matemÁtica bÁsica factorizaciÓn

MATEMÁTICA BÁSICA FACTORIZACIÓN

Profesor Efrén Giraldo Toro

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO 1

Contenidos a estudiar: LOS DIFERENTES CASOS

DE FACTORIZACIÒN

•

E ELElabABORoróAEfDOrénPORGiraldEFRoÉNT.O T.

3 33 LABORÓGIRIANLG.DEOFRÉTONRGIORALD

• Amigo estudiante:

• Este es un muevo peldaño de la escalera de las matemáticas básicas. Slo entiende y lo estudia bien, no tendrá problemas con su materia. Si noconsulte con sus compañeros, con su profesor o en las asesorías.

¡Saque mínimo 8 horas semanales fuera de clase para estudiar matemáticas.

No valen disculpas!.

¡No deje para mañana lo que tiene que hacer hoy!

ELABORÓ ING. EFRÉN GIRALDO T. 3

Factorización

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

4

NOTA: Este documento es tomado ymodificado a partir de un documento de

Las Dras. Consuelo Díaz y Raquel Valdés de laUniversidad Autónoma Metropolitana de

México.Además se utilizaron otros documentos de internet debidamente referenciados. Lo mismo que el Precálculo de Stewar, 2007

Modificado por Efrén Giraldo T. con fines exclusivamente didácticos

Factor

a b x z a b y x z

Son factores y

también estos

b y x z

Efrén Giraldo

En sentido general factor es un una expresiónque multiplica a otra expresión

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

5

Factorización

ELABORADO POR RÉN GIRALDO TORO

6

Efrén Giraldo

x2 cx d

9. Triomio de la forma

x2 (a b)x ab

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

8

Caso I .Factor Común

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

8

• Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio.

• El factor común es la expresión que seencuentra multipli

E

cfré

an G

nirald

do

o en cada uno de lostérminos. Puede ser un número, una letra,varias letras, un signo negativo, unaexpresión algebraica (encerrada enparéntesis) o combEfréinnGiraaldociones de todo loanterior.

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

9

Se aplica EL FACTOR COMÚN MÁXIMO (FCM) o Máximo Común Divisor (MCD) ya visto en la

• Identificar el

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

10

FACTOR COMÚN MÁXIMO. Ese será el primer factor.

• Dividir la expresión algebraica original entre elFCM y así se obtiene el segundo factor

Efrén Giraldo

entre 4

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO12

Efrén Giraldo

• Factorizar 4x2 - 32x + 60

• FCM de 4, 32, 60 es 4.

• La x no es FCM en los tres términos.

• Por tanto el segundo factor es el resultadode dividir cada término de la expresión

El segundo factor es (x2 - 8x + 15)Efrén Giraldo

4x2 - 32x + 60 = 4(x2 - 8x + 15)Es segundo factor se puede factorizar aún más. Eso lo

veremos más adelante.

12a3b2 30a2b3 6a2b2

12a3b2

6a2b2

30a2b3

6a2b2

2a 5b

GIRALDO TOROELABORADO POR EFRÉN

(Benitez,2011)13

Factorizar el polinomio: 12a3b2 30a2b3

Efrén Giraldo

Factor común máximo de los términos

14(Sewart,2007)

ELABORADO POR EFRÉN 15

(Sewart,2007)

GIRALDO TORO

Caso I. Factor Común

GIRALDO TORO

Haz los siguientes ejercicios.

Ejemplo FMC Segundo factor

Factorización

ma 2 mb2

3 x 2 y x

m a 2 b 2

3 x y 1

m (a 2 b 2 )

x ( 3 x y 1 )

24 a 2 x y2 36 x 2 y4 12 x y2 2 a 2 3 xy2 12 x y 2 ( 2a 2 3 x y 2)

a( x 1) b( x 1) xELAB

1ORA

DO

POR EaFRÉNb ( x1)(a b)16

Caso II. Factor Común pore Términos

Aparece un término común compuesto despuésde agrupar términos con factores comunes simples

PROCEDIENTO

1. Agrupar términos que tengan

2. Factorizar (aplicar Caso I) en cada grupo los factores comunes.

3. Identificar el máximo término común

4. Dividir la expresión algebraica entre el máximo término común

AgrupacióEfr

nén Gira

dld

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

16

Ejemplo caso II

ax abxb ( ax a) ( bx b)

a( x 1) b( x 1)( a b)( x 1)

Factor común a. Factor común b

ax abxb = ( a b)( x 1)ELABORADO POR EFRÉN

GIRALDO TORO17

factor común(x+1)

Un ejemplo más

2am n1 2an 2a m ( 2am2an 2a) ( mn1)

( 2a 1)(mn1) 2a( mn1) ( mn1)

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

19

• Multipicar la suma de la las raíces por la diferencia de ellas

a 2 b2= (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)

I. Diferencia de CuadradosCasoEfrénIGiraIldo

• Identificar la diferencia de cuadrados

• Obtener la raíz cuadrada del primer y segundo términos

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

20

(Sewart,2007)

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

21

(Sewart,2007)ELABORADO POR EFRÉN

GIRALDO TORO22

( 2 a x 3 )2

¿ es tcp ?

Sí

4 a 2 x 2 2 ax

9 3

12ax

4 a 2 x 2 1 2 a x 9

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

( 3 4 x 3 )( 3 4 x 3)

9 3

16x6 4 x39 1 6 x6

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

Caso IV.

Procedimiento

1. El trinomio debe estar organizado en forma descendente respecto al exponente de la a

Trinomio Cuadrado Perfecto

2. El primer y el tercer término deben tener elmismo signo

3. Se saca la raíz cuadrada del primer y tercertermino.

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

25

de las

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

26

con elsegundo término del trinomio (sin fijarnos

Si son iguales,

• 5. La factorización de un TCP es la suma odiferencia de las raíces al cuadrado, que seconstruye anotando las raíces cuadradasdel primer y tercer término, y como signoentre ellas el signo del segundo término deltrinomio original

en el signo de éste).

entonces tenemos un TCP.

• 4.Realizamos el doble productoraíces obtenidas y comparamos

(a b)2

( a b )2

Trinomio Cuadrado Perfecto TCP

28

a 2 2 a b b2

( a b )2

Sí

a2 a

b2 b

2 ab

¿ Es tcp ?

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

28

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/tcuadra1.htm

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

29

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/tcuadra1.htm

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

30

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/tcuadra1.htm

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

31

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

(Sewart,2007)ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

32

Caso V.

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

33

x2 cx dTrinomio de la forma

1. Se abren dos grupos de paréntesis. ( )( )

2. - Se extrae la raíz cuadrada al primer término y seanota al comienzo de cada paréntesis. (x )(x )

4- Buscamos dos números que multiplicadas den el

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

34

respectivos

término independiente (es decir d), y que sumadas denel coeficiente del segundo término (es decir c).

5.- Se anotan las cantidades que satisfacen lascondiciones anteriores en los espacios en blanco de cadaparéntesis con sus respectivos signos, en sus lugares

( x 10)( x 2)

x2 x

10 2 12

10 -2

) 2 0

Resolviendo ejemplos:

x 2 1 2 x 20

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35

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/evalufx1.htm

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO38

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/evalufx1.htm

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO39

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

Caso VI. Trinomio de la forma

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38

- El trinomio debe estar organizado en forma descendente.

- El coeficiente del primer término debe ser uno (1).

- El grado del exponente del primer término 2n debe sereldoble del grado del exponente n del segundo término.

1. Se abren dos grupos de paréntesis. ( )( )

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

39

.

3-Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundotérmino (es decir b).

4- Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus lugares respectivos

(Ríos, 2009)

2- Se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis.

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

40

• El trinomio debe estar organizado en

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

41

Caso VII. Trinomio

(Ríos, 2009)

forma descendente respecto a x.

• - El primer y tercer términos deben ser positivos. (a≠1).

1- Multiplicar y dividir todo el trinomio por el coeficiente principal, es decir, a.

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

42

2-En el segundo término el producto no se realiza la multiplicación sino que se dejaexpresado de manera que quede así b(ax).

3- Se expresa el primer término de cada factorcomo lo que quedó en paréntesis en el segundo término o sea ax .(ax )(ax )

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

43

4.- Aplicamos lo que se vio en caso 4 o sea dos números que multiplicados den ac y sumados b .

5.- Nos fijamos dentro de los paréntesis y debe haber un número factor común en uno o en los dos paréntesis. Se saca ese factor o factores comunes

6.- Finalmente, simplificamos la fracción (para eliminarel denominador con el factor común numérico hallado).

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

44

𝟑𝟔𝒙𝟐 − 𝟕. 𝟔𝒙 − 𝟏𝟖

𝟔

=3 2𝑥 − 3 2(3 + 1)

2.3

36𝑥2 = 6𝑥

(6𝑥 − )(6𝑥 + )

6Dos #s que multiplicados den-18 y sumados -7

simplifico

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ejercfbx.htm

46ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

a 3 b 3 ( a b )(a 2 a b b 2)

a 3 b 3 ( a b )(a 2 a b b 2)

o bien,

Caso VIII Suma y Diferencia de Cubos

Binomio47

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

Trinomio

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos1.htm

ELABORADO POR EFRÉN 49GIRALDO TORO

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

( a 1 )(a 2 a1)

procedimiento

a3 1

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

50

diferencia

3 a3 a

3 1 1

( 3 4 x 2 )( 9 1 2 x 2 1 6 x 4)

2 7 6 4 x6

suma

3 2 7 3

3 64x6 4 x2

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

50

Resolviendo ejemplos:

Efrén Giraldo

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

51

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

52

Efrén Giraldo

Efrén Giraldo

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

53

CasoIX.Factorización confraccionarios

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

54

Exponentes

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

55

3

2-(-

1

2) =

3

2+ 1

2=

4

2= 2

1

2+ 1

2=

2

2= 1

−1

2+ 1

2=

0

2=0

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

56

(Sewart,2007)

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

57

Note que la base es (2+x) y es común en ambos términos

base

https://books.google.com.co/books?id=O_3cYlM8h8AC&pg=PA127&lpg=PA127&dq=factorizar+expresiones+con+exponentes+fraccionarios&source=bl&ots=jJcWYMFyBE&sig=0nRGOC51QxQx5iBNegHDA2mVmE8&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjXpKqo0-TZAhVyoFkKHXiuByA4ChDoAQgwMAI#v=onepage&q=factorizar%20expresiones%20con%20exponentes%20fraccionarios&f=false

1. Factorizar todos los factores comunes.2. Observar el número de términos entre

paréntesis (o en la expresión original). Sihay:

I. Cuatro términos: factorizar por agrupación.II. Tres términos: probar si es tcp y factorizar

así; si no es tcp, emplear el caso general.III.Dos términos y cuadrados: buscar la

diferencia de cuadrados y factorizarla.IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o

diferenica de cubos y factorizar.

3. Asegurarse de que la expresión estáfactorizada completamente.

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO61

Estrategia General

ELAELABORBORÓÓIINNG.G.EEFFRÉRÉNNGIGIRALDLDOOT.T. 626262

LUEGO DE ESTA CLASE UD. AMIGO ESTUDIANTE, TIENEQUE DOMINAR TODOS LOS CONCEPTOS PROFUNDAMENTEDE LA 1,2 Y 3,4,5 CLASEs. DE LO CONTRARIO VUELVAREPASE, ESTUDIE, CONSULTE,REÚNASE, INVESTIGUE. HAGA ALGO.

SI NO LO HACE TIENE PROBLEMAS EN SU MATERIA YESTÁ DANDO OTRO PASO PARA PERDERLA YPOSIBLEMENTE PERDER TAMBIÉN SU CARRERA Y HASTAARRUINAR SU VIDA.

62

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

61

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO

62

TRABAJO EN CASA

• Estudiar Stewart Sección 1.3 pag. 27 a 31

• Volver hacer los ejercicios hechos en clasey los resueltos de Stewart.

• Hacer

• Lectura previa a clase 5

6565EELALABBOORRAÓDOINPGO.REEFFRRÉÉNNGIGRIARLADLODOTOTR. O

Ejercicios sección 1.3 del 1-113

BIBLIOGRAFÍA

• Diaz, C., Valdez, R. (2011) Factorización. Universidad Autónoma Metropolitana.

México. Tomado el 13 de agosto de 2011 de:• http://www.google.com.co/#hl=es&rlz=1R2RNRN_esCO432&q=Universidad+aut%C3%B3noma+m

etropolitana+Factorizacion+consuelo+diaz++Raquel+valdez&oq=Universidad+aut%C3%B3noma+metropolitana+Factorizacion+consuelo+diaz++Raquel+valdez&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=s&gs_upl=6901l11066l0l12080l18l7l0l0l0l1l297l906l0.3.2l7l0&fp=a9ca82d4b3f4d7f9&biw=819&bih=449

• Ríos, J. (2009). Principales casos de factorización. Tomado el 10 de agosto de 2011de:http://julioprofe.blogspot.com ; www.youtube.com/julioprofe) 2.009

• http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos1.htm

• Stewart, (2007). Precálculo

ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO 66