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Matemáticas Básicas

Jeanneth Galeano PeñalozaJulián Camilo Cano Ramos

Universidad Nacional de Colombia

Departamento de Matemáticas

Sede Bogotá

Bogotá, marzo de 2017

DefiniciónUna razón es la relación que existe entre dos cantidades definida como sigue: Si a yb son números reales diferentes de cero, la razón entre a y b es el número real a

b.

DefiniciónUna proporción es la igualdad entre dos razones. Esto es, si a, b, c, d ∈ R son realesdiferentes de cero, entonces

a

b=c

d

es una proporción, y se lee “a es a b como c es a d”.

ObservaciónSi a, b, c, d ∈ R son reales diferentes de cero, entonces las siguientes proporcionesson equivalentes:

a

b=c

d⇔

a

c=b

d⇔

c

a=d

b⇔

b

a=d

c

DefiniciónUna razón es la relación que existe entre dos cantidades definida como sigue: Si a yb son números reales diferentes de cero, la razón entre a y b es el número real a

b.

DefiniciónUna proporción es la igualdad entre dos razones. Esto es, si a, b, c, d ∈ R son realesdiferentes de cero, entonces

a

b=c

d

es una proporción, y se lee “a es a b como c es a d”.

ObservaciónSi a, b, c, d ∈ R son reales diferentes de cero, entonces las siguientes proporcionesson equivalentes:

a

b=c

d⇔

a

c=b

d⇔

c

a=d

b⇔

b

a=d

c

DefiniciónUna razón es la relación que existe entre dos cantidades definida como sigue: Si a yb son números reales diferentes de cero, la razón entre a y b es el número real a

b.

DefiniciónUna proporción es la igualdad entre dos razones. Esto es, si a, b, c, d ∈ R son realesdiferentes de cero, entonces

a

b=c

d

es una proporción, y se lee “a es a b como c es a d”.

ObservaciónSi a, b, c, d ∈ R son reales diferentes de cero, entonces las siguientes proporcionesson equivalentes:

a

b=c

d⇔

a

c=b

d⇔

c

a=d

b⇔

b

a=d

c

ObservaciónCuando en una proporción se desconoce uno de los términos, inmediatamente segenera una ecuación lineal.

EjemploConsideremos la siguiente proporción: 4 es a 12 como x es a 9.

412

=x

9

Entonces:(4)(9) = 12x ⇒ x =

(4)(9)12

= 3

EjercicioEncuentre el valor de x en las siguientes proporciones:

9 es a x como 6 es a π.x+ 8 es a 2x como 1 es a 3.3x− 2 es a 5 como 6x− 5 es a 11.

ObservaciónCuando en una proporción se desconoce uno de los términos, inmediatamente segenera una ecuación lineal.

EjemploConsideremos la siguiente proporción: 4 es a 12 como x es a 9.

412

=x

9

Entonces:(4)(9) = 12x ⇒ x =

(4)(9)12

= 3

EjercicioEncuentre el valor de x en las siguientes proporciones:

9 es a x como 6 es a π.x+ 8 es a 2x como 1 es a 3.3x− 2 es a 5 como 6x− 5 es a 11.

ObservaciónCuando en una proporción se desconoce uno de los términos, inmediatamente segenera una ecuación lineal.

EjemploConsideremos la siguiente proporción: 4 es a 12 como x es a 9.

412

=x

9

Entonces:(4)(9) = 12x ⇒ x =

(4)(9)12

= 3

EjercicioEncuentre el valor de x en las siguientes proporciones:

9 es a x como 6 es a π.x+ 8 es a 2x como 1 es a 3.3x− 2 es a 5 como 6x− 5 es a 11.

ObservaciónCuando en una proporción se desconoce uno de los términos, inmediatamente segenera una ecuación lineal.

EjemploConsideremos la siguiente proporción: 4 es a 12 como x es a 9.

412

=x

9

Entonces:(4)(9) = 12x ⇒ x =

(4)(9)12

= 3

EjercicioEncuentre el valor de x en las siguientes proporciones:

9 es a x como 6 es a π.x+ 8 es a 2x como 1 es a 3.3x− 2 es a 5 como 6x− 5 es a 11.

ObservaciónCuando en una proporción se desconoce uno de los términos, inmediatamente segenera una ecuación lineal.

EjemploConsideremos la siguiente proporción: 4 es a 12 como x es a 9.

412

=x

9

Entonces:(4)(9) = 12x ⇒ x =

(4)(9)12

= 3

EjercicioEncuentre el valor de x en las siguientes proporciones:

9 es a x como 6 es a π.x+ 8 es a 2x como 1 es a 3.3x− 2 es a 5 como 6x− 5 es a 11.

EjercicioEn un mapa de Colombia la distancia entre Bogotá y Manizales es de 5 cm. Sabemosque la distancia (aérea en línea recta) entre las dos ciudades es de 168 km. Si ladistancia de Bogotá a Leticia es de 1083 km, ¿a qué distancia se encuentran estasdos ciudades en el mapa?

Sugerencia: Encuentre una proporción que represente la situación.

EjemploEl montaje de la carpa y escenarios de un circo lo hacen generalmente 6 personas ytardan 22 días. Para presentarse en una ciudad les exigen que el tiempo de montajese reduzca a 10 días. ¿Cuántas personas tienen que trabajar para lograrlo?

Hay un trabajo que hacen 6 personas en 22 días. Entonces:Las 6 personas cada día hacen 1

22 del trabajo total.Una persona hace en un día 1

6 del trabajo diario.Por lo tanto, la parte del trabajo que hace una persona al día es 1

6 ×1

22 = 1132 .

Luego, en 10 días una persona hace la 10132 parte del trabajo.

De modo que en 10 días, x personas hace la 10132x parte del trabajo.

Como queremos que esto corresponda al trabajo completo, es decir a 132132 = 1,

entonces10x132

= 1 ⇒ x =13210

= 13, 2

Por lo tanto, se deben contratar 14 personas.

EjemploEl montaje de la carpa y escenarios de un circo lo hacen generalmente 6 personas ytardan 22 días. Para presentarse en una ciudad les exigen que el tiempo de montajese reduzca a 10 días. ¿Cuántas personas tienen que trabajar para lograrlo?

Hay un trabajo que hacen 6 personas en 22 días. Entonces:

Las 6 personas cada día hacen 122 del trabajo total.

Una persona hace en un día 16 del trabajo diario.

Por lo tanto, la parte del trabajo que hace una persona al día es 16 ×

122 = 1

132 .Luego, en 10 días una persona hace la 10

132 parte del trabajo.De modo que en 10 días, x personas hace la 10

132x parte del trabajo.Como queremos que esto corresponda al trabajo completo, es decir a 132

132 = 1,entonces

10x132

= 1 ⇒ x =13210

= 13, 2

Por lo tanto, se deben contratar 14 personas.

EjemploEl montaje de la carpa y escenarios de un circo lo hacen generalmente 6 personas ytardan 22 días. Para presentarse en una ciudad les exigen que el tiempo de montajese reduzca a 10 días. ¿Cuántas personas tienen que trabajar para lograrlo?

Hay un trabajo que hacen 6 personas en 22 días. Entonces:Las 6 personas cada día hacen 1

22 del trabajo total.

Una persona hace en un día 16 del trabajo diario.

Por lo tanto, la parte del trabajo que hace una persona al día es 16 ×

122 = 1

132 .Luego, en 10 días una persona hace la 10

132 parte del trabajo.De modo que en 10 días, x personas hace la 10

132x parte del trabajo.Como queremos que esto corresponda al trabajo completo, es decir a 132

132 = 1,entonces

10x132

= 1 ⇒ x =13210

= 13, 2

Por lo tanto, se deben contratar 14 personas.

EjemploEl montaje de la carpa y escenarios de un circo lo hacen generalmente 6 personas ytardan 22 días. Para presentarse en una ciudad les exigen que el tiempo de montajese reduzca a 10 días. ¿Cuántas personas tienen que trabajar para lograrlo?

Hay un trabajo que hacen 6 personas en 22 días. Entonces:Las 6 personas cada día hacen 1

22 del trabajo total.Una persona hace en un día 1

6 del trabajo diario.

Por lo tanto, la parte del trabajo que hace una persona al día es 16 ×

122 = 1

132 .Luego, en 10 días una persona hace la 10

132 parte del trabajo.De modo que en 10 días, x personas hace la 10

132x parte del trabajo.Como queremos que esto corresponda al trabajo completo, es decir a 132

132 = 1,entonces

10x132

= 1 ⇒ x =13210

= 13, 2

Por lo tanto, se deben contratar 14 personas.

EjemploEl montaje de la carpa y escenarios de un circo lo hacen generalmente 6 personas ytardan 22 días. Para presentarse en una ciudad les exigen que el tiempo de montajese reduzca a 10 días. ¿Cuántas personas tienen que trabajar para lograrlo?

Hay un trabajo que hacen 6 personas en 22 días. Entonces:Las 6 personas cada día hacen 1

22 del trabajo total.Una persona hace en un día 1

6 del trabajo diario.Por lo tanto, la parte del trabajo que hace una persona al día es 1

6 ×1

22 = 1132 .

Luego, en 10 días una persona hace la 10132 parte del trabajo.

De modo que en 10 días, x personas hace la 10132x parte del trabajo.

Como queremos que esto corresponda al trabajo completo, es decir a 132132 = 1,

entonces10x132

= 1 ⇒ x =13210

= 13, 2

Por lo tanto, se deben contratar 14 personas.

EjemploEl montaje de la carpa y escenarios de un circo lo hacen generalmente 6 personas ytardan 22 días. Para presentarse en una ciudad les exigen que el tiempo de montajese reduzca a 10 días. ¿Cuántas personas tienen que trabajar para lograrlo?

Hay un trabajo que hacen 6 personas en 22 días. Entonces:Las 6 personas cada día hacen 1

22 del trabajo total.Una persona hace en un día 1

6 del trabajo diario.Por lo tanto, la parte del trabajo que hace una persona al día es 1

6 ×1

22 = 1132 .

Luego, en 10 días una persona hace la 10132 parte del trabajo.

De modo que en 10 días, x personas hace la 10132x parte del trabajo.

Como queremos que esto corresponda al trabajo completo, es decir a 132132 = 1,

entonces10x132

= 1 ⇒ x =13210

= 13, 2

Por lo tanto, se deben contratar 14 personas.

EjemploEl montaje de la carpa y escenarios de un circo lo hacen generalmente 6 personas ytardan 22 días. Para presentarse en una ciudad les exigen que el tiempo de montajese reduzca a 10 días. ¿Cuántas personas tienen que trabajar para lograrlo?

Hay un trabajo que hacen 6 personas en 22 días. Entonces:Las 6 personas cada día hacen 1

22 del trabajo total.Una persona hace en un día 1

6 del trabajo diario.Por lo tanto, la parte del trabajo que hace una persona al día es 1

6 ×1

22 = 1132 .

Luego, en 10 días una persona hace la 10132 parte del trabajo.

De modo que en 10 días, x personas hace la 10132x parte del trabajo.

Como queremos que esto corresponda al trabajo completo, es decir a 132132 = 1,

entonces10x132

= 1 ⇒ x =13210

= 13, 2

Por lo tanto, se deben contratar 14 personas.

EjemploEl montaje de la carpa y escenarios de un circo lo hacen generalmente 6 personas ytardan 22 días. Para presentarse en una ciudad les exigen que el tiempo de montajese reduzca a 10 días. ¿Cuántas personas tienen que trabajar para lograrlo?

Hay un trabajo que hacen 6 personas en 22 días. Entonces:Las 6 personas cada día hacen 1

22 del trabajo total.Una persona hace en un día 1

6 del trabajo diario.Por lo tanto, la parte del trabajo que hace una persona al día es 1

6 ×1

22 = 1132 .

Luego, en 10 días una persona hace la 10132 parte del trabajo.

De modo que en 10 días, x personas hace la 10132x parte del trabajo.

Como queremos que esto corresponda al trabajo completo, es decir a 132132 = 1,

entonces

10x132

= 1 ⇒ x =13210

= 13, 2

Por lo tanto, se deben contratar 14 personas.

EjemploEl montaje de la carpa y escenarios de un circo lo hacen generalmente 6 personas ytardan 22 días. Para presentarse en una ciudad les exigen que el tiempo de montajese reduzca a 10 días. ¿Cuántas personas tienen que trabajar para lograrlo?

Hay un trabajo que hacen 6 personas en 22 días. Entonces:Las 6 personas cada día hacen 1

22 del trabajo total.Una persona hace en un día 1

6 del trabajo diario.Por lo tanto, la parte del trabajo que hace una persona al día es 1

6 ×1

22 = 1132 .

Luego, en 10 días una persona hace la 10132 parte del trabajo.

De modo que en 10 días, x personas hace la 10132x parte del trabajo.

Como queremos que esto corresponda al trabajo completo, es decir a 132132 = 1,

entonces10x132

= 1 ⇒ x =13210

= 13, 2

Por lo tanto, se deben contratar 14 personas.

EjemploEl montaje de la carpa y escenarios de un circo lo hacen generalmente 6 personas ytardan 22 días. Para presentarse en una ciudad les exigen que el tiempo de montajese reduzca a 10 días. ¿Cuántas personas tienen que trabajar para lograrlo?

Hay un trabajo que hacen 6 personas en 22 días. Entonces:Las 6 personas cada día hacen 1

22 del trabajo total.Una persona hace en un día 1

6 del trabajo diario.Por lo tanto, la parte del trabajo que hace una persona al día es 1

6 ×1

22 = 1132 .

Luego, en 10 días una persona hace la 10132 parte del trabajo.

De modo que en 10 días, x personas hace la 10132x parte del trabajo.

Como queremos que esto corresponda al trabajo completo, es decir a 132132 = 1,

entonces10x132

= 1 ⇒ x =13210

= 13, 2

Por lo tanto, se deben contratar 14 personas.

EjercicioDebemos pintar 40 salones en 5 días y sabemos que la semana pasada 3obreros pintaron 7 salones en 2 días. ¿Cuántos obreros necesitamos pintandosimultáneamente para lograrlo?

DefiniciónDadas dos variables x y y, decimos que tiene una variación directa, o que el valorde x es directamente proporcional al valor de y, si la razón entre x y y es constante.

Esto es, si existe un real positivo k tal que

x

y= k

Observe que si el valor de y aumenta también lo hace el de x, y si el valor de ydisminuye también lo hace el de x.

DefiniciónDadas dos variables x y y, decimos que tiene una variación directa, o que el valorde x es directamente proporcional al valor de y, si la razón entre x y y es constante.Esto es, si existe un real positivo k tal que

x

y= k

Observe que si el valor de y aumenta también lo hace el de x, y si el valor de ydisminuye también lo hace el de x.

DefiniciónDadas dos variables x y y, decimos que tiene una variación directa, o que el valorde x es directamente proporcional al valor de y, si la razón entre x y y es constante.Esto es, si existe un real positivo k tal que

x

y= k

Observe que si el valor de y aumenta también lo hace el de x, y si el valor de ydisminuye también lo hace el de x.

EjemploSi vamos a llenar el tanque de gasolina de un automóvil, sabemos que el valor v apagar es proporcional a la cantidad de galones de gasolina g. Luego la constante deproporcionalidad k es el precio del galón.

Por tanto, si el galón está a $8,530, entonces tenemos:

v = 8, 530g ⇒v

g= 8, 530

EjemploSi vamos a llenar el tanque de gasolina de un automóvil, sabemos que el valor v apagar es proporcional a la cantidad de galones de gasolina g. Luego la constante deproporcionalidad k es el precio del galón.

Por tanto, si el galón está a $8,530, entonces tenemos:

v = 8, 530g ⇒v

g= 8, 530

DefiniciónDadas dos variables x y y, decimos que tiene una variación inversa, o que elvalor de x es inversamente proporcional al valor de y, si el producto entre x y y esconstante.

Esto es, si existe un real positivo k tal que

xy = k ⇔ x =k

y

Observe que si el valor de y aumenta entonces el valor de x disminuye, y si el valorde y disminuye entonces el valor de x aumenta.

DefiniciónDadas dos variables x y y, decimos que tiene una variación inversa, o que elvalor de x es inversamente proporcional al valor de y, si el producto entre x y y esconstante. Esto es, si existe un real positivo k tal que

xy = k ⇔ x =k

y

Observe que si el valor de y aumenta entonces el valor de x disminuye, y si el valorde y disminuye entonces el valor de x aumenta.

DefiniciónDadas dos variables x y y, decimos que tiene una variación inversa, o que elvalor de x es inversamente proporcional al valor de y, si el producto entre x y y esconstante. Esto es, si existe un real positivo k tal que

xy = k ⇔ x =k

y

Observe que si el valor de y aumenta entonces el valor de x disminuye, y si el valorde y disminuye entonces el valor de x aumenta.

EjemploSi un auto recorre una distancia fija d, entonces se tiene lo siguiente:

A mayor velocidad el auto gastará menos tiempo, y a menor velocidad gastará mástiempo.

Recuerde que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo.

v =d

t

Por lo tanto, la velocidad varía inversamente con respecto al tiempo.

Ahora, si fijamos el tiempo t, ¿cuál es la relación entre la velocidad y la distancia?

A mayor velocidad el auto recorrerá una mayor distancia en el tiempo fijo t, yviceversa.

Por lo tanto, la velocidad varía directamente con respecto la distancia.

EjemploSi un auto recorre una distancia fija d, entonces se tiene lo siguiente:

A mayor velocidad el auto gastará menos tiempo, y a menor velocidad gastará mástiempo.

Recuerde que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo.

v =d

t

Por lo tanto, la velocidad varía inversamente con respecto al tiempo.

Ahora, si fijamos el tiempo t, ¿cuál es la relación entre la velocidad y la distancia?

A mayor velocidad el auto recorrerá una mayor distancia en el tiempo fijo t, yviceversa.

Por lo tanto, la velocidad varía directamente con respecto la distancia.

EjemploSi un auto recorre una distancia fija d, entonces se tiene lo siguiente:

A mayor velocidad el auto gastará menos tiempo, y a menor velocidad gastará mástiempo.

Recuerde que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo.

v =d

t

Por lo tanto, la velocidad varía inversamente con respecto al tiempo.

Ahora, si fijamos el tiempo t, ¿cuál es la relación entre la velocidad y la distancia?

A mayor velocidad el auto recorrerá una mayor distancia en el tiempo fijo t, yviceversa.

Por lo tanto, la velocidad varía directamente con respecto la distancia.

EjemploSi un auto recorre una distancia fija d, entonces se tiene lo siguiente:

A mayor velocidad el auto gastará menos tiempo, y a menor velocidad gastará mástiempo.

Recuerde que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo.

v =d

t

Por lo tanto, la velocidad varía inversamente con respecto al tiempo.

Ahora, si fijamos el tiempo t, ¿cuál es la relación entre la velocidad y la distancia?

A mayor velocidad el auto recorrerá una mayor distancia en el tiempo fijo t, yviceversa.

Por lo tanto, la velocidad varía directamente con respecto la distancia.

EjemploSi un auto recorre una distancia fija d, entonces se tiene lo siguiente:

A mayor velocidad el auto gastará menos tiempo, y a menor velocidad gastará mástiempo.

Recuerde que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo.

v =d

t

Por lo tanto, la velocidad varía inversamente con respecto al tiempo.

Ahora, si fijamos el tiempo t, ¿cuál es la relación entre la velocidad y la distancia?

A mayor velocidad el auto recorrerá una mayor distancia en el tiempo fijo t, yviceversa.

Por lo tanto, la velocidad varía directamente con respecto la distancia.

EjemploSi un auto recorre una distancia fija d, entonces se tiene lo siguiente:

A mayor velocidad el auto gastará menos tiempo, y a menor velocidad gastará mástiempo.

Recuerde que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo.

v =d

t

Por lo tanto, la velocidad varía inversamente con respecto al tiempo.

Ahora, si fijamos el tiempo t, ¿cuál es la relación entre la velocidad y la distancia?

A mayor velocidad el auto recorrerá una mayor distancia en el tiempo fijo t, yviceversa.

Por lo tanto, la velocidad varía directamente con respecto la distancia.

EjemploSi un auto recorre una distancia fija d, entonces se tiene lo siguiente:

A mayor velocidad el auto gastará menos tiempo, y a menor velocidad gastará mástiempo.

Recuerde que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo.

v =d

t

Por lo tanto, la velocidad varía inversamente con respecto al tiempo.

Ahora, si fijamos el tiempo t, ¿cuál es la relación entre la velocidad y la distancia?

A mayor velocidad el auto recorrerá una mayor distancia en el tiempo fijo t, yviceversa.

Por lo tanto, la velocidad varía directamente con respecto la distancia.

EjercicioConsidere las siguientes fórmulas:

v =d

ta =

d

t2A = πr2 V = `3

Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas y cuales son verdaderas.En v = d

t, la velocidad v es inversamente proporcional al tiempo t.

En v = dt, la velocidad v es inversamente proporcional a la distancia d.

En a = dt2 , la aceleración a es directamente proporcional al cuadrado del tiempo

t.En a = d

t2 , la aceleración a es directamente proporcional a la distancia d.

En A = πr2, el área A es directamente proporcional al cuadrado del radio r.En V = `3, el volumen V es inversamente proporcional al cubo del lado `.

EjercicioConsidere las siguientes fórmulas:

v =d

ta =

d

t2A = πr2 V = `3

Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas y cuales son verdaderas.En v = d

t, la velocidad v es inversamente proporcional al tiempo t.

En v = dt, la velocidad v es inversamente proporcional a la distancia d.

En a = dt2 , la aceleración a es directamente proporcional al cuadrado del tiempo

t.En a = d

t2 , la aceleración a es directamente proporcional a la distancia d.

En A = πr2, el área A es directamente proporcional al cuadrado del radio r.En V = `3, el volumen V es inversamente proporcional al cubo del lado `.