lei dos cossenos / lei dos senos -...

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos / Lei dos Senos

Prof. Marcio Nascimentomarcio@matematicauva.org

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Matematica Basica II - 2014.1

27 de maio de 2014

1 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Sumario

1 Lei dos Cossenos

2 Lei dos Senos

3 Aplicacao da Lei dos Senos

2 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Sumario

1 Lei dos Cossenos

2 Lei dos Senos

3 Aplicacao da Lei dos Senos

3 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Angulos Agudos

Lei dos Cossenos

Para um triangulo ABC com lados a, b, c opostos aos verticesA,B,C respectivamente, tem-se

a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA

4 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Angulos Agudos

Lei dos Cossenos

Para um triangulo ABC com lados a, b, c opostos aos verticesA,B,C respectivamente, tem-se

a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA

4 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.

h = c .senA

x = c . cos A

a2 = h2 + (b − x)2

a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.

h = c .senA

x = c . cos A

a2 = h2 + (b − x)2

a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.

h = c .senA

x = c . cos A

a2 = h2 + (b − x)2

a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

5 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.

h = c .senA

x = c . cos A

a2 = h2 + (b − x)2

a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.

h = c .senA

x = c . cos A

a2 = h2 + (b − x)2

a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.

h = c .senA

x = c . cos A

a2 = h2 + (b − x)2

a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.

h = c .senA

x = c . cos A

a2 = h2 + (b − x)2

a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.

h = c .senA

x = c . cos A

a2 = h2 + (b − x)2

a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2

961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2

Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Agudo

EXEMPLO: Determine x .

a = 31

b = 12

A = 600

a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600

312 = 122 + x2 − 2.12.x .1

2961 = 144 + x2 − 12x

x2 − 12x − 817 = 0

∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853

x =12± 2

√853

2Como se trata de uma medida,x = 6 +

√853 ∼= 35, 2

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

Agora, vamos verificar que a Lei vale tambem para angulosobtusos.

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

Agora, vamos verificar que a Lei vale tambem para angulosobtusos.

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

h = c .sen(π − A) =c .senA

x = c . cos(π − A) =−c . cos A

a2 = h2 + (b + x)2

a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

h = c .sen(π − A) =c .senA

x = c . cos(π − A) =−c . cos A

a2 = h2 + (b + x)2

a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

h = c .sen(π − A) =c .senA

x = c . cos(π − A) =−c . cos A

a2 = h2 + (b + x)2

a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

h = c .sen(π − A) =c .senA

x = c . cos(π − A) =−c . cos A

a2 = h2 + (b + x)2

a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

h = c .sen(π − A) =c .senA

x = c . cos(π − A) =−c . cos A

a2 = h2 + (b + x)2

a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

h = c .sen(π − A) =c .senA

x = c . cos(π − A) =−c . cos A

a2 = h2 + (b + x)2

a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

h = c .sen(π − A) =c .senA

x = c . cos(π − A) =−c . cos A

a2 = h2 + (b + x)2

a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

h = c .sen(π − A) =c .senA

x = c . cos(π − A) =−c . cos A

a2 = h2 + (b + x)2

a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2

a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)

a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A

a2 = c2 + b2 − 2bc cos A

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Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

EXEMPLO: Determine x .

x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350

x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)

x2 = 365 + 364.

√2

2

x2 = 365 + 182.√

2

x ∼= 24, 94

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

EXEMPLO: Determine x .

x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350

x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)

x2 = 365 + 364.

√2

2

x2 = 365 + 182.√

2

x ∼= 24, 94

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

EXEMPLO: Determine x .

x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350

x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)

x2 = 365 + 364.

√2

2

x2 = 365 + 182.√

2

x ∼= 24, 94

10 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

EXEMPLO: Determine x .

x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350

x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)

x2 = 365 + 364.

√2

2

x2 = 365 + 182.√

2

x ∼= 24, 94

10 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

EXEMPLO: Determine x .

x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350

x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)

x2 = 365 + 364.

√2

2

x2 = 365 + 182.√

2

x ∼= 24, 94

10 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso

EXEMPLO: Determine x .

x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350

x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)

x2 = 365 + 364.

√2

2

x2 = 365 + 182.√

2

x ∼= 24, 94

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Sumario

1 Lei dos Cossenos

2 Lei dos Senos

3 Aplicacao da Lei dos Senos

11 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Lei dos Senos

Para um triangulo ABC com lados a, b, c opostos aos verticesA,B,C respectivamente, tem-se

a

senA=

b

senB=

c

senC

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Lei dos Senos

Para um triangulo ABC com lados a, b, c opostos aos verticesA,B,C respectivamente, tem-se

a

senA=

b

senB=

c

senC

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2a.h

Area(∆ABC ) =1

2a.(c .senB)

2.Area(∆ABC ) = a.c .senB

2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB

b

senB=

abc

2.Area(∆ABC )

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2a.h

Area(∆ABC ) =1

2a.(c .senB)

2.Area(∆ABC ) = a.c .senB

2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB

b

senB=

abc

2.Area(∆ABC )

13 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2a.h

Area(∆ABC ) =1

2a.(c .senB)

2.Area(∆ABC ) = a.c .senB

2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB

b

senB=

abc

2.Area(∆ABC )

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2a.h

Area(∆ABC ) =1

2a.(c .senB)

2.Area(∆ABC ) = a.c .senB

2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB

b

senB=

abc

2.Area(∆ABC )

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2a.h

Area(∆ABC ) =1

2a.(c .senB)

2.Area(∆ABC ) = a.c .senB

2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB

b

senB=

abc

2.Area(∆ABC )

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Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2a.h

Area(∆ABC ) =1

2a.(c .senB)

2.Area(∆ABC ) = a.c .senB

2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB

b

senB=

abc

2.Area(∆ABC )

13 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2b.h

Area(∆ABC ) =1

2b.(a.senC )

2.Area(∆ABC ) = b.a.senC

2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC

c

senC=

abc

2.Area(∆ABC )

14 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2b.h

Area(∆ABC ) =1

2b.(a.senC )

2.Area(∆ABC ) = b.a.senC

2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC

c

senC=

abc

2.Area(∆ABC )

14 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2b.h

Area(∆ABC ) =1

2b.(a.senC )

2.Area(∆ABC ) = b.a.senC

2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC

c

senC=

abc

2.Area(∆ABC )

14 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2b.h

Area(∆ABC ) =1

2b.(a.senC )

2.Area(∆ABC ) = b.a.senC

2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC

c

senC=

abc

2.Area(∆ABC )

14 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2b.h

Area(∆ABC ) =1

2b.(a.senC )

2.Area(∆ABC ) = b.a.senC

2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC

c

senC=

abc

2.Area(∆ABC )

14 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2b.h

Area(∆ABC ) =1

2b.(a.senC )

2.Area(∆ABC ) = b.a.senC

2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC

c

senC=

abc

2.Area(∆ABC )

14 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2c .h

Area(∆ABC ) =1

2c .(b.senA)

2.Area(∆ABC ) = b.c.senA

2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA

a

senA=

abc

2.Area(∆ABC )

15 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2c .h

Area(∆ABC ) =1

2c .(b.senA)

2.Area(∆ABC ) = b.c.senA

2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA

a

senA=

abc

2.Area(∆ABC )

15 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2c .h

Area(∆ABC ) =1

2c .(b.senA)

2.Area(∆ABC ) = b.c.senA

2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA

a

senA=

abc

2.Area(∆ABC )

15 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2c .h

Area(∆ABC ) =1

2c .(b.senA)

2.Area(∆ABC ) = b.c.senA

2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA

a

senA=

abc

2.Area(∆ABC )

15 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2c .h

Area(∆ABC ) =1

2c .(b.senA)

2.Area(∆ABC ) = b.c.senA

2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA

a

senA=

abc

2.Area(∆ABC )

15 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Area(∆ABC ) =1

2c .h

Area(∆ABC ) =1

2c .(b.senA)

2.Area(∆ABC ) = b.c.senA

2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA

a

senA=

abc

2.Area(∆ABC )

15 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Exercıcio

Mostre que em qualquer triangulo vale a relacao

senA < senB + senC

Se A,B,C sao os vertices e a, b, c , respectivamente, os ladosopostos aos vertices, entao, pela lei dos senos, tem-se

a

senA=

b

senB=

c

senC

Daı, o triangulo com lados x = senA, y = senB e z = senC esemelhante ao triangulo ∆ABC

16 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Exercıcio

Mostre que em qualquer triangulo vale a relacao

senA < senB + senC

Se A,B,C sao os vertices e a, b, c , respectivamente, os ladosopostos aos vertices, entao, pela lei dos senos, tem-se

a

senA=

b

senB=

c

senC

Daı, o triangulo com lados x = senA, y = senB e z = senC esemelhante ao triangulo ∆ABC

16 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Exercıcio

Mostre que em qualquer triangulo vale a relacao

senA < senB + senC

Se A,B,C sao os vertices e a, b, c , respectivamente, os ladosopostos aos vertices, entao, pela lei dos senos, tem-se

a

senA=

b

senB=

c

senC

Daı, o triangulo com lados x = senA, y = senB e z = senC esemelhante ao triangulo ∆ABC

16 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:

x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja

senA < senB + senC

senB < senC + senA

senC < senA + senB

17 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:

x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja

senA < senB + senC

senB < senC + senA

senC < senA + senB

17 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:

x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja

senA < senB + senC

senB < senC + senA

senC < senA + senB

17 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:

x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja

senA < senB + senC

senB < senC + senA

senC < senA + senB

17 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:

x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja

senA < senB + senC

senB < senC + senA

senC < senA + senB

17 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Lei dos Senos

Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:

x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja

senA < senB + senC

senB < senC + senA

senC < senA + senB

17 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Sumario

1 Lei dos Cossenos

2 Lei dos Senos

3 Aplicacao da Lei dos Senos

18 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Calculo de distancia inacessıvel

Suponha que se queira calcular a distancia d de A a P,considerando que nao ha como fazer a medida diretamente.

19 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Calculo de distancia inacessıvel

Determina-se o ponto auxiliar B, de modo que a distancia x ,entre A e B, possa ser calculada diretamente.

Desta forma, construiu-se o triangulo ∆ABP e os angulosA, B e P podem ser determinados.

20 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Calculo de distancia inacessıvel

Determina-se o ponto auxiliar B, de modo que a distancia x ,entre A e B, possa ser calculada diretamente.

Desta forma, construiu-se o triangulo ∆ABP e os angulosA, B e P podem ser determinados.

20 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Calculo de distancia inacessıvel

Determina-se o ponto auxiliar B, de modo que a distancia x ,entre A e B, possa ser calculada diretamente.

Desta forma, construiu-se o triangulo ∆ABP e os angulosA, B e P podem ser determinados.

20 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Calculo de distancia inacessıvel

Pela Lei dos Senos:x

senP=

d

senBe portanto,

d =x .senB

senP

21 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Calculo de distancia inacessıvel

Pela Lei dos Senos:x

senP=

d

senB

e portanto,

d =x .senB

senP

21 / 21

Lei dos CossenosLei dos Senos

Aplicacao da Lei dos Senos

Calculo de distancia inacessıvel

Pela Lei dos Senos:x

senP=

d

senBe portanto,

d =x .senB

senP21 / 21