introduccion a la mecanica cuantica

2) INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUANTICA

2.1) INTRODUCCIÓN

FISICA CLÁSICA FÍSICA CUANTICA

Física determinista Física indeterminista

Cant.Físicas continuas Cant. Físicas discontinuas

r= r(t)

g

t

V(o)e

..

.

.

.

.

.

.

.

..

.

1

2

En el último tercio del s. XIX:

• Radiación de cuerpo negro• Efecto fotoeléctrico• Efecto Compton• Espectros de Absorción- Emisión• Emisión de RX• Estabilidad de la materia …

2.2) FENÓMENOS ANTECEDENTES

i) RADIACION DE CUERPO NEGROEste fenómeno presentado por G R Kirchhoff en 1862 no pudo ser resuelto clásicamente hasta que en 1900 M Planck, usando argumentos revolucionarios, lo resuelve.

El cuerpo negro, CN, es un modelo que representa a un cuerpo {sistema} de absorción infinita. Un buen ejemplo es una cavidad con abertura pequeña.

Cavidad=CN

Todo cuerpo radia energía en función de su temperatura, esto permitió analizar al CN en cuanto a su emisión para diversas temperaturas. La información experimental se conocía con mucha anticipación debido a que era un viejo problema sin resolver.

T

T

Celda fotoeléctrica I ( λ, T)

Una primera observación de estos espectros de emisión estuvo relacionada con el corrimiento de la λ correspondiente al pico del espectro, λ= λmax, este corrimiento de la λ fue resuelto por una ecuación propuesta por W Wien llamada ecuación de corrimiento de Wien,

2max 0, 2898 10Tλ −= ×

Toma de datos:

Sin embargo, esta relación no explicaba el espectro. Una mejor relación propuesta por RAYLEIGH – JEANS, permitió de alguna manera explicar parte del espectro. Esta relación consideraba la emisión en todas las frecuencias, es un resultado clásico,

4

2),(

λπλ Tck

TI B=

En 1900 M Planck propone una Ec para I(λ,T) que resuelve el problema,

−

=

1

2),(

5

2

Tk

hc

Be

hcTI

λλ

πλ h: constante de Planck

: 6,63 x10 -34 Js

kB : constante de Boltzmann : 1,38 x 10 -23 J/K

Esta ecuación presentada por Planck obedece a una delicada labor de comparación de la información contenida en las gráficas I-λ{exp}, que no es otra cosa que energía, haciendo las siguientes consideraciones a T fija:

“I ( λ, T)”=I(λ) : Intensidad / Longitud de onda, I=E/(Ãt)

I(λ)/ t=1, Ã=1 : energía / longitud de onda

A= Área=Energía ∫∞

==0

),( λλ dTIEA

λ discretas

La h permite ajustar estos resultados. Los postulados propuestos por Max Planck para justificar los λs discretos, cambiarían la formulación de la Física Clásica.

1) Los estados energéticos moleculares son discretos según la siguiente ecuación,

En = n h ν n: entero, ν : frecuencia lineal

2) La emisión o absorción molecular se produce solo cuando la molécula cambia de estado, el cual es caracterizado por n, numero cuántico energético,

POSTULADOS

Max Planck

1858(Kiel)-1947(Gotinga)

nf ←→ ni

ii) EFECTO FOTOELÉCTRICO

Este efecto fue reportado por H Hertz en 1887, cuando investigaba en el laboratorio la producción de las OEM.

Este fenómeno fue resuelto por A Einstein y presentado en 1905 en su reconocido año milagroso.

UVes : fotoelectrones

Superficie metálica

La física clásica no resolvía el problema puesto que, por ejemplo, la radiación fotoelectrónica se debía producir luego de varios minutos de “iluminar” la superficie , sin embargo la emisión es casi instantánea.

Heinrich Hertz

1857(Hanburgo)-1894(Bonn)

clásica

Energía dispersada en toda la λ

cuántica

γe

Energía localizada en el fotón, γ

Albert Einstein propone a la luz compuesta por partículas o fotones (γ), esto es, le otorga una concepción cuántica, lo cual permite explicar los resultados experimentales.

Albert Einstein

1879(Ulm)-1955(Princenton)

Intensidad I

es : fotoelectrones

UV

Superficie metálica

Ek Ek,max

,max

,max ...

:

:

( )

e k

k

E E E

E hv

v frecuencia del fotón

función trabajo que caracteriza al metal

γ φφ ε

φ

−= = +

= −

Montaje experimental sencillo:

Asumiendo conservación de la energía,

AV

VV =∆

Luz:I,νv

e-

Ek,max

φ ννc = νu

νc=νu :

Frecuencia de corte o ν umbral

tg m hθ = =

i)

Los resultados experimentales se muestran a continuación, en i) la relación lineal entre Ek,max-ν muestra la frecuencia umbral o de corte y en la pendiente el valor de h, en ii) que la intensidad no influye la Ek,max y la iii) mientras mas energético el fotón el e- adquiere mayor Ek,max.

Sk

fS

sek

eVE

frenadodepotencialVV

eVVqEE

=

=

=∆== −−

max,

max,

:

γ

+ -

sVV =∆

EK,MAX

VV =∆12 SS VV

iI =

1212 , υυ >= II

iii)

VV =∆fs VV =

iI =

ν

ν

,

,

1

2

I

Iii)

I2>I1

iii) EFECTO COMPTON

Efecto descrito en 1923 por A H Compton, donde se informa acerca de la dispersión de γs RX por un blanco de grafito.

La teoría clásica indica que la dispersión estaría dependiendo tanto de la intensidad de radiación así como del tiempo de exposición, lo cual es desbaratado por el experimento.

θ

sustancia

radiación

Recordando que la teoría clásica indica que la emisión {dispersión} es producida por oscilación de e-

s, el proceso se representaba de la siguiente forma,

θ

λ λ’

e-

A H Compton

1892(Ohio)-1962(Berkeley)

Sin embargo, A Compton describe el proceso en una imagen moderna de la radiación, esto es, mediante fotones {A Einstein}, en la cual se producen “choques” entre fotones RX y e-,

e- λ0

λ’

θ

Φ

A Compton resuelve el problema mediante la teoría de choques relativistas , proponiendo la siguiente ecuación,

)cos1(' 0 θλλλλ −=∆=− C

λ c : longitud de onda de Compton

∆ λ : corrimiento de Compton

λ0 : λ a dispersión “cero”

λ −−= ≈ =× 90,0024 ,3 10C e

mh

mmc

λ’

Los experimentos desarrollados por Compton se podrían sintetizar en el siguiente diagrama experimental:

Cámara de ionización

espectrómetro

Grafito

colimador

λo

θ

λ’

λλ

I I

λo λo λ’

λ´

θ1θ2

W

RXV∆

λ’: Espectrómetro de cristal giratorio

I : I registrada en la cámara de ionización

Esta extensión de los fotones de luz { A Einstein} a fotones del espectro EM , γEM , {A Compton} , permite intensificar los marcos conceptuales que se producirían entre 1925-26 , para formalizar la Física Cuántica, esto es, los formalismos de Heisenberg y Schroedinger.

λ´

αα

λ´

Estructura de Red Cristalina

α λ=2

:maximo

dSen n

P

P

Estos espectros de emisión-absorción discretos, de gases de elementos a baja presión, se conocían desde 1850, a raíz del auge de la termodinámica que estudiaba a los gases ideales.

Estos gases emitían bajo descarga, debido a la diferencia de potencial que se les aplicaba.

En 1885 se propone una ecuación empírica que describe las λ {visible} en la emisión de una muestra de H. JJ Balmer propuso la siguiente ecuación,

iv) ESPECTRO DE EMISIÓN Y ABSORCIÓNT

Radiación

Gas

λ

I

λλ1 λ2 λ3 λ4

Radiación

CN

−= 22

1211

nRHλ

Serie de Balmer

; n= 3,4,…

RH: constante de Rydberg, RH = 1,0973732 * 107

Visible y UV

Espectros de absorción y emisión del Hidrógeno

λ

Posteriormente, en base a este reporte, se proponen otras ecuaciones

que justifican diversas series en los espectros de emisión del H,

−= 22

1111

nRHλ

−= 22

1311

nRHλ

−= 22

1411

nRHλ

; n= 2,3,4,…

; n= 5,6,…

; n= 4,5,…

Serie de Lyman

Serie de Paschen

Serie de Brackett

UV

IR

IR

La importancia de estos espectros radica en que son propios de cada elemento, tanto en su versión de emisión como de absorción,

λ

La técnica espectroscópica de absorción permite identificar la composición tanto cualitativa como cuantitativa de las sustancias o materia en general,

2.3) Modelo de Bohr

ESPECTROS

ATÓMICOS

Explicación empírica:

* Series de Lyman, Balmer, Paschen y Brackett

En 1913, Niels Bohr propone un modelo de átomo de H, en función a estos resultados así como por el conocimiento de ciertos valores físicos ya determinados, por ejemplo, la energía de ionización del H,

E ionización aproximadamente 13,6 eV

−= 22

111

if

Hnn

Rλ

N Bohr

1885-1962 (Copenhague)

La teoría de Bohr propone un modelo semiclásico del átomo de H, basado en 4 postulados:

1.- El e- orbita al p+ circularmente debido a la fuerza eléctrica ( clásico)

2.- Estas órbitas electrónicas son estables, esto es, el e- no radía energía (no clásico)

3.-La radiación de energía del e- sólo se produce cuando cambia de órbita( cuántico)

4.-Las órbitas electrónicas cumplen la cuantización del momento angular (L)(cuántico)

,

: 1,2,3....

2

L mrv L r p mr v

L mrv n

L mrv

cuántica

n n

h

π

= = × = ×→ = =

= = =

=

→

h

h

h

Los argumentos 3º y 4º son los que produjeron la cuantización de los radios orbitales y de la energía,

r

p

epKM EEE +=

22

2 2

2

2 2 22

2 2 2

1

2

...2 2

02 2

α

−= +

= −

= = = ≡

→ = → =

= − =− <

K e pel

e

e cp

M

cp

M

E E

kemv

r

ke mvF F ma

r r

ke mv kev

r rm

ke ke ke

rE

r r

E

De la energía mecánica del sistema,

FI : Tierra - Sol

rn rm E<0

De la condición de cuantización de L,

22 2

0

22

2

2

0

2 2 2

2 2

...

:

:

( 1)

( )

0,53 ,

L mrv n

kev

mr ke n

mr m rr n n r n

mke

r radio de Bohr

nv

mr

r n

β

α

β

°

= =

=

= → =

= =

→ = =

= Α

h

h

hh

Si esta r(n) se reemplaza en la ecuación de energía, se obtienen los E = E(n),

2 2 4

2 2 2 2

2

1 1( )

2 2

ke mk eE n

n nmke

= − × ≡ − ×

h h

21)(nE

nE = eVE 6,131 −=

( )

2 4 2 4 2 4 2 2

2 2 2 2 2

22 2 4

¿ ?2

mk e mk e MF L L MLEnergía

h J T T

Ke F L

− = =

h

La cuantización de la energía conduce a una energía (-E1) que ya se conocía, esto es, la energía de ionización del átomo de Hidrógeno,

Emisión de energía

E2

E3

E4

Balmer

−= 22

111

if

Hnn

Rλ

E1= -13,6 eV

E(eV)

Para la comprobación de las ecuaciones de las series se usa el postulado 3º,

21)(nE

nE =

1 2 2

1 1 7 12

2 2

2

1 1

1 1 1, 1,0973732 10

1 1 1

i f

i fi f

Hf i

Hf i

cE E E h h

hcE E E

n n

E ER m

hc n n h

n n

c

R

γ νλ

λ

λ

λ−

− = ≡ ≡

− = − =

= − = =

= −

×

Las series ahora son entendidas como producidas por las transiciones electrónicas, entre los diversos niveles de energía, tal como se muestra en la figura,

Bohr extiende su modelo del H a átomos tipo H (hidrogenoides) , He+ , Li ++, caracterizados por sus Z,

212

2

12

2 * ( )

*

( )

( ) ( )

oor n n r

EE

n rr n

Z

E ZE nn

n n== →

== →