introducción a la teoria de conjuntos ccesa007

POR EJEMPLO:

A={ Conjunto de árboles}

B={ Conjunto de casas }

CONJUNTO: Es una agrupación o colección bien definida de objetos o cosas

A B

CONTENIDO

Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota

mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos

con letras minúsculas.

Ejemplo:

El conjunto de las números naturales: 1, 2, 3, 4, 5,

6,………….. se puede escribir así:

L={ 1,2,3,4,5,6……..}

Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn

(1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica

mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos,

triángulos o cualquier curva cerrada.

Es aquella forma mediante la cual se da

una propiedad que caracteriza a todos

los elementos del conjunto.

Ejemplo:

D = { x / x día de la semana }

Hay dos formas de determinar un conjunto:

Es aquella forma mediante la

cual se indica cada uno de los

elementos del conjunto.

Ejemplo:

D={ lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,

sábado, domingo}

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se

usa el

símbolo:

Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el

símbolo: Ejemplo:

Sea M = { a; b; c; d; e; f,…………., z }

a M se lee : a pertenece al conjunto M

5 M se lee : 5 no pertenece al conjunto M

M

e

Es el conjunto que tiene un solo elemento

Ejemplo:

Pedro Pablo Kuczynski es el

Presidente de Peru

En este tipo de conjunto podemos contar sus elementos , es decir tienen un principio y un fin

POR EJEMPLO:

M= { } 4 Manzanas

F= { } 6 Sillas

CONTENIDO

POR EJEMPLO:

B={Números pares}

J={Múltiplos de 5 }

Es el que tiene un número ilimitado de elementos, es decir tiene un principio pero no tiene un fin

2 4 6

8 10 12

14 16 18

20….

5 10 15

20 25

30 35

40…

B J

CONTENIDO

POR EJEMPLO:

D = {Números pares entre 6 y 8}

F = { Meses del año que tienen mas de 31 días }

Es un conjunto que carece de elementos. Se lo representa

con el símbolo Ø o también { }

Ø

CONTENIDO

POR EJEMPLO:

Sean los conjuntos

C= { conejos}

D= { monos }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos C y D y es conjunto

de todos los animales

U= { animales }

Es el conjunto que contiene a todos los elementos, que normalmente se lo denota por la letra U

conejo

s

monos

U

CONTENIDO

Definimos la unión de dos

conjuntos A y B a otro

conjunto formado por los

elementos que pertenecen

a cualquiera de los dos

conjuntos.

A B = {x/x A x B}

A B

Ejemplo:

A = { a,b,c }

B = { d, e }

A B = { a,b,c,d,e }

a

b c d e

A B

Definimos la intersección de

dos conjuntos A y B a otro

conjunto formado por los

elementos que pertenecen a

ambos conjuntos.

A B= {x/x A x B}

Ejemplo:

A = { a,b,c, d, e }

B = { d, e , f }

A B = {d, e }

A B

d

e a

b

c f

A B

Definimos la diferencia de

dos conjuntos A y B a otro

conjunto formado por los

elementos que pertenecen

a A y no pertenecen a B

A -B = { x/x A x B}

Ejemplo:

A = { a, b, c, d, e }

B = { d, e , f }

A - B = {a, b, c }

d

e f

a

b c

A - B

El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa A B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).

Se simboliza:

A B = {x/x ε(A-B) v x ε(B-A)}

Ejemplo:

Sea:

A= {1,2,3,4,5,6,7}

B={5,6,7,8,9}

A B = {1,2,3,4} U {8,9}

A B = {1;2;3;4;8;9}

1 2

3 5

6

5 7

4

8

9

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U.

Simbólicamente se expresa:

A' = { x/x ε U y x ε A}

Ejemplo:

Sean U = { m, a, r, t, e } y

A = { t, e }

Su complemento de A es:

A' = { m, a, r }

Sean los conjuntos:

U={a,b,c,d,e,f,g,h,i}

A={a,b,c,d,e} B={d,e,f,g} C={e,f,g,h,i}

D={a,c,e,g,i} E={b,d,f,h} F={a,e,i}

Hallar:

1. B-A 2. A-B 3. A ∩ (BUC)

4. (A ∩ D)-B 5. (C ∆ A)-E 6. (A ∩ B) U (AUC)

7. E`∩ F` 8. (E U F)` 9. (A-E)`

10. (B ∆ F)` U A

En una encuesta de 60 personas se encontró

que 25 leen revistas políticas, 26 leen

revistas científicas y 26 leen revistas de

entretenimiento. Se determino además, que

9 personas leen revistas políticas y de

entretenimiento, 11 leen revistas políticas y

científicas, 8 leen revistas científicas y de

entretenimiento y 8 no leen revista alguna.

A) Determine el numero de personas que

leen los 3 tipos de revistas.

B) Determine el numero de personas que

leen exactamente un tipo de revistas.

Una encuesta de 100 músicos populares

mostró que 40 de ellos usaban guantes en la

mano izquierda y 39 usaban guantes en la

mano derecha. Si 60 de ellos no usaban

guantes, ¿Cuántos usaban guantes en la mano

derecha solamente?,¿Cuántos usaban guantes

en la mano izquierda solamente?,¿Cuántos

usaban guantes en ambas mano?

En la clase de educación física se inscribieron

200 estudiantes; se les preguntó si querían

trotar o nadar como únicas dos alternativas.

Decidieron trotar 85 de ellos, 60 también

aceptaron nadar. En total, ¿Cuántos tomaron

natación?, ¿Cuántos tomaron natación pero

no aceptaron trotar?

En una encuesta aplicada a 260 estudiantes

se obtuvieron los siguientes datos: 64 toman

un curso de matemáticas, 94 toman un curso

de computación, 58 toman un curso de

administración,28 toman curso de

matemáticas y administración, 26 toman

curso de matemáticas y computación, 22

toman curso de administración y

computación, y 14 toman los 3 cursos.

a) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta

no toman ninguno de los 3 cursos?

b) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta

toman solo el curso de computación?

LÓGICA PROPOSICIONAL

Lógica es el estudio del razonamiento, que se refiere

específicamente a si el razonamiento es correcto. La

lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y

no en el contenido de una afirmación en particular.

Lógica

Ejemplos:

El día de hoy está bonito.

Está lloviendo.

17+5=20

Proposiciones

Una proposición es una unidad semántica que, o solo es verdadero, o solo es falsa, pero no ambas cosas a la vez.

¿me invistas a bailar? ¡qué hermoso paisaje! ¿cómo estás?

Nota: Los enunciados que expresen admiración, duda,

interrogación, suspenso, etc., no son proposiciones.

Existen 2 tipos de proposiciones:

Simples y compuestas

Tipos de proposiciones

Proposiciones SIMPLES

Son aquellas que contienen una sola proposición.

Ejemplos:

Rosa baila.

Esto es una casa.

Juan canta.

5 es un número par.

Quito es la capital del Ecuador.

PROPOSICIONES COMPUESTAS

Son aquellas que contienen más de una proposición.

Ejemplos:

María trabaja y Rosa estudia.

Juan y Luisa son hermanos de Pedro.

Amparo es inteligente y es la hermana de Carlos.

Esmeraldas y Guayas son provincias del Ecuador.

LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas

de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje,

permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que

nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a

través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y

luego sentencias compuestas, formadas mediante el uso de

conectivos logicos, por ejemplo Y (AND), O (OR).

LENGUAJE FORMAL

Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios,

que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas

proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola

letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las

letras minúsculas del alfabeto que van de la p hasta el final

del abecedario.

Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta

proposición queda simbolizada en el lenguaje formal

mediante la variable p o q, o, r o s.

Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros

símbolos, llamados constantes, cuyo significado siempre es el

mismo, ya que modifican o unen a las variables. Estos símbolos

constantes se llaman conectivos u operadores lógicos.

Cuando el conectivo afecta a una sola variable, se llama

monádico, como por ejemplo el negador (~) que se lee en el

lenguaje natural «no», y se sitúa encima de la letra variable, , «no

p». Cuando afectan a más de una variable, son poliádicos. Los

conectivos u operadores lógicos más importantes son:

TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad es una representación de los

posibles valores de verdad que podrá tomar una

proposición. Estas tablas sirven para mostrar los

valores, las relaciones y los resultados posibles al

realizar operaciones lógicas.

CONJUNCIÓN

La conjunción es verdadera sólo cuando ambas

variables lo son y es falsa en los demás casos.

p q p ^ q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

DISYUNCIÓN

La disyunción es verdadera en todos los casos menos

cuando ambas son falsas.

p q p v q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

La disyunción exclusiva es verdadera en los casos

que las proposiciones tienen valores distintos y falsa

cuando ambas tienen valores iguales.

p q p v q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

DISYUNCION EXCLUSIVA

CONDICIONAL

El condicional es verdadero en todos los caso menos

cuando la primera proposición es verdadera y la

segunda es falsa.

P q p → q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

BICONDICIONAL

El bicondicional es verdadero cuando ambos son

verdaderos o cuando ambos son falsos, y es falso en

los demás casos.

P q p↔q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

NEGACIÓN

La negación ~ que se lee ~p, cambia el valor de la

variable que se niega: sólo es verdadera si es falsa y

es falsa si es verdadera.

p ~p

V

F

F

V

TAUTOLOGÍA, CONTINGENCIA, CONTRADICCIÓN

TAUTOLOGÍA

Es cuando tienen solamente proposiciones

verdaderas para todos los valores de verdad de las

variables proposicionales.

Ejemplo:

~p v p

p ~p ~p v p

V

F

F

V

V

V

CONTINGENCIA

Es cuando se obtienen algunas proposiciones

verdaderas y otras falsas para los valores de verdad

de las variables proposicionales.

Ejemplo:

(p → q) ^ (q → p)

p q p → q q → p (p → q) ^ (q → p)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

CONTRADICCIÓN

Es cuando se tienen solamente proposiciones falsas

para todos los valores de verdad de las variables

proposicionales.

Ejemplo:

~q ^ q

q ~q ~q ^ q

V

F

F

V

F

F