matemáticas iii profesor: sr. sergio calvo u alumno:sr. hernán rojas r

Matemáticas IIIMatemáticas III

Profesor: Sr. Sergio Calvo U

Alumno:Sr. Hernán Rojas R.

El proceso para determinar una función cuando se conoce su derivada se llama INTEGRACION, y la función a determinar se denomina ANTIDERIVADA o INTEGRAL de la función dada.

cxy

xdxdy

dxxdy

xdx

dy

2

2

/2

2

De aquí se desprende que siempre se agrega una CONSTANTE “C”

Fórmula de la Potencia

Nos indica como integrar cualquier potencia de X con excepción de la recíproca de X

)1(1

1

ncn

xdxx

nn

Encontrar:

dxx4 cx 5

51

dxx 2

1cx 2

12

dxx

1cxLn

dtt34 dtt 31

)(4 ct 34

)(3

Teorema 1

La integral del producto de una constante de una función de x es igual a la constante por la integral de la función. Esto es, si c es una constante

dxxfcdxxfc )()(

Encontrar:

dxx23 dxx23 cxcx 3

3

3*3

dxex2 cedxe xx 22

dx5 cxdx 515

dxx 32 )3(

dxxxx )27279( 246

dxdxxdxxdxx 27279 246

dxdxxdxxdxx 27279 246

cxxxx 27

327

59

7

357

dxxx 32 )3(

xdu

dxxdxdu

xu

22

32

Siempre que se efectúe un cambio de variable, la nueva

Integral debe depender sólo de la variable auxiliar.

cu

duux

duux

4*

2

1

2

1

2)(

433

cx

8)3( 42

dxxx 52 2

x

dudxxdxdu

xu

44

52 2

duux

duxu 2

12

1

4

1

4 c

uc

u

623

*4

1 2/323

cx

6

)52( 2/32

dx

xxx

52 )732(34

34)34(

732 2

xdu

dxdxxdu

xxu

c

uduu

udu

xdu

ux

434*

34 45

55

cxx

42 )732(41

dx

xxxxx

)823(263

23

2

263

)263(

823

2

2

23

xx

dudx

dxxxdu

xxxu

263

*263

2

2

xxdu

uxx

cxxxLncuLnu

du 823 23

dx

xxx

)1sen(12

2

12

12

12

x

dudx

dxxdu

xxu

duu

usen

du

x

du

usen

xcsc

12*

12

cxxctgxxcuctguduu )1()1(csclncsclncsc 22

dx

xx

23

dx

xx

xx

33

dx

xxx

xx

x 22 933

dx

xxx

x 22 96

dx

xx 2

2 96 dxxx 22 96

dxxdxdxx 22 916

1*96

3

13 xx

x

cx

xx

9

63

3

dxxa2 dxxaxa

dxxaxaxa 2/12/1 )()(

dxxaxa 2

1)(2

xdxdxxadxa 212/12

23

4 22/32/1 x

xaax

cxxa

ax 23

4 2232/1

cxax

ax 23

4 23

cn

xdxx

nn

1

1

ckxdxk

Fórmulas de Integrales.

cx

dxx2

2

cxx

dxln

cxdxxsen cos

cxsendxxcos

cxdxtgx secln

csenxdxctgx ln

cxxtgdxx seclnsec

cxctgxdxx csclncsc

cxx

dxarctg

12

cedxe xx

ca

edxedxa

axaxx ln

lnln

c

axax

aaxdx

ln21

22

caau

duau

arctg1

22

cauuau

du 22

22ln

¡Noooooo!

Ejercicios 1

2- Fórmulas para desarrollar INTEGRALES:Descomposición en fracciones parciales y completación del

cuadrado del Binomio.

3- Fórmulas para desarrollar INTEGRALES:Utilizar Método de sustitución trigonométrica.

1- Fórmulas para desarrollar INTEGRALES:Método directo y cambio de variables

Ejercicios3

Trigonometría

Ejercicios2

42x

du

)2)(2(

1

xx

)2)(2(

22

22

xx

BBxAAx

x

B

x

A

BABAx 22)(1

122

2*0

BA

BA

122

022

BA

BA

41

4114 ABB

dx

xx)

)2(4

1

)2(4

1(

)2(4

1)2(4

1xdx

xdx

cxxLn 241

241

cxxLn 241

241

cx

xLn

2

2

4

1

Encontrar:

dxxax2

xaxaxa 2/12)(2

dxxaxax ))(2( 21

dxxxxaxxa ))(2( 21

dxxxdxxxadxxa 21

21

2

dxxxdxxxadxxa 21

21

21

21

2

dxxdxxadxxa 2/32/12/1 2 cx

xaax

5

2

3

2 52

23

dxbxax nn 1

1

1

n

n

n

nbx

dudx

dxnbxdu

bxau

11

nn

nbx

duux duu

nb2/11

cnb

u

3

2 2/3c

nb

bxa n

3

)(2 3

Fórmulas de

Integrales Parciales

)2()2()2)(2(1

)4(1

1 2

xB

xA

xxx

111

2 22

xBAx

x

323 )2()2()2()2(1

3

x

Cx

Bx

Ax

dadx

senaxxa

cos

1 22

dadx

tgaxxa2

22

sec

2

dtgadx

axax

sec

sec3 22

Formulas de Sustitución Trigonométricas.

2251

x

dxPor fórmula 1

dCosdx

SenxSenx

aa

5

255

52522

2

22525

5

Sen

dCos

)1(25

52

Sen

dCosPor igualdad Trigonométrica

221 CosSen

225

5

Cos

dCos

CosdCos

55

cd

?..¿

Senx

SenX 5

5 ArcSen/*

)()5

( senarcsenx

arcsen

)5

(x

arcsen

42

2x

dx

dtgSecdx

SecxSecx

aa

2

42

2422

2

Por fórmula 1

44

tg22

Sec

dSec

)1(4

22

Sec

dtgSec

14

22

Sec

dtgSec

22

1

tg

dtgSec

tg

dsec

d

sencos

cos1

2

1

dc sec

cctgc secln

Secx

Secx

2

2

Hipotenusa

OpuestoSen

HipotenusaAdyacente

Cos

AdyacenteOpuesto

Tg

Opuesta

AdyacenteC tg

Adyacente

HipotenusaSec

Opuesta

HipotenusaCsc

90°

b

C

Hipotenusa

OpuestoSen

ac

CSenY

ab

BSenX

c

Y

x

B A

a

Has Clic sobreel triángulo

Hipotenusa

OpuestoSen

CscCscfSen

1)(

122 CosSen

21)( CosCosfSen

21)(

Tg

TgTgfSen

21

1)(

CotCotfSen

Sec

SecSecfSen

1)(

2

aCosbSenbCosaSenbaSen )(

CosXSenxx )(

HipotenusaAdyacente

Cos

ab

CCosY

ac

BCosX

c

ab

Y

x

B

C

A


HipotenusaAdyacente

Cos

SecSecfCos

1)(

122 SenCos

21)( SenSenfCos

21

1(tg)

TgfCos

21)(

Cot

CotCotfCos

CscCsc

CscfCos1

)(2

bSenaSenbCosaCosbaCos )(

SenXCosxx )(

AdyacenteOpuesto

Tg

bc

CTgY

cb

BTgX

c

ab

Y

x

B

C

A


AdyacenteOpuesto

Tg

CotCotfTg

1)(

CosSen

Tg

21)(

Sen

SenSenfTg

CosCos

CosfTg21

)(

1)( 2 SecSecfTg

1

1)(

2

CscCscfTg

bTgaTgbTgaTg

baTg*1

)(

XSecTgxx 2)(

Opuesto

AdyacenteCot

cb

CCotY

bc

BCotX

c

ab

Y

x

B

C

A


Opuesto

AdyacenteCot

TgTgfCot

1)(

Sen

SenSenfCot

21)(

21)(

Cos

CosCosfCot

1

1)(

2

SecSecfCot

1)( 2 CscCscfCot

aCotbCotbCotaCot

baC

1*)tg(

XCscCotxx 2)(

Adyacente

HipotenusaSec

ba

CSecY

ca

BSecX

c

ab

Y

x

B

C

A


Adyacente

HipotenusaSec

CosSec

1

21

1)(

SenSenfSec

CosCosfSec

1)(

21)( TgTgfSec

CotCot

CotfSec21

)(

1)(

2

Csc

CscCscfSec

)(1

)(baCos

baSec

TgxSecxSecxx *)(

Opuesto

HipotenusaCsc

ca

CCscY

ba

BCscX

c

ab

Y

x

B

C

A


Opuesto

HipotenusaCsc

Sen

SenfCsc1

)(

21

1)(

CosCosfCsc

Tg

TgTgfCsc

21)(

21)( CotCotfCsc

1)(

2

Sec

SecSecfCsc

)(1

)(baSen

baCsc

CotxCscxCscxx *)(

matemáticas iii profesor: sr. sergio calvo u alumno:sr. hernán rojas r

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