matemáticas iii profesor: sr. sergio calvo u alumno:sr. hernán rojas r
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Matemáticas IIIMatemáticas III
Profesor: Sr. Sergio Calvo U
Alumno:Sr. Hernán Rojas R.
El proceso para determinar una función cuando se conoce su derivada se llama INTEGRACION, y la función a determinar se denomina ANTIDERIVADA o INTEGRAL de la función dada.
cxy
xdxdy
dxxdy
xdx
dy
2
2
/2
2
De aquí se desprende que siempre se agrega una CONSTANTE “C”
Fórmula de la Potencia
Nos indica como integrar cualquier potencia de X con excepción de la recíproca de X
)1(1
1
ncn
xdxx
nn
Encontrar:
dxx4 cx 5
51
dxx 2
1cx 2
12
dxx
1cxLn
dtt34 dtt 31
)(4 ct 34
)(3
Teorema 1
La integral del producto de una constante de una función de x es igual a la constante por la integral de la función. Esto es, si c es una constante
dxxfcdxxfc )()(
Encontrar:
dxx23 dxx23 cxcx 3
3
3*3
dxex2 cedxe xx 22
dx5 cxdx 515
dxx 32 )3(
dxxxx )27279( 246
dxdxxdxxdxx 27279 246
dxdxxdxxdxx 27279 246
cxxxx 27
327
59
7
357
dxxx 32 )3(
xdu
dxxdxdu
xu
22
32
Siempre que se efectúe un cambio de variable, la nueva
Integral debe depender sólo de la variable auxiliar.
cu
duux
duux
4*
2
1
2
1
2)(
433
cx
8)3( 42
dxxx 52 2
x
dudxxdxdu
xu
44
52 2
duux
duxu 2
12
1
4
1
4 c
uc
u
623
*4
1 2/323
cx
6
)52( 2/32
dx
xxx
52 )732(34
34)34(
732 2
xdu
dxdxxdu
xxu
c
uduu
udu
xdu
ux
434*
34 45
55
cxx
42 )732(41
dx
xxxxx
)823(263
23
2
263
)263(
823
2
2
23
xx
dudx
dxxxdu
xxxu
263
*263
2
2
xxdu
uxx
cxxxLncuLnu
du 823 23
dx
xxx
)1sen(12
2
12
12
12
x
dudx
dxxdu
xxu
duu
usen
du
x
du
usen
xcsc
12*
12
cxxctgxxcuctguduu )1()1(csclncsclncsc 22
dx
xx
23
dx
xx
xx
33
dx
xxx
xx
x 22 933
dx
xxx
x 22 96
dx
xx 2
2 96 dxxx 22 96
dxxdxdxx 22 916
1*96
3
13 xx
x
cx
xx
9
63
3
dxxa2 dxxaxa
dxxaxaxa 2/12/1 )()(
dxxaxa 2
1)(2
xdxdxxadxa 212/12
23
4 22/32/1 x
xaax
cxxa
ax 23
4 2232/1
cxax
ax 23
4 23
cn
xdxx
nn
1
1
ckxdxk
Fórmulas de Integrales.
cx
dxx2
2
cxx
dxln
cxdxxsen cos
cxsendxxcos
cxdxtgx secln
csenxdxctgx ln
cxxtgdxx seclnsec
cxctgxdxx csclncsc
cxx
dxarctg
12
cedxe xx
ca
edxedxa
axaxx ln
lnln
c
axax
aaxdx
ln21
22
caau
duau
arctg1
22
cauuau
du 22
22ln
¡Noooooo!
Ejercicios 1
2- Fórmulas para desarrollar INTEGRALES:Descomposición en fracciones parciales y completación del
cuadrado del Binomio.
3- Fórmulas para desarrollar INTEGRALES:Utilizar Método de sustitución trigonométrica.
1- Fórmulas para desarrollar INTEGRALES:Método directo y cambio de variables
Ejercicios3
Trigonometría
Ejercicios2
42x
du
)2)(2(
1
xx
)2)(2(
22
22
xx
BBxAAx
x
B
x
A
BABAx 22)(1
122
2*0
BA
BA
122
022
BA
BA
41
4114 ABB
dx
xx)
)2(4
1
)2(4
1(
)2(4
1)2(4
1xdx
xdx
cxxLn 241
241
cxxLn 241
241
cx
xLn
2
2
4
1
Encontrar:
dxxax2
xaxaxa 2/12)(2
dxxaxax ))(2( 21
dxxxxaxxa ))(2( 21
dxxxdxxxadxxa 21
21
2
dxxxdxxxadxxa 21
21
21
21
2
dxxdxxadxxa 2/32/12/1 2 cx
xaax
5
2
3
2 52
23
dxbxax nn 1
1
1
n
n
n
nbx
dudx
dxnbxdu
bxau
11
nn
nbx
duux duu
nb2/11
cnb
u
3
2 2/3c
nb
bxa n
3
)(2 3
Fórmulas de
Integrales Parciales
)2()2()2)(2(1
)4(1
1 2
xB
xA
xxx
111
2 22
xBAx
x
323 )2()2()2()2(1
3
x
Cx
Bx
Ax
dadx
senaxxa
cos
1 22
dadx
tgaxxa2
22
sec
2
dtgadx
axax
sec
sec3 22
Formulas de Sustitución Trigonométricas.
2251
x
dxPor fórmula 1
dCosdx
SenxSenx
aa
5
255
52522
2
22525
5
Sen
dCos
)1(25
52
Sen
dCosPor igualdad Trigonométrica
221 CosSen
225
5
Cos
dCos
CosdCos
55
cd
?..¿
Senx
SenX 5
5 ArcSen/*
)()5
( senarcsenx
arcsen
)5
(x
arcsen
42
2x
dx
dtgSecdx
SecxSecx
aa
2
42
2422
2
Por fórmula 1
44
tg22
Sec
dSec
)1(4
22
Sec
dtgSec
14
22
Sec
dtgSec
22
1
tg
dtgSec
tg
dsec
d
sencos
cos1
2
1
dc sec
cctgc secln
Secx
Secx
2
2
Hipotenusa
OpuestoSen
HipotenusaAdyacente
Cos
AdyacenteOpuesto
Tg
Opuesta
AdyacenteC tg
Adyacente
HipotenusaSec
Opuesta
HipotenusaCsc
90°
b
C
Hipotenusa
OpuestoSen
ac
CSenY
ab
BSenX
c
Y
x
B A
a
Has Clic sobreel triángulo
Hipotenusa
OpuestoSen
CscCscfSen
1)(
122 CosSen
21)( CosCosfSen
21)(
Tg
TgTgfSen
21
1)(
CotCotfSen
Sec
SecSecfSen
1)(
2
aCosbSenbCosaSenbaSen )(
CosXSenxx )(
HipotenusaAdyacente
Cos
ab
CCosY
ac
BCosX
c
ab
Y
x
B
C
A
Has Clic sobreel triángulo
HipotenusaAdyacente
Cos
SecSecfCos
1)(
122 SenCos
21)( SenSenfCos
21
1(tg)
TgfCos
21)(
Cot
CotCotfCos
CscCsc
CscfCos1
)(2
bSenaSenbCosaCosbaCos )(
SenXCosxx )(
AdyacenteOpuesto
Tg
bc
CTgY
cb
BTgX
c
ab
Y
x
B
C
A
Has Clic sobreel triángulo
AdyacenteOpuesto
Tg
CotCotfTg
1)(
CosSen
Tg
21)(
Sen
SenSenfTg
CosCos
CosfTg21
)(
1)( 2 SecSecfTg
1
1)(
2
CscCscfTg
bTgaTgbTgaTg
baTg*1
)(
XSecTgxx 2)(
Opuesto
AdyacenteCot
cb
CCotY
bc
BCotX
c
ab
Y
x
B
C
A
Has Clic sobreel triángulo
Opuesto
AdyacenteCot
TgTgfCot
1)(
Sen
SenSenfCot
21)(
21)(
Cos
CosCosfCot
1
1)(
2
SecSecfCot
1)( 2 CscCscfCot
aCotbCotbCotaCot
baC
1*)tg(
XCscCotxx 2)(
Adyacente
HipotenusaSec
ba
CSecY
ca
BSecX
c
ab
Y
x
B
C
A
Has Clic sobreel triángulo
Adyacente
HipotenusaSec
CosSec
1
21
1)(
SenSenfSec
CosCosfSec
1)(
21)( TgTgfSec
CotCot
CotfSec21
)(
1)(
2
Csc
CscCscfSec
)(1
)(baCos
baSec
TgxSecxSecxx *)(
Opuesto
HipotenusaCsc
ca
CCscY
ba
BCscX
c
ab
Y
x
B
C
A
Has Clic sobreel triángulo
Opuesto
HipotenusaCsc
Sen
SenfCsc1
)(
21
1)(
CosCosfCsc
Tg
TgTgfCsc
21)(
21)( CotCotfCsc
1)(
2
Sec
SecSecfCsc
)(1
)(baSen
baCsc
CotxCscxCscxx *)(
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