los conjuntos numÉricos profesor: sergio delón.. 2

LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

Profesor: Sergio Delón.

2

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

LOS NÚMEROS NATURALES SURGEN DE LA NECESIDAD DE CONTAR QUE SE MANIFIESTA EN EL SER HUMANO DESDE SUS ORÍGENES. EL CONJUNTO QUE LOS AGRUPA SE DESIGNA POR IN.

IN= { 1,2 3,4,5,6,7.........}

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

a) TIENE UN NÚMERO INFINITO DE ELEMENTOS

b) CADA ELEMENTO TIENE UN SUCESOR Y TODOS, EXCEPTO EL 1, UN ANTECESOR

DOS CARACTERISTICAS DE ESTE CONJUNTO

SUBCONJUNTOS DE LOS NÚMEROS NATURALES

1) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS PARES.

P= {2,4,6,8,10,12,14,..............}

NÚMERO PAR

X= 2n

P = { x/x IN , X = 2n, n IN }

2) C0NJUNTO DE LOS NÚMEROS IMPARES

I ={1,3,5,7,9,11,13,............}

NÚMERO IMPAR

x = 2n - 1

I={ x/x IN, x=2n - 1, n IN }

PRIMOS ={ SON TODOS AQUELLOS NÚMEROS QUE

SOLAMENTE SE PUEDEN DIVIDIR POR SI

MISMO Y POR UNO, (EL 1 NO ES PRIMO) }

EJERCICIO: HALLAR TODOS LOS NÚMEROS PRIMOS

MENORES QUE 100

3) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS PRIMOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2 3 5 7

11 13 17 19

23 29

31 37

41 43 47

53 59

61 67

71 73 79

83 89

97

RESPUESTA

2 3 5 7

11 13 17 19

23 29

31 37

41 43 47

53 59

61 67

71 73 79

83 89

97

RESPUESTA

OPERACIONES Y PROPIEDADES EN IN

LA ADICIÓN:Es la operación mediante la cual buscamos la cardinalidad del conjunto unión de dos conjuntos disjuntos

a,b IN , a + b IN : propiedad de clausura

a,b IN , a + b = b + a : propiedad conmutativa

a,b,c IN , (a + b) + c = a +( b + c) : propiedad asociativa

Si en una adición todos los sumandos son iguales podemos definir una nueva operación llamada MULTIPLICACIÓN

a,b IN , a · b IN : propiedad de clausura

a,b IN , a · b = b · a : propiedad conmutativa

a,b,c IN , (a · b) · c = a ·( b · c) : propiedad asociativa a,b,c IN , a ·( b + c) =( a·b) +(a ·c) : distributividad

de la multipli- cación con respecto a la adición

DIVISIBILIDAD DE

LOS NÚMEROS

1) Un número es divisible por dos:cuando termina en cifra par o cero. ( 2,4,6,8) ; ( 0 )

Ejemplo : 34 , 1578 , 6790 , 135796 , 862

2) Un número es divisible por tres: cuando la suma de suscifras es múltiplo de tres.

Ejemplo : 321 , 558 , 123561 , 87 , 51

3+2+1 , 5+5+8 , 1+2+3+5+6+1 , 8+7 , 5+1

6 18 18 15 6

3) Un número es divisible por cuatro: cuando las dos últimas cifras son múltiplos de cuatro o cuando las dos últimas cifras son cero.

Ejemplo : 3464 , 924 , 736 , 100 , 456700

4) Un número es divisible por cinco : cuando termina en cero o en cinco.

Ejemplo : 145 , 2675 , 340 , 980 , 123450

5) Un número es divisible por seis: cuando los es por dos y tres a la vez (al mismo tiempo).

Ejemplo : 132 , 648 , 138 , 786

6) Un número es divisible por nueve: cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

Ejemplo: 45 , 558 , 34767 , 9817254

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El 18, 24 y 36, admiten como divisores comunes el 1, 2,3 y 6, como el mayor de los divisores es el 6, entonces el máximo común divisor (m.c.d) entre 18, 24 y 36 es 6:

18={1,2,3,6,9,18}

24={1,2,3,4,6,8,12,24}

36={1,2,3,4,6,9,12,18,36}

{1,2,3,6}, entonces el 6 es m.c.d

AVANZANDO UN POCO MÁS Y RECONOCIENDO LA IMPORTANCIA DEL CERO COMO NÚMERO,”SE AGREGA” ESTE ELEMENTO AL CONJUNTO IN, FORMANDO UN NUEVO CONJUNTO QUE SE DESIGNA INO

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS CARDINALES

INO ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,...........}

INO = IN { 0 }

IN INO

AL EFECTUAR ALGUNAS OPERACIONES CON LOS

ELEMENTOS DE LOS INO , SE VE FÁCILMENTE QUE NO

HAY DIFICULTADES EN CUANTO A LA SUMA O ADICIÓN Y

EN CUANTO A LA MULTIPLICACIÓN.

EN OTRAS PALABRAS, SI SE SUMAN O MULTIPLICAN

NÚMEROS NATURALES, EL RESULTADO ES TAMBIÉN

UN NÚMERO NATURAL.

SIN EMBARGO, AL RESTAR EN EL CONJUNTO IN, SURGE

UN SERIO PROBLEMA: NO TODA RESTA ENTRE

NÚMEROS NATURALES TIENE UNA RESPUESTA QUE

SEA TAMBIÉN UN NÚMERO NATURAL.

PARA ENFRENTAR SITUACIONES COMO LA ÚLTIMA

PLANTEADA, EL HOMBRE “INVENTO” NUEVOS

NÚMEROS QUE PERMITEN SEGUIR AVANZANDO

EL CONJUNTO DE LOS

NÚMEROS ENTEROS ( Z)

Z= { -..............-4,-3,-2,-1,0,1, 2, 3, 4, ...................+ }

ENTEROS NEGATIVOS ENTEROS POSITIVOS

-Z +Z

CERO

LOS NÚMEROS ENTEROS PODEMOS UBICARLOS EN LA RECTA NUMÉRICA.

Z = -Z { 0 } +Z

ORDEN EN Z

1) Todo número a la derecha del cero, es positivo

2) Todo número a la izquierda del cero, es negativo

3) Todo número que esté a la derecha de otro, es mayor que él

4) Todo número que esté a la izquierda de otro, es menor que el

5) Todo número negativo es menor que cero

6) Todo número positivo es mayor que cero.

7)Todo número negativo es menor que cualquier número positivo

PROPIEDADES

a,b Z, a + b Z : operación binaria

a,b Z, a + b = b + a : conmutativa

a,Z, a + 0 = a : existencia elemento neutro

a,Z, a +(-a) =0 :existencia del opuesto o inverso aditivo

a,b,c Z, (a + b) +c = a + (b + c) : asociatividad

DEBIDO A ESTAS CINCO PROPIEDADES DECIMOS QUE

EL CONJUNTO DE LOS ENTEROS CON LA OPERACIÓN

ADICIÓN TIENE ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE GRUPO

ABELIANO O GRUPO CONMUTATIVO.

(Z , +) es grupo abeliano

Todo número entero consta de dos partes: magnitud o valor absoluto y signo.

Ejemplo: +1 tiene valor absoluto 1 y signo +

-1 tiene valor absoluto 1 y signo - .

Los enteros positivos los escribiremos indistintamente con o

sin signo, o sea, escribiremos +1 simplemente 1.

Escribiremos el valor absoluto de un número colocando el

número entre barras:

+5 = 5 -6 = 6

32

TABLA DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

POTENCIACIÓN

DE NÚMEROS

ENTEROS

POTENCIA

an

producto de factores iguales

a·a·a·a·a·a·a·a... = an

n veces a

SIGNO DE UNA

POTENCIA

1) BASE POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL: LA POTENCIA ES SIEMPRE UN NÚMERO ENTERO POSITIVO

EJEMPLOS:

25 = 2·2·2·2·2=32

34 = 3·3·3·3=81

73 = 7·7·7=343

2) BASE NEGATIVA Y EXPONENTE NATURAL: SE PRESENTAN DOS CASOS

a) BASE NEGATIVA Y EXPONENTE PAR: LA POTENCIA ES SIEMPRE POSITIVA.

EJEMPLOS:

1) (-2)4=-2·-2·-2·-2=+16=16

2) (-17)2=-17·-17=289

3) (-3)6=-3·-3·-3·-3·-3·-3= 729

b) BASE NEGATIVA Y EXPONENTE IMPAR: LA POTENCIA ES SIEMPRE UN NÚMERO NEGATIVO

EJEMPLO:

1) (-2)7=-2·-2·-2·-2·-2·-2·-2= -128

2) (-3)5=-3·-3·-3·-3·-3= -243

3) (-4)3=-4·-4·-4= -64

POTENCIA DE LA FORMA a-p

a Z p N

p

p

aa

1

EJEMPLOS:

1281

21

27

7

2431

31

35

5

2561

41

44

4

7291

91

93

3

Si la base de una potencia es (a/b) y el exponente (-p) la situación se plantea de la siguiente forma.

pp

ab

ba

EJEMPLOS

2764

34

43

33

16625

25

52

44

Si la base es un número cualquiera distinto de cero y el exponente es cero , la situación planteada queda expresada de la siguiente forma.

10 a0a

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

¿Cómo se puede expresar a3 · a4 ?

a3= a·a·a a3 · a4 =a·a·a·a·a·a·a = a7

3 + 4

a4=a·a·a·a a3 · a4 = a3+4= a7

EN GENERAL : am · an = am + n

a) 23 · 25 = 28 = 256

b) m4 · m5 · m6 = m15

c) a3 ·an = a 3 + n

d) 103 · 104 · 102 · 107 = 1016

e) (2X)5 · (2X)6 · (2x)9 = (2x)20

f) X · X = X2

g) c · c5 = c6

h) b3 · b6 · b · b8 =b18

EJEMPLOS:

DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

¿A que es equivalente ?252:5aaoaa

5

2

· · · ·

·

a a a a a a

a a a

33

1

aa

:m

m n m nn

aa a a

a

O SEA

EN GENERAL

55 2 3

2

aa a

a

48

Resolver Si aa = 2. Calcular 1aa2a

2 aa aa 2 2 aa 4 aa 4aa 4

2 16

49

Simplificar:

)2(3

)2(22R

3n

n4n

4

3

2 2 2 2

3 2 2

n n

n

3

3

2 2 2 1

3 2 2

n

n

3

2

2 1

3 2

9

12 3

4

2

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Q

PARA DAR SOLUCIÓN AL PROBLEMA, SE AMPLIO EL CONJUNTO Z DE LOS NÚMEROS ENTEROS, FORMANDOSE ASÍ UN NUEVO CONJUNTO; EL DE LOS NÚMEROS RACIONALES QUE SE IDENTIFICA CON LA LETRA Q.

AL PLANTEAR LA NECESIDAD DE DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS, SURGE UN PROBLEMA: EL CUOCIENTE DE DOS NÚMEROS ENTEROS , NO SIEMPRE ES UN NÚMERO ENTERO.

Q ES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS DE LA FORMA a/b , SIENDO a Y b NÚMEROS ENTEROS Y b DISTINTO DE CERO.

0/ bZbab

aQ

rdenominadonumerador

ba

NUMERADOR:LAS PARTES IGUALES QUE TOMAN DEL ENTERO

DENOMINADOR: LAS PARTES IGUALES EN QUE SE DIVIDE EL ENTERO

EJEMPLOS

1

16

7

16

OPERACIONES CON

FRACCIONES

ADICIÓN

IGUAL DENOMINADOR

a c a c

b b b

4 3 71) 1

7 7 7

5 7 122)

17 17 17

DENOMINADORES CON FACTORES COMUNES

a c na c

b nb nb

4 31)

5 35

5 72)

9 72

28 3

35

31

35

40 7

72

47

72

DISTINTO DENOMINADOR

a c ad cb

b d bd

4 31)

5 7

5 72)

9 8

28 15

35

43

35

81

35

40 63

72

103

72

311

72

SUSTRACCIÓN

IGUAL DENOMINADOR

a c a c

b b b

4 3 11)

7 7 7

5 7 22)

17 17 17

DENOMINADORES CON FACTORES COMUNES

a c na c

b nb nb

8 21)

9 27

5 72)

12 36

24 2

27

22

27

15 7

36

8 2

36 9

DISTINTO DENOMINADOR

a c ad cb

b d bd

4 31)

5 7

5 72)

9 8

28 15

35

13

35

40 63

72

23

72

64

MULTIPLICACIÓN

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

·

·

a c a c

b d b d

5 3 151) ·

7 4 28

8 6 482) ·

9 11 99

5 6 303) ·

13 7 91

66

DIVISIÓN

DIVISION DE FRACCIONES

:a c

b d

5 3 5 7 35 111) : · 1

8 7 8 3 24 24

7 6 7 11 77 232) : · 1

9 11 9 6 54 54

a

b·d

c

·

·

a d

b c

68

6) con el vino que hay en un recipiente se pueden llenar quince botellas y media de ¾ de litro. Con esta cantidad de vino:

a) ¿Cuántas botellas de un litro se podrían llenar?

1 315 BOTELLAS DE

2 4

3 4515

4 4

3 1 3

4 2 8

90 3 93 511

8 8 8 8

R. se podrían llenar 11 botellas

69

b) ¿cuántas botellas de litro se podrían llenar?

5 3 93 2 31 311 : 7

8 2 8 3 4 4

11

2

R. se podrían llenar 7 botellas

1 31

2 2

70

7) Un cuarto de kilogramo de queso tiene un valor de $850.¿cuánto cuesta un trozo que pesa 2 kilogramos y tres cuartos?

1k $850

4

32 k

4x

11850

4 850 11 935014

x

Los 2k y tres cuartos valen$ 9.350

71

Otro procedimiento

$850

$850 $850

$850$850

$850 $850

$850$850

$850 $850

$850

850 11 9350

72

8) Don Pedro tenía una parcela de 1 hectária, vendió la quinta parte y el resto lo repartió equitativamente entre sus cuatro hijos.¿cuántos metros cuadrados recibio cada uno?

1 hectária = 10.000m2

2.000m2

2.000m2 2.000m2

2.000m2

2.000m2

R: recibio cada uno2.000m2

73

9) Javier compra una bebida de litros para servirles a sus compañeros que han ido a estudiar con él. Si los vasos tienen una capacidad de 1/4 litro

1 52

2 2

5 1 5 4 20: 10

2 4 2 1 2

a) ¿Para cuántos vasos alcanzará?

R. Alcanzará para 10 vasos

12

2

74

b) Si los llena hasta las 3/4 partes, ¿para cuántos vasos le alcanzará?

3 1 3

4 4 16

5 3 5 16 5 8 40 1: 13

2 16 2 3 1 3 3 3

R. Alcanzará para 13 vasos

EL CONJUNTO DE LOS

NÚMEROS IRRACIONALES

Q`

76

N=Números NaturalesZ=Números EnterosQ=Números Racionales    I=Irracionales(en amarillo)R=Números Reales

DESARROLLOS DECIMALES NO PERIÓDICOS

Existen ciertos desarrollos decimales infinitos que no son periódicos y, por lo tanto, no son números racionales. Es imposible escribirlos en la forma a/b con “a” y “b” enteros.

Ejemplos: 0,12569870002360087910...........

-9,12365478987562000127..........

4,987560056001200360014........

Si bien es cierto que algunos de estos desarrollos tienen una “ley de formación”, sin embargo, no son periódicos.

Estos números, llamados irracionales, forman un conjunto del mismo nombre, representados por Q`.

periódiconodecimaldesarrollountienexxQ /`

En este conjunto, se encuentran números tan importantes como el número irracional.

= 3,141592654........

La misma situación se presenta con las raíces cuadradas de algunos números racionales positivos.

..385164807,529

...31662479,311

...23606797,25

...73205080,13

Todos los números estudiados se caracterizan por tener un desarrollo decimal, sea periódico o no periódico. Se forma, así, un importante conjunto numérico:

los números reales IR

IR = Q Q`

IR

reales racionales (desarrollo decimal periódico)

Q

desarrollos decimales

reales irracionales (desarrollo decimal no periódico)

Q`

RECORDANDO LOS UNIVERSOS NUMÉRICOS

ESTUDIADOS, EL SIGUIENTE DIAGRAMA ILUSTRA LA

IDEA DE CÓMO SE HAN IDO AMPLIANDO, A

REQUERIMIENTO DE LAS NECESIDADES

OPERATORIAS

IN0

ZQ

Q`

IR

IN

84

N=Números NaturalesZ=Números EnterosQ=Números Racionales    I=Irracionales(en amarillo)R=Números Reales

OPERACIONES EN IR.

PROPIEDADES

En los conjuntos numéricos anteriormente estudiados, ya has visto las propiedades de las operaciones. En IR se cumplen importantes propiedades que son el fundamento de la operatoria algebraica.

operación binaria a + b IR a · b IR

conmutatividad a + b = b + a a · b = b · a

asociatividad (a + b) + c = a + (b + c) (a·b)·c = a·(b·c)

elemento neutro a + 0 = 0 + a = a 1·a = a·1 = a

elemento inverso a + (-a) = 0 a · 1= 1 a

distributividadde la suma sobre la a · (b + c) = a · b + a · c multiplicación

ADICIÓN a,b,c IR MULTIPLICACIÓN

NOTACIÓN

CIENTÍFICA

Con este nombre, se conoce una forma de escribir los números y que es muy usual en algunas ciencias (por ejemplo, Física, Química...), ya que resulta bastante práctica.

El número 25.000.000.000 (veinticinco mil millones),

se escribe así:

25.000.000.000 = 2,5 · 1010

De esta manera, se consigue “abreviar” la escritura de ciertos números, generalmente muy grandes, o muy pequeños como el ejemplo siguiente

0,000000231 = 2,31 · 10-7

En general, se dice que un número está escrito en notación científica , si se ha expresado en la forma k · 10n , donde k es un número real, tal que.

ZnyK 101

2) 128.000 = 12800·10

1280·100

128·1000

12,8·10000

1,28·100000

1,28·105

1) 1.500 = 150·10 15·100

1,5·1000 1,5·103

EJEMPLOS

3) 7.280.000 = 7,28·106

para comprender mejor la notación, observa ordenadamente lo siguiente, en relación con el ejemplo anterior:

7.280.000 = 7,28 · 106

= 72,8 · 105

= 728 · 104

= 7.280 · 103

= 72.800 · 102

= 728.000 · 101

=7.280.000 · 100 (100 = 1)

El caso de los números muy pequeños es exactamente igual, usando potencias de 10 con exponente negativo:

Ejemplos:

0,000000000000524 = 5,24 · 10-13

0,000053 = 5,3 · 10-5

0,0000000935 = 9,35 · 10-8

0,00006 = 6 · 10-5

0,00000073 = 7,3 · 10-7

El mismo procedimiento estudiado hasta ahora se aplica para expresar números negativos en notación científica. Basta anteponer al factor K, el signo negativo.

Ejemplos:

-0,000000003 = -3 · 10-9

-125.000 = -1,25 · 105

-48.000 = -4,8 · 104

-0,00068 = -6,8 · 10-4