −=
− +− −
=+
−
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )
15 4510 30
15 310 3
32
2 2
2 2 2 2
2
2 2
a bn a bma b n a b m
a b n ma b n m b
−−
=−−
=
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )
( )x y
x xy yx y x y
x y
x yx y
2 2
2 2 22−
+ +=
+ −
+=
−+
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( )( )3 15
253 5
5 53
5
2
2
x y xyx
xy xx x
xyx
+−
=+
+ −=
−
11. 11. 11. 11. 11. ( )
( )( )a ab b
a ba b
a b a ab ba b
a ab b
2 2
3 3
2
2 2 2 24 4
82
2 2 42
2 4− +
−=
−− + +
=−
+ +
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( )( )( )( )( )
x x xx x
x x xx x
x xx x
xx
3 2
3
2
2
4 219
4 219
7 33 3
73
+ −−
=+ −
−=
+ −+ −
=++
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )( ) ( )
( )( )[ ]( )( )[ ]
( )( )( )( )
6 5 615 7 2
6 5 6 3615 7 15 30
6 9 6 4 3 2
15 10 15 3 5 3
2 3 3 23 2 5 1
2 35 1
2
2
2
2
x xx x
x xx x
x x
x x
x xx x
xx
+ −− −
=+ −− −
=+ − ÷ ⋅
− + ÷ ⋅=
+ −− +
=++
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( )( )a
a a aa
a a aa
a a a
3
4 3
3
3
3
3
11
11 1
11 1
11
+− + −
=+
− + −=
++ −
=−
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
2 4 24 2 8
2 2 22 4 2
2 24 2
24
ax ay bx byax a bx b
x a b y a bx a b a b
x y a bx a b
x yx
+ − −− − +
=− + −− − −
=+ −− −
=+−
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )( )
( )( )( ) ( )
a ab ba x a bx ab x
a b a bax a b b
a b a b
ax a b
a bax a b
2 2
3 2 2
2 2 2
66 9
3 26 9
3 2
3
23
− −− +
=− +
− +=
− +
−=
+−
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )m nm n
m nm n m n m n
2 2
4 4
2 2
2 2 2 2 2 2
1+−
=+
+ −=
−
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )( )
( ) ( )x y
x y
x y x xy y
x y
x xy y
x y
3 3
3
2 2
3
2 2
2+
+=
+ − +
+=
− +
+
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )
( )( )m n
m nm n
m n m nm nm n
−−
=−
+ −=
−+
2
2 2
2
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )
( )( )( )a x
a xa x
a x a ax xa x
a ax x−−
=−
− + +=
−+ +
3
3 3
3
2 2
2
2 2
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )( )
a aa a
a aa a
aa
2
2
207 10
5 45 2
42
− −− +
=− +− −
=+−
22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )12 1
1 1
11
2 2
2
2
22−
+ +=
+ −
+= −
aa a
a a
aa
23. 23. 23. 23. 23. ( )
( )( )a b a b
a ba b a b
a b a ba b
a b
4 2 2 4
4 4
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
−−
=−
+ −=
+
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )
( )( )x yx y
x y x yx y x xy y
x yx xy y
2 2
3 3 2 2 2 2−−
=+ −
− + +=
++ +
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )
( )( )
24 836 24 4
8 34 9 6
2 3
3
23
3 2 2
4 3 2 2
2
2 2 2 2
a b a ba a b a b
a b a ba a ab b
b a b
a b
ba b
++ +
=+
+ +=
+
+=
+
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )
( )( )( )( )
( )
n nn n
n nn n
n n nn n
n nn
3
2
2
5 6
16 1
1 16 1
16
−− −
=−
− +=
+ −− +
=−
−
27. 27. 27. 27. 27.
( )( )( )
8 18 4 2
2 1 4 2 12 4 2 1
2 12
3
3 2
2
2
nn n n
n n nn n n
nn
+− +
=+ − +
− +=
+
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )
( )( )( )( )
a b c
a b c
a b c a b ca b c a b c
a b ca b c
2 2
2 2
− −
+ −
=+ − − ++ − + +
=− ++ +
29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
a b c d
a c b d
a b c d a b c da b c d a b c d
a b c da b c d
+ − −
+ − −
=+ + − + − ++ + − − + +
=+ − +− + +
2 2
2 2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
30. 30. 30. 30. 30. ( )
( )3 9
6 93 3
3
33
3 2
2
2
2
2x xx x
x x
xx
x+
+ +=
+
+=
+
31. 31. 31. 31. 31. ( )
( )( )( )
( )
106 6 6
106
53
2 3 3
4 3 2 2
2 2 2
2 2 2
a a ba a b a b
a a b a ab ba a ab b
a b
+− +
=+ − +
− +=
+
32. 32. 32. 32. 32. ( )( )
( )( )
a a abx a ab
a a bax a b
ax
4 83 6
4 23 2
43
2
2
2−−
=−−
=
33. 33. 33. 33. 33. ( )
( )x x
x xx x
xx
x
3 2
2
2
2
2612 36
6
6 6−
− +=
−
−=
−
34. 34. 34. 34. 34. ( )
( )( )
( )( )( )
( )
x yx x y
x yx x y
x yx x y x xy y
x yx x xy y
−−
=−
−
=−
− + +
=−
+ +
464
464
44 4 16
44 16
2
5 2 3
2
2 3 3
2
2 2 2
2 2 2
35. 35. 35. 35. 35. ( )
( )x xy
x x y yx x y
x yx
x y
3 2
4 2 2 4
2 2
2 2 2 2 2
36 9
3
3 3−
− +=
−
−=
−
36. 36. 36. 36. 36.
( )( )( )
m n m n mnm
mn m mm m m
mnm
3 2
3
2
2
3 927
3 93 3 9 3
+ +−
=+ +
− + +=
−
37. 37. 37. 37. 37. ( )( )( )( )
x xx
x xx x
xx
4 2
4
2 2
2 2
2
28 15
95 33 3
53
− +−
=− −+ −
=−+
38. 38. 38. 38. 38. ( )( )( )( )
a aa a
a aa a
aa
4 2
4 2
2 2
2 2
2
2
6 78 9
7 19 1
79
+ −+ −
=+ −+ −
=++
39. 39. 39. 39. 39.
( ) ( )( ) ( )
( )( )[ ]( )( )[ ]( )( )( )( )
3 19 206 17 12
3 19 3 606 17 6 72
3 15 3 4 3
6 8 6 9 2 3
5 3 43 4 2 3
52 3
2
2
2
2
x xx x
x xx x
x x
x x
x xx x
xx
+ ++ +
=+ ++ +
=+ + ÷
+ + ÷ ⋅
=+ ++ +
=++
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
40. 40. 40. 40. 40.
( ) ( )( )( )
( )( )[ ]( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )
4 15 48 20
4 15 4 1610 2
4 16 4 1 4
10 2
4 4 110 2
2 2 4 110 2
2 4 110
4 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
a aa a
a aa a
a a
a a
a aa a
a a aa a
a aa
− −− −
=− −
− +
=− + ÷
− +
=− +− +
=+ − +
− +
=− +
−
41. 41. 41. 41. 41.
( )( )
( )( )( )
( )
1252 20 50
1252 10 25
5 25 5
2 5
5 252 5
4
3 2
3
2
2
2
2
a aa a a
a aa a a
a a a
a
a aa
++ +
=+
+ +
=+ − +
+
=− +
+
42. 42. 42. 42. 42.
( )( )( )( )( )( )( )
a n aan an a
a na n n
a n nn n
a nn
2 2 2
2
2 2
2
3630
3630
6 66 5
65
−+ −
=−
+ −
=+ −
+ −
=−
−
43. 43. 43. 43. 43.
( ) ( )( )( )( )( )[ ]( )( )
( )( )( )( )
3 5 8
3 5 3 24
3 8 3 3 3
3 8
3 8
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
m mn nm n
m n m nm n m mn n
m n m n
m n m mn n
m n m nm n m mn n
m nm mn n
+ −−
=+ −
− + +
=+ − ÷
− + +
=+ −
− + +
=+
+ +
44. 44. 44. 44. 44.
( )( )
15 1820 24
3 5 64 5 6
34
3 2
2 2 2
2
2
a b a ba b ab
a b aab a
ab
−−
=−−
=
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
45. 45. 45. 45. 45.
( )( )
( )( )( ) ( )
9 24 169 16
3 49 16
3 43 4 3 4
3 43 4
2
4 2
2
2 2
2
2 2
x xx x
xx x
xx x x
xx x
− +−
=−
−
=−
+ −=
−+
46. 46. 46. 46. 46.
( )( )
( )( )( ) ( )[ ]
( )( )( )( )[ ]( )( )( )( )
( )( )
16 2512 7 10
16 2512 7 10
4 5 4 512 7 12 120
4 5 4 5
12 15 12 8 3 4
4 5 4 54 5 3 2
4 53 2
2
3 2
2
2
2
a x xa a a
x aa a a
x a aa a a
x a a
a a a
x a aa a a
x aa a
−− −
=−
− −
=+ −
− −
=+ −
− + ÷ ⋅
=+ −− +
=++
47. 47. 47. 47. 47.
( )( )
( )( )( )
( )
84 4
84 4
2 4 2
2
4 22
4 3
4 3 2 2
3 3
2 2 2
2 2
2
2 2
x xyx x y x y
x x yx x xy y
x y x xy y
x x y
x xy yx x y
−− +
=−
− +
=− + +
−
=+ +
−
48. 48. 48. 48. 48.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )[ ]( )( )( )( )
3 4 6 86 5 4
3 2 4 26 5 6 24
3 4 2
6 8 6 3 2 3
3 4 23 4 2 1
22 1
2
2
an a bn bn n
n a b a bn n
n a b
n n
n a bn n
a bn
− − +− −
=− − −
− −
=− −
− + ÷ ⋅
=− −− +
=−
+
49. 49. 49. 49. 49.
( )( )( )( )( )( )( )
( )
x xx x x
x x x xx x x
x x xx x x
x xx
4 2
3 2
2 2
2
2
492 63
7 72 63
7 79 7
79
−+ −
=+ −
+ −
=+ −+ −
=+
+
50. 50. 50. 50. 50.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )
x x x y yx x x y y
x x y x yx x y x y
x x yx x y
x x xx x
x xx
4 3
3 2
3
2
3
2
2
2
11
1 11 1
11
+ − −− − +
=− + −− − −
=+ −− −
=+ − +
+ −
=− +−
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
51. 51. 51. 51. 51.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
2 6 33 3
2 3 33 3
2 1 31 3
2 11
3 2
3 2
2
2
2
2
2
2
x x xx x x
x x xx x x
x xx x
xx
+ − −+ + +
=+ − +
+ + +
=− +
+ +=
−+
52. 52. 52. 52. 52.
( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )
a m am a n ana a a
am a an aa a a
a m n aa a a
m n a aa a a
m n aa a
3 3
4 3 2
2 2
2 2
2
2
4 44 12
4 44 12
46 2
2 26 2
26
− + −− −
=− + −
− −
=+ −− +
=+ + −
− +
=+ −
−
53. 53. 53. 53. 53. ( )( )( )( )( )( )
4 3
2 9
2 3 2 32 3 2 3
2 32 3
2 2
2
a x
a x
a x a xa x a x
a xa x
− −
+ −
=+ − − ++ + + −
=− ++ +
54. 54. 54. 54. 54.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )
m am n ana a a
m a n aa a a
m n aa a a a a
m n aa a a
na a
m na
− + −− + −
=− + −
− − −
=+ −
− + + − −
=+ −
− − +
=+
− +=
+
−
1 3 3
1 11 3 1
11 1 3 1
11 1 2
2 1 1
2 3
3
2
2
2 2m
55. 55. 55. 55. 55.
( )( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( ) ( )
6 342 9 15
3 2 13 14 3 5
2 1
14 3 14 70
2 114 10 14 7 2 7
2 17 5 2 1
17 5
2
5 3
2
4 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
xx x x
xx x x
x
x x x
xx x x
xx x x x x
+− −
=+
− −
=+
− −
=+
− + ÷ ⋅
=+
− +=
−
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
56. 56. 56. 56. 56.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
a a aa a a
a a aa a a
a aa a
aa
2 3
2 3
2
2
2
2
2
2
11
1 11 1
1 11 1
11
− − ++ − −
=− − −− + −
=− −+ −
=−+
57. 57. 57. 57. 57.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )( )[ ]
( )( )( )( )
( )
8 12 66
6 2 86 6 6
6 2 2 4 2
6 3 6 2 3 2
2 4 42 3
23
3 2 2 3
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2 2
x x y xy yx xy y
xy x y x yx y x y
xy x y x y x xy y
x y x y
x y x xy yx y x y
x yx y
+ + ++ −
=+ + ++ −
=+ + + − +
+ − ÷ ⋅
=+ + +
+ −=
+−
58. 58. 58. 58. 58.
( )( )( )
8 12525 20 4
2 5 4 10 25
2 5
4 10 252 5
3
2
2
2
2
nn n
n n n
n
n nn
−− +
=− + +
−
=+ +
−
59. 59. 59. 59. 59.
( )( )
( )( )( )( )
615 2
62 15
3 25 3
25
2
2
2
2
− −+ −
=− + −
− − −
=+ −− +
=−−
x xx x
x xx x
x xx x
xx
60. 60. 60. 60. 60.
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )[ ]( )( )[ ]
( )( )( )( )
3 2 84 5 6
8 2 36 5 4
8 2 8 246 5 6 24
8 6 8 4 2 4
6 8 6 3 2 3
4 3 2 13 4 2 1
4 33 4
2
2
2
2
2
2
+ −+ −
=− − −− − −
=− −− −
=− + ÷ ⋅
− + ÷ ⋅
=− +− +
=−−
x xx x
x xx x
x xx x
x x
x x
x xx x
xx
61. 61. 61. 61. 61.
( )( )( )
m n mnmn m n
mn mn
mnmnmn
2 2
2 2
2
3 104 4
5 2
2
52
+ −− +
=+ −
−=
+−
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
62. 62. 62. 62. 62.
( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )
x x y b x b yb bx x
x x y b x y
b x
x b x y
x b
x b x b x y
x b
x b x yx b
3 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
4 44 4
4
2
4
2
2 2
2
22
+ − −− +
=+ − +
−
=− +
−
=+ − +
−
=+ +
−
63. 63. 63. 63. 63.
( )( )( ) ( )
( )( )( )( )
x xx x y x y
x xx x y x y
x xx x y
xx y
6 3
4 3
3 3
3
3 3
3
3
2
2 1
2 11
2
+ −− − +
=+ −− − −
=+ −− −
=+−
64. 64. 64. 64. 64. ( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )
x x xx x x x
x x x xx x x x
2 2
2 2
2 92 3 6
2 1 3 33 1 3 2
1
− − −− − + −
=− + + −− + + −
=
65. 65. 65. 65. 65. ( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ]
( )( )( ) ( )( )[ ]
( )( )( )( )( )
a a a aa a a a
a aa a a a
a a
a a a
a aa a a
aa
2 2
2 2
2 2
2
2
2
4 4 4 4 16 2 5 2
2 2 1
3 2 2 5 2 4
2 2 1
3 2 4 2 1 2
2 2 13 2 2 1
2 13
− + − ++ − − +
=− −
+ − − +
=− −
+ − − ÷
=− −
+ − −=
−+
66. 66. 66. 66. 66. ( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )
x x xx x x x
x x x x xx x x x x
xx x
3 3
4 3 2 2
2 2
2 2
2
3 11
3 1 11 1 1
31
− −+ + −
=− − + ++ + + −
=−+
67. 67. 67. 67. 67. ( )( )( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )[ ] ( )
( )( ) ( )( )[ ]( ) ( )( )[ ]
( )( )( )( )( ) ( )( )
4 4 3 7 302 7 3 4 12 9
4 4 4 12 10 3
2 7 2 6 2 3
10 3 4 6 4 2 2 2
2 3 2 6 2 1 2
10 3 2 3 2 1
2 3 3 2 1
102 3
2 2
2 2
2
2 2
2
2
n n n nn n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n nnn
+ − + −− + + +
=+ − + −
− + +
=+ − + − ÷ ⋅
+ − − ÷ ⋅
=+ − + −
+ − −=
++
68. 68. 68. 68. 68. ( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( ) ( )[ ]( )( )( )( )
x y x yx y x x y xy y
x y x y x y
x y x x y y x y
x y x yx y x y
x yx y
6 6
3 3 3 2 2 3
3 3 3 3
3 3 2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
− +− + + +
=+ − +
− + + +
=+ ++ +
=++
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
EJERCICIO 3
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )
( )( )
4 46 6
4 16 1
4 16 1
23
−−
=−−
= −−−
= −x
xx
xxx
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )
a bb a
a ba b
2 2
2 2
2 2
2 2 1−−
= −−−
= −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
m n
n m
m n m nn m n m
m n m nm n m n
m nm n
2 2
2−
−=
+ −− −
=+ −− −
=+−
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( )( )
( )( )( )( )
x xx
x xx x
x xx x
xx
2
2
1216
4 34 4
4 34 4
34
− −−
=− +− +
= −− +− +
= −++
5. 5. 5. 5. 5.
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )
3 62 2
3 22
3 22
3 22
3
y xmx my nx ny
y xx m n y m n
y xx y m n
x yx y m n m n
−− − +
=−
− − −
=−
− −= −
−− −
= −−
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )[ ]
( )( )( )( )
( )( )( )( )
2 9 510 3
2 9 2 103 10
2 10 2 15 2
5 2 15 2
2 12
2
2
2
2
x xx x
x xx x
x xx x
x xx x
xx
− −+ −
= −− −− −
= −− +− +
= −− +− +
= −+
+
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
82 8
2 4 24 2
2 4 24 2
2 44
3
2
2 2 2
−+ −
=− + +
+ −= −
− + ++ −
= −+ +
+
aa a
a a aa a
a a aa a
a aa
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
a an an m am
a an a m a
a an m a
a am n a
am n
2 2
2 11 1
2 11
2 11
2
+ −− − +
=+ −
− − −=
+ −− −
=+ −− −
=+−
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )
( )( )
4 45 10
25 2
25 2
25
2 2 2 2x xy y
y xx yy x
x yx y
x y− +−
=−−
= −−−
= −−
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
3 33 3
33
33
33
1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
mx nx my nyny nx my mx
m x y n x ym y x n y x
m n x yn m y x
m n x ym n x y
x yx y x y x y
− − +− − +
=− − −
− − + −
=− −
− −=
− −− −
=−
+ −=
+
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
11. 11. 11. 11. 11. ( )
( )( )9 6
7 123
4 334
2
2
2− +− +
=−
− −=
−−
x xx x
xx x
xx
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
a bb a
a b a bb a b ab a
a b a ba b b ab a
a bb ab a
2 2
3 3
2 2
2 2 2 2
−−
=+ −
− + +
= −+ −
− + += −
++ +
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
3 3 6 62 2
3 62
3 22
3 22
3
ax bx a bb a bx ax
x a b a bb a x b a
x a bx b a
x a bx a b
− − +− − +
=− − −
− − −
=− −
− −=
− −− −
=
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
a xx ax x a
a x a xx x a x a
a x a xx x a
a x a xx a x
a xx
2 2
2 3 3
3
3 3 3
−− − +
=+ −
− − −
=+ −− −
=+ −− −
=+−
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )( )
( )( )( )
3 68
3 22 4 2
3 22 4 2
34 2
3
2
2 2
bx xb
x bb b b
x bb b b
xb b
−−
=−
− + +
= −−
− + += −
+ +
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( )
( ) ( )11
11
13 3
2−−
= −−−
= − −a
aaa
a
( )( )
( )( )
2 2 23 3 3
23
23
23
3 2 2
3 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x y xyy xy x y
x x xy yy y xy x
x x xy yy x xy y
xy
− −+ −
=− −+ −
= −− −− −
= −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )
( )( )
a b
b a
a b
a ba b
−
−=
−
−= −
3
2
3
2
17. 17. 17. 17. 17.
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )[ ]( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )
2 22 6075 3
2 22 2 1203 25
2 12 2 103 5 5
2 12 53 5 5
2 6 53 5 5
2 63 5
2
2
2
2
x xx
x xx
x xx x
x xx x
x xx x
xx
− +−
=− +
−
=− −
− +
=− −− +
=− −− +
=−+
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )
( )( )( )
6 34 4
3 2
2
3 22 2
32
2 2 2
4 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
an b nb ab a
n a b
b a
n a ba b a b
na b
−− +
=−
−=
−− −
=−
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x y zy z x
x y z x y zy z x y z x
z y x y x zz y x y z x
y x zx y z
− −+ −
=− − − ++ − + +
=+ − − −+ − + +
=− −+ +
2 2
2
22. 22. 22. 22. 22.
( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )( )
3 3
3
3 3 3
2a abbd ad bc ac
a a bd b a c b a
a a bd c b a
a a bc d a b
ac d
−− − +
=−
− − −
=−
− −=
−− −
=−
23. 23. 23. 23. 23. ( )
( )( )( )
( )( )( )
( )
xx
xx x x
xx x x
xx x
−−
=−
− + +
= −−
− + += −
−+ +
5125
55 25 5
55 5 25
55 25
3
3
3
2
3
2
2
2
24. 24. 24. 24. 24. ( )13 6 6
6 13 66 13 66 13 6
12
2
2
2
x xx x
x xx x
− −− +
= −− +− +
= −
25. 25. 25. 25. 25.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )
2 22 2
22 1 2 1
2 12 1
1
3 2 2 2
2 2 3 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x xy x yxy y x x
x x y x yy x x x
x x yx y x
x yx y
− + −+ − −
=− + −+ − +
=+ −+ −
= −−−
= −
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )
( )( )( )
30 45 208 27
5 6 9 42 3 4 6 9
5 4 6 92 3 4 6 9
52 3
2 2 3
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
x y xy xx y
x xy y xx y x xy y
x x xy yx y x xy y
xx y
− −+
=− −
+ − +
= −− +
+ − += −
+
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
27. 27. 27. 27. 27.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
n n nn n n
n n nn n n
n nn n
n nn n
nn
+ − −− − +
=+ − +
− − −
=− +− −
=− +− −
=+−
12 2
1 11 2 1
1 12 1
1 12 1
12
3 2
3 2
2
2 2
2
2
2
2
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x xx
− + −
− −
=− + −
− −
=− + −
−=
− +−
2 12
2 3
2 4 3
2 3
2 4 3
3
2 43
2 2
2
2
2
2
29. 29. 29. 29. 29.
( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )
5 1590 10
5 310 9
32 3 3
32 3 3
12 3
3 2
3 2 5
2
3 2 2
x x yx y x
x x yx y x
x yx y x y x
x yx x y y x x y x
−−
=−
−
=−
− +
= −−
− +=
−+
30. 30. 30. 30. 30. ( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )
x x xx x x
x x x xx x x x
x xx x
xx
2 2
2 2
1 8 164 1
1 1 4 44 1 1
1 41
4
− − +− −
=+ − − −
− + −=
− −−
=−
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
EJERCICIO 4
1. 1. 1. 1. 1. 3
2
2
2
6
4 2a
a
a
a
a⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 5
9
4
4
20
362 2x
a
a
a
ax⋅ =
3. 3. 3. 3. 3. m
ab
a
a
am
a b2 2 2
2
2
2
2⋅ =
4. 4. 4. 4. 4. 3
8
3
3
9
24
2
2
2 2
3
x
y
xy
xy
x y
xy⋅ =
5. 5. 5. 5. 5. 4
5
4
52 3
m
n
n
n
mn
n⋅ =
6. 6. 6. 6. 6. 2 7
5
3
3
6 21
15
x x+⋅ =
+
7. 7. 7. 7. 7. 2
1
2 2
2
x
x
x
x
x
x x−⋅ =
−
8. 8. 8. 8. 8. a
a
a
a
a
a a
2 3
22
2
2
2
2 4+⋅ =
+
9. 9. 9. 9. 9. 3 3 3
2
2
2 2
a
a b
a b
a b
a ab
a ab b+⋅
++
=+
+ +
10. 10. 10. 10. 10. x
x
x
x
x x
x x
−+
⋅++
=− −+ +
4
3
2
2
2 8
5 6
2
2
11. 11. 11. 11. 11. 2 22
2
3
2 3
a
x a
a
a
a
a x a+⋅ =
+
12. 12. 12. 12. 12. x y x y−
⋅ =−
6
2
2
2 2
12
13. 13. 13. 13. 13. 5 5 5
2 2
x
a b
a b
a b
ax bx
a b−⋅ +
+= +
−
14. 14. 14. 14. 14. x
a
x
x
x x
ax
− ⋅ = −5 3
3
3 15
3
2
15. 15. 15. 15. 15. 5
2
2
2
10 5
4 4
2
2 2
x
x y
x y
x y
x xy
x xy y+⋅
++
=+
+ +
16. 16. 16. 16. 16. x
x
x
x
x
x x
++
⋅−−
=−
− −3
1
3
3
9
2 3
2
2
17. 17. 17. 17. 17. 2
1
1
1
2 2 2
1
2
2
2
3a
a a
a a
a a
a+⋅
− +− +
=− +
+
18. 18. 18. 18. 18. x y
x
xy
xy
x y xy
x y
−⋅ =
−2
3
3
3
3 6
9
2 2
2
19. 19. 19. 19. 19. x
x
x
x
x
x x
−+
⋅++
=−
+ +1
1
1
1
1
2 1
2
2
20. 20. 20. 20. 20. a b
a
ab
ab
a b ab
a b
+ ⋅ = +7
9
9
9 9
632
2 2
3
21. 21. 21. 21. 21. x
x
x
x
x x
x x
++
⋅−−
=− −
+ −1
5
2
2
2
3 10
2
2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
EJERCICIO 5
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
aa
a
a a aa
a a aa
a aa
a aa
++
=+ +
+
=+ +
+=
++
=+
+
42
2 42
2 42
62
62
2 2
2. 2. 2. 2. 2.
( )m n
nm
m n m nm
m mn nm
− −
=− −
=− −
2
2 2 2
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )x
x
x xx
x xx
x xx
+ −−
=+ − −
−
=+ − −
−=
+ −−
53
2
5 2 32
3 10 32
3 132
2 2
4. 4. 4. 4. 4.
( )a
aba b
a a b aba b
a ab aba b
a aba b
++
=+ +
+
=+ +
+=
++
2 2 2
5. 5. 5. 5. 5.
( )
13
3 1
3 1 3 1
2
2
2 2
−+ −
=− + −
=− + −
= −−
aa
a
a a aa
a a aa
aa
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )1
2
−+−
=− − +
−
=− − −
−= −
−
a xa x
a x a xa x
a x a xa x
xa x
7. 7. 7. 7. 7.
( )
21
2
2
a xa x
a x a xa x
a x a xa x
aa x
++
−
=+ − +
+
=+ − −
+=
+
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )x
x
x xx
x xx
x xx
+ −−
=+ − −
−
=+ − −
−=
+ −−
23
1
2 1 31
2 31
51
2 2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
( )( ) ( )
( )
x xx xx
x x x x xx
x x x x xx
x xx
x xx
22
2 2
3 2 2
3 2 2
362
3 2 62
6 62
22
22
− −−+
=− + − −
+
=− − − +
+
=−+
=−
+
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
( )
( )( )
( )
x yx yx y
x y x y x yx y
x y x yx y
x yx y
x yx y
x y x yx y
x y x y
+ +−−
=+ − + −
−
=− + −
−
=−−
=−
−
=+ −
−
= + = +
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
9. 9. 9. 9.
( )( )
32
2 3
3 2 3 22 2 2 2
mnm n
m n
m n m n mnm n
m mn n mnm n
m nm n
−+ −
=− − +
−
=− + +
−=
+−
2−
11. 11. 11. 11. 11.
12. 12. 12. 12. 12.
( )( ) ( )2 3
5 62
2 3 2 5 62
2 6 5 62
2 42
2
2 2 2
2
a xax xa x
a x a x ax xa x
a ax x ax xa x
a axa x
− −+
=− + − −
+
=+ − − +
+
=−
+
Pro
hibida
su V
enta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )m m
mm
m m m mm
m mm m
23
2 3
3 3
2 42
2 4 22
82
82
− + −+
=− + + −
+
=+ −
+=
+
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( )( ) ( )x x
x xx
x x x x xx
x x x x xx
x x xx
2
2
3 2 2
3 2
53 2
2
5 2 3 22
7 10 3 62
10 42
− −+
−
=− − − +
−
=− + − −
−
=− +
−
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )a ab b
ab ba b
a ab b a b ab ba b
a a b ab b ab ba b
a a b aba b
2 22 3
2 2 2 3
3 2 2 3 2 3
3 2 2
37
2
3 2 72
2 5 5 72
2 5 22
+ − +−
−
=+ − − + −
−
=+ − + + −
−
=+ +
−
16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( )( )
xx x
x
x x x xx x
x xx x x x
3
2
3 2
2
3 3
2 2
21
1
2 1 11
2 11
11
+− +
− +
=+ + − + − −
− +
=+ − −
− +=
− +
17. 17. 17. 17. 17.
( )( ) ( )
( )( )( )( )
xx xx x
x x x x xx x
x x x x xx x
x xx x
x xx x
xx
+ −− +− +
=+ − + − − +
− +
=− − + − + −
− +
=− +− +
=− −− −
=−−
32 14 3
3 4 3 2 14 3
9 9 2 14 3
9 84 3
8 13 1
83
3 2
2
2 3 2
2
3 2 3 2
2
2
2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
18. 18. 18. 18. 18.
( )
( )( )( )
33 3
3 3 3
3 3 3 3
3 3 3
3
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
3 2 2 2
2 2
3 2
2 2
2
2
aa b aba b
a a b a b aba b
a ab a b aba b
a a ba b
a a ba b a b
aa b
++−
=− + +
−
=− + +
−
=+−
=+
+ −
=−
19. 19. 19. 19. 19.
( )( ) ( )
( )( )
( )
xx
x x
x x x xx x
x x x xx x
x xx
x x
xx
xxx
− −−
− +
=− − + − −
− +
=− + − − +
− +
=− +
−=
− −
−
=−
−=
−
327
6 9
3 6 9 276 9
9 27 27 276 9
9 27
3
9 3
39
39
3
3
2
2 3
2
3 2 3
2
2
2 2
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
a aa aa a
a a a a a aa a
a a a a aa a
aa a
a aa a
a a aa a
a a aa
23
2
2 2 3
2
4 3 3
2
4 2 2
2
3 2
3 52 11 9
2
3 5 2 2 11 92
2 11 10 2 11 92
12 1
1 12 1
1 1 12 1
12
− + +− ++ −
=− + + − + − +
+ −
=− + − + − +
+ −
=−
+ −=
− ++ −
=+ + −
+ −
=+ + +
+
EJERCICIO 6
1. 1. 1. 1. 1. x x x x x x x−
++
=− + +
=− + +
=−2
4
3 2
6
3 2 2 3 2
12
3 6 6 4
12
9 2
12
2. 2. 2. 2. 2. 2
5
1
3
3 2 5
15
5 6
152 2 2a ab
b a
a b
a b
a b+ =
⋅ +=
+
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )a ba
b ab
b a b a b aab
ab b ab aab
a ab bab
−+
−=
− + −
=− + −
=− + −
215 20
4 2 360
4 8 3 360
3 7 860
2 2 2 2
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )
( )
a bab
a b aba b
ab a b a b aba b
a b ab a b aba b
a b aba b
ab a ba b
a bab
++
−=
+ + −
=+ + −
=+
=+
=+
33
45
5 3 3 415
5 15 3 1215
8 315
8 315
8 315
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
5. 5. 5. 5. 5.
( )
a a a
a a a a a a a
−+ +
+
=− + ⋅ + +
=− + + +
=
13
26
3 412
4 1 2 2 3 412
4 4 4 3 412
1112
6. 6. 6. 6. 6. n
m mn m
n n m mn
m n
m mn n
m n2 2
2
2
3 2 3 2 3 2+ + = ⋅ + + = + +
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
12
2 13
3 1 6 2 26
3 3 6 12 26
9 12 3 26
2 2
2
2
2
2
2
−+
++
=− + + +
=− + − +
=+ − +
xx
xx ax
ax x a xax
ax ax ax aax
ax a axax
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )
( )
2 33
3 210 5
10 2 3 3 3 2 630
20 30 9 6 6 630
29 2430
29 2430
29 2430
aa
xx
x aax
x a a x x aax
ax x ax a x aax
ax xax
x aax
aa
−+
++
−=
− + + + −
=− + + + −
=−
=−
=−
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( )
35
22
26
6 3 15 2 5 230
18 15 30 5 1030
38 30 1030
2 19 15 530
19 15 1515
2
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
++
++
=⋅ + + + +
=+ + + +
=+ +
=+ +
=+ +
xx
xx
x x x xx
x x x xx
x xx
x xx
x xx
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( ) ( )
x y x y y x
x y x y y x
x y x y y x x y
−+
++
−
=− + + + −
=− + + + −
=+
122
154
305 4 2 2 4
605 5 8 4 2 8
605
60
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( )
m nmn
n ana
a mam
a m n m n a n a mamn
am an mn ma an mnamn
anamn m
−+
−+
−
=− + − + −
=− + − + −
= =
2
2
2 1
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( ) ( )
xx
xx
xx
x x x x xx
x x x x xx
x x xx
++
−+
−
=+ + − + −
=+ + − + −
=+ − +
23
25
29
15 2 9 2 5 245
15 30 9 18 10 545
19 30 18 1045
2
2
3
3
2 2 3
3
3 2 3 3
3
3 2
3
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
1
3
2 2
3
2
2 2
2 2 2 2
2 3
2 2 3 2 3
2 3
3 2 3
2 3
abb a
abab ba b
ab a b a b ab ba b
ab ab a ab ba b
a ab ba b
+−
++
=+ − + +
=+ − + +
=− + +
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
a bab
a mam a
m a b b a m bmabm
am bm ab bm bmabm
am ab bmabm
++
−+
=+ + − +
=+ + − +
=+ +
3 2 3 3
3 2 3 3
3 2 3 3 2 3
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
EJERCICIO 7
1. 1. 1. 1. 1. 1
1
1
1
1 1
1
2
12 2a a
a a
a
a
a++
−= − + +
−=
−
2. 2. 2. 2. 2.
( )
24
13
2 3 412
2 6 412
3 2122 2 2
x x
x xx x
x xx x
xx x
++
−
=− + ++ −
=− + ++ −
=−
+ −
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
31
62 5
3 2 5 6 11 2 5
6 15 6 61 2 5
211 2 5
−+
+
=+ + −
− +=
+ + −− +
=− +
x x
x xx x
x xx x x x
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
xx y
xx y
x x y x x yx y
x xy x xyx y
xx y
−+
+
=+ + −
−=
+ + −−
=−2 2
2 2
2 2
2
2 22
5. 5. 5. 5. 5.
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )
mm
mm
m m m mm m
m m m mm m
mm m
mm m
+−
++−
=− + + − +
− −
=+ − + − −
− −=
−− −
=− −
33
22
2 3 3 23 2
6 63 2
2 123 2
2 63 2
2 2 2 2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( )( )
( ) ( )
x yx y
x yx y
x y x y x y x yx y
x y x yx y
x xy y x xy yx y
x yx y
+−
+−+
=+ + + − −
−
=+ + −
−
=+ + + − +
−=
+−
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )( ) ( )
xx
xx
x x x
x x2 2
2
211
1
1 1
1 1−+
+
−=
− + +
− +
( ) ( ) ( ) ( )x x x x
x xx x
x x
2 2
2
2
2
2 1
1 1
2 1
1 1=
− + + +
− +=
+ +
− +
−
8. 8. 8. 8. 8. ( )2
53
252 5 3
252 10 3
255 10
252 2 2 2xx
xx xx
x xx
xx−
+−
=+ +
−=
+ +−
=+−
9. 9. 9. 9. 9. 1
3 2 9 4
3 2
9 4
4
9 42 2 2 2 2 2x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y−+
−−
= + + −−
= +−
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )x a
x aa x
x ax a x a a x
x ax ax ax a a x
x aax
x aax
a x
++
+−
−=
− + + −−
=+ − − + −
−
=−
−=
−
33
93 3
93 3 3
92
92
9
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )( )( ) ( )( )
aa
aa
a a a aa a
a a a aa a
aa
1 1
1 11 1 1 1
21
2 2
2 2
2 2
3 3
2 2 4
−+
+
=+ + −− +
=+ + −− +
=−
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a ab ab bb a b a a b
ab a b
ab b a abab a b
a bab a b
−+
+=
+ + −−
=+ + −
−=
+−
13. 13. 13. 13. 13.
( )
aba b
aa b
ab a a ba b
ab a aba b
aa b
9 3
39
39
39
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
−+
+
=+ −
−=
+ −−
=−
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2
2 2 2 2 2a b a ba b a ba b a b
aa b a b−
+−
=− + +
+ −=
+ −
15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
3 2 3 2
3 6 3 2 2
5 6 5
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
x y x y
x y x y
x y x y
x xy y x y
x y x y
x xy y
x y x y
++
+=
+ + +
+ +
=+ + + +
+ +
=+ +
+ +
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
xa ax
a xax
aax x
a ax a a x
ax ax mcm ax a x
ax x x a x
x a x a x aax a x
x a x aax a x
aax a x
ax a x
2 2
2
2
2 2
2 2 2 2 22 2
−+
++
−
− = −
= = −
− = −
=+ + − +
−
=+ − +
−=
−=
−
17. 17. 17. 17. 17.
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )( )( )( )( ) ( )
32 4
12 4
84
2 4 2 2
2 4 2 2 2 4
4 2 2
3 2 1 2 2 82 4
3 6 2 2 162 4
6 82 4
2 42 2 2
42 2
2
2
2
2
2
2
2
2
xxx
xx
x x
x x mcm x
x x x
x x x xx
x x x xx
x xx
x xx x
xx
++
−−
++−
+ = +
− = − = −
− = − +
=− + − + + +
−
=− + + − + +
−
=+ +
−=
+ ++ −
=+−
18. 18. 18. 18. 18.
( )( ) ( )
( )( )( )
( )
( )( )( )( )( ) ( )
1 1 31
1
1 1
1 1 1
1 1 31
2 31
1 21 1
21
2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
x x x xx
x
x x x x
x x x x mcm x x
x x x
x x x xx x
x xx x
x xx x x
xx x
++
−+
+−
+ = +
− = − = −
− = + −
=− + + + +
−
=+ +
−=
+ +− +
=+−
19. 19. 19. 19. 19.
( )( ) ( )( )
( )
( )( )( )
( )
x yx y
x yx y
xyx y
mcm x y
x y x y x y x y xyx y
x xy y x xy y xyx y
x y xyx y
x xy yx y
x yx y x y
x yx y
−+
++−
+−
= −
=− − + + + +
−
=− + + + + +
−
=+ +
−=
+ +−
=+
+ −=
+−
4
4
2 2 4
2 2 4 2 2
2 2
2 22 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
15 4 5
52 1
5 5
4 5 5 1
2 1 1 5 1
1 1 5 5
5 1
2 1 25
5 1
3 3 24
5 1
3 8
5 1
2 2
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
aa
a aa
a aa a
a a a a
a a a mcm a a
a a a a a
a a
a a a a aa a
a aa a
a a
a a
−+
− −+
++ +
− = −
− − = − +
+ + = + = − +
=+ + + + + −
− +
=+ + + + + −
− +
=+ −
− +=
+ −
− +
21. 21. 21. 21. 21. ( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 25 3
1 8525 9
25 9
3 25 9 2 5 3 1 8525 9
75 27 10 6 8525 9
7 2725 9
22
2
2
2 2 2
2 2
a aa
amcm a a
a a a a aa a
a a a a aa a
aa a
+−
+−
−= −
=− + + + −
−
=− + + + −
−=
−−
22.22.22.22.22. ( )( )( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
x xx
xmcm x
x x x x xx
x x x x xx
x xx
++
−−
+−
= −
=+ − + − + − −
−
=− − + − + − +
−=
− +−
110
35 10
22
10 2
1 2 2 3 5 2 210 2
2 2 6 5 20 2010 2
6 19 1210 2
2 2 2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
23. 23. 23. 23. 23.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
xx x
xx x
xx x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x xx x x
x x x x x xx x x
x
++ −
++
+ −+
−+ +
+ − = + −
+ − = + −
+ + = + +
= + + −
=+ + + + + + − −
+ + −
=+ + + + + + − +
+ + −
=+
512
42 15
39 20
12 4 3
2 15 5 3
9 20 5 4
5 4 3
5 5 4 4 3 35 4 3
10 25 8 16 6 95 4 3
3 12
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
( )( )( )x
x x x+
+ + −50
5 4 3
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( )
12
1 28 2 4
8 2 2 4 8
2 4 1 2 28
2 5 28
58
2
3 2
3 2 3
2 2
3
2 2
3 3
xx
xx
x x
x x x x mcm x
x x x x xx
x x x xx x
−+
−−
++ +
− = − + + = −
=+ + + − + −
−
=− + + + −
−=
−
25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )( )
21 1
1
11
2 1 1 1
1
2 4 2 11
3 6 31
3 2 1
1
3 1
13
1
2 33
2
3
2 2
3
2
3
2
3
2
3
aa
aaa
mcm a
a a a a
a
a a a a aa
a aa
a a
a
a
a a
++
++
+
+= +
=+ + + + +
+
=+ + + + + +
+
=+ +
+=
+ +
+=
+
+=
+
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
23 11 6
19
13 2
3 11 6 3 3 2
9 3 3
3 2 3 2 9 3 2
2 3 1 3 2 99 3 2
2 6 3 5 2 99 3 2
6 79 3 2
2 2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
xx x
xx x
x x x x
x x x
x x mcm x x
x x x x xx x
x x x x xx x
x xx x
+ ++
+−
++
+ + = + +
− = + −
+ = + = − +
=− + + + + −
− +
=− + + + + −
− +
=− −
− +
27. 27. 27. 27. 27.
( )( )
( )( )( )
xx x x x
x x x x mcm x
x x x xx
x xx
x xx x x
xx x
2
3 2
3 2 3
2 2
3
2
3 2 2
41
11
31
1 1 1 1
4 1 3 31
2 21
2 11 1
21
−+
++
+− +
+ = + − + = +
=− + − + + +
+
=++
=+
+ − +=
− +
28. 28. 28. 28. 28. ( )( ) ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
11
11 2
11 2 3
1 2 3
2 3 3 11 2 3
5 6 2 41 2 3
7 101 2 3
5 21 2 3
51 3
2 2
x x xx
x x x
mcm x x x
x x x xx x x
x x xx x x
x xx x x
x xx x x
xx x
−+
− ++
+− + +
= − + +
=+ + + + + +
− + +
=+ + + +
− + +=
+ +− + +
=+ +
− + +=
+− +
29. 29. 29. 29. 29.
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )
xx x
xx x
xx x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x xx x x
x x x x xx x
−− −
+−
− −+
−− +
− − = − +
− − = − +
− + = − −
= − − +
=− − + − − + − +
− − +
=− + + − + + −
− −
22 5 3
32 3 2
2 15 6
2 5 3 3 2 1
2 3 2 2 2 1
5 6 3 2
3 2 2 1
2 2 3 3 2 1 2 13 2 2 1
4 4 6 9 4 13
2 2 2
2
2
2
2 2 2
( )( )
( )( )( )
2 2 1
6 10 123 2 2 1
2
x
x xx x x
+
=− +
− − +
30.30.30.30.30. ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
aa
aa
aa
mcm a a a
a a a a a a a a aa a a
a a a a a a a a aa a a
a a aa a a
−−
+++
++−
= − + −
=+ − − + − + − + − + +
− + −
=− − + + − − + + + − −
− + −
=− − +
− + −
21
32
13
1 2 3
2 2 3 1 3 3 1 1 21 2 3
3 4 12 9 9 2 21 2 3
3 2 14 191 2 3
3 2 3 2 3 2
3 2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
EJERCICIO 8
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )x x x x x x x−
−+
=− − +
=− − −
=−3
42
82 3 2
82 6 2
88
8
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
a ba
bab
b a b a ba b
ab b ab aa b
a ba b
+−
−
=+ − −
=+ − +
=+
5 3
5 3 5 3 3 5
2
2
2
2
2
2
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )2
31
22 2 3
64 362 2 2 2 2 2mn m n
m nm n
m nm n
− =−
=−
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
aab
aba b
ab a aba b
a b ab aba b
a b aba b
−−
−
=− − −
=− − +
=+ −
35
4 33
3 3 5 4 315
3 9 20 1515
3 6 2015
2
2 3
2 2
2 3
2 2 2 2
2 3
2 2 2
2 3
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
2 34
28
2 2 3 28
4 6 28
3 88
aa
aa
a aa
a aa
aa
+−
−
=+ − −
=+ − +
=+
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
y xx
x yy
y y x x x yxy
y xy x xyxy
y xy xxy
−−
−
=− − −
=− − +
=+ −
220
324
6 2 5 3120
6 12 5 15120
6 3 5120
2 2 2 2
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( ) ( )
x x x
x x x
x x x x x
−−
−−
+
=− − − − +
=− − + − −
=− −
= −+
13
24
36
4 1 3 2 2 312
4 4 3 6 2 612
412
412
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( ) ( )
35
2 110
4 120
4 3 2 2 1 4 120
12 4 2 4 120
4 2 120
2
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
−+
−+
=− + − +
=− − − −
=− −
aa
aa
a a a aa
a a a aa
a aa
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( ) ( )
( )
35
13
2 315
3 3 5 1 2 315
9 5 5 2 315
3 3 315
3 115
15
2
2
3
2 2
3
2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
xx
xx x
xx x x x x
xx x x x x
xx x
xx x
xx x
x
−−
−+ +
=− − − + +
=− + − − −
=+ −
=+ −
=+ −
10. 10. 10. 10. 10.
( )
12
23
56
3 2 2 56
3 4 2 56
4 56
2 3
3 2
2 3
3 2 3
2 3
3 2
2 3
ab
ab a bab ab b
a bab ab ab
a bab ab
a b
−+
−
=− + −
=− − −
=− −
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
EJERCICIO 9
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
14
13
4 3
3 44 3
3 44 3
14 3
x xmcm x x
x xx x
x xx x x x
−−
−= − −
=− − −− −
=− − +− −
=− −
2. 2. 2. 2. 2.
( )( ) ( )( )
m nm n
m nm n
mcm m n
m n m n m n m nm n
m mn n m mn nm n
mnm n
mnn m
−+
−+−
= −
=− − − + +
−
=− + − − −
−=
−−
=−
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 4 4
3. 3. 3. 3. 3. ( )( ) ( )( )1
111
1 1 1 11
1 2 1 21
41
4
2
2 2
2 2 2
−+
−+−
=− − − + +
−
=− + − − −
−=
−−
=−
xx
xx
x x x xx
x x x xx
xx
xx
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
a ba ab
b aab b
a ab a a b ab b b a b
mcm ab a b
b a b a b aab a b
ab b ab aab a b
a bab a b
++
−−+
+ = + + = +
= +
=+ − −
+=
+ − ++
=+
+
2 2
2 2
2 2 2 2
;
5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )m n
m nm nm n
m n m n m nm n
m mn n m nm n
mnm n
+−
−+−
=+ + − +
−
=+ + − −
−=
−
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 22 2
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
1 11 1
1
1 11
1 11
21
21
21
2 22 2
2
2 2 2 2 2
x x x xx x x x x x x x
mcm x x
x xx x
x xx x
xx x x x
+−
−+ = + − = −
= −
=− − +
−=
− − −−
=−
−=
−−
=−
;
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a xa x
xa x
a x a x x a x
a x a x
a ax x ax x
a x a x
a ax x
a x a x
+
−−
−
=+ + − −
− +
=+ + − +
− +=
+ +
− +
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
22 2
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
aa a
a a a a
mcm a
aa
aa
aa
++
−+
+ = + + = +
= +
=+ −
+=
+ −+
=++
=
16 3
112 6
6 3 3 2 1 12 6 6 2 1
6 2 1
2 1 16 2 1
2 2 16 2 1
2 16 2 1
16
;
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )
aa a
aa a
a a a a a a a
mcm a a
a a a a
a a
a aa a a a
−− +
−+
+ −
− + = − + − = + −
= − +
=+ − − − +
+ −
=− − +
+ −=
−
+ −
46 9
312
6 9 3 12 4 3
3 4
4 4 3 3
4 3
16 9
4 3
7
4 3
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
;
10. 10. 10. 10. 10.
( )
( )( )( )
a ab ba b
ba b
mcm a b
a ab b b a ba b
a ab b ab ba b
a aba b
a a ba b a b
aa b
2 2
2 22 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
4 39 3
9
4 3 39
4 3 39
39
33 3 3
+ −−
−+
= −
=+ − − −
−
=+ − − +
−
=+−
=+
+ −=
−
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
xx
xx
mcm x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x
x x
x
x x
2 22
2
2 2
2 2 2
11
11 1
1 1 1
1 1
2 1
1 1
3 1
1 1
3 1
1 1
−−
+
−= − +
=− − + +
+ −
=− − − −
+ −=
− −
+ −= −
+
+ −
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 3
3 3 33 2 2
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
3 2 2 3 2 2
a b a bmcm a b a ab b
a b a ab b
a b a ab b
a ab b a ab ba b a ab b
aba b a ab b
−−
−= − + +
=− − + +
− + +
=− + − − −
− + +=
−
− + +
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
xx x x x
x x x x
x x x mcm x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
++ −
−− +
+ − = + −
− + = − = − +
=− + − +
+ −
=+ − − −
+ −=
+ −
+ −
36 2
14 4 1
6 2 3 2 2 1
4 4 1 2 1 2 1 3 2
2 1 3 3 2
3 2 2 1
2 5 3 3 2
3 2 2 1
2 2 5
3 2 2 1
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
xx
xx
mcm x
x x x xx
x x x xx
x xx
−+
−+−
= −
=− − − + +
−
=− + − − −
−=
−−
14 4
28 8
8 1
2 1 1 2 18 1
2 4 2 3 28 1
78 1
2
2
2 2
2
2
2
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )
( ) ( ) ( )
xxy y y
mcm y x y
x x yy x y
x x yy x y
yy x y x y
−− = −
=− −
−=
− +−
=−
=−
2
1
1
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )
( ) ( ) ( )
ba b
ba ab
mcm a a b
ab b a ba a b
ab ab ba a b
ba a b
2 2 22 2
2 2
2
2 2
2
2 2
−−
+= −
=− −
−=
− +−
=−
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 36 9
14 12 9
6 9 3 2 3 4 12 9 2 3
3 2 3
2 3 2 3 3 1
3 2 3
4 9 3 3
3 2 3
4 3 6
3 2 3
2
2 2
2
2
2
2
2
2
aa
aa a
a a a a a
mcm a
a a a
a
a aa
a aa
−+
−−
+ +
+ = + + + = +
= +
=+ − − −
+
=− − +
+=
− −
+
;
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
xx x
xx x
mcm x x x x
x xx x x x
x xx x x x x x x x
++ +
−−
− += + + − +
=+ − −
+ + − +
=+ − +
+ + − +=
+ + − +
11
11
1 1
1 11 11 11 1
21 1
2 22 2
2 2
2 2 2 2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )( )( ) ( ) ( )
aa a a a
mcm a a
a a a a a aa a
a a a a a aa a
a a aa aa
a a
aa a
aa a
aa a
−+
−−
−+
= −
=− − − + − −
−
=− + − − − +
−
=− + −
−
= −−
−
= −−−
= −−−
=−
−
1 12 2
12 2
2 1
2 1 1 1 12 1
2 2 12 1
2 4 2 22 14 2
2 1
2 2 12 1
2 11
1 21
22
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2 2
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )
( )( )
14 4
18 8
112 12
24 1 1
6 1 1 3 1 1 2 124 1 1
6 1 3 1 2 224 1 1
6 6 6 6 3 3 3 3 2 224 1 1
3 11 3 7
2
2 2
2 2 2
2 2
3 2 3 2 2
2 2
3 2 3 2 2
2 2
3 2
a a a
mcm a a
a a a a aa a
a a a a a a aa a
a a a a a a aa a
a a a
+−
−−
+
= + −
=+ − − + + − −
+ −
=− + − − + + + − +
+ −
=− + − − − − − − +
+ −
=− + −
( )24 14a −
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )
( )
( )( )( )
( )( )
yx xy x x y
mcm x x y
y x y xx x y
y x y xx x y
y xx x y
y xx x y
x yx x y x
2
1 1
2 2 2 2 2
−− −
−= −
=− − −
−
=− + −
−
=−−
=−−
= −−−
= −
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )( ) ( ) ( )
aa ab a a b
mcm a a b
a a b aa a b
a ba a b
a ba a b a
21 1
1
+− −
+= +
=− + −
+=
− −+
= −++
= −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )
( ) ( ) ( )
1 1 2
2 00
2 2 3 22 2
2 2 2 2 2 2
x xy x xyy
x xymcm x x y
x y x y yx x y
x y x yx x y x x y
−−
+−
−= −
=+ − − −
−=
− − +−
=−
=
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
xx x x x
xx x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x xx x x
x x x x xx x x
xx x x
2 2 2
2
2
2
2 2
232 3 5 6
2 2 1
2 3 3 1
5 6 3 2
2 1 3
3 3 2 12 1 3
3 3 62 1 3
62 1 3
+ −−
+ −−
+ +
+ − = + −
+ − = + −
+ + = + +
= + − +
=+ − + − −
+ − +
=+ − − − +
+ − +=
−+ − +
25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
31
2
1
1 91 1
1 1
3 1 2 1 1 91 1
3 6 3 2 2 2 1 91 1
1 1
2 2 33
2 2
3
2 3 2 2
3
3
3
x xx
x
xx x
mcm x x
x x x x xx x
x x x x x x x xx x
xx x
+ +−
+
−−
−− −
= − −
=− − + + + − −
− −
=− + − − − − − − − +
− −
= −− −
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )
a ba b
a ba ab b a b
a b a b a ab b
a ab b a ab b
a b a b
mcm a b a ab b
a b a b a b a ab ba b a ab b
a b a b a ab ba b a ab
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 21
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
22
2 22
+−
−+
+ +−
−
− = − + +
+ + = + +
− = −
= − + +
=+ − + − − + +
− + +
=+ − + − − −
− + +( )
( )( ) ( )
b
b aba b a ab b
b aba b
2
2
2 2
2
3 3
22
22
=−
− + +=
−−
27. 27. 27. 27. 27.
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
32 2 4
14 8 32
10 18 40 32
2 2 4 2 2 2 2 1
4 8 32 4 2 8 4 4 2
8 40 32 8 5 4 8 4 1
8 4 2 1
12 4 2 1 1 10 1 28 4 2 1
2 2 2
2 2
2 2
2 2
aa a
aa a
aa a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
mcm a a a
a a a a a aa a a
− −−
−+ −
−−
+ +
− − = − − = − +
+ − = + − = + −
+ + = + + = + +
= + − +
=+ − − + − − −
+ − +
( )( )( )
( )( )( )
=+ − + − + + −
+ − +
=+ − +
12 48 2 2 10 20 28 4 2 1
698 4 2 1
2 2 2a a a a a aa a a
aa a a
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
14 12
927 2 3 9
4 12 4 3
27 3 3 9
2 3 9 2 3 9
4 27
3 9 4 9 2 34 27
3 9 4 36 2 64
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2 2
3
a xa xa x
aa ax a
a x a x
a x a x a ax a
a ax a a ax a
mcm a x
a ax x a x a a xa x
a ax x a x a axa
−−
+−
−+ +
− = −
− = − + +
+ + = + +
= −
=+ + − + − −
−
=+ + − − − +
( )
( ) ( )
−
=− + −
−= −
− +−
27
5 9 274 27
5 9 274 27
3
2 2
3 3
2 2
3 3
x
a ax xa x
a ax xa x
29. 29. 29. 29. 29.
( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )( )( )
2 310 10
150
9 1450 50
10 10 10 150 50
50 50 50 1
50 1
5 2 3 1 1 9 1450 1
10 15 2 1 9 1450 1
2 250 1
2 150 1
125
2 2
2 2
2 2 2
aa
a aa
a a
a a
mcm a
a a a aa
a a a aa
aa
aa
−+
−+
−−+
+ = +=
+ = +
= +
=− − + + − −
+
=− − − − − +
+
=− −
+= −
++
= −
EJERCICIO 10
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
23
32
4 76
3 2
2 2 3 3 4 73 2
2 4 3 9 4 73 2
23 2
13
2x xx
x xmcm x x
x x xx x
x x xx x
xx x x
−+
+−
−− −
= − +
=+ + − − −
− +
=+ + − − +
− +=
+− +
=−
2. 2. 2. 2. 2. ( )
( ) ( )( )( )
aa a
aa
mcm a
a aa
aa
aa
3 61
6 1212
12 2412 2
4 2 1212 2
5 1012 2
5 212 2
512
+−
++
++
= +
=− + +
+=
++
=++
=
3. 3. 3. 3. 3. ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
xx x x
mcm x x
x x x xx x
x x x xx x
x x xx x
2 22 2
3 2 2
2 2
3 3 2
2 2
3 2
2 2
11
31
3 1
3 1 3 13 1
3 3 33 1
4 3 33 1
++ − = +
=+ + − +
+
=+ + − −
+=
+ − −+
4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
aa
aa
aa
mcm a
a a a a aa
a a a a aa
a aa
+−
+−+
+−−
= −
=+ + − − + − +
−
=+ + − + + − −
−=
− +−
31
12 2
44 4
4 1
4 3 2 1 1 4 14 1
4 12 2 4 2 3 44 1
3 3 104 1
22
2
2 2
2
2
2
5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
a ba ab
a bab
aab b
mcm ab a b
b a b a b a b aab a b
ab b a ab b aab a b
abab a b a b
−+
++
−+
= +
=− + + + −
+
=− + + + −
+=
+=
+
2 2
2
2 2 2 22 3 3
6. 6. 6. 6. 6.
( )( ) ( )( )
( )( )( )
x yx y
x yx y
xx y
mcm x y
x y x y x y x y xx y
x xy y x xy y xx y
x xyx y
x x yx y x y
xx y
−+
−+−
+−
= −
=− − − + + +
−
=− + − − − +
−
=−−
=−
+ −=
+
4
4
2 2 4
4 4 4 4
2
2 22 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
xa ax a x
mcm ax a x
x x a x a a xax a x
x ax x a axax a x
aax a x
ax a x
2
2
2 2 2 2
1 1−
+ + = −
=+ − + −
−
=+ − + −
−=
−=
−
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
xx x
xx x
xx x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x xx x x
x x x x xx x x
x xx
+− −
−+
− −+
++ +
− − = − +
− − = − +
+ + = + +
= − + +
=+ + − + + + − +
− + +
=+ + − − − + −
− + +
=− −
−
120
44 5
55 4
20 5 4
4 5 5 1
5 4 4 1
5 4 1
1 1 4 4 5 55 4 1
2 1 8 16 255 4 1
6 40
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
5 4 1
10 45 4 1
105 1
x x
x xx x x
xx x
+ +
=− +
− + +=
−− +
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
2 112 8 6 2
216 8
12 8 4 3 2
6 2 3 2 2 1
16 8 8 2 1
8 3 2 2 1
2 2 1 2 1 8 2 3 28 3 2 2 1
8 2 8 6 48 3 2 2 1
6 4 28 3 2 2 1
2 3 2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
xx
xx x
xx
x x
x x x x
x x
mcm x x
x x x x xx x
x x x xx x
x xx x
x
++
−+ −
+−
+ = +
+ − = + −
− = −
= + −
=+ − − + +
+ −
=− − + +
+ −
=+ −
+ −
=+( )
( )( ) ( )( )x
x xx xx x
−+ −
=+ −
+ −1
8 3 2 2 13 2 1
4 3 2 2 1
2
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( ) ( )( )( ) ( )
1 1 1
1 1
2ax a ax a xmcm ax a x
a x x axax a x
ax aax a x
a xax a x
xx a x
−+
++
= +
=+ − +
+=
++
=++
=++
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
1 1 2
2
2 2
4 4
2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 2 2 3 3 2 2 3 2 3
2 2 2 2
3
4 4
3
4 4
x y x yy
x ymcm x y x y
x y x y x y x y y x yx y x y
x xy x y y x xy x y y x y yx y x y
yx y
yy x
+−
−+
+= − +
=− + − + + + −
− +
=+ − − − − − − + −
− +
=−
−=
−
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
aa
aa
a aa
mcm a
a a a a a aa
a a a a a aa
a aa
a aa a
aa
−+
−−−
++ −
−= −
=− − − − + + + −
−
=− + − + + + + −
−
=−
−=
−+ −
=+
13 3
26 6
2 69 9
18 1
6 1 1 3 2 1 2 2 618 1
6 12 6 3 3 6 2 4 1218 1
5 518 1
5 118 1 1
518 1
2
22
2
2
2 2 2
2
2
2
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
12 24
22 8
38 12
2 24 6 4
2 8 4 2
8 12 6 2
6 2 4
2 2 6 3 46 2 4
2 2 12 3 126 2 4
266 2 4
2 2 2
2
2
2
a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
mcm a a a
a a aa a a
a a aa a a a a a
+ −+
− −−
+ +
+ − = + −
− − = − +
+ + = + +
= + + −
=+ + + − −
+ + −
=+ + + − +
+ + −=
+ + −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( )
x yxy
x yxy y
yx xy
mcm xy x y
x y x y x x y yxy x y
x xy y x xy yxy x y xy x y
+−
++
−+
= +
=+ + − + −
+
=+ + − − −
+=
+=
2
2
2 2 00
2 2
2
2 2 2 2
15. 15. 15. 15. 15.
( )( ) ( )( )
aa
aa a
aa
mcm a
a a a a a aa
a a a a a a a aa
a aa
3
3 23
3 2
3
3 2 3 2 2
3
2
3
13
111
1
1 3 1 11
4 3 11
3 2 41
++
+− +
−−+
= +
=+ + + − − − +
+
=+ + + − + − + − +
+=
+ ++
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
11
21
31
1 1
1 1 2 1 3 11 1
1 2 2 2 3 31 1
4 11 1
2
2
32 2
2 2 2
2 2
3 2 2 3 2 3 2
2 2
2
2 2
xx
xx
xmcm x x x
x x x x x x x xx x x
x x x x x x x x x xx x x
x xx x x
−+
−−
−= − + +
=+ + + + + + − +
− + +
=+ + + + + + + + − −
− + +
=+ +
− + +
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
17. 17. 17. 17. 17.
( )( ) ( )
( )( )( )
a ba ab b a b
aa b
mcm a b
a b a b a ab b aa b
a ab b a ab b aa b
a aba b
a a ba b a ab b
aa ab b
+− +
−+
++
= +
=+ + − − + +
+
=+ + − + − +
+
=++
=+
+ − +=
− +
2 2
2
3 33 3
2 2 2
3 3
2 2 2 2 2
3 3
2
3 3 2 2 2 2
1 3
3
2 3
3 3 3 3
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2−
++
+ +−
+−
= −
=+ + + + − − +
−
=+ + + − + − − −
−
=− −
−=
− +−
=+
+ +
xx
x xxx
mcm x
x x x x xx
x x x x x xx
x xx
x xx
xx x
22 3
2 46 12
88
2 2 4 2 3 2 6 128
2 4 8 2 4 3 6 6 128
4 3 108
2 4 58
4 52 4
2 33
2
3
2 2
3
2
3 3 2
19. 19. 19. 19. 19.
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
3 23 10
5 14 5
4 13 2
3 10 5 2 4 5 5 1
3 2 2 1 5 2 1
3 2 1 5 1 2 4 1 55 2 1
3 3 2 2 5 10 2 4 20
2 2 2
2 2
2
2 2 2
xx x
xx x
xx x
x x x x x x x x
x x x x mcm x x x
x x x x x xx x x
x x x x x x x x
++ −
−+
+ −+
−− +
+ − = + − + − = + −
− + = − − = + − −
=+ − − + − + − +
+ − −
=− + − − + − + + +
;
;
( )( )( )
( )( )( )
− −+ − −
=+ −
+ − −
xx x x
x xx x x
55 2 1
2 27 55 2 1
2
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
1
1
11
1
1
11
1 1 1
1
2 3 3 1
1
2 4 1
1
2 33
2 3
3
2 3 2 3 2
3
2
3
n n n nmcm n n
n n n n n n
n n
n n n n n n n n nn n
n nn n
++
−−
−− = −
=− + − − − −
−
=− + − + − − + − +
−=
− +
−
21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )
15
5
5
525
25 5
25 5 5 5 525 5
25 10 25 10 2525 5
20 2525 5
2
2
2 2
2
44 2
4 2 2 2 2
4 2
4 4 2 4 2
4 2
4 2
4 2
aaa
aa
mcm a a
a a a a aa a
a a a a aa a
a aa a
+−
−
++
+−
= − +
=− − − − + + +
− +
=− − + − + + +
− +=
+ −− +
22. 22. 22. 22. 22.
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
19 9 6
69 6
9 3 3 9 6 3
9 6 3 3 3
1 9 3 6 3
3 3
9 9 9 6 54 36 6
3 3
9 54
2
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 4 2 3 4 2 3
2 2
−−
−+ +
−− +
− = + − + + = +
− + = − = + −
=− − − − − +
+ −
=− − + − + − − − −
+ −
=−
xx
xx x
xx x
x x x x x x
x x x mcm x x
x x x x x x
x x
x x x x x x x x xx x
x
;
;
( ) ( )−
+ −
55
3 3
2
2 2x
x x
23. 23. 23. 23. 23. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
xx
xx
xx x
mcm x
x x x x x x xx
x x x x x x xx
x xx
x xx
x xx
2 21
3 31
6 65
18 1818 1
9 1 6 1 1 3 1 1 5 118 1
9 9 6 12 6 3 6 3 5 518 1
6 32 818 1
2 3 16 418 1
3 16 49 1
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
+−
+−
+−+
−−
= −
=− − + + + − − − +
−
=− − − − + − + − −
−
=− −
−=
− −−
=− −
−
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
aa
aa
aa
mcm a
a a a a aa
a a a a aa
a aa
++
−−
−−−
= −
=+ − − − − +
−
=+ − − − + +
−=
+ −−
22 2
78 8
34 4
8 1
4 2 1 7 2 3 18 1
4 4 8 7 2 4 68 1
2 28 1
22
2
2 2
2
2
2
25. 25. 25. 25. 25. ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )( ) ( )
aa
aa
aa
mcm a
a a aa
a a aa
aa
aa
aa
−+
+++
−−+
= +
=− + + − −
+
=− + + − +
+
=−
+=
−+
=−
+
320 10
2 540 20
4 160 30
120 2 1
12 3 6 2 5 4 4 1120 2 1
12 36 12 30 16 4120 2 1
8 2120 2 1
2 4 1120 2 1
4 160 2 1
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
22 5 3
12 6
32
2 5 3 2 3 1
2 6 2 3 2
2 2 1
2 3 1 2
2 2 1 3 2 32 3 1 2
2 4 1 6 92 3 1 2
7 42 3 1 2
2 2 2
2
2
2
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x xx x x
x x xx x x
xx x x
+ +−
− −+
− −
+ + = + +
− − = + −
− − = − +
= + + −
=− − + + +
+ + −
=− − − + ++ + −
=+
+ + −
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
27.27.27.27.27. ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )
aa
aa a
mcm a a a
a a a a a aa a a
a a a a a a a aa a a
a a a a a a a a a a a aa a a
−−
−−+
+−
= − + −
=− + − − − + − +
− + −
=− + + − − + − + + −
− + −
=+ − − + + − + + − − + + + −
− + −
=
12
23
11
2 3 1
1 3 2 1 2 32 3 1
2 1 3 4 4 1 62 3 1
3 2 6 3 4 4 4 4 62 3 1
7
2 2
2 2 2
3 2 2 3 2 2 2
( )( )( )a a
a a a
2 12 12 3 1
− +− + −
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
2 32 3
2 32 3 2 3
4 9 2 3
2 3 4 9 2 3 2 34 9 2 3
8 18 12 27 8 36 54 27 2 34 9 2 3
46 754 9 2 3
22
2 3
2
2 3 2 3 2
2
2
2
+−
−−+
−−
= − −
=+ − − − − +
− −
=− + − − + − + − −
− −
=−
− −
aa
aa
a
amcm a a
a a a a aa a
a a a a a a a aa a
a aa a
29. 29. 29. 29. 29. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
15 5
15 5
110 10
10 1 1
2 1 1 2 1 1 110 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 110 1 1
5 310 1
22 2
2 2 2
2 2
2 3 2 3 2
2 2
2
4
++
−−
+= + −
=+ − + + + − −
+ −
=− + − + + + + − +
+ −
=+−
a a amcm a a
a a a a aa a
a a a a a a aa a
aa
30. 30. 30. 30. 30.
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
13 3
13 3 6 6 2 2
3 3 3 1 3 3 3 1
6 6 6 1 2 2 2 1
6 1 1 6 1
2 1 1 2 1 1 1 3 16 1
2 2 2 2 2 2 2 2 3
2 2
2 2 2 2
2 2 4
2 2 2 2
4
2 3 2 3 3
−−
++
+−
−
− = − + = +
+ = + − = −
= + − = −
=+ + − + − + − − +
−
=+ + + − + − + + − −
x xx
xx
x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x x x xx
x x x x x x x x
;
;
( )
( ) ( )
x xx
xx
xx
−−
=−
=−
36 1
26 1 3 1
3
4
4 4
EJERCICIO 11
1. 1. 1. 1. 1. 1 1
2 2 2 22 2
2 2 2 2
m n
m
n m m n
m
m nmcm m n
m n m
m n
n
m n
−+
−=
−−
−= −
=+ −
−=
−
2. 2. 2. 2. 2. ( )x
x xyx
y xx
x x yx
x yx
x yx
x y
mcm x yx xx y
xx y
2
2
22 2 2
2 3
−−
−=
−+
−=
−+
−
= −
=+−
=−
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )( )( )( )( ) ( )
12 4
12 4
4
24
2 12 2
12
2 2 2
2
2
2
x xx
x x xxx
mcm x x
x xx x
x xx x x
xx x
−+
−=
−−
−
= −
=+ −
−=
− +− +
=++
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
a ba ab
ab a
a ba a b
aa b
mcm a a b
a b a b aa a b
a ab b aa a b
ab ba a b
+−
+−
=+−
−−
= −
=+ + −
−=
+ + −−
=+−
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
xx x
xx
xx x
xx
mcm x x
x x xx x
x x xx x
x xx x
−− −
−−
=−
− ++
−
= − +
=− + +
− +=
− + +− +
=+ −
− +
42 3 6 2
43 1 2 3
2 3 1
2 4 12 3 1
2 82 3 1
3 82 3 1
2
2 2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
12 8
12 3
14 2
12 3
2 3 4
3 42 3 4
3 42 3 4
12 3 4
12 3 4
2x x x x x x x x
mcm x x x
x xx x x
x xx x x
x x x x x x
+ −+
− +=
+ −−
− +
= − + +
=+ − +
− + +
=+ − −
− + +
=−
− + +=
− + +
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
12 2
21
74 4
12 1
21
74 1
4 1
2 1 8 1 7 14 1
2 2 8 8 7 74 1
34 1
2
2
2 2
x x x x x x
mcm x
x x xx
x x xx
xx
++
−+
−=
+−
−+
−
= −
=− − + + +
−
=− − − + +
−=
−−
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
23
33
29
23
33
29
9
2 3 3 3 29
2 6 3 9 29
59
2 2
2
2
2 2
2
2
2
aa
aa
aa
aa
aa
aa
mcm a
a a a a aa
a a a a aa
a aa
++
−+
−=
++
−−
−
= −
=− + + −
−
=− + + −
−=
+−
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )
x yy x
yx y
xy x
x yy x
yx y
xx y
mcm x y
x y x y y x x yx y
x xy xy y y x xyx y
x xyx y
++
+−
−−
=++
+−
−−
= −
=+ − + + +
−
=− + − + + +
−=
+−
3 3 3 3
3 3
3 3 3 2 3
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
xx x
xx x x
xx x
xx x x
mcm x x x
x x x x x xx x x
x x x x xx x x
x xx x x
2
2 2 2 2
2 33
1 21
2
3 13
1 21
2
3 2 1
2 3 3 3 13 2 1
2 9 2 33 2 1
4 63 2 1
+ −+
−− +
++
=+ −
−−
− ++
+
= + + −
=+ − − + + + −
+ + −
=+ − + + + −
+ + −=
+ ++ + −
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
32 2
14 4
48 8
32 1
14 1
48 1
8 1
12 1 2 1 48 1
12 12 2 2 48 1
10 108 1
10 18 1 1
54 1
2 2
2
2
2 2
a a a a a a
mcm a
a aa
a aa
aa
aa a a
+−
−−
−=
+−
−+
−
= −
=− − + +
−
=− − − +
−=
−−
=−
− +=
+
12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
13
13 2
22 1
13
13 2
22 1
3 2 1
2 1 1 1 2 33 2 1
3 2 1 2 63 2 1
33 2 1
33 2 1
2 2
aaa a a a
aa
a a a a
mcm a a a
a a a a aa a a
a a a aa a a
aa a a
aa a a
−+
+− −
+− −
=−
−+
− −+
− −
= − − −
=− − − + − + −
− − −
=− + − + + −
− − −
=− −
− − −=
+− − −
13. 13. 13. 13. 13.
( )
( ) ( ) ( )
21
2 21
11
21
2 11
11
1
2 1 2 1 11
2 2 2 2 2 11
3 11
3 2
3 2
2
3 2
3
2 2
3
3 2 3 2
3 3
xx
x xx x x
xx
x xx x x
mcm x
x x x x x xx
x x x x x xx
xx
−+
+−
++ +
=−
−+
−+
+ += −
=+ + − + + −
−
=+ + − − + −
−=
−−
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )
xx
xx
x xx x
xx
xx
x xx x
mcm x x
x x x x x xx x
x x x x x x x xx x
x
+−
++
−+
+ +− +
=+−
−+−
++ +
− −
= − −
=+ − − + − + + +
− −
=− + − − + − + + + +
− −
=+
23 1
13 2
4 6 36 11 3
23 1
12 3
4 6 32 3 3 1
2 3 3 1
2 2 3 1 3 1 4 6 32 3 3 1
2 3 4 6 3 3 1 4 6 32 3 3 1
3
2
2
2
2
2 2 2
2
( )( )( )( )( )( )
5 22 3 3 1
2 3 12 3 3 1
22 3
xx x
x xx x
xx
−− −
=+ −− −
=+−
EJERCICIO 12
1. 1. 1. 1. 1. 2
3
6
4
12
12
2 2 2 2a
b
b
a
a b
abab⋅ = =
2. 2. 2. 2. 2. x y a
m
m
x
x ya m
x m
a y
xm
2 3
2 3
2 3
3 2
3
5
10
3
9 90
15
6⋅ ⋅ = =
3. 3. 3. 3. 3. 5
7
4
7
14
5
14 5 4
49 5
8
7
2
3
2
3 4
2 2
4 3 3 2 2
x
y
y
m
m
x
x my
x m y x m y⋅ ⋅ =
⋅ ⋅⋅
=
4. 4. 4. 4. 4. 5 2 3
10
10 3
10
32 2a
a
b
b ab
ab b⋅ ⋅ =
⋅=
5. 5. 5. 5. 5. 2
15
3 5
7
15 2
15 7
2
7
3
3
2 2
2
2 5
3 3
4
3
x
a
a
y
x
xy
a x
a xy
x
ay⋅ ⋅ =
⋅⋅
=
6. 6. 6. 6. 6. 7
6
3
10
5
14
7 3 5
14 6 10 82 2
4 4
2 2
2a
m
m
n
n
ax
amn
am n x
n
mx⋅ ⋅ =
⋅ ⋅⋅ ⋅
=
7. 7. 7. 7. 7. ( )
( )2
68
4 22 1
34
2 2 123
2x xx
x xx
x++
+=
+⋅
+=
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )
( )5 25
147 7
10 505 5
147 1
10 51
4x x
xx x
xx+
⋅++
=+
⋅++
=+
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )( ) ( )
m nmn n
nm n
m nn m n
nm n m n
n
m n
nm mn n
+−
⋅−
=+−
⋅+ −
=−
=− +
2
2
2 2
2
2 2 22
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
( )( )
( )
xy yx xy
x xy yx xy
y x yx x y
x yx x y
y x yx
xy yx
−+
⋅+ +
−
=−+
⋅+−
=+
=+
2 22
22
2
2
2 2
2
2
2
2
2
11. 11. 11. 11. 11.
( )( ) ( )( )
( )( )
x xy yx xy
xx y
x yx x y
xx y x y
x x y
x yx xy
x xy y
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
4 42 4
22 2 2
2
2
24
− ++
⋅−
=−
+⋅
+ −=
−
+=
−+ +
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )
( )( )2 2
23
2 32 1
23
3 11
2
2
2
2 2
x xx
x xx x
x xx
x xx x
+⋅
−− −
=+
⋅−
− +=
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )( ) ( ) ( )
a ab a ba a a ab
a a ba a a a b a a a a
2
2 2
2
2 13
6 6
11 1
36
12 1
12 2
− + −+ +
⋅−
=+ −+ +
⋅−
=+
=+
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( )( )
( )( )x yx
x xx y
x yx x x
x xx yx
−−
⋅+ +
−=
−− + +
⋅ + + =−−
3
3
2
2 22
11
1 11
1
15. 15. 15. 15. 15. ( )
( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )
2 22 50
4 53 3
2 12 25
5 13 1
1 53 5 5
13 5
13 15
2
2
2
aa
a aa
aa
a aa
a aa a
aa
aa
−−
⋅− −
+=
−−
⋅− +
+
=− −+ −
=−+
=−+
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )
( )( )
( )( )2 3 2
6 33 6
42 2 1
3 2 13 2
2 21
2
2
x xx
xx
x xx
xx x
− −+
⋅+−
=− +
+⋅
+− +
=
17. 17. 17. 17. 17. ( )( ) ( )
( )y y
yyy
y yy
yy
y2 9 18
55 255 15
6 35
5 55 3
6+ +
−⋅
−+
=+ +
−⋅
−+
= +
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )( )
( )( )
( )( )( )( )
( )
x x xx x
x xx x
x x xx x
x xx x
x x xx x
x xx
x xx
3 2
2
2
2
2
2
2 34 8 3
2 3
2 32 3 2 1
2 31
3 12 1 1
32 1
32 1
+ −+ +
⋅+−
=+ −
+ +⋅
+−
=+ −+ −
=++
=++
19. 19. 19. 19. 19.
( )( )( )( )
xa
a ax x
x x xa a a
a ax x
xa
3
3
2
2
2
2
2
2
271
13 9
3 3 91 1
13 9
31
−−
⋅+ +
+ +
=− + +− + +
⋅+ +
+ +=
−−
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )
11
11
11
2
2
2 2−+
⋅+
−⋅ =
−+
⋅+−
⋅ =x
aa ax x
xa
xa
a ax x
xa
x
22. 22. 22. 22. 22.
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
x xx
x xx x
x xx x
x xx x
x xx x
x xx x
x x x x
x x x x x x
2
2
2
3 2
2
2
2
2 2
2 2
216
2 8 44 4
24 4
4 21
42 2
2 4 4
2 4 4 1
11
+−
⋅− −
+⋅
++ +
=+
− +⋅
− ++
⋅+
+ +
=+ − +
+ − + +=
+
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )
( )
( )( )( )( )
( )( )( )
m n x
m x n
m n xm mn mx
m n x m n xm n x m n x
m n x m n xm m n x
m n xm
+ −
+ −⋅
− −+ −
=+ + + −+ + − +
⋅− + − −
+ −
=− −
2 2
2 2
2 2
2
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )
( )( )
2 22 2 1
22 1
11
1
3 2
2
3
2 2
2 2 2
2 2
a abax ax
x xa x b x
xx
a a bax x
x xx a b
xx
+−
⋅−+
⋅+
=+−
⋅−
+⋅
+=
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )
a aa
aa a
aa
a aa
aa a
a aa
a aa
a aa
2
2
2
2
5 63 15
630
252 4
3 23 5
66 5
5 52 2
36
36
− +−
⋅− −
⋅−−
=− −
−⋅
− +⋅
+ −−
=−
−=
−−
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )( )
( )( )( )
( )
( )( )
x xy yx xy y
x yx xy
x xyx y
x y x yx y x y
x y x yx x y
x x yx y
x y x yx y
x xy yx y
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
3 102 8
164
62
5 24 2
4 44
62
5 62
11 302
− −− −
⋅−+
⋅−+
=− +− +
⋅+ −
+⋅
−+
=− −
+=
− ++
27. 27. 27. 27. 27.
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
x ax aax a
ax aax a
a xx ax a
x aa x a
a x aa x
a xx a x a
x aa x
x aax a
2 2
2
2
2 2
2
4 43 6
2 4 6 63 2
23 2
2 21
62
4 21
4 8
+ +−
⋅−+
⋅+
+ +
=+
−⋅
−+
⋅+
+ +
=++
=++
28. 28. 28. 28. 28.
( )( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
aa a
aa
aa
a aa
a aa a
aa a
aa
a aa
2
2 2
3 2
2
812 10
1136
2 122 18
52 22
9 92 5
116 6
2 62 9
52 11
−+
⋅+−
⋅−+
⋅++
=+ −
+⋅
++ −
⋅−+
⋅+
+
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
29. 29. 29. 29. 29.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )
a aa a
a aa a
a a aa a
a aa a
a aa a
a a aa a
a a aa a
a aa
a aa
2
2
2
2
3 2
2
2
2
7 106 7
3 42 15
2 32 8
5 27 1
4 15 3
2 34 2
3 13 7
17 7
+ +− −
⋅− −+ −
⋅− −
− −
=+ +− +
⋅− ++ −
⋅− −
− +
=− +
− −=
+−
=+−
30. 30. 30. 30. 30. ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )
x xx x x
x xx x x x x
xx
x xx x x
x xx x x
xx x
x x xx x
x x xx x x x
xx
4
3 2
4
4 3 2 2
2
3
2
3
2 2 2
2
2
2
2 2
2
273 9
1
3 3
271
13 9 3 3
3 3 91
1 13 9
19 3
19
+− +
⋅+
− +⋅
+⋅
−
=+
− +⋅
+− +
⋅+ −
=+ − +
− +⋅
+ − +− +
⋅− +
=+−
EJERCICIO 13
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
( )
aab
aa
b
aab
ab ab
a bb
aa
ba b a
bab a a
bab
b
a bb
abb
a
+
−
+
⇒ + =+
=+
⇒ −+
=+ −+
=+ −
+=
+
⇒+
⋅+
=
1
1
111 1 1
11
2
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
xx
xx
xx
x xx
x xx
x xx
xx
x xx
x xx
x xx
x xx
xx
x x x
−+
+
+
⇒ −+
=+ −+
=+ −
+=
+ −+
⇒ ++
=+ ++
=+ +
+=
+ ++
⇒+ −
+⋅
++
= − + = −
21
12
21
1 21
21
2 11
12
2 12
2 12
1 12
2 11
12
1 1 1
2
2
2
2
3. 3. 3. 3. 3. 1 1
1
1
1
−+
+
⇒ −+
=+ −
+=
+
⇒ + =+
⇒+
⋅+
=
xa x
xa
xa x
a x xa x
aa x
xa
a xa
aa x
a xa
4. 4. 4. 4. 4.
( )
( )( )( )
aab
a bba
aab
a ba a b ab
a ba ab ab
a ba
a bba
a ba
aa b
a ba
a b a ba b
a b
+−
−
⇒ +−
=− +
−=
− +−
=−
⇒ − =−
⇒−
⋅−
=+ −
−= +
1
1
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2 2
2
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
xx
xx
x
xx
x xx
x xx
x xx
x xx
xx
x
x x xx
x x xx
xx
x xx
xx
x
+ −+
− +
−+
⇒ + −+
=+ + −
+
=+ + −
+=
+ −+
=+ −
+
⇒ − +−+
=− + + −
+=
+ − + −+
=+
⇒+ −
+⋅
+=
212
12
10 35
212
1
2 1 121
3 2 121
3 101
5 21
210 3
5
2 5 10 35
3 10 10 35 5
5 21 5
2 2
2 2
2 ( )2 3 221
21
xx
x xx
−+
=−+
6. 6. 6. 6. 6.
( )
1
1
2
2 2 2 2
+
−
+
⇒ + =+
⇒ −+
=+ −
+=
+ −+
=+
⇒+
⋅+
=
xy
xx
x yxy
y xy
xx
x yx x y x
x yx xy x
x yxy
x yy x
yxy
x yx
7. 7. 7. 7. 7.
( )( ) ( )
( )
( )
a xax xa x
xa x
a xax xa x
a x a x ax xa x
a ax x ax xa x
a ax xa x
a xa x
xa x
a x xa x
a xa x
a xa x
a xa x
a x
+ −+
+
+
+
⇒ + −+
+
=+ + − +
+
=+ + − −
+=
+ ++
=++
⇒ ++
=+ +
+=
++
⇒++
⋅++
= +
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
21
2
22
3 22
22 2
12
22
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )
( )( )
( )( )
xx xx
xx
xx xx
x x x xx
x x x xx
xx
xx
xx
x xx
x xx
x xx
x xx
xx
−−−
+ −
+
⇒ −−−
=− − −
−
=− − +
−=
−−
=−
⇒ + −+
=+ + −
+
=+ + −
+=
+ −+
=+ −
+
⇒−
3
2
3
2
2 3
2
3 3
2 2 2
2 2
2
625
18
3
625
25 625
25 625
1925
1925
18
31 3 8
3
4 3 83
4 53
5 13
1925
( )( )
( )( )( )
⋅+ −
+
=−
− +=
−+ − −
=−
+ −
x xx
x xx x
x xx x x
x xx x
5 13
19 15 3
19 195 15 3
19 1915 2
2
2
2
2
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
( )( )
( )( )
a xx
a xa x
a xa x
a xx
a x
a x a x xa x
a ax x xa x
a ax xa x
a x a xa x
a xa xa x
a x a x a xa x
a
+ −+
− +
++
⇒ + −+
=+ + −
+
=+ + −
+=
+ −+
=+ −
+
⇒ − +++
=− + + +
+
=
2142
54
2142
2 2 142
2 5 2 142
2 5 122
4 2 32
54
4 54
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
+ − + ++
=+ +
+=
+ ++
⇒+ −
+⋅
+ ++
= − + = − −
3 4 54
2 34
24
4 2 32
24
2 3 2 3
2 2 2 2 2
2 2
ax x a xa x
a ax xa x
a x a xa x
a x a xa x
a x a xa x
a x a x a ax x
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )( )
( )( )
mmn
m nnm
mmn
m nm m n mn
m nm mn mn
m nm
m n
nm
m nm
m n m mn nm
mm n
m n m mn nm
m mn nm
−+
+
⇒ −+
=+ −
+=
+ −+
=+
⇒ + =+
=+ − +
⇒+
⋅+ − +
=− +
1
1
3
3
2 2
3
3
3 3
3
2 2
3
2 2 2
3
2 2
11. 11. 11. 11. 11.
( )( )
1 1 1
1
1
1
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
+
−
+
−
⇒ + =+
⇒ − =−
⇒ +−
=−
⇒+
⋅−
⋅+ −
= =
ab
ba
ba b
ab
b ab
ba
a ba
ba b
aa b
b ab
a ba
aa b a b
aab
ab
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )
( )
( )
22
13
62
11
22
12 1 2
12 4
12 2
1
36
23 2 6
23 6 6
23
2
11 1
2 21
32
16
++
−
+
+
⇒ ++
=+ ++
=++
=++
⇒ −+
=+ −+
=+ −+
=+
⇒ + =+
⇒++
⋅+
⋅+
=
x x x
xxx
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
EJERCICIO 14
1. 1. 1. 1. 1. x
y
x
y
x
y
y
x
xy2
2 3
2
2
3
3
2
3 2 6÷ = ⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 3
5
3
5
1 3
5
2
22 3
2
2 2 3 2 2
a b
xa b
a b
x a b b x÷ = ⋅ =
3. 3. 3. 3. 3. 5
7
10
14
5
7
14
10
2
3
4
4
2
3
4
4 2
m
n
m
an
m
n
an
m
an
m÷ = ⋅ =
4. 4. 4. 4. 4. 65
65
302 32
2 32
2a xa x
a xa x
x÷ = ⋅ =
5. 5. 5. 5. 5. 15
19
20
38
15
19
38
20
3
2
2
3
2
3 4
2
3
3 4
2
2 2
2
m
ax
y
a x
m
ax
a x
y
m a x
y÷ = ⋅ =
6. 6. 6. 6. 6. 11
722
11
7
1
22 14
2 3
24
2 3
2 4
2
2
x y
my
x y
m y
x
m y÷ = ⋅ =
7. 7. 7. 7. 7. ( )x x x
x−
÷−
=−
⋅−
=1
32 2
61
36
2 11
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )
( )36 9
53
3
3
35
35 3
2
2 2
3
2 2
2
2 3a
a ab ba
a b aba
a b
ab a ba
ba b+ +
÷+
=+
⋅+
=+
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )
( )( )
x xx x
x xx
x xx x
xx x
xx
3
2
2 2
2 65 52 6
12 3
2 35 1
15
−+
÷−+
=−+
⋅+−
=+
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )( )( )
( )
130
242
16 5
7 62
72 5
2 2a a a a
a aa a a
a
− −÷
+ −
=− +
⋅+ −
=++
11. 11. 11. 11. 11. ( )
( ) ( )20 3015 15
4 61
5 4 615 1
14 6
13
2
3 2 2
x xx x
xx
x xx x
xx x
−+
÷−+
=−+
⋅+−
=
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
a aa a
a aa a
a aa a
a aa a
a aa a
a aa
2
2
2
2
2
2
6 515 56
2 355 24
5 18 7
8 37 5
1 37 7
2 349
− +− +
÷+ −− −
=− −− −
⋅− ++ −
=− +− +
=+ −
−
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
8 26 1516 9
6 13 59 1
2 5 4 34 3 4 3
3 1 3 12 5 3 1
3 14 3
2
2
2
2x x
xx x
x
x xx x
x xx x
xx
+ +−
÷+ −
−
=+ ++ −
⋅+ −+ −
=+−
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )( )
( )( )
x xx
x xx
x xx x
xx x
xx
3
2
2
2
12149
117
1217 7
711
117
−−
÷−+
=−
+ −⋅
+−
=+−
15. 15. 15. 15. 15.
( )( ) ( ) ( )
axa
a x aa
axa a
aa ax a a
2
2
3 2 2
2
2 2 2
54 1
52 15
2 1 2 12 1
51
2 1
+−
÷+−
=+
+ −⋅
−+
=+
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )( )
( )( )( )
( )
aa a
a aa a
a aa a
a aa a
aa
4
3 2
4 2
3
2 2
2
2
2 2
1 4 33 9
1 11
3 33 1
3 1
−+
÷+ +
+
=+ −
+⋅
++ +
=−
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
xx
x x xx x
x x xx x
x xx x x
x xx x
x xx x
3
2
3 2
2
2
2
2
2
12564
5 2556
5 5 258 8
8 75 25
5 78
2 358
+−
÷− +
+ −
=+ − +
+ −⋅
+ −− +
=+ −
−=
− −−
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )
( )( )( )
16 24 916 12
64 2732 24 18
4 34 4 3
2 16 12 94 3 16 12 9
12
2 2 3 3
2 2
2 2 2
2 2
x xy yx y
x yx xy y
x yx y
x xy yx y x xy y
− +−
÷−
+ +
=−
−⋅
+ +− + +
=
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )
( )( )( )
a aa a
a aa a
a aa a
a aa a a
2
3 2
2
2 2
63
3 549
63
99 6
13
−+
÷+ −
+=
−+
⋅+
+ −=
+
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )
15 7 225
6 13 625 10 1
3 2 5 15 1 5 1
5 12 3 3 2
5 12 3
5 12 3
2
3
2
2
2
2
x xx x
x xx x
x xx x x
xx x
xx x
xx x
+ −−
÷+ ++ +
=+ −− +
⋅+
+ +=
++
=++
21. 21. 21. 21. 21.
( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
xx x
x xx
x x xx x
xx x
xx x
x x xx x x
3
2
2
3
2
2
3
2
22
2
12 2 2
7 7 77 7
1 12 1
7 17 1
12 1
1 11 1
21
2
−− +
÷+ +
+
=− + +
− +⋅
++ +
=−− +
⋅ + − + =− +
=−
22. 22. 22. 22. 22.
( )( )( ) ( )
2 23 3
8 4
23
14 2
112
mx my nx nyx y
m n
m n x yx y m n
− + −−
÷ +
=+ −
−⋅
+=
23. 23. 23. 23. 23.
( )( )( )
( )( )( )( )
x xx
x xx x
xx x
x xx x
xx
2
2
2
2
2
6 94 1
5 242 17 8
32 1 2 1
2 1 88 3
32 1
− +−
÷+ −+ +
=−
+ −⋅
+ ++ −
=−−
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( )
( )( )( )( )
2 7 154
3 404 32
5 2 34
8 48 5
2 3
2 2
3 2
2 2
2 2
2 2
a ab ba a b
a ab ba ab b
a b a ba a b
a b a ba b a b
a ba
+ −+
÷− −− −
=+ −
+⋅
− +− +
=−
EJERCICIO 15
1.1.1.1.1.1 1
2
12
12 2
2 2 22
++
÷ +
⇒ ++
=+ +
+=
++
⇒ + =+
⇒+
+÷
+=
++
⋅+
=+
aa b
ab
aa b
a b aa b
a ba b
ab
b ab
a ba b
b ab
a ba b
bb a
ba b
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )
xx
xx
x
xx
x xx
x xx
xx
xx x x
xx
xx x
xx
xx x
xxx
x xx
−+
÷ −
+
⇒ −+
=+ −+
=+ −
+
⇒ −+
=+ −+
=+
⇒+ −
+÷
+=
+ −+
⋅+
=+ −
21 1
21
1 21
21
111 1
21 1
21
1 2
2
2
2 2 2
2
2
2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
11
12
1
11
1 11
11
11
12
11 2
111
11
11
11
11
11
2
2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
− ++
÷ +
−
⇒ − ++
=− + +
+=
− ++
=+
⇒ +−
=− +
−=
+−
⇒+
÷+−
=+
⋅−+
=−+
aa
a a
aa
aa a a
aa a
a a
aa
aaa
aaa a
aa
aa
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
xx
xx
xx
x xx
x xx
x xx
xx
x xx
x xx
x xx
x xx
x xx
x xx
xx x
x x
x
++
÷ +
+
⇒ ++
=+ ++
=+ +
+=
+ ++
⇒ ++
=+ ++
=+ +
+=
+ ++
⇒+ +
+÷
+ ++
=+ +
+⋅
++ +
=+ +
+=
23
34
23
3 23
3 23
1 23
34
4 34
4 34
3 14
1 23
3 14
1 23
43 1
2 4
3
2
2
2x xx x
2
2
6 86 9
+ ++ +
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
( )
a bb
a bb
a b
a bb
a ba b a b b
a ba b b
a ba
a bb
a ba b b
a ba
a b
aa b
aa b
aa b
a ba
a a ba b
a aba b
+ +−
÷ −
+
⇒ + +−
=+ − +
−=
− +−
=−
⇒ −+
=+ −
+=
+
⇒−
÷+
=−
⋅+
=+
−=
+−
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
1
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
11
21
1
11
22 1
212
1 12
11
1 11
11
1 12
11
1 12
11
1 1
3
3
3
3
3
3
2
3
2
2
3
2
2
3 2 3
−+
÷ +
−
⇒ −+
=+ −
+=
++
=+ − +
+
⇒ +−
=− +−
=− +−
⇒+ − +
+÷
− +−
=+ − +
+⋅
−− +
=+ −
−
xx
x
xx
xxx
x x xx
xx
x xx
x xx
x x xx
x xx
x x xx
xx x
x xx 2
12
2
3=−+
xx
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )( )
xx x
xx
x xx
x xx
xx
xx
xxx
x xx x
xx
x xx x
xx
x xx x
x xx
++
÷ +
−
⇒ ++
=+ ++
=+ +
+=
++
⇒ +−
=− +
−=
−−
=+ −+ −
⇒++
÷+ −+ −
=++
⋅+ −+ −
=+ −
12
13
4
12
2 12
2 12
12
13
44 3
414
1 12 2
12
1 12 2
12
2 21 1
1 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
−=
− −−1
21
2x xx
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( ) ( )
nn
nn
nn
nn
nn n n
nn n n
nnn
nn
nn n n
nn n n
nn
nnn
nn
nn
nn
nn
−−+
÷ + −
−
⇒ −−+
=+ − −
+=
+ − ++
=++
⇒ + −−
=+ − −
=+ − +
=+
⇒++
÷+
=++
⋅+
=
2 12
11
2 12
2 2 12
2 2 12
12
11 1 1 1 1
12
1 12 1
22
2
2
2
3
2
3
2
22 3 3
3
2
3 3
2 3 2 + 2
EJERCICIO 16
1. 1. 1. 1. 1. 3
4
8
9 3
2
3
3 22
2
2
2
2
2
x
y
y
x
z
x
x
z
x
z⋅ ÷ = ⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 5 2 5
45 2
52
2 2
2 2ab
ab
xa
ab
abx
a bx
÷ ⋅
= ⋅ =
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
aa
aa
a aa a
aa
aa
a aa a
a aa a
a aa a
+−
⋅−+
÷+
+ −
=+−
⋅−+
⋅+ −
+
=+ −
+=
+ −+
11
3 32 2 2
11
3 12 1
2 11
3 2 12 1
3 3 62 2
2
2
2
2
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )
( )( )( )
64 8181
98 9
8 9
9
8 9 8 99 9
98 9
98 9
9 9 81
2 2
2
2 2
2
2 2
2
a bx
xa b
a ab
x
a b a bx x
xa b
xa a b
x xa
xa
−−
⋅−−
÷+
+
=+ −
+ −⋅
−−
⋅+
+
=− +
=−
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
x xx
x xx x
x xx
x xx x
x xx x
xx x x
2
2
2
2
21249
5620
5 245
4 37 7
8 75 4
58 3
17
− −−
⋅− −+ −
÷− −
+
=− ++ −
⋅− ++ −
⋅+
− +=
−
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
a aa a
aa
a aa a
a aa a
a aa a
a aa a
2
2
2
2
2
2
8 711 30
361
424 5
7 16 5
6 61 1
5 17 6
1
− +− +
⋅−−
÷− −− −
=− −− −
⋅+ −+ −
⋅− +− +
=
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )
x xx x
x xx x x
xx
x x x xx x
xx x x
xx x
xx
4
2
2
3 2
2 2 2
2
277 30
20 1003 9
1003
3 3 910 3
103 9
310 10
310
−+ −
⋅+ ++ +
÷−−
=− + +
+ −⋅
++ +
⋅−
+ −=
−−
8. 8. 8. 8. 8. ( )
( )( )( )
( )( )
( )( )( )( ) ( )
aa
a aa
xx
aa
a aa
xx
aa
a xa a x
xa x
xax a
2 3 2 2 2
2
13 6 6 12
4 83
13 2
16 2
4 23
13 2
3 2 32 1 2
32 2
32 4
+−
÷+−
⋅+
−
=
+−
÷+
−⋅
+−
=+−
⋅− −
+ +=
−+
=−+
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
8 10 36 13 6
4 93 2
8 14 39 12 4
2 3 4 12 3 3 2
2 3 2 33 2
3 22 3 4 1
2 32 3
4 12 92 3
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
x xx x
xx x
x xx x
x xx x
x xx x
xx x
xx x
x xx x
− −+ +
⋅−
+÷
+ ++ +
=− ++ +
⋅+ −
+⋅
++ +
=−
+=
− ++
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
( )a b c
a b c
a c ba ab ac
a b ca
a b c a b ca b c a b c
a b c a b ca a b c
aa b c
a a b ca b c
a ab aca b c
+ −
− −⋅
+ −+ −
÷+ +
=+ + + −− + − −
⋅+ + − +
+ −⋅
+ +=
+ +− −
=+ +− −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )a ab b
a ab
ax aab b
a ab b
b b b aa a a x
b bx
b bx
2
2
2
2 2 2
2 25 6 551
311
51
1 1 1111 5 3
13 3
−+
÷+ −
−⋅
++
=
−+
⋅+ − +
+ − +=
−+
=−+
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )
m m n mnm n mn n
m nm mn n
m nm mn n
m m nn m n m n
m n m nm n m n
m nm n m mn n
m m nn m mn n
m mnm n mn n
3 2 2
2 2 3
2 2
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 3
6 92 7 3
48 2
2716 8
33 2
2 22 4
43 3 9
43 9
43 9
+ ++ +
⋅−
− −÷
++ +
=+
+ +⋅
+ −− +
⋅+
+ − −=
+− +
=+
− +
13. 13. 13. 13. 13. ( )
( )( )
( ) ( )( )( )( ) ( )
( )( )
a axa x a a x
a a xa ax x
a xa ax
a axa x a a x
a a x a xa a ax a x a x
a axa a x
a a xa a x a
2 2
2 2 3 2
3 2
2 2
2 2
3 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
12
1 1
−+
⋅+
÷−
+ +⋅
−+
=−+
⋅+
⋅+ +
− + −=
−−
=−−
=
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( ) ( )( )
( )( )( )( ) ( )
( )( )( )( ) ( )( )
a aa
a
a a
a a
a a
a aa a
a a aa a
a aa a a a
a a a aa
a a a aa
a a
2 2
2
3
2
4 2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 23 2
39
27
3 3
9
3
33 3
3 9 33 9
33 3
3 33
3 33
3
−−
⋅−
+ −÷
−
+
=−
+ −⋅
− + ++ +
⋅+
− +=
− ++
=− +
+= −
EJERCICIO 137
1. 1. 1. 1. 1. ( )
( )( )a
ab
bb
ab ab
bb
a bb b
ab
−
−=
−
−=
−+ −
=+1 1
11 1 12
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x
x
x
xx
xx
x x xx
x x2
3
22
1
11
1
11 1
11
−
−=
−
− =− + +
−= + +
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )
ab
baba
a bab
a ba
a b a bb a b
a bb
−
+=
−
+ =+ −
+=
−
1
2 2
4. 4. 4. 4. 4.
1 1
1 1m n
m n
m n
mnn m
mn
m n
n m
+
−=
+
− =+−
5. 5. 5. 5. 5. ( )x
x
xx
x x
x xx
x
+
−=
+
− = =2
4
22
44
2 33
2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )
( )
xy
yxyx
x yxy
x yx
x y x yy x y
x yy
−
+=
−
+ =+ −
+=
−
1
2 2
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )( )
x x
xx
x xx
x xx
x xx x
xx
+ +
− −=
+ +
− −=
+ +− +
=+−
43
45
4 3
4 51 35 1
35
2
2
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )
( )a
a
a
a aa
aa
a aa
a− +
−=
− +
− =− −
−= −
44
12
4 4
22 2
22
2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )( )( )
( )
2
44
1
2
4 44
4 24 4
4 2
2
42
4 42
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
a ba
b
a baba b ab
aa b ab
abb a b ab
a b ab
b a b a b
a b
b a ba b
ab ba b
−−
++
=
− −
+ +
=− −
+ +
=− +
+
=−
+=
−+
10. 10. 10. 10. 10.
23
510
3
10 3
53 10
3
3
5
+
+=
+
+ =
a
b
ab
b a
ba b b
11. 11. 11. 11. 11.
( )
a xx
a x
aa
a xa x x
a xa a x a
a xa
a a x a x
− ++
−+
=
− ++
+ −+
=+ −
=+ −
2
22
2 2 2
3 2 2
2
2 11
1
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )( )( )
a a
a aa a
aa a
aa a a
a a
a aa
a aa
+ −
+ +
=
+ −
+ +
=+ −
+ +
=−
+=
−+
514
18 7
5 14
8 7
7 27 1
21
21
2
2
2
2
2
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )( )
( )
1 9 20
16
9 20
16
5 44 4
54
54
54
2 3
2
3
2
2
2 3 2 3 2
a a a
a a
a aa
aa
a aa a a
aa a
aa a
aa a
− +
−
=
− +
−
=− −+ −
= −−
+= −
−+
=−+
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )
( )( )( )( )
20 7 6
425
4 3 5 2
4 25
4 3 5 22 5 2 5
4 35 2
2
2
2
2
2
x xx
x
x xx
xx
x x xx x
x xx
+ −
−
=
+ −
−
=+ −
+ −
= −++
15. 15. 15. 15. 15.
( )
11
1
11
11 1
11 1
1
1 1
2
2
2
2
+−
+−
=
− +−
− +−
=+
=+
x
xx
xx
x
x xx
xx
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
aab
a b
aab
a b
a ab aba b
a ab aba b
a a ba a b
a ba b
−+
+−
=
+ −+
− +−
=−+
=−+
2
2
2
2
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )( )( )
xx
xx
x xx
x xx
x xx x
xx
− −+
+ −+
=
+ −+
+ −+
=+ −
+ −=
++
15
3
535
3
2 83
8 203
4 210 2
410
2
2
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )
aaa
aaa
a a aa
a a aa
a a aa a a
a a aa a a
aa a
a aa a
+ −++
− +−+
=
+ + − −+
− − + −+
=+ − −
+ + −
=+ − ++ + −
=+
+ +=
+ ++ +
27 9
3
45 11
1
5 6 7 93
3 4 5 111
1 2 33 2 15
1 3 13 5 3
13 5
2 18 15
2
2
2
2
2 2
2
EJERCICIO 18
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )
111
11
11
1 11
1 11
2 12
2
2
++−
−−
+
=
− + +−
+ − −−
=+
= +
xx
x xx x
xx x
x
x xx x
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
11
21
2 2 61
1 2 11
2 2 61
3 11 3 5 2
3 11 3 1 2 2
2
2
2
2
x xx
xxx
x xx
x x x xx x
x xx x x
x xx x x
xx x
−+
+−
+++
=
+ + −−
− − + ++
=−
− + −
=−
− − +=
+ −
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
aa b
ba b
a ba b
ab
a a b b a ba b a b
b a b a a bb a b
a ab ab ba b
ab b a abb
a ba b
a bb
ba b
−−
++−
+
=
+ − −− +
+ + −−
=
+ − ++
+ + −=
+++
=+
2 2
2 2
2 2
2 2
4. 4. 4. 4. 4.
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )
xx
xx
xx
xx
x x x xx x
x x x xx x
x x x xx x x x
x x x
++
−++
−+
−−+
=
+ + − + ++ +
− + − − ++ +
=+ + − − −+ − − + +
=+
=+
=+
34
12
12
34
3 2 1 44 2
1 4 3 22 4
5 6 5 43 4 6
24 2
22 2 1
12 1
2 2
2 2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )( )
( )
( )( )
mn
m nm n
m nn
nm
m m n n m nn m n
m m n nnm
m m n m n nm n
m mn nm
m nm n
m mn nm
m n m mn nm n
m mn nm
m mn nm
m mn nm
2 2 2
2 2 2
2
3 2 2 3
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 22 2
+−+
−+
=
+ − −+
− +
=
+ − ++
− +
=
++
− +
=
+ − ++
− +
= − + ⋅− +
=
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
ab a
ab
b aa b
a bab
a a b b b ab a b
a b a ab bab
a ab b abb a b
a b a ab bab
a ba b
a b a ab bab
a ba b a b
a ab bab
2
3
3 3
3
2 2
3
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
1+
−−−
=
+
− − −−
=
+ − +
− − +−
=
+ − +
−−
=+ − +
⋅−
+ −
=− +
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
12
1
22 21
1 21
2 1 2 21 1
2 12 2 2 2
1
12 1
1 1
1 1 12 1
1 12
2 1 122 2 1
21
2
5
4
2
2
4 5
2 2
2
5 5
2
2
2
2
2
2 3 2
2
++
++
−
=
+ ++
− + ++ −
=+ +
− + +−
=+
++ −
=+ ⋅ + −
+
=+ −
=+ + −
=− + − + −
=+ −
xx
xx
xx x
xx x x
x x
x xx x x
x
xx
x x
x x xx
x x
x x x
x x x x x
x x − x3
2
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( )
x yx y
x yx y
x yx
x yx y
x y x yx y x y
x y x x yx x y
x xy y x xy yx y
x xy y x xyx
xyx yyxxy
x yxy
xy x y
xxy y
+−
−−+
+−
++
=
+ − −− +
+ − ++
=
+ + − + −−
+ + − −
=−
=−
⋅ =−
=−
2
2
2 2
2 2
4
4 4 4
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )
a xa x
b xb x
a x b x
a x b x b x a xa x b x
b x a xa x b x
ab ax bx x ab bx ax xb x a x
bx axb a
x b ab a
x
+−
−+−
−−
−
=
+ − − + −− −
− − −− −
=− + − − + − +
− − +
=−−
=−
−=
2 2
2 2
2 2 2 2
2 22 2
22
2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( ) ( )( )( )
aa x
aa x
aa x
aa x
a aa x
a a x a a xa x a x
a
a ax a axa x
a
aa x
a a xa
a xa
+−
+
−+
+
=
−+
+ + −− +
=+ + −
−
=
−
= ⋅−
=−
2 22
2
2
22 2 2 4
2 2
2 2
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )( )
( )( )( )
a ba b
ba
a ba
ba b
a a b b a ba a b
a b a b aba a b
a ab ab ba b ab
a ab ba ab b
+−
+
++
−
=
+ + −−
+ − +−
=+ + −
− +
=+ −+ −
=
2
3
2
3
23
33
1
2 2
2 2
2 2
2 2
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )
( )( )( )( )
( )( )
( )
17 12
16
7 12
16
4 3
4 4
4 3 14 4
34
34
2
2
2
2
2
− +
−
=
− +
−
=
− −
− +
=− −
⋅− +
=−+
=−+
x x
xx
x xx
xx
x xx
x x
x xx x x
xx x
xx x
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )
ab
ba
b aba
a bab
a ab ba b
a ba ab b
a
a b a ab ba
a ab b
a a b a ab
2 2
2
3 3
2 2
2
3 3
2 2
2 22 2
2
1 1
−
+ +
=
−
+ +
=−
+ +
= − + + ⋅+ +
= − = −
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
x yy
x y
x yy
x y
x y x y yx y
x y x y yx y
x xy yx xy y
x y x yx y x y
x yx y
− −+
− −+
=
− + −+
− + −+
=− −− −
=− +− +
=−−
24
35
2 4
3 5
62 8
3 24 2
34
2
2
2
2
2 2
2 2
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
21
21
21
21
2 1 2 11 1
2 1 2 11 1
2 2 2 22 2 2 2
44
1
−+
+
+−
−
=
+ + −− +
− − ++ −
=+ + −− − −
= − = −
a a
a a
a aa a
a aa a
a aa a a a
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
( )( )
1 1
1 1
22
1
x y z x y z
x y z x y zx y z x y zx y z x y zx y z x y zx y z x y z
yy
+ +−
− +
− +−
+ +
=
− + − − −+ + − ++ + − + −− + + +
=−
= −
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
17. 17. 17. 17. 17. 1
2
12
2
2
+ +− −
− −− +
=
− − + +− −
− + − +− +
=
+− −
+− +
=+
− −⋅
− ++
=− +− −
b c
a b cc b
a b c
a b c b c
a b ca b c c b
a b c
a b
a b ca b
a b c
a b
a b c
a b c
a b
a b c
a b c
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )
( )( )
aa
aa
aa
aa
a aa a
a aa a
a a aa a a
a aa
11
11
11
11
1 21 2
2 2 11 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
−+
−
−−
−
=
+ −−
− −−
=+ − +
− + −=
− +−
19. 19. 19. 19. 19.
( )
( )
xxx
x
xxx
x
xx
xx
xx
xx
xxxx
+ −++
−
− +−−
+
=
+ −+
+−
− +−
−+
=
−−++
=
16 12
25
411 22
27
16 2
25
411 2
27
5577
1
20. 20. 20. 20. 20.
1
11
11
11 1+
= + = ⋅+
=+
x
x
x
x
x
x
x
21. 21. 21. 21. 21. 1
11
11
1
11
1
1
11
11
1
12 1
1
11
2 1
1
2 1
+−
=+ −
=+
−
= − +−
= −−
= ⋅−−
=−−
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
22. 22. 22. 22. 22. 11
21
31
11
21
3
3
11
23
3
11
2 3
3
13
2 3
2 3 3
2 3 2 3
−+
−
= −+ −
= −+
−
= − −−
= −−−
= − − +−
=−
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
23. 23. 23. 23. 23. 2
12
12
2
12
2
2
12
2
22 2
2
23 2
2
22
3 2
2 4
3 2
++
=+ +
=+
+
= + ++
= ++
= ⋅ ++
= ++
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
24. 24. 24. 24. 24. 1
1
1
1
1
1
1
1 11
2
2 2
2
2 2
xx
xx
x
xx
x x x
x
xxx
x
xx x
x
x x x
x
x
x
−−
+
=−
+ −+
=−
+
=− +
=− −
= − = −
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )( )
( )( )
1
211
1
211
1
21
1 1
1
21
12 1
1
121
112
12
2
2 2 2
aa
a a
aaa
a
aa a
a aa
aa
a a aa
a a aa
aa
aa
+ −+
−
=+ −
+−
=+ −
++ −
=+ −
−
=+ − −
−
=+ − −
−
= ⋅−−
=−−
26. 26. 26. 26. 26. ( )( )x
xx
xxx
x
xx
x x xx
x
xxxx
x
xx x
x
xx x
x−
+ −+
−−+
=−
+ −+
+ − ++
=−
+ −+++
=−
+ −+ +
+
=−
+ − −= −
1
2221
1
22
21
1
2221
1
22 1
2
12 1
12 2
2
2
2
2
2
P
rohib
ida su
Ven
ta
Mat
erial
de
Apoyo
exc
lusivo
p
ara
uso
didác
tico
NBP ASESORIAS ACADÉMICAS
N.B.P Asesorías Académicas es un Centro de Asesoramiento cuyo objetivo
principal es la formación académica integral de nuestros estudiantes, por medio de
una serie de técnicas y métodos de aprendizaje que permiten al alumno resolver
cualquier problema de una forma rápida y eficaz, te enseñamos a resolver
cualquier problema aplicando el método lógico.
El Profesor Nelson Baptista se caracteriza por trabajar con grupos no mayores a
12 estudiantes, garantizando de esta manera una atención muchísimo más
personalizada, permitiendo un mejor aprendizaje y atención del alumno. El Profe
Nelson es uno de los pioneros de las Tecnologías de información y comunicación
aplicadas a los cursos de nivelación-admisión de las distintas universidades del
país, es el único actualmente en Venezuela que incorpora videos cursos de
preparación a distancia de matemática, física y química a los cursos de admisión.
El aval de nuestra actividad está fundamentado en el prestigio logrado durante
más de 15 años, brindando responsabilidad seriedad y calidad profesional.
¿Qué Ofrecemos?
Personal Altamente Calificado.
Teoría y Resolución de puro problema tipo examen.
Atención personalizada, grupos de trabajos de 12 estudiantes.
Evaluación Continua.
Horas de Consulta.
Te Preparamos Para:
Examen de Admisión-Nivelación-Propedéutico
ULA-UNET-UCV-USB…
El profe Nelson te prepara para los exámenes de admisión ULA-UNET-UCV-UC
Curso de Preparación Para la prueba Psicológica
Curso de Preparación Para la PINA(Prueba de Conocimientos Generales)
Curso de Nivelación para el Propedéutico de la UNET y mucho más…
Para una información más detallada de nuestros cursos, te invito a
que visites nuestro blog en cualquiera de estos links (haz click
sobre ellos):
Curso de Nivelación Académica PINA(Medicina, educación,…,etc.) ULA Curso de Nivelación Académica para Ingeniería,TSU(UNET,ULA,UCV,…) Prueba Psicológica Medicina ULA Contenido del DVD Multimedia PINA Contenido del DVD Multimedia Prueba Psicológica
Puedes contactarnos por los siguientes medios:
1. Correo electrónico: examen.ula@gmail.com
2. Facebook
3. Vía Telefónica:
(0416)1795862 ; (0276)3419570
top related