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LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 1
DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL
La derivada de una función y = f(x) es [ ]( )'( )
d f xdy f xdx dx
= = , no se debe considerar una
fracción común y corriente en la que dy es el numerador y dx es el denominador, sino que estrictamente
representa xy
x ΔΔ
→Δ 0lim .
dónde: 2 1x x xΔ = − y 2 1y y yΔ = −
Sin embargo, en muchos problemas es necesario considerar dy y dx por separado.
POR DEFINICIÓN: 1. La diferencial de una variable independiente es el incremento que experimenta:
2 1dx x x x= Δ = −
2. La diferencial de una variable dependiente o función es igual al producto de su derivada por la
diferencial de la variable independiente.
Es decir:
dydx
dx
( )'( )f x dx=
Simplificando dxxfdy )('= , dy y≠ Δ
Las fórmulas para hallar las diferenciales son las mismas que se utilizan en la obtención de las
derivadas, multiplicadas por dx.
Ejemplo: Calcular la derivada y la diferencial de las siguientes funciones:
Función Derivada Diferencial
1) xxy 52 −= 52' −= xy ( )dxxdy 52 −=
2) 345 23 +−= xxy xxy 815' 2 −= ( )dxxxdy 815 2 −=
3) 53 −= xy 5323'
−=
xy
5323
−=
xdxdy
LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 2
INCREMENTOS Y DIFERENCIALES, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL Dada la curva y = f(x), su derivada en el punto P es, la pendiente de la recta tangente a la curva
f(x) en ese punto.
Como y QSΔ = , dx PS= y la '( ) tan RSPSf x θ= = y tomando la definición de diferencial tenemos:
'( )dy f x dx=
tandy dxθ=
RSdyPS
= PS
dy RS y dy= Δ ≠
dy , representa el incremento correspondiente de la ordenada de la tangente en P. Observando la gráfica se puede considerar que a medida que la dx se hace pequeña, la diferencia
entre Δy y dy se reduce, por lo que cuando Δx→0 o en su defecto es muy pequeño se puede considerar
el aproximar al Δy con la dy.
dy y≠ Δ
'( ) tanm f x θ= =
θ
LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 3
CÁLCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIAL Por la razón anteriormente expuesta, para obtener el valor aproximado del incremento de una
función, resulta más sencillo calcular el valor de la diferencial correspondiente y utilizar este valor.
Ejemplo 1. Hallar el incremento del área de un cuadrado de lado 4 m al aumentar el lado 3 mm
Función: siendo x el lado, A = x2 y dx=Δx=3mm = 0.003m
2024.0)003.0()8()003.0()4(22 mdxxdAA =====Δ
Siendo el valor exacto del incremento de 0.024009 m2
Corresponde al estudiante comprobar cómo se obtuvo el valor exacto.
Los resultados por los dos métodos son sensiblemente iguales, sin embargo el método de usar
diferenciales es más sencillo.
Ejemplo 2. Utilizando la diferencial, calcular el volumen aproximado del incremento de volumen de un
cubo de lado 5 m al aumentar el lado en 0.002 m
Función: V = x3 (siendo x el lado)
322 15.0)002.0()25(3)002.0()5(33 mdxxdVV =====Δ
Corresponde al estudiante comprobar el resultado exacto y comparar los resultados.
Ejemplo 3. Hallar el valor aproximado de 17 , utilizando a la diferencial.
Función: 1, entonces ' , por lo que .2 2
dxy x y dyx x
= = =
Tomando al valor más cercano de 17, 416 = .
17 16 1 pequeñox y dyΔ = − = ≈ Δ ≈
17 16 17 4, 17 4y yΔ = − = − = + Δ
1 1 1 0.1252(4) 82 2 16
dxy dyx
Δ ≈ = = = = =
Por lo tanto: 125.4125.0417 =+=
Valor de calculadora: 17 4.1231= lo que genera una diferencia de 0.0019, con lo cual concluimos
que la diferencial proporciona una buena aproximación al problema.
LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 4
LA ANTIDERIVADA Definición: una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I si:
'( ) ( )F x f x= Para todo valor de x en I.
Ejemplo:
Sea 3 2( ) 4 5F x x x= + + , entonces, 2'( ) 12 2F x x x= +
De modo que si f es la función definida por: 2( ) 12 2f x x x= +
Entonces “f es la derivada de F y F es la antiderivada o función primitiva de f”
Ahora bien, si G es la función definida por: 3 2( ) 4 17G x x x= + − .
Entonces G también es una antiderivada de f ya que: 2'( ) 12 2G x x x= +
En general: cualquier función determinada por 3 24x x C+ + , donde C es una constante, es una
antiderivada de f.
Teorema: Si F es una antiderivada particular de f en un intervalo I, entonces cada antiderivada de f en I está dada
por: ( )F x C+
Donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I pueden obtenerse a partir de
( )F x C+ , asignando valores particulares a C.
Por comodidad, este concepto se expresa con la frase “F(x) es una antiderivada de f(x)”.
( )F x C+ , representa a una familia de curvas, por ejemplo para la antiderivada 2x C+ , se presentan
las gráficas de 2 2y x= + , 2y x= y 2 2y x= − , lo cual nos indica que se tendrían infinitas graficas de esta
antiderivada, como se ilustra en la siguiente figura:
LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 5
LA INTEGRAL INDEFINIDA La antidiferenciación, es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las
antiderivadas de una función dada, es decir, es el proceso de encontrar la antiderivada más general de
una función dada.
El símbolo ∫ denota la operación de antiderivación, la cual se escribe como:
( ) ( )f x dx F x C= +
Dónde: f(x) = Integrando. dx = Diferencial de la variable independiente.
x = Variable de integración. F(x) = Función primitiva. C = Constante de integración. F(x)+C = Antiderivada general de f.
Las expresiones integral indefinida y función primitiva son sinónimos de la palabra antiderivada.
Como la antidiferenciación es el inverso de la operación de diferenciación, podemos obtener fórmulas
de integración a partir de fórmulas de diferenciación, por ejemplo:
(cos ) sen (cos ) sen sen (cos )
sen
d u duu dx d u udu udu d udx dx
udu
= − = − = −
= −
d ( )cos sen cosu udu u = −
LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 6
El siguiente formulario será de utilidad en la resolución de integrales indefinidas:
FORMULAS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA O DIRECTAS
a, C y n = constantes. u, v y w son función de x.
1. += Cxdx
2. +−+=−+ Cwvuw)v(u
3. Cdada += uuuu
4. 1 ; 1
1
−≠++
=+
nCn
dn
n uuu
5. Cd += ulnuu
6. ≠>+= 10 ; aaCa
ada ,ln
uu
u
7. += Cd uu eue
8. +−= Cd ucosuusen
9. += Cd senuuucos
10. Cd += useclnuutan
11. Cd += usenlnuucot
12. Cd ++= utanuseclnuusec
13. Cd +−= ucotucsclnuucsc
14. Cd += utanuusec 2
15. Cd +−= ucotuucsc 2
16. += Cd usecuutanusec
17. +−= Cd ucscuucotcscu
18. Caa
d +=− uarcsen
uu
22
19. Caaa
d +=+ uarctan
uu 1
22
20. Caaa
d +=− usecarc
uuu 1
22
21. Caa
aad +
+−=
− uuln
uu
21
22
22. Caa
aad +
−+=
− uuln
uu
21
22
( ) Caa
d +++=+
22
22uuln
uu23.
Caa
d +−+=−
22
22uuln
uu24.
Ca
a
ada
+
+−=−uarcsen
uuuu25.
2
2222
21
21
( ) Caa
ada
+++
++=+222
2222
21
21
uuln
uuuu26.
Caa
ada
+−+
−−=−222
2222
21
21
uuln
uuuu27.
LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 7
INTEGRALES INMEDIATAS Las integrales que podemos obtener como resultado de aplicar de una manera directa fórmulas, reciben
el nombre de integrales inmediatas. En algunos casos, antes de aplicar la fórmula que corresponda, es
necesario hacer algunas transformaciones algebraicas sencillas las cuales se pueden llevar a cabo
mediante los conceptos básicos de integración:
1. La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las
integrales de las funciones.
( )u v w u v w+ − = + −
( )2 25 7 2 5 7 2x x dx x dx xdx dx+ − = + −
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral d
la función. Si a es una constante y esta como un factor del integrando.
audu a udu=
( )2 2 25 7 2 5 7 2 5 7 2x x dx x dx xdx dx x dx xdx dx+ − = + − = + −
3. Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando.
( ) ( )3 32 21 1x x dx x xdx− = −
4. Por ningún motivo se puede sacar la variable de integración del signo de integración.
( ) ( )3 32 21 1x x dx x x dx− ≠ −
5. En algunos casos la integración se facilita si se efectúan previamente las operaciones indicadas
(productos y cocientes de polinomios).
( )( ) ( )22 1 3 2 5 3x x dx x x dx+ − = − −
321 72 4
2 2x dx x x dxx x
− = + + + − − 6. Otras integrales se pueden resolver al sumar el neutro aditivo al integrando:
0 1 1 2 2 3 3 etc etc= − = − = − = = −
LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 8
( )( )( )
( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
5 55 5 5 55 5 5 5 5
5
xxxdx xdx dx dxx x x x x
x
+ − + − + = = = − + + + + +
+
( ) 25x + ( )( ) 2
25 5 555
dx dxdx x dxxx
−− = − +++
Ejemplos:
3 1 431
3 1 4x xx dx C
+
= = ++
Fórmula
4
5 1 6
52 5 1 6x xx dx C
+
= = ++ 4
3 1 4
3 3 53 5 5 53 1 4x xx dx x dx C
+ = = = + + 3 y 4
3 1 2
33 2
3 3 34 3 33 1 2 2
dx x xx dx Cx x
− + −− − −= − = − = = + − + − 3 y 4
( )2 1 1 1
2 25 3 5 2 3 5 2 3 5 22 1 1 1
3
x xx x dx x dx xdx dx x+ +
+ − = + − = + − = + +
=
3
3x 2
3 255 2 22 2x x x x x C
+ − = + − +
1,2,3 y 4
2 2
2
4 36 4 3 4 3
4 3ln2
x x x x dx dxdx dx dx x dx dxx x x x x
x x x C
− + = − + = − +
= − + +
1,2,3,4 y 5
1,2,3 y 4
0
( ) ( )2 1 1 1
2 2
3 23 2
7 2 3 1 2 3 2 32 1 1 1
2 3 2 33 2 3 2
x xx x dx x dx xdx dx x
x x x x x x C
+ + − + = − + = − + = + +
= − + = − + +
LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 9
INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE El propósito de este método es identificar en el integrando una función ( )u f x= que este
multiplicada por su diferencial du , y así poder aplicar una fórmula de integración inmediata.
En este método se escoge una literal, que es u la cual se iguala a la función que incluye el
integrando, regularmente u es la función que se encuentra dentro de una potencia, un radical, en el
denominador o como el argumento de una función trascendente:
etc., , , cos , arctan , , ln ,n un au u u u e uu
Ejemplos:
1. ( )23 5x dx− = , se procede así : si 3 5u x= − , entonces 3du dx= , entonces
2u dx , y notamos que al integrando le falta un 3, por lo que multiplicamos por el neutro
multiplicativo: 1 3 2 1011 3 2 10
etcetc
−= = = = =−
de donde elegimos 3 1(3)13 3
= =
( )2 1 3
32 2 31 1 1 1 1 13 3 53 3 3 2 1 3 3 9 9
u uu dx u du u x C+
= = = = = − + +
2. ( )4210 5 3x x dx+ = , se puede razonar así : si 25 3u x= + , entonces 10du xdx= , de donde
observamos que solo debemos reordenar el integrando:
( )524 1 54 4
5 310
4 1 5 5xu uu xdx u du C
+ += = = = +
+
3. 2 5xe dx+ = , refiriéndonos a la fórmula 7 se puede proceder así, si 2 5u x= + , entonces 2du dx= , de
donde notamos que el neutro que necesitamos es 2 1(2)12 2
= =
( ) 2 51 1 1 122 2 2 2
xu u ue dx e du e e C+= = = +
LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 10
4. ( )23x sen x dx− = , refiriéndonos a la fórmula 8 se puede razonar así :
si 23u x= − , entonces 6du xdx= − , de donde el uno que necesitamos para tener a du es:
6 1( 6)16 6
− −= =− −
( ) ( ) ( )21 1 1 1 1sen 6 sen cos cos cos 36 6 6 6 6
u x dx u du u C u x C= − ⋅ − =− =− − + = = − +
5. ( ) ( )2 2 36 4 sec 2 4x x x dx− − = , refiriéndonos a la fórmula 14 se puede cambiar la variable así:
si 32 4u x x= − , entonces ( )26 4du x dx= − , lo único que debemos hacer es reacomodar el
integrando:
( ) ( )2 2 2 3sec 6 4 sec tan tan 2 4u x dx u du u x x C− = = = − +
BIBLIOGRAFIA
1) Swokowski E., Cálculo con geometría analítica, Editorial iberoamericana, México, 2002.
2) Stewart J., Cálculo Trascendentes Tempranas, 6 edición, Thomson Brooks/Cole, México, 2008.
3) Leithold L., El Cálculo, Oxford University Press, 7 Edición, México, 1988.
4) Purcell E. J., Varberg D., Rigdon S. E., Cálculo, 9 Edición, Pearson Educación, México, 2007.
5) Swokowski E. y Cole J., Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 11ª edición,
International Thomson Editores, México, 2006.
6) Stewart J., Redlin L., Watson S., Precalculus, 5th edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning,
USA, 2009.
LA INTEGRAL INDEFINIDA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz
1
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN A estas alturas ya somos capaces de calcular cualquier integral de manera inmediata o por medio
de un cambio de variable, como conclusión de la anterior unidad podemos sugerir el siguiente procedimiento para resolver integrales indefinidas:
Cuando una integral no se puede resolver de manera inmediata o por el método de sustitución por cambio de variable, se emplea algún método de integración más complejo. En esta unidad solo veremos 4 métodos:
Método de integración por partes Método para funciones trigonométricas Método de sustitución trigonométrica Método de fracciones parciales
INTEGRACIÓN POR PARTES
Sean: ( ) y ( )u f x v g x= = El producto de estas funciones queda definido como:
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x uv⋅ = ⋅ =
Si consideramos a xu e= y cosv x= , entonces cosxuv e x= . Si este producto lo incluimos dentro de una integral, tenemos:
cosxe x dx
1.) Identificar a la función del integrando
2.) Seleccionar la fórmula de integración inmediata
3.) Identificar componentes
4.) Sustituir en fórmula y simplificar
Intentar un Cambio de Variable
Identificar en el integrando a:
Emplear un Método de Integración
No se pudo
No hay fórmula
Si la hay Si se pudo
LA INTEGRAL INDEFINIDA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz
2
Aplicando el diagrama de flujo de la página anterior, vemos que la integral no se puede resolver con alguna de las 27 fórmulas de integración inmediata de nuestro formulario. Al intentar un cambio de variable, éste resulta imposible por lo que de acuerdo al procedimiento debemos emplear algún Método de integración.
Toda regla de diferenciación tiene una regla de integración correspondiente, por ejemplo, a la regla de la cadena en la derivación le corresponde la regla de integración por el método de sustitución por cambio de variable.
Para el método de integración por partes, la regla que le corresponde es la de la derivación de un producto de funciones:
Convirtiendo la anterior regla a su forma diferencial
( )d uv vdu udv= + Integrando ambos miembros de la ecuación
( )d uv vdu udv= +
Aplicando la propiedad de la igualdad
udv vdu uv+ =
Despejando el primer término del lado izquierdo de la ecuación
udv uv vdu= −
A esta ecuación se le denomina fórmula de integración por partes.
La finalidad de emplear este método de integración es la de resolver una o más integrales sencillas
o de igual complejidad que la integral original. El método consiste en descomponer el integrando en y u dv , lo que significa un doble cambio
de variable. En general, en la elección de y u dv trataremos de definir a ( )u f x= como la función más sencilla de diferenciar, o al menos que no sea la más complicada, siempre y cuando ( )dv g x dx′= se pueda integrar con facilidad para obtener v .
El Método de Integración por Partes se recomienda cuando en el integrando tenemos un producto de funciones o funciones logarítmicas o funciones trigonométricas inversas.
( )d uv du dvv udx dx dx
= +
LA INTEGRAL INDEFINIDA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz
3
cos
x
x
u sen x dv e dx
du xdx v e
= =
= =
udv uv vdu= −
Ejemplo 1. Determinar x senx dx
Para resolver la integral, se emplea la fórmula de integración por parte:
Variantes del método
Ejemplo 2. La integración por partes se puede realizar las veces que sean necesarias en un mismo
ejercicio.
2 2 2 22 2 2x x x x x x x xx e dx x e e xdx x e xe dx x e xe e dx = − = − = − −
Finalmente 2 2 22 2 2 2x x x x x x xx e dx x e xe e dx x e xe e C= − + = − + +
Ejemplo 3. La fórmula de integración por partes, se puede manipular con los axiomas de las ecuaciones
lineales.
cos cos ( ) cosx x x x xe xdx e x e sen x dx e x e sen x dx= − − = +
cos cos cos cos cosx x x x x x xe xdx e x e senx e x dx e x e senx e x dx = + − = + −
Sumando en ambos miembros de la ecuación la integral cosxe xdx tenemos:
2 cos cosx x xe xdx e x e senx= +
Finalmente dividiendo por 2 ambos lados de la ecuación: coscos
2
x xx e x e senxe xdx C+= + .
cos
x
x x
u x dv e dx
du sen xdx v e dx e
= =
= − = =
2
2
x
x x
u x dv e dx
du xdx v e dx e
= =
= = =
x
x
u x dv e dx
du dx v e
= =
= =
Nuevamente por partes
Nuevamente por partes
Es la integral original
cos
( cos ) cos cos cos cos
u x dv senx dx
du dx v senx dx x
x sen x dx x x xdx x x xdx x x sen x C
= =
= = = −
= − − − = − + = − + +
LA INTEGRAL INDEFINIDA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz
4
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Este método hace uso de las identidades trigonométricas, sobre todo las pitagóricas y las de ángulo doble. El objetivo es convertir a integrales trigonométricas complicadas en otras más sencillas que pueden ser resueltas por métodos directos o por cambio de variable, mediante el uso de identidades trigonométricas. Este método resuelve los siguientes tipos de integrales y sus variantes:
) sen cos dm nA u u u
Caso I.- Si m y n son pares y positivos o alguno de ellos es nulo, utilizar:
2
2cos12 uusen −= y 2 1 cos2cos2
uu +=
Caso II.- Si m o n son impares y positivos: a) Si m es impar, se factoriza uusen d y se aplica: uusen 22 cos1−= . b) Si n es impar, se factoriza uu d cos y se aplica: usenu 22 1cos −= .
) tan sec dm nB u u u
Caso I.- Si m es impar y positiva, se factoriza: uuu d tan sec ⋅ y se aplica 1sectan 22 −= uu Caso II.- Si n es par y positiva se factoriza: uu d sec2 y se aplica 1tansec 22 += uu
Caso III.- Si m es par y n es impar, emplear el método de Integración por Partes.
) cot csc dm nC u u u
Caso I.- Si se factoriza uu d cot o uu d cot2 , se aplica: 1csccot 22 −= uu Caso II.- Si se factoriza uu d csc2 , se aplica: 1cotcsc 22 += uu , este caso solo aplica cuando n es par.
Ejemplo 1. Calcular la siguiente integral trigonométrica: 5cos xdx
Esta integral pertenece al tipo A, y los exponentes son m = 0 y n =5, por lo que emplearemos el caso 2 inciso b.
( ) ( ) ( )2 25 4 2 2 2 4
2 12 4
cos cos cos 1 sen cos 1 cos 1 2
sen cos
2 22 1
xdx x xdx x xdx u xdx u u du
u x du x dx
u udu u du u du u+
= ⋅ = − = − = − +
= =
= − + = − + +
4 1 3 5
3 52 12 sen sen sen4 1 3 5 3 5
u uu x x x C+
= − + = − + + +
LA INTEGRAL INDEFINIDA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz
5
Ejemplo 2. Calcular la siguiente integral trigonométrica: 2 2cossen x x dx
Esta integral es del tipo A y pertenece al Caso I, m = n =2 = par
( )( )
( )
2 2
2 2
1 cos 2 1 cos 2 1cos 1 cos 2 1 cos 22 2 4
1 1 11 cos 2 cos 24 4 4
x xsen x x dx dx x x dx
x dx dx xdx
− + = = − + =
= − = − =
La segunda integral pertenece al mismo Caso I y se vuelve a sustituir la función cuadrática:
( )1 1 1 cos 4 1 1 1 1 11 cos 4 cos 44 4 2 4 8 4 8 8
4
xx dx x x dx x dx x dx
u x
+ = − = − + = − −
=
( )
1 1 1 1 1 1 1 1cos cos 4 cos4 8 8 8 8 4 8 32
4
1 1 1 1 sen sen 48 32 8 32
x x u dx x u dx x u du
du dx
x u x x C
= − − = − ⋅ = − =
=
= − = − +
Ejemplo 3. Calcular la siguiente integral: 4sec xdx
Esta integral pertenece al tipo B y caso II
( )4 2 2 2 2 2 2 2sec sec sec tan 1 sec tan sec sec
tan
xdx x xdx x xdx x xdx xdx
u x
= = + = + =
=
3
2 2 2 3
2
1sec tan tan tan tan tan3 3
sec
uu xdx x u du x x x x C
du xdx
= + = + = + = + +
=
LA INTEGRAL INDEFINIDA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz
6
2 2a u−
ua
2 2a u+u
a
2 2u a−
a
u
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Este método se sugiere para integrales que contengan en su integrando alguna variante del Teorema de Pitágoras. El objetivo de este método de integración es transformar a integrales algebraicas
que contengan en su integrando a expresiones como 2 2a u− , 2 2a u+ y 2 2u a− , donde 0a > , en una integral trigonométrica de una nueva variable de la siguiente forma:
Para Sustituir con
Tomar a u como Triángulo
2 2a u− cos a θ senu a θ=
2 2a u+ seca θ tanu a θ=
2 2u a− tana θ secu a θ=
Ejemplo. Resuelve la siguiente integral indefinida:2 24
dxx x+
Para este ejercicio, si intentáramos resolverlo por un cambio de variable veríamos que es imposible, no obstante como tiene una expresión con radical similar a la segunda de la tabla, aplicamos este método de integración. Por medio de analogías obtenemos los valores de a y u, y construimos el triángulo rectángulo que nos servirá para finalizar el ejercicio:
2 2 24 2, a a u x u x= = = =
22 2 2 4sec 4 2sec sec
2x ha u a x
caθ θ θ ++ = + = = =
2tan 2 tan 2sec tan2x cou a x dx d
caθ θ θ θ θ= = = = =
( )2
2 22 22 2
12sec 1 sec 1 1 coscos
4 tan 4 42 tan 2sec4cos
ddx d d d
sensenx x
θθ θ θ θ θ θθ
θ θθ θ θθ
= = = = =
+
2 12 2 21 1 1 1 1 1 1sen cos cos csc
4 4 4 4 2 1 4 4sen 4
sen cos
vd v d v dvv
v dv d
θ θ θ θ θ θθ
θ θ θ
− +− − −
= = = = − = − = − − + = =
θ
ca
co h
csc
cos sec
tan cot
co hcoh
ca hcah
co caca co
sen θ θ
θ θ
θ θ
= =
= =
= =
h2 = co2+ca2
θ
2
x 24 x+
θ
θ
θ
LA INTEGRAL INDEFINIDA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz
7
Hasta aquí correspondería a la solución trigonométrica, pero como la función original es algebraica debemos de cambiar la variable x nuevamente con la ayuda del triángulo:
24csc h xco x
θ += = 2 2
2 2
1 4 44 44
dx x x Cx xx x
+ += − = − + +
INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
El objetivo de este método de integración es resolver integrales algebraicas que contengan en su integrando la división de polinomios. Este método solo se aplica a integrandos que contengan fracciones racionales propias. Definición: se llama función racional a aquella, en la que el numerador y el denominador son expresiones en donde la variable solo tiene exponentes enteros y positivos:
( )( )( )
p xf xq x
= Donde f(x)= función racional, p(x) y q(x) son polinomios.
Si el grado de p(x) es menor al grado de q(x), entonces f(x) es una fracción racional propia, en cualquier otro caso es impropia.
3 2
3
3 2 ( ) 1( ) fracción racional propia2 ( ) 3
1 ( ) 3( ) fracción racional impropia2 ( ) 1
x p x gradof xx x x q x gradox p x gradof xx q x grado
−= = = − −−= = =
−
En caso de tener un integrando que sea una fracción racional impropia, se realiza la división larga antes de resolver la integral:
321 7( ) 2 4
2 2xf x x xx x
−= = + + +− −
Si el integrando es una fracción racional propia, se emplea alguno de los casos siguientes:
Caso I: Todos los factores lineales del denominador son distintos. A cada factor lineal ax+b que este una sola vez en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una sola fracción simple de la forma
Aax b+
, donde A es una contante cuyo valor se tendrá que calcular.
Caso II: Algunos de los factores lineales del denominador se repiten. En este caso el factor repetido (ax+b)n se transforma en las siguientes fracciones simples:
( ) ( ) ( )31 2
2 3n
nA AA A
ax b ax b ax b ax b+ + + +
+ + + +
LA INTEGRAL INDEFINIDA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN bernardsanz
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8
Caso III: Algunos de los factores del denominador son cuadráticos irreducibles, de la forma 2 ,ax bx c+ + donde 2 4 0,b ac− < entonces dicho factor genera una fracción simple de la forma:
2
Ax Bax bx c
++ +
Caso IV: Algunos de los factores del denominador son cuadráticos irreducibles “repetidos” de la forma
( )2ax bx cn
+ + , donde 2 4 0b ac− < , se transforma en las siguientes fracciones simples:
( ) ( ) ( )3 31 1 2 2
2 22 22 3n n
nA x B A x BA x B A x B
ax bx c ax bx cax bx c ax bx c
+ ++ ++ + + +
+ + + ++ + + +
Ejemplo 1. Calcular la siguiente integral indefinida: 3 23 2
2x dx
x x x−
− −
Al intentar realizar un cambio de variable nos encontraríamos con la imposibilidad de hacerlo, por lo que recurriríamos al método de fracciones parciales, ya que tenemos una división de polinomios en el integrando.
PROCEDIMIENTO Paso 1. Determinar si el integrando es una fracción racional propia o impropia.
3 23 2 ( ) 1( ) fracción racional propia
2 ( ) 3x p x gradof x
x x x q x grado−= = =
− −
Paso 2. Factorizar el denominador.
( )3 2 22 2 ( 2)( 1)x x x x x x x x x− − = − − = − +
Paso 3. Identificar el caso al que pertenece la factorización. Para este ejemplo es Caso I:
3 2 3 23 2 3 2
2 2 1 2 2 1x A B C x A B Cdx dx
x x x x x x x x x x x x− − ≡ + + = + + − − − + − − − +
Paso 4. Obtener los valores de las constantes de las fracciones simples del Paso 3. Multiplicando ambos lados de la fracción por ( 2)( 1)x x x− + obtenemos:
( ) ( )
2 2 2
2 2
3 2 ( 2)( 1) ( 1) ( 2)3 2 2 2factorizando con respecto a las 's0 3 2 2 2
x A x x Bx x Cx xx Ax Ax A Bx Bx Cx Cx
xx x A B C x A B C x A
− ≡ − + + + + −− ≡ − − + + + −
+ − ≡ + + + − + − −
LA INTEGRAL INDEFINIDA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN bernardsanz
Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz
9
Las flechas nos indican equivalencias entre coeficientes, lo cual nos lleva a la generación de un sistema de ecuaciones:
0..........(1)2 3..........(2)
2 2..........(3)
A B CA B C
A
+ + =− + − =
− = − 2 5resolviendo: 1,
3 3A B y C= = = −
Paso 5. Resolver las integrales resultantes del Paso 3.
523 3
3 23 2 1 2 5
2 2 1 3 2 3 1x dx dx dxdx dx
x x x x x x x x x−− = + + = + − − − − + − +
3 23 2 2 5ln ln 2 ln 1
2 3 3x dx x x x C
x x x− = + − − + +
− −
BIBLIOGRAFIA SUGERIDA 1) Fuenlabrada, Samuel. Cálculo Integral, México, McGraw Hill, 2004.
2) Granville W. A. Cálculo diferencial e integral, México, Limusa, 2000.
3) Leithold L. El cálculo, México, Oxford University Press, 1998.
4) Purcell J. E., Varberg D. y Rigdon S. E. Cálculo, México, Pearson Educación, 2001.
5) Stewart J. Cálculo, Trascendentes tempranas, México, Thomson Learning, 2002.
6) Swokowski, Earl W. Calculo con geometría analítica, México, G.E. Iberoamérica, 1989.
CÁLCULO INTEGRAL EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 1
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
INTRODUCCIÓN
El cálculo consta de dos partes principales, el cálculo diferencial que está basado en la derivada y
el cálculo integral, cuya base es la integral definida. Con la integral definida estaremos calculando
el área bajo una curva o entre curvas. Para evaluar una integral definida es absolutamente necesario
haber entendido y dominado las fórmulas de integración así como los métodos de integración.
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los
campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos
sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es
una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la
ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y
volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como
Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este
último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone
que la derivación y la integración son procesos inversos.
LA INTEGRAL DEFINIDA Suma de Riemann como antecedente de la integral definida
La notación sigma se define por la siguiente expresión:
( )
n
i m
f i
donde
es el operador suma
es el límite inferior de la suma
es el límite superior de la suma
es el índice de la suma, también puede ser , , , etc.
es una expresión que contenga al índice .
m
n
i j k l
f i
Ejemplos:
5
2 2 2 2 2 2
1
2
2
32 3 3 3 3
1
1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 55
3 2 3 2 2 3 1 2 3 0 2 3 1 2 3 2 2
4 1 2 5 8 10
1 2 3 1
i
i
n
j
i
i
j n n
CÁLCULO INTEGRAL EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 2
8
3
1 1 1 1 1 1 1 341
3 4 5 6 7 8 280k
k
Propiedades de la notación Sigma
1) ncc
n
1i
, c = cualquier constante.
4
1
4
i
c c c c c c
2)
n
1i
n
1i
)i(fc)i(fc
4
1
4
1
5 5 1 5 2 5 3 5 4
5 1 2 3 4 5
i
i
F i F F F F
F F F F F i
3)
n
1i
n
1i
n
1i
)i(G)i(F)i(G)i(F
3
2 2 3 3
1
3 3
2 3 2 3
1 1
i i
i
i i
i i
x y x y x y x y
x x x y y y x y
Estas son algunas fórmulas importantes empleadas en la notación Sigma
1
( 1)
2
n
i
n ni
Suma de los n-primeros números naturales
2
1
( 1)(2 1)
6
n
i
n n ni
Suma de los cuadrados de los n-primeros números naturales
2 23
1
( 1)
4
n
i
n ni
Suma de los cubos de los n-primeros números naturales
3 24
1
( 1)(6 9 1)
30
n
i
n n n n ni
Suma de los términos a la cuarta de los n-primeros números
naturales
CÁLCULO INTEGRAL EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 3
Suma de Riemann con notación Sigma
Definición: Supongamos que la función f es continua en un intervalo cerrado ,a b , con ( ) 0f x
para toda x en ,a b , y que R es la región acotada por la curva ( )y f x , el eje de las x y las
rectas x a y x b . Si dividimos el intervalo ,a b en n subintervalos, cada uno de longitud
b anx , y denotamos el i–ésimo subintervalo por 1,i ix x .
Entonces si ( )if x es el valor de la función en el i–ésimo subintervalo, la medida del área de la
región R está dada por:
1
( )
n
in
i
A Lim f x x
Como n y de la formula b anx se deduce que él 0x . Por lo tanto manejando este
límite en términos del x tenemos:
0
1
( ) ( )
bn
ix
i a
A Lim f x x f x dx
DEFINICIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA calculada entre dos extremos de un intervalo cerrado
,a b , es el incremento de la antiderivada ( ) ( )F F b F a , propuesta cuando la variable pasa
de un valor inicial hacia un valor
final.
Donde: a es el límite inferior ( )F a es la antiderivada evaluada en el límite inferior
b es el límite superior ( )F b es la antiderivada evaluada en el límite superior
b
a
f x dx F b F a
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x
y
y = f(x)
b a
La integral definida representa el área de la superficie limitada por la curva de la función ( )y f x
cuyos extremos tienen como abscisas a x a y a x b .
El resultado de una integral definida se expresa siempre en unidades cuadradas de superficie.
El procedimiento para calcular una integral definida, comprende los siguientes pasos:
1. Integrar la expresión diferencial dada.
2. Evaluar la antiderivada en el límite superior b y restarle el valor de la antiderivada evaluada
en el límite inferior a .
Nota: No es necesario tomar en cuenta la constante de integración (C) pues siempre se cancela en la
resta.
Observemos algunos ejemplos:
4
4 4 443 2
22
4 2 256 1664 4 60
4 4 4 4 4
xx dx u
como se mencionó con anterioridad, la constante de integración desaparece.
4
4 2 222
11
3 4 3 13 48 3 453 22.5
2 2 2 2 2 2
xx dx u
33 3 2 3 23 2
2 2
11
3 5 3 1 5 15 27 13 345
3 2 3 2 3 2 2 6 3
x xx x dx u
El signo negativo, nos indica que el área calculada está por debajo
del eje “x” o al menos la mayoría de ésta.
1
12 3 2 3 2 3 2 2
3
3
3 2 ( 1) ( 1) ( 3) ( 3) 1 1 27 9 18 18x x dx x x u
( )
b
a
A f x dx
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2
2
2
20
0
0 1 0 1cos x dx sen x sen sen u
8
8
2
2
8 2 2.08 0.69 1.39 2dxln x ln ln u
x
Propiedades de la Integral Definida
1) Si la función f es integrable en el intervalo ,a b y si k es cualquier constante, entonces;
( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx
2) Si f y g son integrables en ,a b , entonces f g es integrable en ,a b y:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
3) Si f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los tres números a, b y c entonces:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Sin importar cuál sea el orden de a, b y c.
4) Si k es una constante y si f es una función tal que ( )f x k , para toda x en ,a b , entonces:
( ) ( )
b b
a a
f x dx k dx k b a f (x) = k.
5) Si las funciones f y g son integrables en el intervalo cerrado ,a b y si ( ) ( ), en ,f x g x x a b ,
entonces:
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
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Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 6
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El nombre al teorema está bien aplicado, ya que dicho teorema establece la conexión entre las dos
ramas del cálculo.
El teorema fundamental del cálculo proporciona la relación inversa precisa entre la derivada y la
integral.
1ª parte
Si f es continua en ,a b , la función G está definida por
x
a
G x f t dt a x b
Es continua en ,a b y diferenciable en ,a b , y 'G x f x , en otras palabras:
( ) ( )
x
a
df t dt f x
dx 1
2ª parte
Si f es continua en ,a b , entonces:
b
a
f x dx F b F a
En donde F es cualquier antiderivada de f , esto es, ' .F f F x f x dx
BIBLIOGRAFIA
1) Swokowski E., Cálculo con geometría analítica, Editorial iberoamericana, México, 2002.
2) Stewart J., Cálculo Trascendentes Tempranas, 6 edición, Thomson Brooks/Cole, México,
2008.
3) Leithold L., El Cálculo, Oxford University Press, 7 Edición, México, 1988.
4) Purcell E. J., Varberg D., Rigdon S. E., Cálculo, 9 Edición, Pearson Educación, México,
2007.
5) Swokowski E. y Cole J., Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 11ª edición,
International Thomson Editores, México, 2006.
6) Stewart J., Redlin L., Watson S., Precalculus, 5th edition, Brooks/Cole, CENGAGE
Learning, USA, 2009.
1 Una variante de este teorema es: ( ) ( )
x
a
df t dt f x C
dt , de la Bibliografía 1 Swokowski.
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