matemáticas 1 - ade/fyco - 2019/2020 examen final...

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 1

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de

329 000 euros hasta un valor final de 210 000 euros a lo largo de 7

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **6.*****%.

2) El interés será del **2.*****%.

3) El interés será del **0.*****%.

4) El interés será del **4.*****%.

5) El interés será del **1.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 154 -577 -48

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función

que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la

legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -57

y -12. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).

1) Se alcanzarán en el intervalo [1,7].

2) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].

3) Se cumplirá en los intervalos: [0,4] y [6,9].

4) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].

5) Se alcanzarán en el intervalo [6,7].

6) Se cumplirá en los intervalos: [1,4] y [6,7].

7) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].

8) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(-4 + 9 t)sen(t) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

3 π primeros meses del año (entre t=0 y t=3 π).

1) -6 euros

2)-8 - 9 π

3 πeuros = -3.8488 euros

3)-8 + 9 π

3 πeuros = 2.1512 euros

4)-8 + 27 π

3 πeuros = 8.1512 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 0 1 -1 2 ), ( -2 1 1 2 ), ( 0 -2 -2 -1 ), ( 0 -1 0 0 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

2

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 -20 1

.X - 7 -42 -1

=-2 0-3 2

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

1 *

* * 4)

2 *

* * 5)

* -2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

4 x2 - 5 x3 + 3 x4 + 2 x5 ⩵ -43 x1 + 5 x2 - 3 x3 + 4 x4 + 3 x5 ⩵ 5

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?-1???

+⟨

????

-10

,

????2

,

???12?

⟩

2)

??0??

+⟨

???6?

,

????1

,

???9?

⟩

3)

-6????

4)

???-1?

5)

-2????

+⟨

????

-12

,

????3

,

????

-14

⟩

3

4

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 2

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés del 5% compuesto en 5 períodos y en la que inicialmente depositamos 14 000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

22 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **4.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a

otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos

los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:

año fondos0 92 573 78

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los

fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue

la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.

1) El máximo de los fondos en cuenta fue 178.

2) El máximo de los fondos en cuenta fue 114.

3) El máximo de los fondos en cuenta fue 13.

4) El máximo de los fondos en cuenta fue -3.

5) El máximo de los fondos en cuenta fue 19.

5

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 120 x + 30 x2 - 60 x3 - 15 x4 + 12 x5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

3 x + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=3.

1) 43

2)85

2= 42.5

3)91

2= 45.5

4) 45

5)89

2= 44.5

6) 44

7) 41

8)87

2= 43.5

6

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 10 1 1 00 0 1 01 -1 -1 2

.

1)

? -3 0 50 ? 0 00 -2 ? 10 -1 0 ?

2)

? -3 2 20 ? -1 -10 0 ? 00 -1 1 ?

3)

? -1 0 -10 ? -1 00 0 ? 0-1 1 0 ?

4)

? -1 -2 00 ? 0 00 0 ? 01 -1 -2 ?

5)

? -1 -2 1-2 ? 2 0-1 0 ? 03 0 -2 ?

6)

? -1 -1 00 ? 1 00 0 ? 00 1 1 ?

7)

? -1 0 -1-2 ? -1 1-1 1 ? 1-1 1 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X + 5 2-3 -1

. 1 0-2 1

=4 1-2 0

1) -1 *

* * 2)

0 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* -2* *

5) * -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

4 x1 - 5 x2 + 3 x3 - 8 x4 ⩵ 3-2 x1 + 3 x2 - x3 + 3 x4 ⩵ 3x2 + x3 - 2 x4 ⩵ 9

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?-1??

+⟨

???-1

,

??

-10?

⟩

2)

???

-10

+⟨

??7?

,

?-6??

,

?8??

,

-10???

⟩

3)

?0??

+⟨

??4?

,

???-4

⟩

4)

??36?

+⟨

???5

,

???-6

⟩

5)

??-7?

7

8

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 3

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el banco

B. En el banco A nos ofrecen un interés del 10% compuesto en 10 períodos

, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 4%

. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 13 000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

Ejercicio 2

Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=-2 sin(x + 3) + 2 - 3 cos(x + 3) x ≤ -3

x (x + 2) - 10 -3 < x < -1-sin(x + 1) - 2 cos(x + 1) - 5 -1 ≤ x

1) Es derivable en todos los puntos.

2) No es derivable en ningún punto.

3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-3.

4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.

5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-3 y x=-1.

9

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 24 x + 2 x3

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=(4 + 2 t)log(5 t) millones de euros/año.

Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 90

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 2 años.

1) 168 - 5 Log[5] + 21 Log[15] millones de euros = 216.8219 millones de euros

2)141

2- 5 Log[5] + 32 Log[20] millones de euros = 158.3162 millones de euros

3) 62 - 5 Log[5] + 45 Log[25] millones de euros = 198.8022 millones de euros

4) 78 - 5 Log[5] + 21 Log[15] millones de euros = 126.8219 millones de euros

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

0 0 -2 -10 1 0 10 0 1 01 0 2 2

.

1)

? -2 1 00 ? -1 01 -1 ? 01 -2 1 ?

2)

? -1 -1 0-2 ? 4 -1-1 0 ? 02 0 -3 ?

3)

? -1 0 -12 ? 0 -10 -2 ? 0-1 0 0 ?

4)

? 0 2 11 ? 2 00 0 ? 0-1 0 -2 ?

5)

? 0 -2 -2-1 ? 0 1-1 1 ? 10 0 1 ?

6)

? 0 -1 0-1 ? 1 00 2 ? 10 2 1 ?

7)

? 0 -1 00 ? -1 01 -1 ? -1-2 -1 -3 ?

10

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X + 9 7-4 -3

. -5 22 -1

-1=

-24 -559 20

1) -2 *

* * 2)

1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* -2* *

5) * 2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-4 x1 - 3 x2 + 4 x3 + x4 ⩵ 5-4 x1 - 2 x2 - 5 x3 - x4 ⩵ 2-x2 + 9 x3 + 2 x4 ⩵ 3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

3???

+⟨

??-9?

,

???26

⟩

2)

???33

+⟨

??-8?

,

???23

⟩

3)

???32

+⟨

???37

,

??-7?

⟩

4)

???8

+⟨

?-3??

⟩

5)

-2???

+⟨

??-4?

,

?9??

,

??9?

,

2???

⟩

11

12

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 4

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 400 000 euros hasta un valor final de

249 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de

interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **3.*****%.

2) El interés será del **8.*****%.

3) El interés será del **1.*****%.

4) El interés será del **4.*****%.

5) El interés será del **9.*****%.

Ejercicio 2

Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=

-sin(3 - x) + 3 cos(3 - x) - 4 x ≤ 3

-1

4(x - 10) x -

5

43 < x < 5

cos(5 - x) + 9 5 ≤ x

1) Es derivable en todos los puntos.

2) No es derivable en ningún punto.

3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.

4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=5.

5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3 y x=5.

13

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 2 x3 +x4

2

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(6 + t)ⅇ3-t euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).

1)1

77 ⅇ

3- 6 ⅇ

4 euros = -26.7129 euros

2)1

7-8 ⅇ

2+ 7 ⅇ

3 euros = 11.6409 euros

3)1

7-14

ⅇ4+ 7 ⅇ

3 euros = 20.0489 euros

4)1

7-9 ⅇ + 7 ⅇ

3 euros = 16.5906 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 1 1 0 0 -2 ), ( -2 2 1 -1 -2 ), ( -3 1 1 -1 0 )

, ( -1 0 -1 0 2 ), ( -3 2 0 -1 0 ), ( -4 4 2 -2 -4 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6

14

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

4 -73 -5

.X. 5 38 5

=24 1516 10

1) 0 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* -2* *

5) * 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

3 x1 + 4 x2 + 6 x3 + 4 x4 - 9 x5 ⩵ 1x1 + x2 + x3 - 2 x5 ⩵ -2x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 - 5 x5 ⩵ 5

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???-3?

+⟨

?-6???

,

7????

,

-2????

⟩

2)

??2??

3)

?8???

+⟨

?-6???

,

?-1???

,

?1???

⟩

4)

?2???

+⟨

??5??

⟩

5)

????0

+⟨

2????

,

?-4???

,

?3???

⟩

15

16

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 5

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 458 000 euros hasta un valor final de

306 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de

interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **4.*****%.

2) El interés será del **8.*****%.

3) El interés será del **2.*****%.

4) El interés será del **7.*****%.

5) El interés será del **6.*****%.

Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a

otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos

los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:

año fondos0 -31 512 101

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los

fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue

la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.

1) El máximo de los fondos en cuenta fue 189.

2) El máximo de los fondos en cuenta fue 15.

3) El máximo de los fondos en cuenta fue 389.

4) El máximo de los fondos en cuenta fue -3.

5) El máximo de los fondos en cuenta fue 14.

17

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 3 x2 +x4

2

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(3 + 2 t)log(3 t) euros.

Calcular el valor medio del paquete de acciones entre el mes 1 y el mes 3 (entre t=1 y t=3).

1)1

2-33

2- 4 Log[3] + 28 Log[12] euros = 24.3415 euros

2)1

2(-10 - 4 Log[3] + 18 Log[9]) euros = 12.5778 euros

3)1

3(-24 - 4 Log[3] + 40 Log[15]) euros = 26.6425 euros

4)1

3-33

2- 4 Log[3] + 28 Log[12] euros = 16.2276 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( -2 -2 0 -2 1 ), ( 2 2 0 -1 2 ), ( -3 -3 -2 0 0 )

, ( 0 -2 -1 -2 0 ), ( -4 -4 0 -4 2 ), ( -1 -1 -2 2 -1 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6

18

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

8 -5-3 2

.X + 1 00 1

=21 0-8 0

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* -2* *

5) * 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

2 x1 - x2 - 5 x3 + 2 x4 - 5 x5 ⩵ 0-x1 + x2 - 5 x3 - x4 - x5 ⩵ 0

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??1??

+⟨

?17???

,

-3????

,

?9???

⟩

2)

????2

3)

?0???

+⟨

?15???

,

-1????

,

6????

⟩

4)

-8????

+⟨

?-3???

,

?-10???

⟩

5)

??-3??

+⟨

13????

,

?2???

,

?8???

⟩

19

20

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 6

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés compuesto continuamente del 7%, en la que pasados 2 años

se pasa a ofrecer un interés compuesto del 2%. Inicialmente depositamos

11 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

10 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****3.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****6.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****1.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****7.***** euros.

Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a

otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos

los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:

año fondos0 101 173 25

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los

fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue

la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.

1) El máximo de los fondos en cuenta fue 15.

2) El máximo de los fondos en cuenta fue 4.

3) El máximo de los fondos en cuenta fue 25.

4) El máximo de los fondos en cuenta fue 26.

5) El máximo de los fondos en cuenta fue -2.

21

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 40 x3 + 9 x5 + 2 x6

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular 4

6

(-9 - 4 a + 3 t - 4 a t

-3 - 2 t + t2)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el

parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) El resto de las soluciones son incorrectas

2) -4.81685

3) -4.08785

4) -4.44315

5) -4.39445

6) -4.68995

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 6 -9 -6 ) es combinación lineal de la uplas

( -2 -1 -2 ), ( 0 1 -1 ), ( -2 1 -1 ), ( 0 -2 -1 ),

1) Si 2) No

22

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 -1-1 2

.X. 0 1-1 3

-1=

1 0-5 1

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* -1* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-4 x1 + 5 x2 + x4 + 2 x5 ⩵ -52 x1 - 3 x2 - 6 x3 - 3 x4 - 4 x5 ⩵ -1-x1 + x2 - 3 x3 - x4 - x5 ⩵ -3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

0????

+⟨

????5

,

???7?

,

????3

⟩

2)

???8?

+⟨

???-3?

,

????-4

,

????6

⟩

3)

???4?

+⟨

-8????

,

???5?

⟩

4)

????-5

+⟨

????2

,

????-3

,

????6

⟩

5)

??

-10??

+⟨

5????

,

?-1???

⟩

23

24

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 7

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés del 4% compuesto en 9 períodos, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un

interés del 5% compuesto en 6 períodos. Inicialmente depositamos

15 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

3 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****6.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****5.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****7.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****3.***** euros.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→1

11

3- 6 x + 3 x2 - 2 x3

3+ Logx2

1 - 4 x + 6 x2 - 4 x3 + x4

1) 1

2) -1

3) -1

2

4) -2

5) -∞

6) ∞

7) 0

25

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 10 x3 - 5 x4 - 3 x5 + 2 x6

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular 2 a

-4

(-15 - 22 a + 22 t + 68 a t - 51 t2 - 30 a t2 + 20 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) El resto de las soluciones son incorrectas

2) 1286

3) 1293

4) 1283

5) 1295

6) 1298

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 1 6 1 -1 ) es combinación lineal de la uplas

( -3 -3 -3 -2 ), ( -2 -3 -2 -1 ), ( -2 -1 -1 -2 )

, ( 0 2 1 -1 ), ( -1 -2 -2 0 ), ( -2 -4 -4 0 ),

1) Si 2) No

26

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

-3 5-2 3

.X - -1 10 -1

=5 113 7

1) -1 *

* * 2)

0 *

* * 3)

1 *

* * 4)

2 *

* * 5)

* -2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

2 x1 - 3 x2 - 4 x3 - x4 + 4 x5 ⩵ -2-x1 + 2 x2 - 5 x3 + 5 x4 - 5 x5 ⩵ 0

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?-2???

+⟨

?14???

,

?-9???

,

?6???

⟩

2)

????3

+⟨

??-7??

,

-10????

,

??-9??

,

??-9??

⟩

3)

???2?

+⟨

??-6??

,

-7????

,

5????

,

?-2???

⟩

4)

??3??

+⟨

26????

,

?-10???

,

8????

⟩

5)

-2????

+⟨

20????

,

?-6???

,

9????

⟩

27

28

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 8

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés compuesto continuamente del 10%, en la que pasados 2 años

se pasa a ofrecer un interés del 7% compuesto en 6 períodos. Inicialmente depositamos

13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

2 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****8.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****2.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****6.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****9.***** euros.

Ejercicio 2A partir de un capital inicial de 20000, el interés en cierta cuenta varía

de un año a otro de modo que el capital viene dado por la función C(t)=

20 0009 + t + 3 t2 - t3

-6 + 3 t - 9 t2 - t3

8-4 t+3 t2

. Determinar la tendencia de futuro calculando

el capital que podemos esperar en la cuenta pasado un gran número de años.

1) -∞

2)20 000

ⅇ5

3)20 000

ⅇ3

4) 20 000

5) 20 000 ⅇ3

6) 0

7) ∞

29

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 20 x3 - 15 x4 + 2 x6

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular -a

-1

(-6 - 7 a - 14 t + 36 a t + 54 t2 - 15 a t2 - 20 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) 17

2) 9

3) El resto de las soluciones son incorrectas

4) 34

5) 14

6) 24

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -2 1 -1 2 ) es combinación lineal de la uplas

( -4 2 -2 4 ), ( -2 1 -1 2 ),

1) Si 2) No

30

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 0-1 1

-1.X +

3 12 1

=2 24 3

1) -2 *

* * 2)

0 *

* * 3)

-1 *

* * 4)

2 *

* * 5)

* -2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-x1 - 10 x3 - 9 x4 + 5 x5 ⩵ -107 x1 + 2 x2 + 5 x4 + x5 ⩵ 03 x1 + x2 - 5 x3 - 2 x4 + 3 x5 ⩵ -5

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

????

-10

+⟨

???-3?

,

????5

,

?5???

,

????4

⟩

2)

???8?

3)

?-37???

+⟨

-8????

,

-10????

,

?-21???

⟩

4)

??0??

+⟨

-10????

,

-9????

,

5????

⟩

5)

13????

+⟨

?33???

,

?31???

,

4????

⟩

31

32

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 9

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés compuesto continuamente del 4%, en la que pasados 2 años

se pasa a ofrecer un interés compuesto del 2%. Inicialmente depositamos

15 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

10 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****9.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****7.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****6.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****8.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****2.***** euros.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 244 -968 -120

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función

que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la

legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -96

y -48. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=8).

1) Se cumplirá en los intervalos: [0,4] y [10,12].

2) Se alcanzarán en el intervalo [2,10].

3) Se cumplirá en los intervalos: [2,4] y [8,12].

4) Se alcanzarán en el intervalo [0,10].

5) Se alcanzarán en el intervalo [2,4].

6) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].

7) Se alcanzarán en el intervalo [2,8].

8) Se alcanzarán en el intervalo [8,10].

33

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 240 x2 - 40 x3 - 30 x4 + 3 x5 + 2 x6

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular 3 a

0

(6 - 24 a + 16 t + 42 a t - 21 t2 + 27 a t2 - 12 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) -26

2) -10

3) -27

4) -32

5) El resto de las soluciones son incorrectas

6) -21

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 1 -2 -2 5 ) es combinación lineal de la uplas

( -4 -4 -4 -4 ), ( 1 -2 1 2 ), ( -2 -2 -2 -2 ), ( 2 0 -1 0 ), ( 1 0 0 -2 ),

1) Si 2) No

34

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

0 1-1 1

.X - 1 01 1

=-2 0-3 -2

1) 1 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

0 *

* * 4)

2 *

* * 5)

* -2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-x1 - x2 - 2 x3 - 5 x4 ⩵ 55 x1 + 2 x2 - 5 x3 - 8 x4 + 6 x5 ⩵ -12 x1 + x2 - x3 - x4 + 2 x5 ⩵ -2

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

4????

+⟨

?-4???

,

4????

,

?4???

⟩

2)

-4????

+⟨

-2????

,

???-8?

,

?1???

,

1????

⟩

3)

?-6???

+⟨

2????

,

8????

,

-4????

⟩

4)

2????

+⟨

????-2

⟩

5)

3????

+⟨

3????

,

6????

,

?2???

⟩

35

36

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 10

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un interés compuesto del 6%

, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un interés del 8% compuesto en 2 períodos

. Inicialmente depositamos 8000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

2 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****1.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****3.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****8.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****9.***** euros.

Ejercicio 2

Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=-2 ⅇx+1 - cos(x + 1) - 1 x ≤ -1-2 (x + 3) -1 < x < 2-2 ⅇx-2 + cos(2 - x) - 9 2 ≤ x

1) Es derivable en todos los puntos.

2) No es derivable en ningún punto.

3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.

4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.

5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=2.

37

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 40 x3 - 9 x5 + 2 x6

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular -3 a

4

(2 + 9 a + 6 t - 36 a t - 18 t2 + 18 a t2 + 8 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) 134

2) El resto de las soluciones son incorrectas

3) 142

4) 121

5) 127

6) 132

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 9 5 -2 3 ) es combinación lineal de la uplas

( 1 0 2 -1 ), ( -1 1 4 -2 ), ( 2 -1 -2 1 ),

1) Si 2) No

38

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 -20 1

.X. 3 15 2

=5 20 0

1) -1 *

* * 2)

1 *

* * 3)

0 *

* * 4)

* -1* *

5) * 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

2 x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 - x5 ⩵ 53 x1 - 5 x2 - x3 - x4 + 2 x5 ⩵ 2-x1 + 7 x2 + 4 x3 + 2 x4 - 3 x5 ⩵ 3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?-1???

+⟨

????-2

,

????5

,

????1

⟩

2)

?-3???

+⟨

????-6

,

???-1?

,

????-5

⟩

3)

??-9??

+⟨

?4???

⟩

4)

???

-10?

5)

?0???

+⟨

???-7?

,

????3

,

????-2

⟩

39

40

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 11

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés compuesto continuamente del 2% y en la que inicialmente depositamos 12 000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

16 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **4.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→-24 x + 4 x2 + x3

-12 - 8 x + x2 + x3

1) -2

3

2)2

5

3) 1

4) 0

5) ∞

6) -∞

7) -1

41

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 30 x2 - 20 x3 + 15 x4 + 12 x5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

-6 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=2 y x=5.

1) 145

2) 144

3)289

2= 144.5

4)291

2= 145.5

5)285

2= 142.5

6) 143

7) 141

8)287

2= 143.5

42

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 02 1 0 11 0 1 01 0 0 1

.

1)

? -2 0 0-1 ? 1 10 0 ? 0-1 1 0 ?

2)

? -2 0 00 ? 0 10 1 ? 00 -1 -1 ?

3)

? -2 1 01 ? 1 -10 1 ? 10 1 0 ?

4)

? 0 0 0-1 ? 0 -1-1 0 ? 0-1 0 0 ?

5)

? -1 -1 10 ? 0 00 1 ? 01 0 0 ?

6)

? -1 2 -3-1 ? -1 21 -1 ? -40 0 0 ?

7)

? 0 -1 -10 ? 1 00 0 ? 10 1 1 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X - -7 -105 7

. 0 1-1 -1

=-10 -48 4

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

1 *

* * 4)

2 *

* * 5)

* -2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-4 x1 - 4 x2 + 4 x3 + 5 x4 ⩵ 1-2 x1 + 4 x2 - x3 - x4 ⩵ -38 x1 - 4 x2 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ 5

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

2???

+⟨

???14

,

??13?

⟩

2)

-9???

3)

??9?

+⟨

7???

,

??0?

,

?-2??

⟩

4)

?3??

+⟨

???15

,

??18?

⟩

5)

??14?

+⟨

???12

,

??16?

⟩

43

44

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 12

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el

banco B. En el banco A nos ofrecen un interés del 1% compuesto en 2 períodos

, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 7%

. Inicialmente depositamos 15 000 euros en el banco A y 2000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **4.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

Ejercicio 2

Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=

sin(1 - x) + 3 cos(1 - x) - 3 x ≤ 11

4((x - 14) x + 13) 1 < x < 3

-2 ⅇx-3 - 2 cos(3 - x) - 1 3 ≤ x

1) Es derivable en todos los puntos.

2) No es derivable en ningún punto.

3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.

4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.

5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1 y x=3.

45

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 12 x - 3 x2 + 2 x3

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=2 + t2 millones de euros/año.

Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 90

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.

1)358

3millones de euros = 119.3333 millones de euros

2) 105 millones de euros

3)277

3millones de euros = 92.3333 millones de euros

4)290

3millones de euros = 96.6667 millones de euros

46

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 -1 0 10 1 0 -1-1 0 1 00 0 0 1

.

1)

? -3 0 -10 ? 0 00 1 ? 01 3 0 ?

2)

? -3 0 12 ? 1 10 -1 ? 02 -2 0 ?

3)

? 1 0 00 ? 0 11 1 ? 00 0 0 ?

4)

? -1 0 00 ? 1 01 -1 ? 00 0 0 ?

5)

? -1 1 -10 ? -1 00 -1 ? 0-1 0 2 ?

6)

? -1 2 -22 ? 0 10 0 ? 12 1 -1 ?

7)

? 0 -1 -12 ? -1 -31 0 ? 0-2 0 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

2 -1-1 1

.X. 1 20 1

=3 6-2 -4

1) 1 *

* * 2)

2 *

* * 3)

* -2* *

4) * -1* *

5) * 2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-2 x1 - x2 - x4 ⩵ 1-x1 - x2 - 5 x4 ⩵ 34 x1 + x2 - 7 x4 ⩵ 3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

-1???

+⟨

-1???

,

?-12??

⟩

2)

???0

3)

5???

+⟨

?1??

,

?-12??

⟩

4)

??1?

+⟨

?7??

⟩

5)

?-5??

+⟨

0???

,

?-9??

⟩

47

48

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 13

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 464 000 euros hasta un valor final de

267 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de

interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **5.*****%.

2) El interés será del **9.*****%.

3) El interés será del **6.*****%.

4) El interés será del **0.*****%.

5) El interés será del **2.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 14 417 134

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la

función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que

la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre

22 y 66. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).

1) Se alcanzarán en el intervalo [-13

3,7].

2) Se alcanzarán en el intervalo [3,7].

3) Se alcanzarán en el intervalo [-13

3,3].

4) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].

5) Se alcanzarán en el intervalo [3,5].

6) Se alcanzarán en el intervalo [-13

3,0].

7) Se cumplirá en los intervalos: [-13

3,-

7

3] y [5,7].

8) Se alcanzarán en el intervalo [-13

3,-

7

3].

49

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 24 x2 - 3 x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=cos(6 t) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

3 π primeros meses del año (entre t=0 y t=3 π).

1) 0 euros

2) -60 euros

3) -70 euros

4) 0 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 0 -1 0 1 1 ), ( -4 -4 2 2 -4 ), ( -2 -2 1 1 -2 ), ( 1 -1 2 1 -1 ), ( -2 -3 1 2 -1 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5

50

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X - 3 -2-7 5

. 0 -11 3

=2 10-6 -24

1) -2 *

* * 2)

0 *

* * 3)

-1 *

* * 4)

* -2* *

5) * -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-3 x1 - x2 + 3 x3 + 3 x4 - 2 x5 ⩵ 13 x1 + 4 x2 + 3 x3 - 7 x4 + 5 x5 ⩵ 0

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???

-10?

+⟨

??6??

,

?-6???

⟩

2)

????8

+⟨

???12?

,

???-1?

,

???

-19?

⟩

3)

???5?

+⟨

???9?

,

???-3?

,

???

-21?

⟩

4)

1????

+⟨

???7?

,

????-7

,

????

-28

⟩

5)

???10?

+⟨

-2????

,

???-4?

⟩

51

52

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 14

Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan

desde un valor inicial de 312 000 euros hasta un valor final de

446 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de

interés anual compuesto en 6 períodos de esa revalorización.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **3.*****%.

2) El interés será del **2.*****%.

3) El interés será del **5.*****%.

4) El interés será del **0.*****%.

5) El interés será del **7.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 173 86 -55

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la

función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que

la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre

8 y 17. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).

1) Se alcanzarán en el intervalo [3,6].

2) Se alcanzarán en el intervalo [-1,0].

3) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].

4) Se cumplirá en los intervalos: [0,0] y [2,3].

5) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [2,3].

6) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].

7) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [2,6].

8) Se alcanzarán en el intervalo [0,0].

53

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 6 x2 - 2 x3 + x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(4 + 3 t)log(t) euros.

Calcular el valor medio del paquete de acciones entre el mes 1 y el mes 2 (entre t=1 y t=2).

1)1

2-14 +

51 Log[3]

2euros = 7.0073 euros

2) -14 +51 Log[3]

2euros = 14.0146 euros

3) -25

4+ 14 Log[2] euros = 3.4541 euros

4)1

2-93

4+ 40 Log[4] euros = 16.1009 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( -1 -1 2 2 ), ( 1 -1 -2 2 ), ( -2 1 -1 0 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3

54

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

-1 0-2 -1

.X + -1 10 -1

=1 03 2

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* -2* *

5) * -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-3 x1 - 2 x2 + 3 x3 - 4 x4 + x5 ⩵ 3-x1 - x2 + 7 x3 - 3 x4 + 3 x5 ⩵ 95 x1 + 3 x2 + x3 + 5 x4 + x5 ⩵ 3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??-1??

+⟨

-9????

,

1????

,

?10???

⟩

2)

???1?

+⟨

?19???

,

?-3???

,

-7????

⟩

3)

???-7?

+⟨

????0

,

??10??

⟩

4)

??0??

+⟨

-11????

,

?-5???

,

-5????

⟩

5)

3????

55

56

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 15

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés compuesto continuamente del 3% y en la que inicialmente depositamos 10 000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

12 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→2-12 + 16 x - 7 x2 + x3

-4 + 8 x - 5 x2 + x3

1) -1

2) ∞

3) 1

4) -∞

5) 0

6) -2

7) -1

2

57

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 24 x - 6 x2 - 8 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

6 x + 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=5.

1) 171

2) 173

3) 174

4)347

2= 173.5

5)345

2= 172.5

6)437

3= 145.6667

7) 153

8)491

3= 163.6667

58

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 1 0 00 1 -1 00 0 1 00 -1 1 1

.

1)

? -1 -1 00 ? 1 00 0 ? 00 1 0 ?

2)

? -1 0 00 ? 0 00 0 ? 0-1 -1 0 ?

3)

? -1 0 00 ? 0 1-1 1 ? 1-1 0 0 ?

4)

? 0 -1 -11 ? -1 -10 1 ? 00 1 0 ?

5)

? 0 -1 0-2 ? 1 1-1 0 ? 00 0 0 ?

6)

? 0 -1 00 ? 2 -10 0 ? 0-1 -1 -2 ?

7)

? 0 0 0-1 ? 0 -13 -3 ? 2-3 3 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X - -1 20 -1

. 0 -11 -1

=-1 01 -2

1) -1 *

* * 2)

1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* -1* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-9 x1 - 3 x3 - 2 x4 ⩵ -25 x1 + 5 x2 + 2 x3 + x4 ⩵ 54 x1 - 5 x2 + x3 + x4 ⩵ -3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??10?

+⟨

???0

,

???17

⟩

2)

??10?

+⟨

??-4?

,

???18

⟩

3)

?4??

+⟨

???-7

,

??1?

,

-1???

⟩

4)

??-3?

+⟨

??

-10?

,

??-8?

,

3???

,

???-5

⟩

5)

???

-11

+⟨

??-1?

,

??

-10?

⟩

59

60

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 16

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de

413 000 euros hasta un valor final de 104 000 euros a lo largo de 8

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **5.*****%.

2) El interés será del **6.*****%.

3) El interés será del **7.*****%.

4) El interés será del **8.*****%.

5) El interés será del **4.*****%.

Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=

2 ⅇx-1 - 2 cos(1 - x) + 1 x ≤ 1

ⅇ2 (x - 1) - ⅇx-1 + 2 x + x -sin(2) + 3 + sin(2) - 2 cos(1 - x) 1 < x < 3

-2 sin(3 - x) + 3 cos(3 - x) + ⅇ2 + 9 - 4 sin(2) - 2 cos(2) 3 ≤ x

1) Es derivable en todos los puntos.

2) No es derivable en ningún punto.

3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.

4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.

5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1 y x=3.

61

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 24 x2 + 16 x3 - 5 x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(2 + 4 t)(cos(2πt)+2) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

3 primeros meses del año (entre t=0 y t=3).

1) 8 euros

2)8

3euros = 2.6667 euros

3) 16 euros

4) 0 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( -2 2 1 -2 2 ), ( -4 -4 4 2 0 ), ( -2 -2 2 1 0 ), ( -1 -1 0 -1 2 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

62

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X - 0 1-1 0

. 1 10 1

=-1 -22 2

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

* -2* *

4) * -1* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

11 x1 + 4 x2 + 2 x3 - 2 x4 + 2 x5 ⩵ 3-25 x1 - 9 x2 + x3 - x4 - 4 x5 ⩵ -2-8 x1 - 3 x2 - 7 x3 + 7 x4 - 2 x5 ⩵ -7

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?4???

+⟨

????1

,

?-9???

,

????3

,

???-8?

⟩

2)

??-2??

+⟨

19????

,

?59???

,

3????

⟩

3)

???2?

+⟨

??3??

⟩

4)

??-1??

+⟨

?-58???

,

?59???

,

1????

⟩

5)

-19????

+⟨

?-61???

,

?61???

,

2????

⟩

63

64

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 17

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el banco

B. En el banco A nos ofrecen un interés del 6% compuesto en 12 períodos

, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 3%

. Inicialmente depositamos 2000 euros en el banco A y 6000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **7.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→∞6 + 5 x + 4 x2 + 5 x3

-9 + 2 x + 4 x2 - 2 x3

1) ∞

2) -1

3) -5

2

4) -∞

5) 1

6) -1

4

7) 0

65

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 48 x + 12 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=2 + 2 t + 3 t2 millones de euros/año.

Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 90

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.

1) 178 millones de euros

2) 94 millones de euros

3) 106 millones de euros

4) 132 millones de euros

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

0 1 0 0-1 1 1 -10 0 1 -10 1 -1 2

.

1)

? -1 -1 01 ? 1 00 0 ? 00 0 -1 ?

2)

? -1 0 00 ? -1 00 0 ? 02 -1 -1 ?

3)

? -1 1 1-1 ? -2 -40 1 ? -10 0 1 ?

4)

? -1 1 01 ? 0 0-1 0 ? 1-1 0 1 ?

5)

? 0 -1 01 ? -2 00 0 ? 0-1 1 0 ?

6)

? 0 -1 1-2 ? 1 -10 0 ? 0-1 1 0 ?

7)

? 0 0 -1-1 ? 2 20 1 ? 0-1 1 1 ?

66

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

2 -11 0

.X - 1 0-2 1

=2 03 -1

1) -1 *

* * 2)

1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* -2* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

x1 - 3 x2 + 2 x3 - x4 ⩵ 22 x1 - x3 + x4 ⩵ -55 x1 - 3 x2 + x4 ⩵ -8

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

-4???

+⟨

???-7

,

??7?

,

??6?

,

?2??

⟩

2)

??3?

+⟨

?-7??

⟩

3)

?-2??

+⟨

??-5?

,

??4?

⟩

4)

?3??

+⟨

???-7

,

???0

⟩

5)

0???

+⟨

???-5

,

???3

⟩

67

68

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 18

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una

en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un

interés compuesto del 5%, mientras que en la del banco B tenemos un

interés compuesto continuamente del 9%

. Inicialmente depositamos 5000 euros en el banco A y 1000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **7.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→∞-8 + 5 x + 6 x2 - 8 x3

5 - 2 x + 3 x2 + 8 x3

1) -3

2) -∞

3) -1

4) -2

3

5) ∞

6) 0

7) 1

69

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 6 x2 + 2 x3

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=3 + 3 t + t2 millones de euros/año.

Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 70

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.

1)203

2millones de euros = 101.5 millones de euros

2)449

6millones de euros = 74.8333 millones de euros

3)382

3millones de euros = 127.3333 millones de euros

4)254

3millones de euros = 84.6667 millones de euros

70

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 00 0 1 01 -1 1 10 0 0 1

.

1)

? 0 0 01 ? -1 10 1 ? 00 0 0 ?

2)

? -2 1 -11 ? 0 10 0 ? 00 0 0 ?

3)

? -1 -3 30 ? 2 -10 0 ? -10 -1 -1 ?

4)

? -1 -1 -10 ? 0 0-1 -1 ? -21 1 1 ?

5)

? -1 -1 -12 ? 0 -10 0 ? 02 -2 -1 ?

6)

? 0 -1 0-1 ? 2 -1-1 0 ? -1-1 0 2 ?

7)

? 0 -1 01 ? 0 -11 0 ? -11 0 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

2 -1-7 4

.X + 1 -20 1

=-1 -17 -3

1) -1 *

* * 2)

1 *

* * 3)

* -2* *

4) * -1* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-x1 - 3 x2 - x4 ⩵ 0-x1 - 4 x2 - 3 x3 - 2 x4 ⩵ 3-2 x1 - 5 x2 + 3 x3 - x4 ⩵ -3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??-2?

+⟨

6???

,

?-2??

⟩

2)

??7?

+⟨

??-8?

,

?-10??

,

??8?

,

??1?

⟩

3)

???-1

+⟨

10???

,

0???

⟩

4)

???6

+⟨

?-5??

,

?-6??

,

?9??

,

??-4?

⟩

5)

??0?

+⟨

9???

,

?-1??

⟩

71

72

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 19

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés del 6% compuesto en 7 períodos y en la que inicialmente depositamos 8000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

12 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **7.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **8.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→0-x2 + Sinx2

x3

1) -2

2) -∞

3) ∞

4) 1

5) 0

6) -1

7) -1

2

73

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 120 x2 + 160 x3 + 75 x4 + 12 x5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

-2 + x + x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-3 y x=3.

1)33

2= 16.5

2) 6

3)34

3= 11.3333

4)7

3= 2.3333

5)35

2= 17.5

6) 18

7) 15

8) 17

74

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 00 1 0 00 -1 1 00 0 0 1

.

1)

? -1 0 0-1 ? 0 11 -1 ? 0-1 0 0 ?

2)

? -1 0 1-2 ? 0 -10 0 ? 0-2 1 0 ?

3)

? 0 0 00 ? 0 00 1 ? 00 0 0 ?

4)

? 0 -2 -20 ? 0 0-1 0 ? 10 0 1 ?

5)

? 0 -1 -10 ? 0 0-1 0 ? 0-1 0 1 ?

6)

? 0 0 -20 ? 1 01 -1 ? -3-1 0 0 ?

7)

? 0 0 -10 ? 1 -10 0 ? 00 1 -1 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 -12 -1

.X. 2 -1-1 1

=1 -11 -1

1) 0 *

* * 2)

2 *

* * 3)

* -1* *

4) * 2* *

5) * *

-1 *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

3 x1 + 5 x2 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ -1x1 + 2 x2 - 5 x3 - 3 x4 ⩵ -1-6 x1 - 9 x2 - 9 x3 ⩵ 0

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

4???

+⟨

-18???

,

-7???

⟩

2)

?-2??

+⟨

?13??

,

?6??

⟩

3)

5???

+⟨

-6???

,

???7

,

???2

,

??-7?

⟩

4)

1???

+⟨

?15??

,

-6???

⟩

5)

???2

+⟨

??8?

,

?0??

,

?-9??

⟩

75

76

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 20

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y

otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 9%

, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 5%

. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 8000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=

2 ⅇx+1 + 1 x ≤ -1

x log(9) - 2 (x + 2) log(x + 2) + 4 + log(9) -1 < x < 12 sin(1 - x) + cos(1 - x) + 3 - log(9) 1 ≤ x

1) Es derivable en todos los puntos.

2) No es derivable en ningún punto.

3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.

4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.

5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=1.

77

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 48 x + 48 x2 - 20 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=(3 + 2 t)log(3 t) millones de euros/año.

Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 30

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 5 años.

1)27

2- 4 Log[3] + 28 Log[12] millones de euros = 78.6829 millones de euros

2) 6 - 4 Log[3] + 40 Log[15] millones de euros = 109.9276 millones de euros

3) -5

2- 4 Log[3] + 54 Log[18] millones de euros = 149.1856 millones de euros

4)155

2- 4 Log[3] + 54 Log[18] millones de euros = 229.1856 millones de euros

78

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 -20 1 0 00 0 1 02 0 0 -3

.

1)

? 0 0 20 ? 0 00 0 ? 0-2 0 0 ?

2)

? -1 -1 -21 ? 0 00 0 ? 10 0 3 ?

3)

? -1 0 02 ? 0 10 0 ? 01 1 0 ?

4)

? -1 0 10 ? 0 00 1 ? 00 0 0 ?

5)

? -1 0 11 ? 0 -1-2 0 ? -10 0 0 ?

6)

? -1 0 31 ? -1 0-1 0 ? 01 -1 0 ?

7)

? -1 1 -10 ? 0 0-1 0 ? 00 0 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

0 1-1 1

.X + 8 -311 -4

=8 -212 -2

1) -1 *

* * 2)

1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* -2* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-2 x1 + x2 + 8 x3 - 3 x4 ⩵ 45 x1 + 11 x3 - 4 x4 ⩵ -3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???

-68

+⟨

???

-62

,

??4?

⟩

2)

???

-71

+⟨

??

-24?

,

???9

⟩

3)

??-9?

+⟨

-9???

,

?-10??

,

??-8?

⟩

4)

??6?

5)

?3??

+⟨

??

-24?

,

??6?

⟩

79

80

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 21

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés compuesto continuamente del 1% y en la que inicialmente depositamos 12 000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

20 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→1-2 + 5 x - 3 x2 - x3 + x4

-3 + 7 x - 5 x2 + x3

1) ∞

2) -1

3) 0

4) -∞

5) -1

3

6) -2

3

7) 1

81

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 30 x2 - 20 x3 - 15 x4 + 12 x5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

-4 + 6 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=-1.

1) 101

2)201

2= 100.5

3)205

2= 102.5

4)207

2= 103.5

5) 103

6) 102

7) 99

8)203

2= 101.5

82

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

1)

? -1 0 00 ? 0 21 0 ? 00 0 0 ?

2)

? -1 0 02 ? 0 -12 0 ? -1-2 1 0 ?

3)

? -1 1 01 ? 0 00 0 ? 01 0 1 ?

4)

? -1 0 00 ? 0 00 0 ? 00 0 0 ?

5)

? 0 -1 00 ? 1 20 -1 ? -20 2 3 ?

6)

? 0 0 -11 ? 0 01 -1 ? -10 0 0 ?

7)

? 0 0 0-1 ? -1 00 0 ? 00 1 -2 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

-1 -12 1

.X - 1 00 1

=0 1-1 -2

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* -2* *

5) * 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

3 x1 - x2 + 5 x3 ⩵ 4-2 x1 + x2 + 4 x4 ⩵ -1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???0

+⟨

?-10??

,

?-12??

⟩

2)

8???

+⟨

-5???

⟩

3)

?2??

+⟨

-6???

,

-5???

⟩

4)

0???

+⟨

?-12??

,

-6???

⟩

5)

??-2?

+⟨

??-2?

,

??0?

,

??0?

,

?10??

⟩

83

84

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 22

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés compuesto del 5% y en la que inicialmente depositamos 15 000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

21 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a

otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos

los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:

año fondos0 41 172 28

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los

fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue

la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.

1) El máximo de los fondos en cuenta fue 14.

2) El máximo de los fondos en cuenta fue 53.

3) El máximo de los fondos en cuenta fue 49.

4) El máximo de los fondos en cuenta fue 7.

5) El máximo de los fondos en cuenta fue 12.

85

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 30 x2 - 20 x3 + 15 x4 + 12 x5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

18 + 3 x - 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=1.

1) 82

2)5

2= 2.5

3)163

2= 81.5

4)157

2= 78.5

5)165

2= 82.5

6) 80

7) 81

8)161

2= 80.5

86

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

0 0 -1 20 1 0 -11 0 1 -1-1 0 -1 2

.

1)

? -1 -1 -10 ? 1 10 3 ? 30 1 1 ?

2)

? -1 -1 01 ? 0 20 0 ? -10 0 0 ?

3)

? 0 0 -10 ? 1 1-1 0 ? 20 0 1 ?

4)

? -1 0 10 ? 0 -11 -1 ? 10 -1 0 ?

5)

? -1 1 00 ? 0 01 -1 ? 00 -1 1 ?

6)

? -1 1 01 ? 0 -10 0 ? 00 0 1 ?

7)

? 0 -1 1-1 ? -1 0-1 0 ? 10 0 -1 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X - 1 0-1 1

. -1 -23 5

-1=

-13 -516 6

1) -2 *

* * 2)

1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* 1* *

5) * -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

3 x1 + 4 x2 + 4 x4 ⩵ -44 x1 + 6 x2 + 10 x4 ⩵ -2-x1 - x2 + x4 ⩵ 3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???3

+⟨

2???

,

?-10??

⟩

2)

??-3?

+⟨

1???

,

?-5??

⟩

3)

??0?

+⟨

0???

,

8???

⟩

4)

???-3

+⟨

???-6

,

?-9??

,

??10?

⟩

5)

??6?

87

88

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 23

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una

en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un

interés compuesto del 9%, mientras que en la del banco B tenemos un

interés compuesto continuamente del 6%

. Inicialmente depositamos 4000 euros en el banco A y 8000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **4.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→-∞-5 - 5 x + 6 x2 + 3 x3 - 5 x4

1) -∞

2) -5

3) 0

4) 1

5) -1

6) -2

7) ∞

89

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 24 x - 18 x2 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=30 ⅇ-3+2 t millones de euros/año.

Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 20

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.

1) 20 -15

ⅇ3+ 15 ⅇ

3 millones de euros = 320.5362 millones de euros

2) 20 -15

ⅇ3+ 15 ⅇ millones de euros = 60.0274 millones de euros

3) 20 +15

ⅇ5-15

ⅇ3millones de euros = 19.3543 millones de euros

4) 20 -15

ⅇ3+15

ⅇmillones de euros = 24.7714 millones de euros

90

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 -1 -10 1 0 00 0 1 10 0 0 1

.

1)

? 0 1 00 ? 0 00 0 ? -10 0 0 ?

2)

? -1 0 -11 ? 0 -2-1 1 ? 1-1 3 1 ?

3)

? -1 0 1-1 ? 2 0-1 -1 ? 01 0 -1 ?

4)

? -1 0 10 ? 0 -10 0 ? 02 -2 -1 ?

5)

? 0 0 -11 ? -1 -10 0 ? -10 0 -1 ?

6)

? 0 0 0-2 ? 1 0-2 3 ? 00 0 0 ?

7)

? 0 0 00 ? 0 00 -1 ? 00 -1 1 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

0 -11 1

.X - -1 5-1 4

=0 -51 -4

1) 0 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* -2* *

5) * -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

3 x1 - 8 x2 + 4 x3 + 4 x4 ⩵ -32 x1 - 5 x2 - 3 x3 - 5 x4 ⩵ -5x1 - 3 x2 + 7 x3 + 9 x4 ⩵ 2

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??-2?

+⟨

-1???

,

??-5?

,

5???

,

?-2??

⟩

2)

?-9??

+⟨

44???

,

60???

⟩

3)

?-12??

+⟨

46???

,

59???

⟩

4)

?-6??

+⟨

47???

,

62???

⟩

5)

-6???

+⟨

?2??

,

???8

,

??2?

⟩

91

92

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 24

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una

en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un

interés compuesto continuamente del 2%, mientras que en la del banco B tenemos un

interés del 7% compuesto en 11 períodos

. Inicialmente depositamos 10 000 euros en el banco A y 5000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

Ejercicio 2

Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=-ⅇx+1 - 2 cos(x + 1) + 1 x ≤ -1-x - 3 -1 < x < 2sin(2 - x) + 3 cos(2 - x) - 8 2 ≤ x

1) Es derivable en todos los puntos.

2) No es derivable en ningún punto.

3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.

4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.

5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=2.

93

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 48 x + 48 x2 - 20 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=(2 + 2 t)(cos(2πt)+2) millones de euros/año.

Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 80

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.

1) 78 millones de euros

2) 86 millones de euros

3) 110 millones de euros

4) 96 millones de euros

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 -1 2 50 1 -1 -30 0 1 10 1 0 -1

.

1)

? -1 0 00 ? 0 -10 2 ? -10 -1 0 ?

2)

? 2 0 -10 ? -1 20 1 ? -10 -1 -1 ?

3)

? 0 -3 -11 ? -1 00 0 ? 00 -1 0 ?

4)

? 0 -1 00 ? 0 00 0 ? -20 0 0 ?

5)

? 0 -1 01 ? -1 0-1 1 ? 00 0 0 ?

6)

? 0 -1 01 ? -1 30 1 ? 00 0 0 ?

7)

? 0 0 0-1 ? -1 01 0 ? 03 -1 2 ?

94

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

3 51 2

.X + 0 -11 0

=5 73 3

1) -1 *

* * 2)

2 *

* * 3)

* 1* *

4) * 0* *

5) * 2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

3 x1 + 5 x2 + x3 + 5 x4 ⩵ -2-5 x1 - 9 x2 - x3 - 3 x4 ⩵ -6x1 + 2 x2 - x4 ⩵ 4

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??-2?

+⟨

?-1??

,

-13???

⟩

2)

??2?

+⟨

???7

⟩

3)

?-8??

4)

???0

+⟨

?1??

,

-15???

⟩

5)

??-1?

+⟨

?-2??

,

?5??

⟩

95

96

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 25

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés compuesto del 3% y en la que inicialmente depositamos 5000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los 7000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→0

-x +x3

6+ Sin[x]

x4

1) ∞

2) -2

3

3) -∞

4) -2

5) 1

6) -1

2

7) 0

97

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 24 x - 6 x2 + 8 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

-4 + x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=4.

1)71

3= 23.6667

2)5

3= 1.6667

3)127

6= 21.1667

4)139

6= 23.1667

5)65

3= 21.6667

6)133

6= 22.1667

7)59

3= 19.6667

8)68

3= 22.6667

98

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

0 0 2 10 1 -1 -10 0 1 0-1 0 1 1

.

1)

? -1 0 -1-1 ? 0 11 0 ? -10 0 -1 ?

2)

? -1 0 00 ? 0 00 -1 ? 00 1 -1 ?

3)

? -1 0 01 ? -1 0-2 1 ? 0-2 0 -1 ?

4)

? 0 -1 -11 ? -1 00 0 ? 01 0 -2 ?

5)

? -1 4 30 ? 0 01 -1 ? 50 0 1 ?

6)

? 0 -1 0-2 ? 3 -10 -1 ? 00 1 0 ?

7)

? 0 -1 00 ? 0 01 0 ? 0-1 -1 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X + 1 21 3

. 1 41 5

=3 136 28

1) -2 *

* * 2)

0 *

* * 3)

* -2* *

4) * -1* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

3 x1 + 8 x2 + 5 x3 - 2 x4 ⩵ 24 x1 + 11 x2 - 5 x3 ⩵ 3-x1 - 3 x2 + 10 x3 - 2 x4 ⩵ -1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???3

+⟨

???-2

⟩

2)

-2???

+⟨

-95???

,

22???

⟩

3)

???-5

+⟨

??-6?

,

???8

,

???-1

⟩

4)

??3?

+⟨

-93???

,

24???

⟩

5)

??2?

+⟨

-92???

,

24???

⟩

99

100

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 26

Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de

312 000 euros hasta un valor final de 455 000 euros a lo largo de 6

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **6.*****%.

2) El interés será del **5.*****%.

3) El interés será del **1.*****%.

4) El interés será del **4.*****%.

5) El interés será del **2.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 123 -516 -60

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función

que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la

legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -51

y -15. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).

1) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].

2) Se alcanzarán en el intervalo [1,3].

3) Se cumplirá en los intervalos: [1,3] y [6,9].

4) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].

5) Se alcanzarán en el intervalo [1,7].

6) Se alcanzarán en el intervalo [0,7].

7) Se cumplirá en los intervalos: [0,3] y [7,9].

8) Se alcanzarán en el intervalo [6,7].

101

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 6 x2 - 2 x3 + x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(4 + 7 t)ⅇ-2-t euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

6 primeros meses del año (entre t=0 y t=6).

1) 80 +1

6-53

ⅇ8+11

ⅇ2euros = 80.2452 euros

2)1

6-53

ⅇ8+11

ⅇ2euros = 0.2452 euros

3) 140 +1

6-53

ⅇ8+11

ⅇ2euros = 140.2452 euros

4) 90 +1

6-53

ⅇ8+11

ⅇ2euros = 90.2452 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 0 -2 1 -2 ), ( -3 1 -1 3 ), ( 2 1 1 -1 ), ( -1 2 0 2 ), ( 0 2 -2 2 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5

102

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 0-2 1

.X. -1 3-1 2

=1 -3-2 6

1) -1 *

* * 2)

0 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* -2* *

5) * -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

3 x1 + x2 - 3 x3 - x4 + 3 x5 ⩵ 23 x1 + x2 + 4 x3 - x4 + 2 x5 ⩵ -39 x1 + 3 x2 + 5 x3 - 3 x4 + 7 x5 ⩵ -4

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??-3??

+⟨

????1

,

????-3

,

???21?

⟩

2)

?6???

+⟨

????-5

,

??10??

,

?-5???

,

????-7

⟩

3)

???-6?

+⟨

????-9

⟩

4)

?2???

+⟨

????-3

,

???0?

,

???20?

⟩

5)

?0???

+⟨

????0

,

????0

,

????7

⟩

103

104

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 27

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y

otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 9%

, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 3%

. Inicialmente depositamos 3000 euros en el banco A y 12 000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

Ejercicio 2Una factoría fabrica cierto tipo de dispositivos. El coste marginal (coste

de fabricar una unidad) se reduce cuando producimos grandes cantidades

de dispositivos y viene dado por la función C(x)=7 + 3 x + 5 x2 + 5 x3

4 + 5 x + 2 x2 + 3 x3 + 3 x4

. Determinar el coste por unidad esperado cuando se producen grandes cantidades de unidades.

1) -∞

2) -3

4

3) -1

4) -1

2

5) 0

6) ∞

7) 19 000

105

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 6 x2 - 8 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=(7 + 6 t)(cos(2πt)+2) millones de euros/año.

Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 70

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.

1) 90 millones de euros

2) 62 millones de euros

3) 166 millones de euros

4) 122 millones de euros

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 1 -11 1 0 01 0 1 0-1 0 -2 2

.

1)

? -1 -1 0-1 ? 2 10 0 ? 00 0 1 ?

2)

? 0 -2 21 ? -2 20 -1 ? -10 0 0 ?

3)

? 0 -1 00 ? 1 00 1 ? 00 0 0 ?

4)

? 0 0 1-2 ? 0 -1-2 0 ? -1-1 0 1 ?

5)

? 0 0 -13 ? 0 -3-1 0 ? 12 0 0 ?

6)

? 0 0 00 ? -1 01 -1 ? 01 0 0 ?

7)

? 0 0 00 ? 0 -10 0 ? 01 0 -1 ?

106

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

-1 -42 7

.X. 1 -3-1 4

=6 -23

-11 42

1) -2 *

* * 2)

0 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* -2* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

2 x1 - x2 + 5 x3 - 6 x4 ⩵ 25 x1 + x2 + x3 - x4 ⩵ 1-6 x1 - 4 x2 + 8 x3 - 10 x4 ⩵ 2

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??4?

+⟨

???

-23

,

??-7?

⟩

2)

??2?

+⟨

??

-29?

,

??-9?

⟩

3)

???2

+⟨

??5?

,

??-4?

,

?-7??

⟩

4)

???-1

5)

??5?

+⟨

???

-26

,

??-9?

⟩

107

108

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 28

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de

412 000 euros hasta un valor final de 298 000 euros a lo largo de 9

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **3.*****%.

2) El interés será del **0.*****%.

3) El interés será del **4.*****%.

4) El interés será del **7.*****%.

5) El interés será del **2.*****%.

Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=

ⅇx-1 x ≤ 1

x -1 + 3 sin(1) - 3 cos(1 - x) + 8 + 3 sin(1) 1 < x < 2

sin(2 - x) + 2 cos(2 - x) + 4 - 3 sin(1) - 3 cos(1) 2 ≤ x

1) Es derivable en todos los puntos.

2) No es derivable en ningún punto.

3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.

4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.

5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1 y x=2.

109

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 24 x2 + 16 x3 - 5 x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(3 + t)ⅇ1-t euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).

1)1

74 ⅇ - 3 ⅇ

2 euros = -1.6134 euros

2) 10 +1

7-11

ⅇ6+ 4 ⅇ euros = 11.5494 euros

3) 30 +1

7-11

ⅇ6+ 4 ⅇ euros = 31.5494 euros

4)1

7-11

ⅇ6+ 4 ⅇ euros = 1.5494 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( -1 2 1 2 -2 ), ( -2 4 -1 1 -4 ), ( 1 -2 2 1 2 )

, ( -4 -4 4 -2 -4 ), ( -3 0 3 1 -4 ), ( -2 -2 2 -1 -2 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6

110

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

-1 -12 1

.X. 3 21 1

=4 3-5 -4

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

0 *

* * 4)

* -2* *

5) * 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

3 x1 + 4 x2 + x3 + 3 x4 + 2 x5 ⩵ 2-8 x1 - 7 x2 - 8 x3 - 10 x4 - 7 x5 ⩵ -5-x1 - 5 x2 + 5 x3 + x4 + x5 ⩵ -1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

0????

+⟨

???-5?

,

???

-14?

,

????

-14

⟩

2)

???5?

+⟨

???-4?

,

????16

,

???7?

⟩

3)

???7?

+⟨

???10?

⟩

4)

????-8

+⟨

???-4?

,

???

-17?

,

???10?

⟩

5)

???1?

111

112

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 29

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de

324 000 euros hasta un valor final de 202 000 euros a lo largo de 10

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **2.*****%.

2) El interés será del **5.*****%.

3) El interés será del **3.*****%.

4) El interés será del **9.*****%.

5) El interés será del **4.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 224 -26 22

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la

función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que

la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre

7 y 22. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).

1) Se alcanzarán en el intervalo [-2,5].

2) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].

3) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [5,6].

4) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].

5) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].

6) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].

7) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].

8) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].

113

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - x3 +x4

2

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=30 ⅇ-2+3 t euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

6 primeros meses del año (entre t=0 y t=6).

1)1

6-10

ⅇ2+ 10 ⅇ

16 euros = 1.481×107 euros

2)1

6-10

ⅇ2+ 10 ⅇ euros = 4.3049 euros

3)1

6

10

ⅇ5-10

ⅇ2euros = -0.2143 euros

4)1

6-10

ⅇ2+ 10 ⅇ

4 euros = 90.7714 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( -2 0 2 -1 ), ( 0 0 -2 -1 ), ( -1 0 1 1 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3

114

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X - 1 30 1

. -1 0-2 -1

=4 21 0

1) 1 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

0 *

* * 4)

2 *

* * 5)

* 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

5 x1 + 7 x2 - 6 x3 + 3 x4 + 7 x5 ⩵ -6-x1 - x2 - 2 x3 - 3 x4 + 3 x5 ⩵ -4-3 x1 - 4 x2 + 2 x3 - 3 x4 - 2 x5 ⩵ 1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

16????

+⟨

-9????

,

?9???

,

15????

⟩

2)

???3?

+⟨

?6???

,

9????

,

?7???

,

?9???

⟩

3)

??7??

+⟨

????10

,

???4?

⟩

4)

17????

+⟨

-10????

,

-9????

,

14????

⟩

5)

????1

+⟨

-13????

,

?3???

,

?-12???

⟩

115

116

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 30

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés compuesto continuamente del 6%, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un

interés del 7% compuesto en 11 períodos. Inicialmente depositamos

5000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

2 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****5.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****7.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****2.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→-∞5 - 3 x - 6 x2 + 4 x3

-8 + 5 x - 7 x2 + 4 x3

2+3 x+4 x2

1) ⅇ

2) 0

3)1

ⅇ4

4) -∞

5) ∞

6) 1

7)1

ⅇ2

117

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 60 x2 - 10 x3 - 15 x4 + 3 x5 + 2 x6

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular 2

5

(-3 - 2 a + 3 t - a t

-2 + t + t2)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el

parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) El resto de las soluciones son incorrectas

2) -1.38629

3) -1.89139

4) -2.28469

5) -1.28359

6) -1.61979

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -2 -4 -4 ) es combinación lineal de la uplas

( 1 2 2 ), ( 2 4 4 ),

1) Si 2) No

118

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 -13 -2

.X + 3 -2-1 1

=6 -216 -5

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

0 *

* * 4)

2 *

* * 5)

* 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-3 x1 - 9 x2 + 2 x3 - 5 x4 + 2 x5 ⩵ 3-2 x1 + 4 x2 - 4 x3 - 3 x4 + x5 ⩵ 15 x1 + 5 x2 + 2 x3 + 8 x4 - 3 x5 ⩵ -4

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??1??

+⟨

???2?

,

????46

,

???

-13?

⟩

2)

???-9?

+⟨

???-4?

⟩

3)

0????

+⟨

????-1

,

????47

,

????

-26

⟩

4)

?3???

+⟨

????-4

,

????48

,

???-8?

⟩

5)

????-3

119

120

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 31

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y

otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 1%

, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 9%

. Inicialmente depositamos 8000 euros en el banco A y 3000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **4.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→-∞2 - 7 x - 6 x2

-5 + 2 x - 6 x2

2+5 x+4 x2

1) ∞

2) 1

3) -∞

4) ⅇ

5)1

ⅇ

6)1

ⅇ4

7) 0

121

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 6 x + 2 x3

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=10 ⅇ-1+2 t millones de euros/año.

Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 20

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.

1) 20 -5

ⅇ+ 5 ⅇ

3 millones de euros = 118.5883 millones de euros

2) 20 +5

ⅇ3-5

ⅇmillones de euros = 18.4095 millones de euros

3) 20 -5

ⅇ+ 5 ⅇ

5 millones de euros = 760.2264 millones de euros

4) 20 -5

ⅇ+ 5 ⅇ millones de euros = 31.752 millones de euros

122

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 00 1 0 00 1 1 01 0 -2 1

.

1)

? -6 2 10 ? 0 00 -2 ? 00 -5 2 ?

2)

? -1 0 01 ? 0 0-2 -1 ? 00 0 0 ?

3)

? 0 0 00 ? 0 00 -1 ? 0-1 -2 2 ?

4)

? -1 1 00 ? 0 00 0 ? 02 -1 0 ?

5)

? 0 -1 -11 ? -2 0-2 0 ? 10 -1 0 ?

6)

? 0 -1 0-1 ? -1 10 0 ? 00 0 -1 ?

7)

? 0 -1 11 ? 1 01 0 ? -10 0 2 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 01 1

.X. 1 21 3

=-1 -21 3

1) -2 *

* * 2)

2 *

* * 3)

* -2* *

4) * 1* *

5) * 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

x1 - 2 x2 - 5 x3 - 8 x4 ⩵ 64 x1 + x2 - 3 x3 - 5 x4 ⩵ 43 x1 + 3 x2 + 2 x3 + 3 x4 ⩵ -2

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?2??

+⟨

??

-30?

,

???8

⟩

2)

???-2

+⟨

??

-27?

,

???11

⟩

3)

???-5

+⟨

??

-25?

,

??

-21?

⟩

4)

???-4

+⟨

??-6?

⟩

5)

?-4??

123

124

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 32

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés del 1% compuesto en 12 períodos y en la que inicialmente depositamos 8000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

12 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a

otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos

los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:

año fondos0 2352 1793 154

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los

fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue

la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.

1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 11.

2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 20.

3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 10.

4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 110.

5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 15.

125

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 60 x2 - 60 x3 + 12 x5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

6 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-3 y x=1.

1)151

3= 50.3333

2)305

6= 50.8333

3)293

6= 48.8333

4)299

6= 49.8333

5)148

3= 49.3333

6)128

3= 42.6667

7)154

3= 51.3333

8)142

3= 47.3333

126

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 00 1 -1 -10 1 2 10 0 1 1

.

1)

? -1 -2 -1-1 ? 1 12 -1 ? -10 0 0 ?

2)

? -1 -1 00 ? 1 00 0 ? 01 -1 -1 ?

3)

? -1 0 0-2 ? 1 10 0 ? -1-2 1 1 ?

4)

? 0 0 00 ? 0 10 -1 ? -20 1 -1 ?

5)

? -1 0 20 ? -1 10 0 ? -10 -1 0 ?

6)

? -1 1 02 ? 3 31 -1 ? 10 0 0 ?

7)

? -1 1 10 ? 0 0-1 0 ? 00 0 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 00 1

-1.X. 1 0

-1 1=

-1 00 1

1) -2 *

* * 2)

1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* 0* *

5) * -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-8 x1 + 9 x2 + 2 x3 - 5 x4 ⩵ 4-4 x1 + 4 x2 - x3 + 2 x4 ⩵ 5-4 x1 + 5 x2 + 3 x3 - 7 x4 ⩵ -1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???10

+⟨

???5

,

-7???

,

-2???

⟩

2)

??

-36?

+⟨

???

-14

,

???16

⟩

3)

6???

4)

?-2??

+⟨

???

-18

,

???18

⟩

5)

??

-33?

+⟨

???

-16

,

???17

⟩

127

128

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 33

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés del 5% compuesto en 5 períodos, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un

interés del 3% compuesto en 3 períodos. Inicialmente depositamos

13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

8 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****2.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****6.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****1.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→∞6 - 9 x - 9 x2

5 + 8 x - x2

1) -1

2) -1

2

3) 0

4) 1

5) -∞

6) 9

7) ∞

129

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 8 x3 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular a

-3

(-2 a + 4 t - 6 a t + 9 t2 - 15 a t2 + 20 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) El resto de las soluciones son incorrectas

2) 96

3) 101

4) 97

5) 114

6) 119

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 6 -2 -8 3 ) es combinación lineal de la uplas

( -1 0 0 4 ), ( -1 0 1 2 ), ( -1 0 2 0 ), ( -2 2 -2 1 ), ( 2 -2 1 1 ), ( 0 0 -1 2 ),

1) Si 2) No

130

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X + 1 00 1

. 1 30 1

=0 -11 3

1) 0 *

* * 2)

* -2* *

3) * 0* *

4) * -1* *

5) * 2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-8 x1 - 5 x2 + 2 x3 + 5 x4 + x5 ⩵ -25 x1 + 3 x2 + 7 x3 + 7 x4 - x5 ⩵ -313 x1 + 8 x2 + 5 x3 + 2 x4 - 2 x5 ⩵ -1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??-2??

+⟨

-42????

,

-51????

,

1????

⟩

2)

????-1

3)

-21????

+⟨

?66???

,

?81???

,

?-3???

⟩

4)

??3??

+⟨

-44????

,

-52????

,

0????

⟩

5)

??4??

+⟨

???3?

⟩

131

132

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 34

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés compuesto continuamente del 6%, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un

interés del 4% compuesto en 2 períodos. Inicialmente depositamos

14 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

8 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****1.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****2.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****9.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****8.***** euros.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 304 147 44

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la

función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que

la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre

14 y 30. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).

1) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].

2) Se cumplirá en los intervalos: [0,2] y [6,7].

3) Se alcanzarán en el intervalo [0,4].

4) Se cumplirá en los intervalos: [0,2] y [4,6].

5) Se alcanzarán en el intervalo [0,0].

6) Se alcanzarán en el intervalo [4,7].

7) Se alcanzarán en el intervalo [-2,4].

8) Se alcanzarán en el intervalo [0,7].

133

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 120 x2 + 80 x3 - 15 x4 - 6 x5 + 2 x6

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular -3 a

-1

(3 - 48 a - 32 t - 60 a t - 30 t2 + 45 a t2 + 20 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) -6

2) 12

3) 18

4) 8

5) -2

6) El resto de las soluciones son incorrectas

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 4 4 8 -5 ) es combinación lineal de la uplas

( 0 -2 2 -2 ), ( -3 -4 2 1 ), ( -4 -4 4 2 ), ( -1 -2 0 0 ), ( -2 -2 2 1 ),

1) Si 2) No

134

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

2 -3-1 2

.X - 2 1-1 0

=-3 02 -1

1) -2 *

* * 2)

1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* -2* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

6 x1 + 7 x2 + 5 x3 + 5 x4 + 7 x5 ⩵ -6-3 x1 - x2 - 2 x3 - 2 x4 - 3 x5 ⩵ 55 x2 + x3 + x4 + x5 ⩵ 4

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???3?

+⟨

????-2

,

???10?

,

-9????

,

?0???

⟩

2)

????

-12

+⟨

????-1

,

????8

,

????-1

⟩

3)

??4??

+⟨

???1?

⟩

4)

??0??

+⟨

???3?

,

???

-14?

,

???-1?

⟩

5)

-3????

+⟨

???6?

,

???

-11?

,

????-3

⟩

135

136

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 35

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés compuesto continuamente del 4% y en la que inicialmente depositamos 9000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

17 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a

otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos

los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:

año fondos0 -22 384 70

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los

fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue

la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.

1) El máximo de los fondos en cuenta fue 2.

2) El máximo de los fondos en cuenta fue 14.

3) El máximo de los fondos en cuenta fue 94.

4) El máximo de los fondos en cuenta fue 11.

5) El máximo de los fondos en cuenta fue 119.

137

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 48 x - 24 x2 - 4 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

-27 + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-3 y x=1.

1) 80

2)167

2= 83.5

3) 84

4)169

2= 84.5

5)163

2= 81.5

6) 82

7) 83

8)165

2= 82.5

138

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

3 -1 0 -3-2 1 0 21 -1 1 -1-1 0 2 2

.

1)

? -2 -2 -10 ? 0 -10 1 ? 10 1 0 ?

2)

? -2 -2 12 ? 0 01 2 ? 0-1 -3 -2 ?

3)

? -1 0 21 ? 0 00 0 ? -1-2 -1 0 ?

4)

? 0 -3 -30 ? -1 -12 0 ? -10 0 1 ?

5)

? 0 -2 00 ? -2 -10 0 ? 00 0 1 ?

6)

? 0 0 0-1 ? 0 01 -1 ? -1-2 2 -3 ?

7)

? 0 0 0-1 ? 0 01 0 ? -10 0 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X + -1 02 -1

. 2 5-3 -7

=-1 -310 24

1) 0 *

* * 2)

1 *

* * 3)

* -1* *

4) * 1* *

5) * *

-2 *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-4 x1 + 5 x2 + 3 x3 + 8 x4 ⩵ 4-4 x1 + 4 x2 - 4 x3 - 11 x4 ⩵ 4x2 + 7 x3 + 19 x4 ⩵ 0

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

-1???

+⟨

???

-26

,

???31

⟩

2)

2???

+⟨

??77?

,

???30

⟩

3)

0???

+⟨

???

-28

,

??

-87?

⟩

4)

3???

+⟨

??8?

⟩

5)

-4???

+⟨

?-8??

⟩

139

140

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 36

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 253 000 euros hasta un valor final de

101 000 euros a lo largo de 8 años. Determinar cuál es el tipo de

interés anual compuesto en 5 períodos de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **3.*****%.

2) El interés será del **4.*****%.

3) El interés será del **0.*****%.

4) El interés será del **7.*****%.

5) El interés será del **1.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 34 597 164

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la

función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que

la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre

19 y 36. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).

1) Se alcanzarán en el intervalo [-11

3,7].

2) Se alcanzarán en el intervalo [-11

3,2].

3) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].

4) Se cumplirá en los intervalos: [-11

3,-

8

3] y [3,7].

5) Se alcanzarán en el intervalo [-11

3,0].

6) Se alcanzarán en el intervalo [-11

3,-

8

3].

7) Se alcanzarán en el intervalo [2,3].

8) Se alcanzarán en el intervalo [2,7].

141

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=sen(4 + t) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

π primeros meses del año (entre t=0 y t=π).

1) 80 +2 Cos[4]

πeuros = 79.5839 euros

2) -30 +2 Cos[4]

πeuros = -30.4161 euros

3) -80 +2 Cos[4]

πeuros = -80.4161 euros

4)2 Cos[4]

πeuros = -0.4161 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( -2 -2 -2 -2 ), ( -2 2 2 1 ), ( 1 2 0 0 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3

142

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 -11 0

.X - 1 20 1

=-1 -2-1 -2

1) -1 *

* * 2)

0 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* 1* *

5) * 2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-3 x1 + 4 x2 - 2 x3 - x4 - 4 x5 ⩵ 3-5 x1 - 2 x2 + 4 x3 + 2 x4 + 7 x5 ⩵ 3-8 x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 + 3 x5 ⩵ 6

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

????-7

+⟨

????

-10

,

???

-17?

,

???0?

⟩

2)

????5

+⟨

??6??

,

???

-10?

,

?-7???

,

?7???

⟩

3)

9????

+⟨

??-7??

,

-1????

⟩

4)

????-9

+⟨

????

-11

,

???

-20?

,

????0

⟩

5)

-3????

+⟨

????

-10

,

???

-22?

,

???-3?

⟩

143

144

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 37

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés compuesto del 6% y en la que inicialmente depositamos 6000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los 8000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **4.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→1

25

6- 8 x + 6 x2 - 8 x3

3+

x4

2+ Logx2

-1 + 5 x - 10 x2 + 10 x3 - 5 x4 + x5

1) -∞

2) ∞

3) -2

4) 1

5) 0

6)2

5

7) -1

145

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 120 x2 + 45 x4 + 12 x5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

-2 + 3 x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=3.

1)29

3= 9.6667

2) 4

3)26

3= 8.6667

4)17

3= 5.6667

5)11

3= 3.6667

6)49

6= 8.1667

7)55

6= 9.1667

8)23

3= 7.6667

146

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 -1 0 -10 1 0 20 0 1 0-2 0 0 -1

.

1)

? -1 0 -1-4 ? 0 -20 0 ? 02 2 0 ?

2)

? -1 -2 00 ? 3 00 0 ? 00 0 1 ?

3)

? -1 -1 -10 ? 2 00 0 ? 00 0 0 ?

4)

? -1 -1 10 ? 0 00 0 ? 0-1 1 -1 ?

5)

? -1 0 10 ? 1 -1-1 1 ? -10 1 1 ?

6)

? -1 1 -10 ? 0 0-1 1 ? 2-1 1 -3 ?

7)

? -1 1 01 ? 0 00 0 ? 01 0 1 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

-1 -23 5

.X. 0 1-1 1

=1 -4-3 11

1) -1 *

* * 2)

0 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* 0* *

5) * 2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-2 x1 - 2 x2 - 5 x3 - 7 x4 ⩵ -3-2 x1 + 8 x3 + 11 x4 ⩵ 56 x1 + 4 x2 + 2 x3 + 3 x4 ⩵ 1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

-3???

+⟨

???

-23

,

???

-13

⟩

2)

???-4

3)

?-4??

+⟨

?8??

⟩

4)

?0??

+⟨

???

-26

,

??22?

⟩

5)

3???

+⟨

???

-23

,

???

-19

⟩

147

148

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 38

Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de

157 000 euros hasta un valor final de 444 000 euros a lo largo de 5

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **1.*****%.

2) El interés será del **6.*****%.

3) El interés será del **9.*****%.

4) El interés será del **8.*****%.

5) El interés será del **3.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 202 246 8

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la

función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que

la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre

15 y 23. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).

1) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].

2) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [3,5].

3) Se alcanzarán en el intervalo [1,5].

4) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [3,5].

5) Se alcanzarán en el intervalo [-1,1].

6) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].

7) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].

8) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].

149

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 48 x2 - 8 x3 + 2 x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(6 + 7 t)(sen(2πt)+2) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

3 primeros meses del año (entre t=0 y t=3).

1)1

399 -

21

2 πeuros = 31.8859 euros

2)1

319 -

7

2 πeuros = 5.962 euros

3)1

3-5 +

7

2 πeuros = -1.2953 euros

4)1

352 -

7

πeuros = 16.5906 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 1 -1 1 1 ), ( 0 2 -1 -2 ), ( 1 -2 -1 0 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3

150

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 20 1

-1.X. 0 1

-1 1=

1 -2-1 2

1) 0 *

* * 2)

2 *

* * 3)

* 1* *

4) * 2* *

5) * *

0 *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-6 x1 - 10 x2 - 8 x3 + 10 x4 ⩵ -22 x1 + 3 x2 + 2 x3 - 4 x4 - 4 x5 ⩵ -2x1 + 2 x2 + 2 x3 - x4 + 4 x5 ⩵ 3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?8???

+⟨

2????

,

?-2???

,

20????

⟩

2)

???-3?

+⟨

-1????

,

?-5???

,

17????

⟩

3)

?-10???

+⟨

??-2??

,

???9?

,

???-5?

,

???-6?

⟩

4)

???-1?

+⟨

-6????

,

??-1??

⟩

5)

-12????

+⟨

4????

,

4????

,

22????

⟩

151

152

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 39

Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de

183 000 euros hasta un valor final de 399 000 euros a lo largo de 6

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **6.*****%.

2) El interés será del **3.*****%.

3) El interés será del **1.*****%.

4) El interés será del **9.*****%.

5) El interés será del **5.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 243 456 48

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la

función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que

la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre

33 y 45. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).

1) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].

2) Se alcanzarán en el intervalo [3,6].

3) Se cumplirá en los intervalos: [1,3] y [6,7].

4) Se alcanzarán en el intervalo [0,9].

5) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [7,9].

6) Se alcanzarán en el intervalo [1,3].

7) Se alcanzarán en el intervalo [3,9].

8) Se alcanzarán en el intervalo [6,9].

153

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + x3 +x4

2

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=sen(5 + 6 t) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

3 π primeros meses del año (entre t=0 y t=3 π).

1) 80 euros

2) -90 euros

3) 10 euros

4) 0 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 0 -1 0 -1 ), ( -1 0 0 2 ), ( 1 2 -2 2 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3

154

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X - 1 -2-2 5

. 1 10 1

-1=

-1 43 -7

1) -1 *

* * 2)

2 *

* * 3)

* 1* *

4) * 0* *

5) * 2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-5 x1 + 4 x2 + x3 + x4 - x5 ⩵ 2-10 x1 + 7 x2 + 3 x3 + 4 x4 - 5 x5 ⩵ 35 x1 - 3 x2 - 2 x3 - 3 x4 + 4 x5 ⩵ -1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

????5

+⟨

????10

,

???

-13?

,

????-1

⟩

2)

??-7??

+⟨

?7???

,

-5????

,

-9????

,

-6????

⟩

3)

???4?

+⟨

????7

,

???

-10?

,

???-5?

⟩

4)

-3????

+⟨

????9

,

???

-10?

,

???-1?

⟩

5)

???-8?

+⟨

?3???

⟩

155

156

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 40

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 341 000 euros hasta un valor final de

233 000 euros a lo largo de 8 años. Determinar cuál es el tipo de

interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **4.*****%.

2) El interés será del **1.*****%.

3) El interés será del **5.*****%.

4) El interés será del **2.*****%.

5) El interés será del **6.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 162 325 26

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la

función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que

la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre

26 y 32. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=5).

1) Se alcanzarán en el intervalo [5,5].

2) Se cumplirá en los intervalos: [1,2] y [4,5].

3) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].

4) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [4,5].

5) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].

6) Se alcanzarán en el intervalo [2,5].

7) Se alcanzarán en el intervalo [1,2].

8) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].

157

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 6 x2 - 3 x3 +x4

2

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=sen(-9 + 3 t) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

2 π primeros meses del año (entre t=0 y t=2 π).

1) 30 euros

2) -70 euros

3) 80 euros

4) 0 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 0 -1 0 0 ), ( -1 1 -1 1 ), ( 0 -2 1 0 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3

158

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 0-2 1

-1.X -

1 2-2 -3

=-1 -23 4

1) -1 *

* * 2)

1 *

* * 3)

0 *

* * 4)

* -1* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

7 x1 - 5 x3 + 5 x4 + 8 x5 ⩵ -33 x1 + 2 x2 - 3 x3 + x4 + 2 x5 ⩵ 5-2 x1 + x2 + x3 - 2 x4 - 3 x5 ⩵ 4

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?-2???

+⟨

????-7

,

???11?

,

????3

⟩

2)

?3???

+⟨

-4????

⟩

3)

0????

+⟨

???5?

,

???8?

,

???-7?

⟩

4)

??

-10??

5)

??2??

+⟨

????-6

,

???10?

,

???-5?

⟩

159

160

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 41

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un interés compuesto del 6%

, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un interés del 8% compuesto en 7 períodos

. Inicialmente depositamos 6000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

4 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****1.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****4.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****7.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****5.***** euros.

Ejercicio 2Una factoría fabrica cierto tipo de dispositivos. El coste marginal (coste

de fabricar una unidad) se reduce cuando producimos grandes cantidades

de dispositivos y viene dado por la función C(x)=3 + 5 x + 5 x2 + 3 x3 + 2 x4

7 + 2 x + 9 x2 + 2 x3 + 5 x4

. Determinar el coste por unidad esperado cuando se producen grandes cantidades de unidades.

1) -3

2) ∞

3) 0

4)2

5

5) -∞

6) 18 000

7)43

100

161

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 24 x2 - 8 x3 + x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular -3 a

-3

(8 + 6 a + 4 t - 78 a t - 39 t2 + 45 a t2 + 20 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) -763

2) -744

3) -758

4) -768

5) El resto de las soluciones son incorrectas

6) -748

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 6 0 -6 -6 ) es combinación lineal de la uplas

( -2 0 2 2 ), ( -1 0 1 1 ),

1) Si 2) No

162

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

2 1-1 0

.X + 1 -30 1

=2 -8-1 4

1) -1 *

* * 2)

1 *

* * 3)

* -1* *

4) * 0* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

4 x1 + 9 x2 - x3 - 5 x4 + 2 x5 ⩵ 43 x1 + 7 x2 + 4 x3 - 5 x4 + 4 x5 ⩵ 2

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

6????

+⟨

????

-10

,

???1?

⟩

2)

??2??

+⟨

?-17???

,

?2???

,

24????

⟩

3)

8????

+⟨

46????

,

-13????

,

?-11???

⟩

4)

10????

+⟨

?-19???

,

-10????

,

22????

⟩

5)

?0???

163

164

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 42

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de

241 000 euros hasta un valor final de 116 000 euros a lo largo de 7

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **2.*****%.

2) El interés será del **6.*****%.

3) El interés será del **0.*****%.

4) El interés será del **1.*****%.

5) El interés será del **9.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 274 -216 -9

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función

que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la

legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -25

y -9. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).

1) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].

2) Se alcanzarán en el intervalo [2,6].

3) Se alcanzarán en el intervalo [-2,7].

4) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].

5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,6].

6) Se alcanzarán en el intervalo [-1,4].

7) Se alcanzarán en el intervalo [-2,5].

8) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].

165

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 8 x3 + 4 x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=sen(2 + 2 t) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

3 π primeros meses del año (entre t=0 y t=3 π).

1) 30 +

Cos[2]

2-

1

2Cos[2 (1 + 3 π)]

3 πeuros = 30. euros

2) 10 +

Cos[2]

2-

1

2Cos[2 (1 + 3 π)]

3 πeuros = 10. euros

3) -70 +

Cos[2]

2-

1

2Cos[2 (1 + 3 π)]

3 πeuros = -70. euros

4)

Cos[2]

2-

1

2Cos[2 (1 + 3 π)]

3 πeuros = 0. euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 0 2 0 1 ), ( 0 -2 2 -1 ), ( -1 2 -2 -1 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3

166

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

7 185 13

.X - 2 11 1

=-21 -18-15 -13

1) 0 *

* * 2)

1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* 1* *

5) * 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

3 x3 - x4 - 2 x5 ⩵ -4-4 x1 + 3 x2 + x4 + x5 ⩵ -14 x1 - 3 x2 - 3 x3 + x5 ⩵ 5

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

????2

+⟨

???6?

,

????1

,

???-4?

⟩

2)

-3????

+⟨

????-3

,

???-5?

,

???0?

⟩

3)

??0??

+⟨

???8?

,

????3

,

????3

⟩

4)

??-2??

5)

2????

+⟨

??9??

,

?9???

⟩

167

168

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 43

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés del 1% compuesto en 8 períodos, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un

interés compuesto continuamente del 10%. Inicialmente depositamos

14 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

4 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****1.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****7.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****2.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 304 306 18

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la

función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que

la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre

25 y 30. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).

1) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [4,6].

2) Se alcanzarán en el intervalo [-1,0].

3) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [4,5].

4) Se cumplirá en los intervalos: [0,0] y [4,5].

5) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].

6) Se alcanzarán en el intervalo [0,0].

7) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].

8) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].

169

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 10 x3 - 5 x4 - 3 x5 + 2 x6

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular -a

3

(2 + 5 a + 10 t + 8 a t + 12 t2 + 3 a t2 + 4 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) El resto de las soluciones son incorrectas

2) 72

3) 66

4) 65

5) 68

6) 70

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 8 -2 6 -4 ) es combinación lineal de la uplas

( -1 -1 -2 1 ), ( -2 -2 -4 2 ),

1) Si 2) No

170

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

0 1-1 0

-1.X +

1 30 1

=2 40 0

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

* 0* *

4) * -1* *

5) * *

-2 *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

7 x1 - 2 x2 - x3 - 4 x4 + x5 ⩵ 54 x1 - x2 + 4 x4 - 5 x5 ⩵ -5-3 x1 + x2 + x3 + 8 x4 - 6 x5 ⩵ -10

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?-55???

+⟨

?-4???

,

-12????

,

?39???

⟩

2)

???-2?

+⟨

-3????

,

?-46???

,

10????

⟩

3)

?0???

+⟨

??-9??

,

?-8???

,

????-1

,

2????

⟩

4)

???-3?

+⟨

-3????

,

-9????

,

8????

⟩

5)

??

-10??

171

172

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 44

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de

463 000 euros hasta un valor final de 154 000 euros a lo largo de 8

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **9.*****%.

2) El interés será del **2.*****%.

3) El interés será del **0.*****%.

4) El interés será del **1.*****%.

5) El interés será del **5.*****%.

Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a

otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos

los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:

año fondos0 822 504 26

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los

fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue

la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.

1) El mínimo de los fondos en cuenta fue -4.

2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 2.

3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 9.

4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 1.

5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 10.

173

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 2 x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(3 + 2 t)cos(t) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

2 π primeros meses del año (entre t=0 y t=2 π).

1) -10 euros

2) 0 euros

3) -2

πeuros = -0.6366 euros

4) -80 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( -2 -2 2 0 -1 ), ( -4 -4 4 0 -2 ), ( -2 -2 -1 0 1 )

, ( -4 -4 -2 0 2 ), ( -4 -4 1 0 0 ), ( -1 -1 -1 0 -2 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6

174

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

2 -31 -1

-1.X +

1 -2-1 3

=-3 -6-4 0

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

2 *

* * 4)

* 0* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

2 x1 - 3 x2 - 3 x3 + 4 x5 ⩵ 1-x1 + 2 x2 + 8 x3 - 2 x4 - x5 ⩵ -2x1 - x2 + 5 x3 - 2 x4 + 3 x5 ⩵ -1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

-4????

+⟨

?-13???

,

6????

,

-5????

⟩

2)

??-2??

+⟨

?-11???

,

4????

,

?-1???

⟩

3)

??-2??

+⟨

?-14???

,

3????

,

-6????

⟩

4)

-3????

+⟨

9????

⟩

5)

-5????

+⟨

?-1???

⟩

175

176

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 45

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de

343 000 euros hasta un valor final de 175 000 euros a lo largo de 9

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **1.*****%.

2) El interés será del **7.*****%.

3) El interés será del **0.*****%.

4) El interés será del **3.*****%.

5) El interés será del **5.*****%.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 222 226 -2

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la

función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que

la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre

7 y 23. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).

1) Se alcanzarán en el intervalo [-3,6].

2) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].

3) Se alcanzarán en el intervalo [-1,3].

4) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].

5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,6].

6) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].

7) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].

8) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].

177

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 6 x2 - 3 x3 +x4

2

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=10 ⅇt euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

6 primeros meses del año (entre t=0 y t=6).

1)1

6-10 + 10 ⅇ

2 euros = 10.6484 euros

2)1

6-10 + 10 ⅇ

6 euros = 670.7147 euros

3)1

6-10 +

10

ⅇeuros = -1.0535 euros

4)1

6(-10 + 10 ⅇ) euros = 2.8638 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 1 -2 0 -2 ), ( -2 -4 4 -4 ), ( -1 -2 2 -2 ), ( 0 2 0 1 ), ( 1 1 1 0 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5

178

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 0-1 1

.X. 0 -11 0

=1 1-2 0

1) -2 *

* * 2)

0 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* -2* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-5 x1 - 2 x2 + x3 + x4 - 2 x5 ⩵ -25 x1 + 2 x2 + 5 x3 + x4 - x5 ⩵ -3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

????-3

+⟨

????-9

,

???-8?

,

???

-10?

⟩

2)

-8????

3)

?-7???

+⟨

???2?

⟩

4)

???-2?

+⟨

????

-12

,

????-7

,

???-7?

⟩

5)

?0???

+⟨

???

-15?

,

????-4

,

???-9?

⟩

179

180

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 46

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés del 9% compuesto en 9 períodos, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un

interés del 8% compuesto en 8 períodos. Inicialmente depositamos

9000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

7 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****5.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****6.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.

Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos

los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):

año fondos0 154 -336 -33

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función

que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la

legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -33

y -17. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio

de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro

del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).

1) Se cumplirá en los intervalos: [2,4] y [6,6].

2) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].

3) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].

4) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].

5) Se cumplirá en los intervalos: [2,4] y [6,8].

6) Se cumplirá en los intervalos: [0,4] y [6,8].

7) Se alcanzarán en el intervalo [2,6].

8) Se alcanzarán en el intervalo [2,4].

181

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 12 x2 - 2 x3 + 2 x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular 2

3

(5 + 5 a + 5 t - 5 a t

-1 + t2)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el

parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) El resto de las soluciones son incorrectas

2) -1.13751

3) -2.08301

4) -1.43841

5) -2.29891

6) -1.16981

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -1 5 -2 ) es combinación lineal de la uplas

( -4 -4 -4 ), ( -1 0 2 ), ( -2 0 1 ), ( -2 -2 -2 ),

1) Si 2) No

182

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 11 2

.X - 1 -20 1

=-1 21 0

1) -2 *

* * 2)

0 *

* * 3)

-1 *

* * 4)

* 0* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-5 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 2 x4 + 3 x5 ⩵ 4-2 x1 - 5 x2 + 3 x3 + x4 + 2 x5 ⩵ 29 x1 + 7 x2 - 10 x3 - 4 x4 - 7 x5 ⩵ -8

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?1???

+⟨

???7?

,

????11

,

????-3

⟩

2)

??0??

+⟨

?-4???

⟩

3)

0????

+⟨

????-1

,

???

-21?

,

????-2

⟩

4)

????5

+⟨

???-9?

⟩

5)

?3???

+⟨

????1

,

????16

,

???2?

⟩

183

184

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 47

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 483 000 euros hasta un valor final de

186 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de

interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **3.*****%.

2) El interés será del **1.*****%.

3) El interés será del **4.*****%.

4) El interés será del **0.*****%.

5) El interés será del **7.*****%.

Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a

otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos

los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:

año fondos0 131 33 -5

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los

fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue

la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.

1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 3.

2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 13.

3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 5.

4) El mínimo de los fondos en cuenta fue -3.

5) El mínimo de los fondos en cuenta fue -5.

185

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 6 x2 + 3 x3 +x4

2

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(6 + 3 t)(cos(2πt)+1) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

9 primeros meses del año (entre t=0 y t=9).

1)39

2euros = 19.5 euros

2) 2 euros

3)5

6euros = 0.8333 euros

4) -1

2euros = -0.5 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 1 2 -1 1 -1 ), ( -1 -1 1 2 -1 ), ( 1 2 -1 0 -1 ), ( -2 -2 2 4 -2 ), ( 0 -2 1 -2 2 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5

186

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X + -1 -21 1

. -1 1-1 0

=1 0-2 2

1) -2 *

* * 2)

1 *

* * 3)

0 *

* * 4)

2 *

* * 5)

* -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + x4 + 3 x5 ⩵ -3-2 x1 - 5 x2 - x3 + x4 + 4 x5 ⩵ 3-8 x2 - 5 x3 + x5 ⩵ 6

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??3??

+⟨

???4?

,

???

-25?

,

????6

⟩

2)

???-2?

+⟨

????-9

,

???4?

⟩

3)

-2????

+⟨

????3

,

????10

,

????8

⟩

4)

-2????

+⟨

????8

,

-9????

⟩

5)

???

-21?

+⟨

???2?

,

????8

,

????5

⟩

187

188

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 48

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés compuesto del 2%, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un

interés del 7% compuesto en 12 períodos. Inicialmente depositamos

12 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

8 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****2.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****6.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****9.***** euros.

Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a

otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos

los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:

año fondos0 -12 154 23

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los

fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue

la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.

1) El máximo de los fondos en cuenta fue 5.

2) El máximo de los fondos en cuenta fue 20.

3) El máximo de los fondos en cuenta fue 1.

4) El máximo de los fondos en cuenta fue 24.

5) El máximo de los fondos en cuenta fue 4.

189

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 120 x2 + 80 x3 - 15 x4 - 6 x5 + 2 x6

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular 2 a

3

(8 a - 8 t - 12 a t + 9 t2 - 6 a t2 + 4 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) -84

2) -83

3) El resto de las soluciones son incorrectas

4) -103

5) -93

6) -85

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 1 8 -8 -8 ) es combinación lineal de la uplas

( 2 2 -1 -1 ), ( 4 4 -2 -2 ),

1) Si 2) No

190

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

0 1-1 1

.X. -1 -15 4

=-6 -5-6 -5

1) 0 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* -2* *

5) * -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

2 x1 - 3 x3 + x4 - 2 x5 ⩵ 1-7 x1 - 3 x2 + x3 - x4 + x5 ⩵ -13 x1 + 3 x2 + 5 x3 - x4 + 3 x5 ⩵ -1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???9?

+⟨

????7

⟩

2)

????2

+⟨

???

-13?

,

????-6

,

????-5

⟩

3)

??0??

+⟨

???

-10?

⟩

4)

?0???

+⟨

???

-12?

,

????-3

,

????-2

⟩

5)

??-1??

+⟨

????-2

,

????-6

,

???0?

⟩

191

192

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 49

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y

otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 8%

, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 4%

. Inicialmente depositamos 4000 euros en el banco A y 8000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→∞-5 - 8 x - 6 x2 + 9 x3 + x4 + 4 x5

1) ∞

2) -5

3) -7

4) -∞

5) -4

6) 0

7) 1

193

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 12 x - 6 x2 - 4 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=20 ⅇ1+3 t millones de euros/año.

Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 80

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.

1) 80 +20

3 ⅇ2-20 ⅇ

3millones de euros = 62.7804 millones de euros

2) 80 -20 ⅇ

3+20 ⅇ10

3millones de euros = 146904.9834 millones de euros

3) 80 -20 ⅇ

3+20 ⅇ4

3millones de euros = 425.8658 millones de euros

4) 80 -20 ⅇ

3+20 ⅇ7

3millones de euros = 7372.7658 millones de euros

194

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

0 0 1 00 1 0 0-1 1 1 01 -1 -1 1

.

1)

? 1 -1 00 ? 0 01 0 ? 00 0 1 ?

2)

? -1 -1 -11 ? -1 00 -1 ? 0-1 0 1 ?

3)

? -1 0 -1-1 ? 0 00 2 ? 01 0 1 ?

4)

? -1 0 10 ? -1 00 1 ? 0-1 -1 1 ?

5)

? -1 2 00 ? -5 -10 -1 ? 10 0 0 ?

6)

? 0 -1 00 ? 0 00 0 ? 0-1 0 0 ?

7)

? 0 -1 00 ? 0 01 0 ? 00 -1 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

2 -11 0

.X. 2 -13 -1

=2 01 0

1) -1 *

* * 2)

0 *

* * 3)

1 *

* * 4)

2 *

* * 5)

* -2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

4 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 ⩵ -4x1 + 3 x3 + 5 x4 ⩵ -53 x1 + 4 x2 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ 1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?-3??

+⟨

??15?

,

??19?

⟩

2)

?6??

3)

8???

+⟨

?4??

⟩

4)

0???

+⟨

??18?

,

??20?

⟩

5)

??9?

+⟨

??15?

,

???

-11

⟩

195

196

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 50

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de

416 000 euros hasta un valor final de 268 000 euros a lo largo de 5

años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **0.*****%.

2) El interés será del **8.*****%.

3) El interés será del **7.*****%.

4) El interés será del **9.*****%.

5) El interés será del **3.*****%.

Ejercicio 2

Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=2 ⅇx-3 - 5 x ≤ 33 (x - 2) log(x - 2) - x 3 < x < 42 sin(4 - x) - 2 cos(4 - x) - 2 + log(64) 4 ≤ x

1) Es derivable en todos los puntos.

2) No es derivable en ningún punto.

3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.

4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=4.

5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3 y x=4.

197

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 6 x2 - 3 x3 +x4

2

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(9 + 8 t)(cos(2πt)+2) euros.

Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los

4 primeros meses del año (entre t=0 y t=4).

1) 50 euros

2) -5

2euros = -2.5 euros

3) 17 euros

4)13

2euros = 6.5 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( -2 1 2 0 1 ), ( 1 -2 0 2 0 ), ( -3 3 2 -2 1 ), ( 0 -1 1 2 -2 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

198

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X + -1 10 -1

. 3 -11 0

-1=

-2 60 -1

1) 1 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

* -2* *

4) * -1* *

5) * 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

8 x1 + 5 x2 - 5 x3 + 3 x4 - 2 x5 ⩵ 4-5 x1 - 3 x2 + 3 x3 + 5 x4 + 5 x5 ⩵ -3-3 x1 - 2 x2 + 2 x3 - 8 x4 - 3 x5 ⩵ -1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??2??

+⟨

1????

,

?-57???

,

20????

⟩

2)

??-6??

3)

???1?

4)

?-6???

+⟨

-2????

,

?-56???

,

17????

⟩

5)

???0?

+⟨

?1???

,

34????

,

?-30???

⟩

199

200

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 51

Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 443 000 euros hasta un valor final de

125 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de

interés anual compuesto en 5 períodos de esa devaluación.

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) El interés será del **2.*****%.

2) El interés será del **5.*****%.

3) El interés será del **4.*****%.

4) El interés será del **6.*****%.

5) El interés será del **0.*****%.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→24 x - 4 x2 + x3

-4 + 8 x - 5 x2 + x3

1) -1

2) -∞

3) 0

4) 2

5) 1

6) -2

7) ∞

201

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - x3 +x4

2

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del

año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:

V(t)=(2 + t)log(2 t) euros.

Calcular el valor medio del paquete de acciones entre el mes 1 y el mes 3 (entre t=1 y t=3).

1)1

3-39

4-5 Log[2]

2+ 16 Log[8] euros = 7.2627 euros

2)1

2-39

4-5 Log[2]

2+ 16 Log[8] euros = 10.8941 euros

3)1

3-14 -

5 Log[2]

2+45 Log[10]

2euros = 12.0251 euros

4)1

2-6 -

5 Log[2]

2+21 Log[6]

2euros = 5.5403 euros

Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas

( 0 -1 0 -2 0 ), ( -2 2 1 -1 -2 ), ( -2 0 -1 -2 -1 ), ( -4 0 -2 -4 -2 ),

son independientes?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

202

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

-1 -13 2

.X. 3 21 1

=-6 -415 10

1) -1 *

* * 2)

2 *

* * 3)

* 0* *

4) * 1* *

5) * 2* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-x1 + 3 x2 + 2 x4 + x5 ⩵ -17 x1 - 5 x2 - 3 x3 - 3 x4 - x5 ⩵ 25 x1 + x2 - 3 x3 + x4 + x5 ⩵ 0

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??-1??

+⟨

???9?

,

???0?

,

????9

⟩

2)

???0?

+⟨

????0

,

?-9???

,

?4???

,

??9??

⟩

3)

0????

+⟨

???6?

,

????1

,

???-3?

⟩

4)

???2?

5)

???1?

+⟨

???9?

,

???-5?

,

???-1?

⟩

203

204

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 52

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés compuesto del 1% y en la que inicialmente depositamos 8000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

13 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→0

-1 +x2

2+ Cos[x]

x4

1) -∞

2) 1

3) ∞

4) -1

5)1

3

6) 0

7)1

24

205

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 12 x2 + 12 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

6 - x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=2 y x=5.

1)67

2= 33.5

2) 33

3)63

2= 31.5

4) 35

5) 36

6)71

2= 35.5

7)69

2= 34.5

8)73

2= 36.5

206

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 -20 1 0 -10 1 1 -10 0 0 1

.

1)

? -4 1 -20 ? 0 00 -4 ? -10 1 0 ?

2)

? 0 0 20 ? 0 10 -1 ? 00 0 0 ?

3)

? -1 -1 01 ? -1 01 0 ? 10 1 0 ?

4)

? -1 -1 11 ? -1 02 2 ? 11 1 1 ?

5)

? -1 1 0-2 ? 0 10 -1 ? 0-2 0 0 ?

6)

? 0 -1 11 ? -1 1-1 -2 ? -20 0 1 ?

7)

? 0 0 -1-1 ? 0 10 0 ? 04 -3 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

-1 30 -1

.X - -3 -14 1

=-17 -45 1

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* 1* *

5) * *

-2 *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

4 x1 + 2 x2 + 6 x3 - 4 x4 ⩵ -4-3 x1 + 2 x2 - 5 x3 + 3 x4 ⩵ -55 x1 - x2 + 8 x3 - 5 x4 ⩵ 3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

1???

+⟨

???3

,

??6?

⟩

2)

??-9?

+⟨

??10?

,

-2???

,

9???

⟩

3)

???-2

4)

??15?

+⟨

??-2?

,

???8

⟩

5)

??16?

+⟨

??0?

,

???11

⟩

207

208

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 53

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés compuesto continuamente del 5% y en la que inicialmente depositamos 11 000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

17 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→354 - 81 x + 45 x2 - 11 x3 + x4

18 - 3 x - 4 x2 + x3

1) ∞

2) -1

3) -2

4) -∞

5) 1

6) -2

3

7) 0

209

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 240 x2 - 80 x3 - 30 x4 + 12 x5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

2 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=2.

1)319

3= 106.3333

2) 107

3)677

6= 112.8333

4)331

3= 110.3333

5)671

6= 111.8333

6)683

6= 113.8333

7)340

3= 113.3333

8)337

3= 112.3333

210

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 10 1 0 01 0 1 00 0 0 1

.

1)

? -2 0 30 ? 0 -10 1 ? -2-1 2 0 ?

2)

? -1 -2 0-1 ? 1 01 -1 ? 00 0 0 ?

3)

? -1 -1 10 ? 0 00 -1 ? 1-1 1 0 ?

4)

? 0 0 -10 ? 0 0-1 0 ? 10 0 0 ?

5)

? -1 0 00 ? 0 1-1 1 ? -11 -1 -2 ?

6)

? -1 0 10 ? 0 0-1 0 ? -10 1 1 ?

7)

? -1 1 10 ? 0 -20 0 ? 00 -1 1 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

2 11 1

-1.X -

0 -11 -1

=0 2-2 -1

1) -1 *

* * 2)

0 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* -2* *

5) * -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

4 x1 - 4 x2 - x3 - 2 x4 ⩵ -2-5 x1 + 5 x2 + 3 x3 + 5 x4 ⩵ 13 x1 - 3 x2 + x3 + x4 ⩵ -3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???5

+⟨

??

-10?

,

??10?

⟩

2)

?-1??

+⟨

??

-11?

,

??8?

⟩

3)

-3???

+⟨

??-8?

,

???-8

⟩

4)

??-3?

+⟨

?-10??

,

??4?

,

??-3?

,

?5??

⟩

5)

???-5

+⟨

8???

⟩

211

212

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 54

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés del 9% compuesto en 10 períodos, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un

interés del 1% compuesto en 3 períodos. Inicialmente depositamos

13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

8 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****8.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****1.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****5.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****7.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****0.***** euros.

Ejercicio 2La población de cierto país (en millones de habitantes) viene dada por la función P(t)=

78 + 8 t - t2

-8 - 5 t - t2

-9+9 t

. Determinar la tendencia de futuro para esta población.

1)7

ⅇ4

2)7

ⅇ

3) -∞

4) 0

5) ∞

6) 7

7)7

ⅇ117

213

Ejercicio 3

Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 4 x3 - x4 +3 x5

5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular -a

-1

(a + 2 t - 10 a t - 15 t2 - 15 a t2 - 20 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) -18

2) -1

3) -4

4) El resto de las soluciones son incorrectas

5) -8

6) -21

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 0 8 -4 0 ) es combinación lineal de la uplas

( 0 -2 1 0 ), ( 0 -4 2 0 ),

1) Si 2) No

214

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 21 3

.X. 1 11 2

=-5 -8-7 -11

1) -2 *

* * 2)

0 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* -2* *

5) * 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-x1 + x2 - 5 x3 + 5 x4 - x5 ⩵ 5-6 x1 + 5 x2 - 7 x3 + 5 x4 - 6 x5 ⩵ 6-4 x1 + 3 x2 + 3 x3 - 5 x4 - 4 x5 ⩵ -4

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?25???

+⟨

21????

,

?-24???

,

?-1???

⟩

2)

???2?

+⟨

?26???

,

-22????

,

?1???

⟩

3)

4????

4)

-5????

+⟨

?5???

,

?6???

,

????-4

,

????6

⟩

5)

??0??

+⟨

?23???

,

?-25???

,

?0???

⟩

215

216

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 55

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una

en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un

interés compuesto del 9%, mientras que en la del banco B tenemos un

interés compuesto continuamente del 3%

. Inicialmente depositamos 4000 euros en el banco A y 11 000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

Ejercicio 2A partir de un capital inicial de 10000, el interés en cierta cuenta varía

de un año a otro de modo que el capital viene dado por la función C(t)=

10 000-4 - 4 t + 2 t2 - 4 t3

-8 - 3 t - 6 t2 - 4 t3

7+3 t

. Determinar la tendencia de futuro calculando

el capital que podemos esperar en la cuenta pasado un gran número de años.

1) 0

2) -∞

3)10 000

ⅇ6

4)10 000

ⅇ5

5) 10 000

6)10 000

ⅇ3001/500

7) ∞

217

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 12 x - 6 x2 - 4 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=(2 + 8 t)(sen(2πt)+2) millones de euros/año.

Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 40

millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 5 años.

1) 260 -20

πmillones de euros = 253.6338 millones de euros

2) 44 +4

πmillones de euros = 45.2732 millones de euros

3) 52 -4

πmillones de euros = 50.7268 millones de euros

4) 80 -8

πmillones de euros = 77.4535 millones de euros

218

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 0-1 1 0 0-2 0 1 00 0 0 1

.

1)

? -1 -1 00 ? 0 -1-2 2 ? 3-1 0 2 ?

2)

? 0 0 01 ? 0 02 0 ? 00 0 0 ?

3)

? -1 0 00 ? 0 00 -1 ? 00 0 0 ?

4)

? -1 0 1-1 ? 1 -11 -1 ? 12 -1 0 ?

5)

? -1 1 10 ? 1 10 -1 ? 10 -1 1 ?

6)

? -1 1 11 ? -1 0-1 -1 ? 00 0 0 ?

7)

? 0 -3 20 ? 1 1-1 0 ? 01 0 -2 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

1 -1-1 2

.X - 1 -30 1

=-1 30 -1

1) -1 *

* * 2)

1 *

* * 3)

* 1* *

4) * *

0 * 5)

* *

1 *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-4 x1 - x2 - 5 x3 - x4 ⩵ -59 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 5 x4 ⩵ -2-5 x1 - x2 + 3 x3 - 4 x4 ⩵ 7

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

-12???

+⟨

?-37??

,

-3???

⟩

2)

???-3

+⟨

11???

,

?12??

⟩

3)

??7?

+⟨

???-6

,

-1???

,

-3???

,

?0??

⟩

4)

-15???

+⟨

?-34??

,

-4???

⟩

5)

???-7

+⟨

10???

,

7???

,

??0?

⟩

219

220

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 56

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un

interés compuesto del 7%, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un

interés compuesto del 8%. Inicialmente depositamos 14 000

euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados

3 años desde el comienzo de la inversión.

1) Tendremos un capital de ****3.***** euros.

2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.

3) Tendremos un capital de ****7.***** euros.

4) Tendremos un capital de ****9.***** euros.

5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.

Ejercicio 2

Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=

-2 cos2 3-x

2 x ≤ 3

1

2(x (3 x - 22) + 35) 3 < x < 4

4 x - 3 (x - 3) log(x - 3) -37

24 ≤ x

1) Es derivable en todos los puntos.

2) No es derivable en ningún punto.

3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.

4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=4.

5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3 y x=4.

221

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 40 x3 + 9 x5 + 2 x6

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad

y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que

separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.

Ejercicio 4

Calcular -a

1

(4 - 4 a t - 6 t2 + 6 a t2 + 8 t3)ⅆt

. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece

el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.

1) El resto de las soluciones son incorrectas

2) 4

3) -11

4) -16

5) 15

6) 14

Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -3 5 -1 0 ) es combinación lineal de la uplas

( 2 -2 0 1 ), ( 2 -1 -2 -1 ), ( 0 -1 2 2 ),

1) Si 2) No

222

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

-13 10-4 3

.X. 0 -11 3

=-10 -43-3 -13

1) -1 *

* * 2)

0 *

* * 3)

1 *

* * 4)

* -2* *

5) * -1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-5 x1 - 3 x2 + x3 + 3 x4 + 5 x5 ⩵ -55 x1 + 2 x2 - 3 x3 + x4 + 2 x5 ⩵ 1

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

?-9???

+⟨

?10???

,

????-6

,

???7?

,

?5???

⟩

2)

??0??

+⟨

????

-20

,

????-9

,

???

-17?

⟩

3)

???

-14?

+⟨

????

-18

,

???13?

,

???

-15?

⟩

4)

?2???

+⟨

??4??

⟩

5)

????11

+⟨

????

-19

,

????

-12

,

????13

⟩

223

224

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 57

Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una

en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un

interés del 6% compuesto en 10 períodos, mientras que en la del banco B tenemos un

interés compuesto continuamente del 3%

. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 5000

en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→-∞5 - 4 x - 5 x2

6 - 3 x - 5 x2

6+7 x+3 x2

1)1

ⅇ3

2) ∞

3) 1

4)1

ⅇ5

5) 0

6)1

ⅇ4

7) -∞

225

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 48 x + 48 x2 + 20 x3 + 3 x4

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de

una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función

v(t)=t + 3 t2 millones de euros/año.

Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de

30 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.

1) 40 millones de euros

2) 102 millones de euros

3)63

2millones de euros = 31.5 millones de euros

4)123

2millones de euros = 61.5 millones de euros

226

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 1 -1 -10 0 1 10 -1 1 11 0 -1 0

.

1)

? -2 0 -10 ? 0 00 0 ? 00 1 0 ?

2)

? -2 3 00 ? -1 00 0 ? 10 0 0 ?

3)

? 0 1 00 ? -1 01 0 ? -1-1 1 -1 ?

4)

? -1 0 -1-1 ? 0 10 0 ? 0-1 2 0 ?

5)

? -1 1 00 ? 0 00 -1 ? 0-1 2 -1 ?

6)

? -1 1 10 ? 0 00 1 ? 00 0 1 ?

7)

? 0 -1 1-2 ? 0 11 0 ? 0-1 0 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

-5 -8-3 -5

.X - 2 1-3 -1

=-2 -13 1

1) -1 *

* * 2)

1 *

* * 3)

* -1* *

4) * 0* *

5) * *

-1 *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

-5 x1 - 5 x2 + x3 + x4 ⩵ -15 x1 + 7 x2 + x3 + 2 x4 ⩵ -42 x2 + 2 x3 + 3 x4 ⩵ -5

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

???-3

+⟨

??15?

,

??17?

⟩

2)

??-4?

+⟨

??1?

,

4???

,

??3?

,

-5???

⟩

3)

?-1??

+⟨

??12?

,

??14?

⟩

4)

-5???

+⟨

-3???

⟩

5)

-3???

+⟨

???-8

,

???

-10

⟩

227

228

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 58

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés del 2% compuesto en 7 períodos y en la que inicialmente depositamos 10 000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

13 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **3.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: limx→-2-6 - x + x2

2 x + x2

1) -∞

2) ∞

3) -2

4)5

2

5) 0

6) -1

7) 1

229

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 120 x + 90 x2 + 20 x3 - 45 x4 + 12 x5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

4 x + 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=3.

1) 38

2)75

2= 37.5

3) 39

4)79

2= 39.5

5) 41

6)77

2= 38.5

7)81

2= 40.5

8) 36

230

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

1 0 0 00 1 -1 1-1 0 1 0-1 0 0 1

.

1)

? -1 -1 -10 ? 0 01 1 ? 10 0 0 ?

2)

? 0 0 00 ? 1 -11 0 ? 01 0 0 ?

3)

? -1 0 00 ? 0 10 1 ? 00 -1 0 ?

4)

? -1 1 -2-1 ? 0 00 0 ? -10 1 -1 ?

5)

? -1 1 00 ? 0 00 0 ? 00 -2 0 ?

6)

? 0 -3 30 ? -1 00 0 ? -10 0 2 ?

7)

? 0 -1 10 ? 1 02 1 ? 00 0 0 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

11 304 11

-1.X. -1 -1

2 1=

-19 -197 7

1) -2 *

* * 2)

1 *

* * 3)

* 0* *

4) * -1* *

5) * 1* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

47 x1 + 29 x2 - 3 x3 - x4 ⩵ -134 x1 + 21 x2 + 4 x3 ⩵ 3

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las

últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver

por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)

. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.

1)

??1?

+⟨

?-292??

,

?-37??

⟩

2)

??4?

3)

???10

4)

???0

+⟨

179???

,

21???

⟩

5)

??-3?

+⟨

?-289??

,

?-32??

⟩

231

232

Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 59

Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un

interés del 2% compuesto en 7 períodos y en la que inicialmente depositamos 14 000

euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los

20 000 euros?

Atención: Para obtener resultados correctos

es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.

1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.

2) Tendrán que transcurrir **4.***** años.

3) Tendrán que transcurrir **7.***** años.

4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.

5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.

Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a

otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos

los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:

año fondos0 822 424 18

Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los

fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue

la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.

1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 12.

2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 6.

3) El mínimo de los fondos en cuenta fue -1.

4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 10.

5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 0.

233

Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 240 x + 120 x2 + 60 x3 - 60 x4 + 12 x5

para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.

1) 2)

3) 4)

Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo

Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad

Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar

con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso

determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=

-3 + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=4.

1)123

2= 61.5

2) 50

3) 62

4) 60

5) 61

6)121

2= 60.5

7) 58

8)119

2= 59.5

234

Ejercicio 5

Calcular la inversa de la matriz

0 1 1 10 1 0 0-1 0 1 20 0 0 1

.

1)

? -2 0 -10 ? -1 00 -2 ? 01 5 -1 ?

2)

? -1 -1 10 ? 0 01 -1 ? -10 0 0 ?

3)

? -1 1 1-1 ? -1 -20 -1 ? 00 0 0 ?

4)

? 0 -1 -12 ? -2 -23 0 ? -2-1 0 0 ?

5)

? 0 -1 00 ? -1 -10 0 ? 00 1 1 ?

6)

? 0 -1 1-1 ? 1 -2-1 0 ? -22 -1 -2 ?

7)

? 0 -1 10 ? 0 10 1 ? 1-1 0 1 ?

Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:

X - -1 -1-1 -2

. -1 -15 4

-1=

3 1-10 -2

1) -2 *

* * 2)

-1 *

* * 3)

0 *

* * 4)

2 *

* * 5)

* 0* *

Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema

x1 - x2 - 2 x3 + 5 x4 ⩵ -22 x1 - 5 x2 - 4 x3 + x4 ⩵ -4-x1 + 2 x2 + 2 x3 - 2 x4 ⩵ 2

tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las