introducción a los conceptos necesarios del álgebra lineal r. meziat

Curso de Análisis Estadístico de Datos ComposicionalesICP-Piedecuesta, Santander Marzo-2007

Introducción a los conceptos necesarios del álgebra linealR. Meziat

Departamento de Matemáticas, Universidad de los Andes

Contenido 1.Operaciones vectoriales 2.Espacios vectoriales 3.Espacios euclideos 4.Producto interior 5.Norma y distancia 6.Subespacios vectoriales 7.Espacios afines 8.Dimensión y bases 9.Bases ortogonales 10.Proyecciones ortogonales 11.Ejemplos

1.Operaciones vectoriales En un espacio vectorial priman dos

operaciones denominadas suma vectorial multiplicación por escalar

Estas operaciones deben reproducir las mismas caracterísiticas de la suma de vectores en el plano cartesiano como se emplean en física y geometría

2.Espacios vectoriales

Definiciones: Conjunto V de elementos llamados

vectores Operación binaria VxV R:(x,y) x+y

llamada suma vectorial Operación binaria RxV R:(a,y) ax

llamada multiplicación por escalares Combinación lineal de los vectores x e y,

con los escalares a y b : ax+by.

2.Espacios vectoriales Propiedades del espacio vectorial V

Suma: conmutativa, asociativa, elemento identidad,

inversas Multiplicación por escalar:

distributiva: a(x+y)=ax+ay distributiva: (a+b)x=ax+bx (ab)x=a(bx) 1x=x 0x=0

Clausura frente a combinaciones convexas: ax+by є V, cuando x,y є V y a,b є R

3.Espacios euclideos Definiciones

V es la colección de n-tuplas ordenadas de números reales

La suma vectorial y la multiplicación por escalares se definen componente a componente:

Hay elemento identidad para la suma e inversos aditivos:

El conjunto V y las operaciones presentadas cumplen las propiedades, V se llama espacio euclideo de dimensión n y se representa como Rⁿ.

),,(),,(

),,(),,(),,(

11

1111

nn

nnnn

axaxxxa

yxyxyyxx

),,( 1 nxxx

)0,,0(0 n

4.Producto interior Un producto interior en un espacio vectorial V es

una operación binaria VxV R: (x,y) <x,y> con las siguientes propiedades: bi-lineal (lineal por componente) conmutativa <x,y> = <y,x> <x,x>≥0, para cada x є V <x,x>=0, si y sólo si x=0 Desigualdad de Cauchy-Schwartz:

Ejemplo:

yyxxyx ,,,2

nnt

n

yxyxyxyxyx

comoteriorinproductoundefinimosReuclideanoespaciounEn

2211,

:

4.Producto interior Caracterización de productos interiores en

espacios euclideos.

.

,,

:

nnmensionesdicon

positivadefinidaysimétricacuadradamatrizunaesAdondeAyxyx

definiciónsiguientelaadmiteRenteriorinproductoCualquiert

n

n

i

n

jijji

t

t

ayxAyx

cruzadacuadráticaformaunaesAyx

1 1

5.Norma de vectores Dado un producto interior en un espacio

vectorial V, podemos definir la norma de cada vector como:

Las propiedades de la norma son: Desigualdad Triangular: Desigualdad de Cauchy:

2

1

, xxx

Vxcadaparax ,0

00 xsisóloysix

VxvectoryRaescalarcualquierparaxaax

Vyxcadaparayxyx ,,

Vyxcadaparayxyx ,,

5.Norma y distancia Norma en los espacios euclideanos Rⁿ

Dado el producto interior en un espacio euclideano definido como:

la norma inducida en Rⁿ por este producto interior es:

Cualquier norma en el espacio euclideano Rⁿ está definda como:

donde A es una matriz cuadrada, simétrica y definida

positiva con dimensión nxn.

nnt yxyxyxyxyx 2211,

21222

21

2

1

nt xxxxxx

2

1

1 1

2

1

n

i

n

jijji

t axxAxxx

5.Norma y distancia Distancia inducida por una norma

Dada una norma en un espacio vectorial V podemos inducir una función distancia entre dos vectores como:

Las propiedades de la función distancia inducida de esta forma son:

La función distancia inducida por la norma natural del espacio euclideo Rⁿ es:

yxyxddondeRVVd ,:

Vzyxcadaparazydyxdzxd

yxsisóloysiyxd

Vyxcadaparayxd

,,,),(),(

0,

,0,

2

1

1

2,

n

iii yxyxd

6.Subespacios vectoriales Dado un espacio vectorial V, un subespacio vectorial

de V es un subconjunto W de V que es cerrado bajo la toma de combinaciones lineales.

Cuando A es un subconjunto de V, la familia de todas las combinaciones lineales formadas con vectores de A se denomina Span(A) y es evidentemente un subespacio vectorial de V.

V y {0} son subespacios vectoriales de V. La forma más general de representar subespacios

vectoriales en el espacio euclideo Rⁿ, es como los conjuntos de soluciones de sistemas lineales homogéneos descritos como Ax=0m donde A es una matriz de m x n.

6.Subespacios vectoriales

Axx

RRA mn

:

:

nmnmmm

nn

nn

nmnmmm

n

n

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

332211

2323222121

1313212111

3

2

1

321

2232221

1131211

6.Subespacios vectoriales

mn AxRxAN 0:)(

nmn RxyAxRyRAAR ,:)()(

Subespacio lineal de Rⁿ - Nulidad de la matriz A

Subespacio lineal de - Rango de la matriz AmR

TEOREMA DE LA DIMENSIÓN: NULIDAD + RANGO = n

7.Espacios afines Un espacio afín (variedad afín) en un

espacio vectorial V es un conjunto L que se puede expresar como la traslación de un subespacio vectorial W, es decir: L=W+x.

En general, cada espacio afín L en un espacio euclideo Rⁿ se puede representar como el conjunto solución a un sistema lineal no homogéneo: Ax=b.

7.Espacios afines Ejemplo 1: rectas en el plano

Ejemplo 2: planos en el espacio

Ejemplo 3: hiperplanos

Ejemplo 4: intersecciones de éstos

cbxaxRxL 212 :

dcxbxaxRxL 3213 :

dxaxaxaRxL nnn 2211:

bAxRxL n :

8.Dimensión y bases Si para un espacio vectorial V podemos encontrar un

subconjunto B tal que sus vectores son linealmente independientes y cuyo generado lineal coincide con V: Span(B)=V, decimos que B es una base para el espacio vectorial V.

Cada base de V tiene el mismo número de elementos al cual llamamos dimensión del espacio vecorial V.

Cuando B es base de V, cada elemento de V se puede expresar de una única forma como combinación lineal de los vectores en la base B.

Cuando

Bbaselaenxvectordelscoordenadalassoncc

VxvcvcxvvB

n

nn

n

,,

,},,,{

1

11

1

8.Dimensión y bases La aplicación es una biyección entre V y

Rⁿ que preserva las operaciones lineales: T(ax+by)=aT(x)+bT(y)

T es un isomorfismo de espacio vectorial. Empleando un sistema de coordenadas, cada espacio

vectorial V de dimensión finita n se identifica con el espacio euclideo Rⁿ.

Esencialmente todo espacio vectorial de dimensión n corresponde al espacio euclideo Rⁿ.

Una base para Rⁿ es La transformación T:V Rⁿ cumple:

cxRVT n ::

neeB ,,1

nn evTevT )(,,)( 11

9.Bases ortogonales Cuando V es un espacio vectorial con producto

interior, decimos que dos vectores x e y son ortogonales cuando <x,y>=0.

Extiende la situación geométrica del Plano Cartesiano en la cual

Una base B del espacio vectorial V se llama ortogonal cuando sus vectores son ortogonales entre sí.

Una base B se llama ortonormal cuando sus vectores son ortogonales y unitarios entre sí.

Ejemplo: es una base ortonormal para Rⁿ.

cos, yxyx

neeB ,,1

9.Bases ortogonales Papel de las bases ortonormales:

caracterización de bases ortonormales

cálculo de coordenadas en bases ortonormales

cualquier base de V se puede transformar en una base ortonormal: proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.

.,,},,{ 1ij

jin vvsisóloysiVparaortonormalbaseunaesvvB

niparavxcentoncesvcvcxcon

VxsiVparaortonormalbaseunaesvvBCuandoi

in

n

n

,,1,:,

,},,{1

1

1

10.Proyecciones ortogonales Dado un subespacio W de un espacio vectorial V con

producto interior, existe una aplicación natural P:V W, llamada proyección ortogonal de V sobre W que tiene las siguientes propiedades:

yxxPx

xPxxPx

VxcadaparaxPxPx

VxcadaparaWxP

Wy

min)(

)()(

)()(

)(

222

x

P(x)

W

10.Proyecciones ortogonales Cuando W es un subespacio vectorial de un

espacio vectorial V podemos representar la proyección natural P:V W de la siguiente manera:

Wdeortonormalbaseunaesvvvquetal

Vdeortonormalbaseunaesvvvvdonde

vvxxP

k

nk

k

i

ii

,,,

,,,,,

,)(

21

21

1

11.Ejemplo: R y R+

R=(-∞,∞) Operaciones de suma y multiplicación forman

un espacio vectorial de dimensión 1 El número 1 es una base ortonormal R+=(0,∞) Operaciones vectoriales: Producto interior: Norma: Distancia: El número e es una base:

axxaxyyx ,

yxyxyxd

xxxx

yxyx

lnln)1(),(

ln,

lnln,

2

1

xdecoordenadalaesc

exxxexcecx ln,ln,,

11.Ejemplo: extensiones a Rⁿ+

En el cuadrante generalizado Rⁿ+

Suma vectorial:

Multiplicación por escalares:

Producto interno:

Norma:

Distancia:

Base:

nn yxyxyx ,,11

ana xxxa ,,1

n

iii yxyx

1

lnln,2

1

1

2ln

n

iixx

2

1

1

2lnln),(

n

iii yxyxd

njparaijsijvijsiejvdondevv iin ,,11,:,,,1