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Integración IV
Sistemas de ecuaciones de granDimensión y poco densos
Particionado, Rasgado y Ordenamiento
2020Profesor: Dr. Nicolás J. ScennaJTP: Dr. Néstor H. RodríguezAuv. 1ra: Dr. Juan I. Manassaldi
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
( )
( )
( )
1 1 2 3 4
2 3 4 5
3 5 6 1
, , , 0
, , 0
, , 0
f v v v v
f v v v
f v v v
=
=
=
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
( )
( )
( )
1 1 2 3 4
2 3 4 5
3 5 6 1
, , , 0
, , 0
, , 0
f v v v v
f v v v
f v v v
=
=
=
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
El sistema puede ser representado según el siguiente esquema:
Grafo bipartito
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
fi
vj
Funciones
Variables
Existe relación entre fi y vj
( )
( )
( )
1 1 2 3 4
2 3 4 5
3 5 6 1
, , , 0
, , 0
, , 0
f v v v v
f v v v
f v v v
=
=
=
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
Dado que existen:
• 6 variables
• 3 ecuaciones
Se deben especificar 3 variables para lograr un sistema compatible (3x3).
Existen varias opciones para asignar las variables.
Por ejemplo, sea el conjunto especificado:
v4, v5 y v6
3 grados de libertad
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
Especificamos las variables seleccionadas y las apartamos del sistema
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
El siguiente grafo bipartito representa al sistema de ecuaciones con los grados de libertad especificados.
Variable de salida de una ecuación
• Se define como variable de salida de una ecuación a una variable asignada a la misma.
• Se supone que puede calcularse a partir de conocer el valor de las demás variables contenidas en dicha ecuación.
• Se prescinde del hecho que pueda explicitarse, o deba procederse en forma iterativa
• Continuando con el ejemplo anterior, asignamos la variable v1 a la función f3.
( )3 5 6 1 1, , 0f v v v v= → Podemos calcular v1 una vez conocidas v5 y v6
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
v4 v5 v6
f3 v1 f2 v3 f1 v2
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1
f3 v1
f2
v2
v3
v4
v5
v6
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1
f3
v1
f2
v2
v3
v4
v5
v6
v5 v4
¡No cíclica!
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
Sea el nuevo conjunto de variables especificadas:
v3, v4 y v6
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
v3 v4 v6
f1 v2 f2 v5 f3 v1
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1
f3
v1
f2
v2v3
v4 v5
v6
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1f3
v1f2
v2v5
v4
v3
v6 v4
v3
¡No cíclica!
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
Sea el nuevo conjunto de variables especificadas:
v1, v2 y v6
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
f3 v5 f2 v4 f1 v3
v1 v2 v6
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1
f3
v1
f2
v2 v3
v4
v5
v6
Especificaciones de Variables y Grados de Libertad de un Sistema de Ecuaciones
f1f2
v4f3
v3
v5
v1
v6
v6
v2
v1
Resulta en una secuencia cíclica de resolución:• Deberá resolverse simultáneamente f1 y f2, o• Suponerse un valor para v4 o v3 e iterar
secuencialmente hasta lograr la convergencia.
Conclusión
La elección de un conjunto de variables a serespecificadas no es neutra, sino que según como se larealice, el sistema resultante podrá o no ser resueltosecuencialmente.
Existe un grado de dificultad inherente que dependeestrictamente del modo en que se han realizado lasasignaciones.
En sistemas de elevada dimensión es muy difícil deducircómo especificar dicho conjunto, de manera tal deminimizar el esfuerzo para resolver luego el sistema, porlo que se han propuesto numerosos algoritmos pararealizar dicha tarea.
Conclusión
En general, un sistema de ecuaciones tiene la forma:
Los grados de libertad del sistema se definen como ladiferencia entre el número de variables menos el deecuaciones:
Gl = (n – m)
Se puede fácilmente demostrar que el número deposible combinaciones (NA) para asignar los Gl gradosde libertad responde a la siguiente expresión:
( ) ( )1 20 , , , 1,2, ,i nf x f x x x i m= → =
nGl
n n!NA = = = C
Gl m! Gl!
Algoritmos para la selección de variables a especificar
Algoritmo de Lee, Christensen y Rudd.
Algoritmo para la selección de variables de tal forma de encontrar una secuencia acíclica de resolución (si es que existe).
Se utiliza el grafo bipartito que se construye definiendo:
• nodos f (funciones).
• nodos v (variables).
• arcos dirigidos (conectan las funciones con las variables relacionadas).
Algoritmo de Lee, Christensen y Rudd
Se define como grado local (j) al número de arcos ligados a cada nodo.
El método se basa, en las siguientes consideraciones:
• Cada ecuación contiene exactamente una variable de salida.
• Cada variable aparece como elemento de salida en solamente una ecuación.
Las ecuaciones de grado uno, fi(xj) = 0, no agregan información, ya que si existe una solución real y única será xj = c. Esto representa a una variable determinada por lo que se eliminan del tratamiento.
Algoritmo de Lee, Christensen y Rudd (aplicación)
f1 f3
v1
f2
v2 v3 v4 v5 v6
( )
( ) ( )2 1 2
¿ 1?
¿ 1? : 1
i
j
f NO
v SI v f v
j
j j
=
= = →
Algoritmo de Lee, Christensen y Rudd (aplicación)
f3
v1
f2
v3 v4 v5 v6
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 2
1 3 1
¿ 1?
¿ 1? : 1
¿ 1? : 1
i
j
j
f NO
v SI v f v
v SI v f v
j
j j
j j
=
= = →
= = →
Algoritmo de Lee, Christensen y Rudd (aplicación)
f2
v3 v4 v5 v6
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 2
1 3 1
3 2 3
¿ 1?
¿ 1? : 1
¿ 1? : 1
¿ 1? : 1
i
j
j
j
f NO
v SI v f v
v SI v f v
v SI v f v
j
j j
j j
j j
=
= = →
= = →
= = →
Algoritmo de Lee, Christensen y Rudd (aplicación)
v4 v5 v6
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1 2
1 3 1
3 2 3
4 5 6
¿ 1?
¿ 1? : 1
¿ 1? : 1
¿ 1? : 1
¿ 1?
¿ 0? : , ,
¿ ? ¡Acíclico!
i
j
j
j
j
j
i
f NO
v SI v f v
v SI v f v
v SI v f v
v NO
v SI v v v
f NO
j
j j
j j
j j
j
j
=
= = →
= = →
= = →
=
=
→
Algoritmo de Lee, Christensen y Rudd (aplicación)
f1
f3
v1
f2
v2
v3
v4
v5
v6
v5 v4
Modelo de un mezclador
1 1 1F T P
2 2 2F T P
3 3 3F T P
4 4 4F T P
• Sistema adiabático y estacionario.
• Cañerías de igual sección y altura equivalente.
• Pérdidas de carga despreciables.
• Densidad de los fluidos constante. Fluido puro.
• Trabajo de las fuerzas de presión despreciable. Las presiones de las corrientes de entrada y salida son iguales.
Modelo de un mezclador
1 2 3 4 0F F F F+ + − =
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
F T P H
F T P H
F T P H
F T P H
1 1 1F T P
2 2 2F T P
3 3 3F T P
4 4 4F T P
1 1 2 2 3 3 4 4 0F H F H F H F H+ + − =
( )1 1 1,H f T P=
( )2 2 2,H f T P=
( )3 3 3,H f T P=
( )4 4 4,H f T P=
Adaptamos el modelo presentado anteriormente a un compuesto puro
Modelo de un mezclador
1 2 3 4 0F F F F+ + − =
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
F T P H
F T H
F T H
F T H
1 1F T P
2 2F T P
3 3F T P
4 4F T P
1 1 2 2 3 3 4 4 0F H F H F H F H+ + − =
( )1 1,H f T P=
( )2 2 ,H f T P=
( )3 3 ,H f T P=
( )4 4 ,H f T P=
Modelo de un mezclador
( )1 1 2 3 4, , ,f F F F F
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
F T P H
F T H
F T H
F T H
( )2 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,f F H F H F H F H
( )3 1 1, ,f H T P
( )4 2 2, ,f H T P
( )5 3 3, ,f H T P
( )6 4 4, ,f H T P
1 1F T P
2 2F T P
3 3F T P
4 4F T P
Modelo de un mezclador
f1
F1 T1 H1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f2 f3 f4 f5 f6
Modelo de un mezclador
f1
F1 T1 H1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f2 f3 f4 f5 f6
Modelo de un mezclador
f1
F1 H1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f2 f4 f5 f6
Modelo de un mezclador
f1
F1 H1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f2 f4 f5 f6
Modelo de un mezclador
f1
F1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f4 f5 f6
Modelo de un mezclador
f1
F1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f4 f5 f6
Modelo de un mezclador
F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f4 f5 f6
Modelo de un mezclador sin cambio de fase
F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f4 f5 f6
Modelo de un mezclador
F2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f5 f6
Modelo de un mezclador
F2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f5 f6
Modelo de un mezclador
F2 H2 F3 H3 F4 T4 H4 P
f6
Modelo de un mezclador
F2 H2 F3 H3 F4 T4 H4 P
f6
Modelo de un mezclador
F2 H2 F3 H3 F4 H4 P
Modelo de un mezclador
f1
F1 T1 H1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f2 f3 f4 f5 f6
Modelo de un mezclador
f1
F1
F2
F3
F4
f2
H1
F2;H2
F3;H3
F4;H4
f3
P
T1
f4
H2
P
T2f5
P
T3
H3
f6
P
T4
H4
Modelo de un mezclador
1 2 3 4 0F F F F+ + − =
2 2
3 3
4 4
1 1 1
2
3
4
F
T
P
F H
F
T
H
H
T
TF H
1 1F T P
22F T P
33F T P
44F T P
1 1 2 2 3 3 4 4 0F H F H F H F H+ + − =
( )1 1,H f T P=
( )2 2 ,H f T P=
( )3 3 ,H f T P=
( )4 4 ,H f T P=
Modelo de un mezclador
Al no incluir ninguna información adicional, respecto a la conveniencia de especificar o no determinadas variables, el conjunto de variables a especificar obtenido fue (F2, F3, F4, H2, H3, H4 y P)
La secuencia (F1, F2, F3, T1, T2, T3 y P) impuesta por el criterio directo (modular secuencial), no siempre resultará en una secuencia acíclica y por lo tanto, no siempre será la más conveniente. Sin embargo, físicamente es atractiva ya que representa naturalmente el flujo de la planta real.
Modelo de un mezclador (MS)
f1
F1 T1 H1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f2 f3 f4 f5 f6
Modelo de un mezclador (MS)
f1
F1 T1 H1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
f2 f3 f4 f5 f6
Modelo de un mezclador (MS)
F1 T1 H1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 T4 H4 P
f2 f3 f4 f5 f6
Modelo de un mezclador (MS)
F1 T1 H1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 T4 H4 P
f2 f3 f4 f5 f6
Modelo de un mezclador (MS)
F1 T1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 T4 H4 P
f2 f4 f5 f6
Modelo de un mezclador (MS)
F1 T1 F2 T2 F3 T3 H3 T4 H4 P
f2 f5 f6
Modelo de un mezclador (MS)
F1 T1 F2 T2 F3 T3 T4 H4 P
f2 f6
Modelo de un mezclador (MS)
F1 T1 F2 T2 F3 T3 T4 P
f6
Modelo de un mezclador (MS)
f1 f2 f3 f4 f5 f6
F1 T1 H1 F2 T2 H2 F3 T3 H3 F4 T4 H4 P
Modelo de un mezclador (MS)
f1
f2
f3
f4
f5
f6
F1
T1
H1
F2
T2
H2
F3
T3
H3
F4
T4
H4
P
Modelo de un mezclador (MS)
f1
F4
F1
F2
F3
f2
H4 f6
P
T4
f3
T1
PH1
f4PH2
T2
f5PH3
T3
Algoritmo de Lee, Christensen y Rudd (aplicación)
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 3
2 1 2 4 6
3 3 4 5 6
4 3 4 5 6 7 8
5 6 7 8
, , 0
, , , 0
, , , 0
, , , , , 0
, , 0
f v v v
f v v v v
f v v v v
f v v v v v v
f v v v
=
=
=
=
=
f1 f2 f3 f4 f5
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
Algoritmo de Lee, Christensen y Rudd (aplicación)
f1 f2 f3 f4 f5
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
( )
( )
¿ 1?
¿ 1?
i
j
f NO
v NO
j
j
=
=
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
Para el caso en que se detecten ciclos, el subgrafo tiene todos los grados locales mayores o iguales que dos.
Se propone cortar (rasgar) el grafo de tal forma que el número de variables iteradoras sea mínimo. Estas variables son aquellas que deben ser inicializadas para generar una secuencia iterativa a los efectos de resolver el sistema de ecuaciones correspondiente.
El número mínimo cmin de variables de corte se relaciona con el grado local de la siguiente forma:
( )( )min min 1jj
c vj= −
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f1 f2 f3 f4 f5
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
( ) ( )
( )( ) min
¿ 1?; ¿ 1? NO, Sistema Cíclico
min 2 2 1 1
i j
jj
f v
v c
j j
j
= =
= → = − = Un corte
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f1 f2 f3 f4 f5
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
1 1Se asigna (corriente iteradora)f v→
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f2 f3 f4 f5
v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
1 1f v→
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f2 f3 f4 f5
v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
1 1
2 2
f v
f v
→
→
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f3 f4 f5
v3 v4 v5 v6 v7 v8
( ) ( )
( )( ) min
¿ 1?; ¿ 1? NO, Sistema Cíclico
min 2 2 1 1
i j
jj
f v
v c
j j
j
= =
= → = − = Otro corte
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f3 f4 f5
v3 v4 v5 v6 v7 v8
1 1
2 2
3 3
f v
f v
f v
→
→
→
3 3 (otra corriente iteradora)f v→
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f4 f5
v4 v5 v6 v7 v8
1 1
2 2
3 3
4 4
f v
f v
f v
f v
→
→
→
→
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f5
v5 v6 v7 v8
1 1
2 2
3 3
4 4
5 6
f v
f v
f v
f v
f v
→
→
→
→
→
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
v5 v7 v8
1 1
2 2
3 3
4 4
5 6
f v
f v
f v
f v
f v
→
→
→
→
→
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f1 f2 f3 f4 f5
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f1
f2
f3
f4
f5v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7 v8
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f1
f2
f3
f4
f5
v7
v8
v7
v8
v5
v5
v1
v3
v3
v2
v6
v4
v6
v6
v4
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f1
f2
f3
f4
f5
v7
v8
v7
v8
v5
v5
v1
v3
v2
v6
v4
v6
v6
v4
//v1
*
//
v3
v3*
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f1
f2
f3
f4
f5
v7
v8
v7
v8
v5
v5
v1
v3
v2
v6
v4
v6
v6
v4
v1*
v3
v3*
Variante de LC&R para sistemas cíclicos
f1
f2
f3
f4
f5
v7
v8
v7
v8
v5
v5
v1
v3
v2
v6
v4
v6
v6
v4
v1*
v3
v3*
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f1 f2 f3 f4 f5
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f1 f2 f3 f4 f5
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8v1*
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f1 f2 f3 f4 f5
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8v1*
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f1 f2 f3 f4 f5
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8v1*
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f2 f3 f4 f5
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f3 f4 f5
v1 v3 v4 v5 v6 v7 v8
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f3 f4 f5
v1 v3 v4 v5 v6 v7 v8v3*
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f3 f4 f5
v1 v3 v4 v5 v6 v7 v8v3*
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f3 f4 f5
v1 v3 v4 v5 v6 v7 v8v3*
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f4 f5
v1 v3 v4 v5 v6 v7 v8
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f5
v1 v3 v5 v6 v7 v8
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
v1 v3 v5 v7 v8
Variante de LC&R para sistemas cíclicos (Nodo *)
f1
f2
f3
f4
f5
v7
v8
v7
v8
v5
v5
v1
v3
v2
v6
v4
v6
v6
v4
v1*
v3
v3*
Modelo de una Válvula
1 1, 2 2, 0i im x m x i− =
1, 1i
i
x =
2, 1i
i
x =
( )1 1 1 1, ,H f T P x=
( )2 2 2 2, ,H f T P x=
1 2H H=1 1, 1 1 1
2 2, 2 2 2
i
i
m x T P H
m x T P H
5 + i ecuaciones
8 + 2i variables
3 + i Grados de libertad
V
1 2
Modelo de una Válvula (mezcla binaria)
1 1, 2 2, 0a am x m x− =
1, 1, 1a bx x+ =
2, 2, 1b bx x+ =
( )1 1 1 1, 1,, , ,a bH f T P x x=
( )2 2 2 2, 2,, , ,a bH f T P x x=
1 2H H=
1 1, 1, 1 1 1
2 2, 2, 2 2 2
a b
a b
m x x T P H
m x x T P H
V
1 2
1 1, 2 2, 0b bm x m x− =
Modelo de una Válvula (mezcla binaria)
1 1, 2 2, 0a am x m x− =
1, 1, 1 0a bx x+ − =
2, 2, 1 0a bx x+ − =
( )1 1 1 1, 1,, , , 0a bH f T P x x− =
( )2 2 2 2, 2,, , , 0a bH f T P x x− =
1 2 0H H− =
1 1, 1, 1 1 1
2 2, 2, 2 2 2
a b
a b
m x x T P H
m x x T P H
V
1 2
1 1, 2 2, 0b bm x m x− =
Modelo de una Válvula (mezcla binaria)
1
1,
1,
1
1
1
2
2,
2,
2
2
2
a
b
a
b
m
x
x
T
P
Hx
m
x
x
T
P
H
=
( )
( )
( )
1 1, 2 2,
1 1, 2 2,
1, 1,
2, 2,
1 2
1 1 1 1, 1,
2 2 2 2, 2,
1
1
, , ,
, , ,
a a
b b
a b
a b
a b
a b
m x m x
m x m x
x x
f x x x
H H
H f T P x x
H f T P x x
− −
+ −
= + − −
− −
Modelo de una Válvula (mezcla binaria)
1
1,
1,
1
1
1
2
2,
2,
2
2
2
a
b
a
b
m
x
x
T
P
Hx
m
x
x
T
P
H
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1, 2 2,
2 1 1, 2 2,
3 1, 1,
4 2, 2,
5 1 2
6 1 1 1 1, 1,
7 2 2 2 2, 2,
, , ,
, , ,
,
,
,
, , , ,
, , , ,
a a
b b
a b
a b
a b
a b
f m x m x
f m x m x
f x x
f x f x x
f H H
f H T P x x
f H T P x x
=
Modelo de una Válvula (mezcla binaria)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
m2 H2H1 P2x2,bm1 x1,a x1,b T1 P1 x2,a T2
Modelo de una Válvula (mezcla binaria)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
m2 H2H1 P2x2,bx2,a T2m1 x1,a x1,b T1 P1
Modelo de una Válvula (mezcla binaria)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
m2 H2H1 P2x2,bx2,a T2m1 x1,a x1,b T1 P1
¿?
¡Pierdo una ecuación!
Modelo de una Válvula (mezcla binaria)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
m2 H2H1 P2x2,bm1 x1,a x1,b T1 P1 x2,a T2
Modelo de una Válvula (mezcla binaria)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
m2 H2H1 P2x2,bm1 x1,a x1,b T1 P1 x2,a T2
f3 x1,b
Modelo de una Válvula (mezcla binaria)
f1 f2 f4 f5 f6 f7
m2 H2H1 P2x2,bm1 x1,a T1 P1 x2,a T2
f3 x1,b
¿?
¡Pierdo una ecuación!
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
m2 H2H1 P2x2,bm1 x1,a x1,b T1 P1 x2,a T2
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
m2 H2H1 P2x2,bm1 x1,a x1,b T1 P1 x2,a T2
3 1,bf x→
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f1 f2 f4 f5 f6 f7
m2 H2H1 P2x2,bm1 x1,a T1 P1 x2,a T2
3 1,
6 1
bf x
f H
→
→
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f1 f2 f4 f5 f7
m2 H2P2x2,bm1 x1,a T1 P1 x2,a T2
3 1,
6 1
bf x
f H
→
→
5 2f H→
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f1 f2 f4 f7
m2 P2x2,bm1 x1,a T1 P1 x2,a T2
3 1,
6 1
bf x
f H
→
→
5 2
7 2
f H
f T
→
→
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f1 f2 f4
m2 P2x2,bm1 x1,a T1 P1 x2,a
3 1,
6 1
bf x
f H
→
→
5 2
7 2
f H
f T
→
→
¿?¡Balance de masa!
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f1 f2 f4
m2 P2x2,bm1 x1,a T1 P1 x2,a
3 1,
6 1
bf x
f H
→
→
5 2
7 2
f H
f T
→
→
1 2f m→
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f2 f4
P2x2,bm1 x1,a T1 P1 x2,a
3 1,
6 1
bf x
f H
→
→
5 2
7 2
f H
f T
→
→1 2
2 2,b
f m
f x
→
→
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f4
P2m1 x1,a T1 P1 x2,a
3 1,
6 1
bf x
f H
→
→
5 2
7 2
f H
f T
→
→1 2
2 2,b
f m
f x
→
→
4 2,af x→
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
m2 H2H1 P2x2,bm1 x1,a x1,b T1 P1 x2,a T2
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f1
f2f3
f4
f5f6
f7m2
H2H1
P2
x2,b
m1
x1,a
x1,bT1
P1
x2,a
T2
Modelo de una Válvula (MS – Algoritmo LC&R)
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
m2
H2
H1
P2x2,b
m1
x1,a
x1,b
T1
P1
x2,aT2
m1
x1,a
x1,a
x1,b
x2,b
x2,a
Modelo de una Válvula (Rasgado)
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
m2
H2
H1
P2x2,b
m1
x1,a
x1,b
T1
P1
x2,aT2
m1
x1,a
x1,a
x1,b
x2,b
x2,a
m2*
Integración IV
SISTEMAS COMPATIBLES (N x N)
Algoritmo de Steward para la determinación del
conjunto de salida
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
Se plantea la representación del sistema mediante la llamada matriz de ocurrencia o incidencia, que por definición es un arreglo de:
• N filas (cada fila representa una ecuación).
• N columnas (cada columna representa una incógnita).
Cada elemento en la matriz puede tomar los valores:
• Uno (1), si es que para el elemento ai,j existe una vinculación entre la función i y la variable j.
• Cero (0) caso contrario.
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 1 2
3 1 2 3
4 1 2 3 4
5 1 2 3 4 5
0
, 0
, , 0
, , , 0
, , , , 0
f x
f x x
f x x x
f x x x x
f x x x x x
=
=
=
=
=
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
1 1 1 1 1
x x x x x
f
f
f
f
f
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
Habíamos definido como variable de salida de una ecuación a una variable asignada a la misma, tal que se supone puede calcularse a partir de conocerse el valor de las demás variables contenidas en dicha ecuación.
Si se toma el listado de pares (xi, fi), correspondientes a cada asignación realizada, se tiene el conjunto de salida.
Debe respetarse para esta definición, los siguiente principios:
• Cada ecuación debe tener asignada una y sólo una variable de salida.
• Cada variable es variable de salida de una y sólo una ecuación.
Toda asignación de un conjunto de salida define un orden o secuencia en la cual el sistema de ecuaciones es resuelto.
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
En el año 1962 Steward propuso un método para determinar un posible conjunto de salida, utilizando la matriz de incidencia.
La idea básica del método es:
1. Tomar la fila (columna) con menor número de incidencia y de la fila en cuestión (o columna) se selecciona el elemento que pertenezca a una columna (fila) con el menor número de incidencia.
2. Asignar la variable representada por la columna a la ecuación asociada a la fila correspondiente.
3. Eliminar de la matriz ambas, fila y columna
4. Proseguir con el algoritmo hasta que se reduzca la matriz a la dimensión unitaria.
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
1 1 1 1 1
x x x x x
f
f
f
f
f
1 1f x→
La fila con el menor número de incidencia es la primera (uno), correspondiente a la variable x1.
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
2 3 4 5
2
3
4
5
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
x x x x
f
f
f
f
1 1
2 2
f x
f x
→
→
La fila de menor incidencia es la primera con uno.
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
3 4 5
3
4
5
1 0 0
1 1 0
1 1 1
x x x
f
f
f
1 1
2 2
3 3
f x
f x
f x
→
→
→
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
4 5
4
5
1 0
1 1
x x
f
f
1 1
2 2
3 3
4 4
f x
f x
f x
f x
→
→
→
→
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
5
5 1
x
f
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
f x
f x
f x
f x
f x
→
→
→
→
→
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
f1
x1
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 1 2
3 1 2 3
4 1 2 3 4
5 1 2 3 4 5
0
, 0
, , 0
, , , 0
, , , , 0
f x
f x x
f x x x
f x x x x
f x x x x x
=
=
=
=
=
f2
x2 f3
x3 f4
x4 f5
x5
x1
x1x1
x2
x2
x3
¡Acíclica!
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 3 4 5
2 2 3 5
3 2 3 4
4 1 4 5
5 2 3 4 5
, , , , 0
, , 0
, , 0
, , 0
, , , 0
f x x x x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x x
=
=
=
=
=
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
1 1 1 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 1 1
0 1 1 1 1
x x x x x
f
f
f
f
f
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
1 1 1 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 1 1
0 1 1 1 1
x x x x x
f
f
f
f
f
4 1f x→
La fila con el menor número de incidencia es la 2 (con 3) y para las columnas es la 1 (con 2). Luego,
en la columna x1, f4 tiene menor incidencia (3) que f1, por lo tanto se asigna f4 → x1.
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
1 1 1 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 1 1
0 1 1 1 1
x x x x x
f
f
f
f
f
4 1f x→
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
2 3 4 5
1
2
3
5
1 1 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
x x x x
f
f
f
f
4 1
2 5
f x
f x
→
→
Las fila con menor incidencia es 3 (f2 y f3). Lo mismo para las columnas (3 para x4 y x5). Luego,
se asigna f2 → x5.
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
2 3 4
1
3
5
1 1 1
1 1 1
1 1 1
x x x
f
f
f
4 1
2 5
f x
f x
→
→
Las funciones f1, f2 y f3 forman parte de una partición o subconjunto que debe resolverse en forma simultánea. Aquí podemos realizar una
asignación arbitraria: f3 → x3, f1 → x2, f5 → x4.
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
f1
x1
f2
x2
f3
f4 f5
x5
x3
x5
x4
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 3 4 5
2 2 3 5
3 2 3 4
4 1 4 5
5 2 3 4 5
, , , , 0
, , 0
, , 0
, , 0
, , , 0
f x x x x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x x
=
=
=
=
=
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
2 3 4
1
3
5
1 1 1
1 1 1
1 1 1
x x x
f
f
f
4 1
2 5
3 3
1 2
5 4
f x
f x
f x
f x
f x
→
→
→
→
→
Arbitrario
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
f1f2
f3f4
f5
x5
4 1
2 5
3 3
1 2
5 4
f x
f x
f x
f x
f x
→
→
→
→
→
x4
x5
x5
x2
x2
x2
x4
x4
x3x3
x3
x1
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
f3f4
f5
x5
x4
x5
x5
x2
x2
x2
x4
x4
x3x3
f1f2
x3
x1
Algoritmo de Steward (sistema NxN)
• Como se observa en la figura anterior, el subconjunto(f1, f3, f5) debe resolverse simultáneamente.
• Sin embargo, se puede linealizar el sistema, (rasgar),introduciendo variables de corte (iteradoras) quepermitan resolverlo en forma acíclica.
21
CW
Modelo de un Compresor (conocido h y P2)
1 1, 2 2, 0A Am x m x− =
2, 2, 1 0A Bx x+ − =
1 2 0isS S− =
( )2 1 2 1 0isH H H Hh− − − =
( )2 2 2 2, , 0H f T P x− =
( )2 2 2 2, , 0is isH f T P x− =
( )2 2 2 2, , 0is isS f T P x− =
2 2 1 1 0m H m H W− − =
2 2, 2, 2 2 2 2 2
is is is
A Bm x x T H T H S W
1 1, 2 2, 0B Bm x m x− =
Mezcla binaria
Modelo de un Compresor
2 2, 2, 2 2 2 2 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
is is is
A Bm x x T H T H S W
f
f
f
f
f
f
f
f
f
Modelo de un Compresor
2 2, 2, 2 2 2 2
1
2
3
5
6
7
8
9
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
is is
A Bm x x T H T H W
f
f
f
f
f
f
f
f
4 2
isf S→
Modelo de un Compresor
2 2, 2, 2 2 2 2
1
2
3
5
6
7
8
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
is is
A Bm x x T H T H
f
f
f
f
f
f
f
4 2
9
isf S
f W
→
→
Modelo de un Compresor
2 2, 2, 2 2 2
1
2
3
5
7
8
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
is is
A Bm x x H T H
f
f
f
f
f
f
4 2
9
6 2
isf S
f W
f T
→
→
→
Modelo de un Compresor
2 2, 2, 2 2
1
2
3
7
8
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
is is
A Bm x x T H
f
f
f
f
f
4 2
9
6 2
5 2
isf S
f W
f T
f H
→
→
→
→
Modelo de un Compresor
2 2, 2, 2
1
2
3
8
1 1
1 1
1 1
1 1 1
is
A Bm x x T
f
f
f
f
4 2
9
6 2
5 2
7 2
is
is
f S
f W
f T
f H
f H
→
→
→
→
→
Modelo de un Compresor
2 2, 2,
1
2
3
1 1
1 1
1 1
A Bm x x
f
f
f
4 2
9
6 2
5 2
7 2
8 2
is
is
is
f S
f W
f T
f H
f H
f T
→
→
→
→
→
→
¡Balance de Materia!
Modelo de un Compresor
2, 2,
2
3
1
1 1
A Bx x
f
f
4 2
9
6 2
5 2
7 2
8 2
1 2
is
is
is
f S
f W
f T
f H
f H
f T
f m
→
→
→
→
→
→
→
Modelo de un Compresor
2, 2,
2
3
1
1 1
A Bx x
f
f
4 2
9
6 2
5 2
7 2
8 2
1 2
2 2,
is
is
is
B
f S
f W
f T
f H
f H
f T
f m
f x
→
→
→
→
→
→
→
→
Modelo de un Compresor
2,
3 1
Ax
f
4 2
9
6 2
5 2
7 2
8 2
1 2
2 2,
3 2,
is
is
is
B
A
f S
f W
f T
f H
f H
f T
f m
f x
f x
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Modelo de un Compresor
2 2, 2, 2 2 2 2 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
is is is
A Bm x x T H T H S W
f
f
f
f
f
f
f
f
f
4 2
9
6 2
5 2
7 2
8 2
1 2
2 2,
3 2,
is
is
is
B
A
f S
f W
f T
f H
f H
f T
f m
f x
f x
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Balance de Materia
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Modelo de un Compresor
2mf1
2,Ax
f22,Bx
f3
f9
f6
f7
f8
W
f42
isS
2
isT
2
isHf5
2H
2T
Modelo de una Válvula (flujo por componentes)
1, 2, 0i im m i− =
1 1,i
i
m m=
( )1 1 1 1, ,H f T P x=
( )2 2 2 2, ,H f T P x=
1 2H H=
1 1, 1, 1 1 1
2 2, 2, 2 2 2
i i
i i
m m x T P H
m m x T P H
V
1 2
2 2,i
i
m m=
2, 2, 2i im x m i=
1, 1, 1i im x m i=
Modelo de una Válvula (flujo por componentes - MS)
1, 2, 0i im m i− =
( )2 2 2 2, ,H f T P x=
1 2H H=
2 2, 2, 2 2 2i im m x T P H
3 + 2i ecuaciones
4 + 2i variables
1 Grados de libertad
V
1 2
2 2,i
i
m m=
2, 2, 2i im x m i=
Modelo de una Válvula (flujo por componentes – mezcla binaria)
1, 2, 0a am m− =
( )2 2 2 2, ,H f T P x=
1 2H H=
2 2, 2, 2 2 2i im m x T P H
3 + 2i ecuaciones
4 + 2i variables
1 Grados de libertad
V
1 2
2 2, 2,a bm m m= +
2, 2, 2
2, 2, 2
a a
b b
m x m
m x m
=
=
1, 2, 0b bm m− =
Modelo de una Válvula
2 2, 2, 2, 2, 2 2
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1 1
a b a bm m m x x T H
f
f
f
f
f
f
f
1 2,af m→
Modelo de una Válvula
2 2, 2, 2, 2 2
2
3
4
5
6
7
1
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1 1 1
b a bm m x x T H
f
f
f
f
f
f
1 2,
2 2,
a
b
f m
f m
→
→
Modelo de una Válvula
2 2, 2, 2 2
3
4
5
6
7
1
1 1
1 1
1
1 1 1 1
a bm x x T H
f
f
f
f
f
1 2,
2 2,
3 2
a
b
f m
f m
f m
→
→
→
Modelo de una Válvula
2, 2, 2 2
4
5
6
7
1
1
1
1 1 1 1
a bx x T H
f
f
f
f
1 2,
2 2,
3 2
4 2,
a
b
a
f m
f m
f m
f x
→
→
→
→
Modelo de una Válvula
2, 2 2
5
6
7
1
1
1 1 1
bx T H
f
f
f
1 2,
2 2,
3 2
4 2,
5 2,
a
b
a
b
f m
f m
f m
f x
f x
→
→
→
→
→
Modelo de una Válvula
2 2
6
7
1
1 1
T H
f
f
1 2,
2 2,
3 2
4 2,
5 2,
6 2
a
b
a
b
f m
f m
f m
f x
f x
f H
→
→
→
→
→
→
Modelo de una Válvula
2
7 1
T
f
1 2,
2 2,
3 2
4 2,
5 2,
6 2
7 2
a
b
a
b
f m
f m
f m
f x
f x
f H
f T
→
→
→
→
→
→
→
Modelo de una Válvula
2,amf1
f3
2,bx
f6
f5
2H
2T
2,bm
f2
2m
2,bm
f4
2m
2,am
2,ax
f7
1,am
1,bm
1H
2P
¡No cíclica!
Integración IV
ARQUITECTURA MODULAR SECUENCIAL
ALGORITMOS DE PARTICIONADO, RASGADO
Y ORDENAMIENTO.
Algoritmos de PR&O
Particionado: Detección de tramos que contienen reciclos y reducción a pseudonodos que los almacenen.
Rasgado: definición de la(s) corriente(s) iteradora(s) de cada pseudonodo.
Ordenamiento: determinación del orden de precedencia de los módulos.
Algoritmos de PR&O
Nos interesa plantearnos la utilidad de los métodos discutidos y su relación con un simulador de procesos.
Al fin y al cabo una simulación consiste en un sistema de ecuaciones por lo que la relación resulta obvia.
Una planta completa tendrá asociada miles de ecuaciones y variables. Un simulador que responde a la filosofía de representar a todo el proceso a simular por un único sistema de ecuaciones se conoce como de arquitectura global u orientado a ecuaciones.
Bajo esta arquitectura, todo lo discutido hasta aquí es directamente aplicable.
Algoritmos de PR&O
Por otra parte, conviene remarcar que al existir un gran número de alternativas posibles, el problema tiene una gran flexibilidad y puede resultar apropiado para tomar decisiones, contar con conocimientos intrínsecos y/o específicos del sistema a resolver.
Históricamente, al implementarse los primeros simuladores, no se recurrió a la filosofía o enfoque global, sino que se utilizó una alternativa conocida como arquitectura modular secuencial.
Algoritmos de PR&O
La estrategia modular secuencial:
• Interpreta al complejo a simular como una unión de subunidades o módulos específicos (equipos).
• Matemáticamente la podemos interpretar como un particionado del sistema de ecuaciones de la planta completa en subunidades (subsistemas)
• La diferencia es que esta partición no es guiada por un criterio de optimización (algoritmos presentados), sino por la conveniencia física de disponer datos y submódulos estructurados de una manera dada.
Algoritmos de PR&O
Al forzar la partición del sistema global en subsistemas, se pierde gran parte de la flexibilidad original, sacrificando seguramente alternativas óptimas de particionado.
Es el precio a pagar por utilizar una guía no matemática, pero conveniente desde el punto de vista físico o de ingeniería.
Algoritmos de PR&O
Esquemáticamente, cada módulo o paquete de ecuaciones correspondientes a cada equipo puede ahora ser representado según:
xe xsF(xe)
xe = variables de entrada xs = variables de salida
Se supone que podemos construir el modelo de una unidad de proceso por medio de un sistema de ecuaciones, y que conocemos las variables (generalmente asociadas a las corrientes físicas) de entrada, siendo el objetivo el cálculo de las variables (corrientes) de salida.
Algoritmos de PR&O
Cada módulo debe resolverse por el método más conveniente. Se supone que se han aplicado todos los procedimientos vistos, de tal manera de optimizar la secuencia de resolución, fijados los xe.
Debe tenerse en cuenta que en los balances de materia y energía, generalmente deben utilizarse métodos para estimar propiedades fisicoquímicas lo que agrega un número importante de ecuaciones y no linealidades.
Algoritmos de PR&O
E3E1
x3x2 x5
E4
E2
x1
x4x6
x7Ei = equipos
xi = variables de entrada o salida o “corriente”
Dada una planta, compuesta por diversos equipos conectados entre sí, todos representados por su correspondiente sistema de ecuaciones, se puede obtener un esquema (DFI):
DFI: Diagrama de flujo de información
Algoritmos de PR&O
E3E1
x3x2 x5
E4
E2
x1
x4x6
x7
Para poder resolver el proceso completo (todas las variables de salida e intermedias), ya que las de entrada por definición se suponen especificadas (x1 en este caso), se deberá recurrir a rasgar el grafo (corrientes iteradoras).
Algoritmos de PR&O
Una posible secuencia de resolución sería:• se conoce x1.• se supone conocido además el valor de la corriente x3.
E3E1
x3x2 x5
E4
E2
x1
x4x6
x7
x3*
3
4
1
2
3 5 4
4 7 6
1 2
*
6 2 3
,
,
,
E
E
E
E
x x x
x x x
x x
x x x
⎯⎯→
⎯⎯→
⎯⎯→
⎯⎯→*
3 3x x tol−
Algoritmos de PR&O
El orden de resolución se llama orden de procedencia o de resolución y las secuencias no necesariamente son únicas.
A las corrientes iteradoras se las llama también corrientes de corte (en este caso x3).
Al proceso de identificar los ciclos se lo llama particionado.
E3E1
x3x2 x5
E4
E2
x1
x4x6
x7
x3*
Algoritmos de PR&O
La estructura modular secuencial surge como consecuencia de una asignación que se orienta según los módulos de equipos o bien las relaciones físicas en el proceso, contrariamente al flujo de información matemático inherente a las relaciones entre las variables y funciones, según la estructura del sistema.
Estrategias:
• El problema global se resuelve simultáneamente y para ello se particiona en subsistemas con un criterio que da prioridad a la estructura (orientado a ecuaciones).
• Resolver los equipos o módulos según una secuencia guiada por las interacciones físicas, (aplicar un criterio modular secuencial).
Integración IV
RASGADO DEL DIAGRAMA DE
FLUJOS O GRAFO
Rasgado del diagrama de flujos o grafo
El resultado de aplicar los algoritmos de particionado es detectar los ciclos, de tal manera de transformar el grafo original en una secuencia lineal.
Esta secuencia puede tener subgrafos cíclicos que luego se deberanresolver como un subproblema (linealizar un grafo cíclico).
La técnica de rasgado consiste en detectar las corrientes de corte que permitan que cada subgrafo cíclico pueda ser resuelto, esto es, detectar las corrientes de corte que permitan que cada subgrafo cíclico pueda ser solucionado mediante una técnica iterativa.
Rasgado del diagrama de flujos o grafo
Asignar una corriente de corte es similar a definir una nueva corriente de entrada a la planta, sólo que sus valores son supuestos y sirven para generar una secuencia que permita resolver todas las ecuaciones del sistema, tantas veces como sea necesario hasta lograr convergencia.
31
8
2
64
7
51 2 8
6
11
4 35 7
9
10
Rasgado del diagrama de flujos o grafo
31
8
2
64
7
51 2 8
6
11
4 35 7
9
10
Por ejemplo: para realizar el rasgado se toman como
corrientes de corte (una por cada ciclo) las indicadas
como 2 y 8
2* 8*
Rasgado del diagrama de flujos o grafo
31
8
2
64
7
51 2 8
6
11
4 35 7
9
10
A partir de los valores iniciales x20 y x8
0,se pueden calcular: x3
1 y x51 del nodo 5 ya que se conoce x2
0 y x80
x41 del nodo 1, ya que se conoce x3
1
x11 del nodo 8, ya que la corriente 11, es de entrada.
x61 del nodo 2, ya que se dispone de x5
1.x7
1 del nodo 3, ya que se dispone de x61.
x91 del nodo 6, ya que se conoce x7
1.x10
1 del nodo 7, ya que se conoce x91.
Y recalcular…………x8
1 del nodo 6, ya que se conoce x71
x21 del nodo 4, ya que se conoce x4
1 y x41
Rasgado del diagrama de flujos o grafo
31
8
2
64
7
51 2 8
6
11
4 35 7
9
10
82
Rasgado del diagrama de flujos o grafo
Si bien obtuvimos todos los valores asociados a las variables de todas las corrientes, éstos pertenecen a la primera iteración. Se debe verificar si los valores calculados x2
1 y x81 coinciden con los supuestos
x20 y x8
0 dentro del margen de error especificado. Si lo hacen, finaliza el cálculo.
De lo contrario, y aplicando sustitución directa, se proponen nuevos valores, generando una secuencia tal que finaliza cuando se obtiene el criterio de error deseado.
Si bien es simple identificar las corrientes de corte en un grafo sencillo, no resulta equivalente con cientos de nodos y/o corrientes. Se necesita un método sistemático, implementable en computadora, que permita tal selección.
Rasgado del diagrama de flujos o grafo
Dado que se trata de un particionado de ecuaciones, lo lógico resultaría pensar en un criterio que minimice el esfuerzo de cálculo. Pero no existen tales criterios o lineamientos sin conocer en detalle el problema a resolver.
El problema es que el algoritmo debe tratar casos generales, por lo que debiéramos obtener criterios universales.
Si se supone que todas la corrientes poseen la misma cantidad de variables, es lógico pensar que se deben buscar el mínimo número de corrientes de corte para linealizar el ciclo (debido a que ello implica el mínimo número de variables iteradoras).
Rasgado del diagrama de flujos o grafo
Sin embargo, no está demostrado que un número mayor de corrientes de corte implique mayor esfuerzo de cómputo. No obstante, se puede asumir que así será en la mayoría de los casos.
El algoritmo debería permitir que el usuario le introduzca pesos penalizando ciertas corrientes y favoreciendo otras, de tal manera de recorrer las alternativas considerando tales criterios.
Rasgado del diagrama de flujos o grafo
ALGORITMO DE BARKELEY Y
MOTARD
(1972)
Algoritmo de B&M
El algoritmo propuesto por Barkeley y Motard tiene como objetivo el rasgado de los subgrafos cíclicos para obtener un conjunto de corte con el menor número de corrientes iteradoras.
Este algoritmo se basa en el concepto de grafo de corrientes (S) o grafo dual al ya visto. Éste se logra intercambiando los roles, esto es, los nodos ahora son las corrientes y los arcos se obtienen a través del flujo de información en el DFI.
Para obtener el grafo S correspondiente a un diagrama de flujo de información:
1. Incorporar tantos nodos como corrientes existan.
2. Vincular éstos según el sentido de la información que circula entre las corrientes en el grafo original.
Algoritmo de B&M
31
8
2
64
7
51 2 8
6
11
4 35 7
9
10
Algoritmo de B&M - Grafo S
31
8
2
64
7
51 2 8
6
11
4 35 7
9
10
3
1
8
2
6
4
7
5
11
10
9
Algoritmo de B&M - Grafo S
3
1
8
2
6
4
7
5
11
10
9Es evidente que al manipular el grafo S ahora se lo hace sobre
las corrientes (nodos), y dado que se buscan las corrientes de
corte, se comprende la utilidad de la transformación del
algoritmo propuesto por Barkeley y Motard.
Algoritmo de B&M - Grafo S – Nodo dominado
Se dice que un nodo cualquiera ni en S es dominado por otro nj si nj
es el único antecesor inmediato de ni.
Los autores proponen un proceso de reducción de S mediante el procedimiento de englobar (engullir o fundir) los nodos dominados por sus dominantes sin perder la información en el grafo S.
Por ejemplo, el nodo 1 es dominado por el 11, el 4 lo es por el 3 y el 7 por el 6.
3
1
8
2
6
4
7
5
11
10
9
Reducción del grafo S
3
1
8
2
6
4
7
5
11
10
9
Reducción del grafo S
3
8
2
6
4
7
5
11
10
9
Reducción del grafo S
38
2
6
7
5
11
10
9
Reducción del grafo S
38
2
6
5
11
10
9
Reducción del grafo S
38
2
6
5
11
10
Reducción del grafo S
38
2
6
5
11
Reducción del grafo S
3
2
6
5
11
Reducción del grafo S
3
2
5
11
Reducción del grafo S
3
2 511
Reducción del grafo S
Se puede observar que no puede reducirse más el grafo S, ya que:• El nodo 2 tiene más de un antecesor (11 y 3). • El nodo 3 tiene más de un antecesor (2 y 5).• El nodo 5 tiene más de un antecesor (2 y 5).
3
2 511
Algoritmo de B&M
Aquí se introduce un nuevo concepto, el deautociclo, que es precisamente la particularidadque presenta el nodo 5 que están en ciclo con élmismo, al ser antecesor y sucesor de sí mismossimultáneamente.
3
2 511
Algoritmo de B&M
Este hecho está íntimamente relacionado con la definiciónde rasgado o corriente de corte, ya que por definición, cadacorriente puede ser calculada sólo si se conocen lasentradas al equipo (nodo) del cual sale.
Si una corriente forma un autociclo, esto implica que nopuede calculársela en el DFI si no se conoce su valorpreviamente, o lo que es lo mismo, si no se procede alrasgado del ciclo al cual pertenece.
Algoritmo de B&M
Para este ejemplo, las corriente 2 y 5 conforman unconjunto de corrientes de corte de tamaño mínimo.
Como se puede deducir en función del proceso dereducción, no necesariamente el conjunto (2,5) es el únicoresultado, ya que se podrían obtener otros.
31
8
2
64
7
51 2 8
6
11
4 35 7
9
10
Algoritmo de B&M
Previamente se había propuesto el conjunto (2,8), que a los efectos prácticos (asumiendo que todas las corrientes tienen la misma cantidad de variables, y no disponiendo de ninguna otra información del problema específico), resultará equivalente al conjunto (2,5).
31
8
2
64
7
51 2 8
6
11
4 35 7
9
10
Una vez que se han logrado las corrientes iteradoras se puede proponer una
secuencia de resolución (ordenamiento).
i kj l
Situaciones especiales o particulares
• Aquí, no existen nodos en los cuales se encuentre un único antecesor, por lo que no puede ser reducido.
• Se lo llama ciclo de dos corrientes y sólo se puede resolver (reducir) cortando una de las corrientes.
• Si se presenta una sucesión de varios ciclos, en general, es conveniente cortar corrientes intermedias que permitan rasgar más de un ciclo simultáneamente.
Resumen
El algoritmo consiste en los siguientes pasos:
1. Reducción de los nodos del grafo hasta detectar autociclos o ciclos de dos corrientes.
2. Elección del conjunto de corrientes de corte, según el criterio expuesto.
3
1
8
2
6
4
7
5
11
10
9
Algoritmo de procesamiento
Nodo Antecesor
1 11
2 1, 4
3 2, 8
4 3
5 2, 8
6 5
7 6
8 7
9 7
10 9
Nodos con un sólo antecesor inmediato
Se eliminan de la lista esos nodos y se los reemplaza por
sus dominantes
Algoritmo de procesamiento
Nodo Antecesor
1 11
2 1, 4
3 2, 8
4 3
5 2, 8
6 5
7 6
8 7
9 7
10 9
Algoritmo de procesamiento
Nodo Antecesor
2 11, 3
3 2, 5
5 2, 5
Nodo Antecesor
2 11, 3
3 2, 5
5 2, 5
Se selecciona el nodo como corriente de corte y luego se lo
elimina de la tabla. (nodo 5)
¿existen en la lista de nodos un autociclo?
En la tabla figuran a la izquierda y derecha en la misma fila
Algoritmo de procesamiento
Nodo Antecesor
2 11, 3
3 2
Nodo Antecesor
2 11, 2 ¡Es una entrada!
Nodo Antecesor
2 2
Al eliminar 2 (autociclo), queda la lista vacía
Dos corrientes de corte: 2 y 5
Algoritmo de procesamiento
Se selecciona el nodo como corriente de corte y luego se lo
elimina de la tabla. (nodo 2)
¿existen en la lista de nodos un autociclo?
ETAPA DE
ORDENAMIENTO
Algoritmo de procesamiento
Algoritmo de procesamiento
Una vez que se han obtenidos los ciclos y se han rasgado, debe ordenarse el conjunto de nodos en la forma en que serán resueltos.
En general, con la información que proveen los algoritmos ya vistos (los subgrafos cíclicos y las corrientes de corte que los linealizan), es posible por inspección en las listas disponibles (pasos intermedios en cada algoritmo) ordenar los nodos según la secuencia de resolución que imponen las corrientes iteradoras seleccionadas.
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
NODOS
1
1
1
1
1
1
1
1 1
Matriz de adyacencia
aij=1: existe un arco que va desde el nodo i al j.aij=0: caso contrario
Algoritmo de
particionado de
Keham y Shacham
Algoritmo de K&S
Introduce la matriz de índices “I”.
Esta se define como una matriz de m filas (siendo m el número de elementos no nulos de “A”) y dos columnas.
Para una fila dada:
• Contiene todos los nodos que dispongan de sucesor inmediato
• La columna de la derecha contiene dicho sucesor inmediato.
Keham y Shacham propusieron un algoritmo basado en la matriz de índices que logra ubicar los ciclos
1 4
2 3
3 6
4 5
5 1
5 2
6 5
6 7
8 4
Algoritmo de K&S - Matriz I
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1 1
6 1 1
7
8 1
I =
1 4
2 3
3 6
4 5
5 1
5 2
6 5
6 7
8 4
Algoritmo de K&S - Matriz Ir
Una segunda reducción se logra eliminando los nodos:
de entrada: aquellos que no tienen antecesores inmediatos (en la matriz figuran en la columna de la izquierda y no en la columna de la derecha).
de salida: aquellos que no tienen sucesores y figuran en la columna de la derecha pero no en la izquierda.
Este paso permite la eliminación de información irrelevante y la creación de la matriz reducida “Ir”
I =
1 4
2 3
3 6
4 5
5 1
5 2
6 5
6 7
8 4
Algoritmo de K&S - Matriz Ir
1 4
2 3
3 6
4 5
5 1
5 2
6 5
rI =I =
Algoritmo de K&S – Potencias de Ir
A continuación se computan las sucesivas potencias de Ir
(por ejemplo, Ir2) , de la siguiente manera:
• Se toma cada elemento de la columna izquierda de la matriz anterior (Ir) y se lo escribe nuevamente en la columna izquierda de la matriz potencia.
• En la columna de la derecha de la matriz potencia se ubica el nodo sucesor inmediato del que se encontraba en la columna derecha en la matriz Ir.
1 4
2 3
3 6
4 5
5 1
5 2
6 5
1 5
2 6
3 5
4 1
4 2
5 4
5 3
6 1
6 2
Algoritmo de K&S – Potencias de Ir
rI = 2
rI =
1 4
2 3
3 6
4 5
5 1
5 2
6 5
1 5
2 6
3 5
4 1
4 2
5 4
5 3
6 1
6 2
Algoritmo de K&S – Potencias de Ir
rI = 2
rI =
Ir2 contienen la información de todos los caminos de longitud dos que se encuentran en el grafo
(por ejemplo, 1 → 4 → 5).
Algoritmo de K&S – Potencias de Ir
1 5
2 6
3 5
4 1
4 2
5 4
5 3
6 1
6 2
2
rI =
Algoritmo de K&S – Potencias de Ir
1 5
2 6
3 5
4 1
4 2
5 4
5 3
6 1
6 2
1 4
2 3
3 6
4 5
5 1
5 2
6 5
1 1
1 2
2 5
3 1
3 2
4 4
4 3
5 5
5 6
6 3
6 4
2
rI = rI = 3
rI =
Algoritmo de K&S – Potencias de Ir
1 5
2 6
3 5
4 1
4 2
5 4
5 3
6 1
6 2
1 4
2 3
3 6
4 5
5 1
5 2
6 5
1 1
1 2
2 5
3 1
3 2
4 4
4 3
5 5
5 6
6 3
6 4
2
rI = rI = 3
rI =
Cuando se obtienen en una fila valores iguales en las dos columnas, existe un camino que nace y termina en el nodo en cuestión.
Aquí obtenemos, además de los caminos de longitud 3, tres nodos (*) que pertenecen a un camino cíclico de longitud 3.
El algoritmo prosigue asignando los nodos a un pseudonodo (llamémoslo 1) que los engloba .
Luego se reemplazan en Ir y se inicia nuevamente el proceso (a partir de Ir,2).
Algoritmo de K&S – Potencias de Ir
1 1*
1 2
2 5
3 1
3 2
4 4*
4 3
5 5*
5 6
6 3
6 4
3
rI =
Algoritmo de K&S – Nueva matriz (Ir,2)
1 1*
1 2
2 5
3 1
3 2
4 4*
4 3
5 5*
5 6
6 3
6 4
1 4
2 3
3 6
4 5
5 1
5 2
6 5
1 1
2 3
3 6
1 1
1 1
1 2
6 1
3
rI =rI = ,2rI =
Algoritmo de K&S – Nueva matriz (Ir,2)
1 1
2 3
3 6
1 1
1 1
1 2
6 1
2 3
3 6
1 2
6 1
• Los valores iguales en ambas columnas se eliminan porque no aportan información adicional.
• En este caso no existen nodos de entrada y salida para eliminar.
,2rI = ,2rI =
Algoritmo de K&S – Pseudonodo
2 3
3 6
1 2
6 1
,2rI =
3
8
2
61
7
1 8
6
11
57
9
10
1
Algoritmo de K&S – Potencias de Ir,2
2 3
3 6
1 2
6 1
2 6
3 1
1 3
6 2
,2rI = 2
,2rI =
2 1
3 2
1 6
6 3
3
,2rI =
Algoritmo de K&S – Potencias de Ir,2
2 3
3 6
1 2
6 1
,2rI =
2 1
3 2
1 6
6 3
3
,2rI =
2 2
3 3
1 1
6 6
4
,2rI =
Algoritmo de K&S – Potencias de Ir,2
2 2
3 3
1 1
6 6
4
,2rI =
• Encontramos un ciclo de longitud 4.
• Si se reemplazan los nodos por otro pseudonodo(2), se tendrá un sólo nodo en la matriz Ir,3, por lo que el mismo será de entrada/salida y el proceso habrá finalizado.
2 2,3rI =
78 1
2
• Se puede observar que se obtienen los ciclos y un orden de resolución.
• No obstante, se sabe que para resolver cada ciclo hay que designar una corriente iteradora. El criterio para decidir cada una de ellas no se obtiene de este algoritmo.
Algoritmo de K&S
1 9 1011
Algoritmo de K&S
21
Ejemplo
Ejemplo: Construimos el DFI
E1
E2
E3 E4
NGLNG
1 2
3
4
5
Algoritmo de K&S - ejemplo
1
2 3 4
NGLNG
1 2
34
5
1 2 3 4
1 1 1
2 1
3 1
4 1
Algoritmo de K&S - ejemplo
A =
1 2
1 3
2 1
3 4
4 1
rI I= =
Algoritmo de K&S - ejemplo
1 2
1 3
2 1
3 4
4 1
rI = 2
rI =
1 1
1 4
2 2
2 3
3 1
4 2
4 3
pseudonodo 1
1 1
1 3
1 1
3 4
4 1
,2rI =
1 3
3 4
4 1,2rI =
Algoritmo de K&S - Pseudonodo 1
1
3 4
NGLNG
1 2
3
Algoritmo de K&S - ejemplo
1 3
3 4
4 1,2rI =
1 4
3 1
4 3
2
,2rI =
1 1
3 3
4 4
3
,2rI = pseudonodo 2,3rI =
2 2
2 2
2 2
Algoritmo de K&S - ejemplo
2NGLNG 1
Rasgado - Grafo S
Rasgado - Grafo S
NG LNG
1
3
4
5
Rasgado - Grafo S
NG LNG
1
4
5
Rasgado - Grafo S
NGLNG
1
4
Rasgado - Grafo S
Nodo Antecesor
LNG NG, 3, 5
1 NG, 3, 5
2 1
3 2
4 NG, 3, 5
5 4
Rasgado - Grafo S
Nodo Antecesor
LNG NG, 3, 5
1 NG, 3, 5
2 1
3 2
4 NG, 3, 5
5 4
Nodo Antecesor
LNG NG, 3, 5
1 NG, 3, 5
3 1
4 NG, 3, 5
5 4
Nodo Antecesor
LNG NG, 1, 5
1 NG, 1, 5
4 NG, 1, 5
5 4
¿Autociclo?
¿Autociclo?¿Autociclo?
¡Si!
Rasgado - Grafo S
Nodo Antecesor
LNG NG, 1, 5
1 NG, 1, 5
4 NG, 1, 5
5 4
Nodo Antecesor
LNG NG, 5
4 NG, 5
5 4
Nodo Antecesor
LNG NG, 4
4 NG, 4
¿Autociclo?¡Si!
Nodo Antecesor
LNG NG Es una entrada!Es una salida!
Terminamos, nuestras corrientes de corte son 1 y 4
Esquema de Resolución
1
2 3 4
NGLNG
1 2
34
5
Esquema de Resolución
1
2 3 4
NGLNG
1 2
3
4*
5
4
1*
Esquema de Resolución
1
2 3 4
NGLNG
1 2
3
4*
5
4
1*
Esquema de Resolución
Ejercicio
1
23 4
5
6
Ejercicio
1
23 4
5
6
Ejercicio
1 2
3 4
5 6
7
8
9
10
1112
1
2
3 4
5
6
Análisis
¿Qué significa que una corriente esté perfectamente conocida?Se conocen su:
• Composición global.• Dos variables intensivas (T y P, P y H, T y H, P y
fracción vaporizada, T y fracción vaporizada, etc).
• Flujo de materia (molar, masico, volumétrico, etc).
Ejercicio
Ejercicio
Determine el mínimo conjunto de corte para el proceso indicado en la Figura. Suponer que cada equipo indicado debe implementarse como un módulo independiente (no tener en cuenta los controladores).
Ejercicio
1
2 3 4
5
6
7
1
23 4
56
7
8
9
10
11
Ejercicio
1
2 3 4
5
6
7
1
2
3 4
56
7
8
9
10
11
Ejercicio
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