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Introducción a la Inferencia Estadística
Tema 4: Contrastes de Hipótesis
Paramétricas
Prof. Rosario Martínez Verdú
TEMA 4: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS
1. Planteamiento general de la contrastación de hipótesis estadísticas.
2. Contrastes de hipótesis bilaterales.
3. Contrastes de hipótesis unilaterales.
Bibliografía específica Tema 4:
- NEWBOLD, P. (1997). Estadística para los Negocios y la Economía. Madrid: Prentice Hall. 4ª Edición. Capítulo 9.
- NEWBOLD, P. y otros (2008). Estadística para Administración y Economía. Madrid: Pearson-Prentice Hall. 6ª Edición. Capítulo 10 y Capítulo 11 apartados 1 a 4.
- ESTEBAN GARCÍA, J. y otros: Curso Básico de Inferencia Estadística. Reproexpres Ediciones, Valencia, 2008. Tema 6 y y Tema 7 apartados 1 a 4.
- LIND D.A y otros. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. Ed. McGraw Hill, México, (13ª Edición). Capítulos 10 y 11.
- MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch. Capítulo 8 apartados 2 y 3 y Capítulo 9 apartados 1 a 3.
Objetivos del apartado: Comprender los conceptos de hipótesis nula y
alternativa. Conocer los tipos de hipótesis estadísticas y de
contrastes. Saber formular las hipótesis y tomar una decisión en
base a una prueba estadística o test. Medir la fiabilidad de una prueba estadística o test
en base a los errores de tipo I y de tipo II. Comprender los conceptos de nivel de significación
y de potencia de un test estadístico.
1) Planteamiento general de la contrastación de hipótesis
estadísticas
¿Qué es una hipótesis? Una afirmación o suposición sobre la población,
principalmente acerca del valor de un parámetro : Valor de la Media de la Población μ Valor de la Varianza de la Población σ2
Valor de la Proporción poblacional p en una Bernoulli Ejemplos de hipótesis sobre parámetros:
1) Población X: peso paquetes de cereal, en gramos.El peso medio de los paquetes de cereal es de 500 gramos. (μ=500)
2) Población con distribución Bernoulli X: si un hogar tiene o no problemas para llegar a fin de mes.
El porcentaje de hogares con problemas para llegar a fin de mes es del 45% (p=0,45)
¿Qué es un contraste de hipótesis?
Es un procedimiento, basado en la evidencia que nos proporciona la muestra y en una prueba o test estadístico, usado para tomar una decisión acerca de la hipótesis. Se trata de determinar la validez o no validez de esa hipótesis. Si esa hipótesis se puede aceptar (no rechazar) o rechazar como válida. Esta hipótesis se llama hipótesis nula H0 y se contrasta frente a una hipótesis alternativa H1.
0
1
H : párametro toma uno o varios valores
H : parámetro toma otro u otros valores
TIPOS DE HIPÓTESIS Simples: parámetro toma un único valor. H0: μ=500 ó H0: p=0,45
Compuestas: parámetro toma distintos valores. Bilaterales: H1: μ500 ó H1: p0,45
Unilaterales: H1: μ>500 ó H1: μ<500 H1: p>0,45 ó H1: p<0,45
TIPOS DE CONTRASTES H0 y H1 simples (no es lo habitual) H0: μ=500 H1: μ=405
H0 simple y H1 compuesta y bilateral→Contraste Bilateral (tema 4.2)
H0 simple y H1 compuesta y unilateral→Contraste Unilateral (tema
4.3)
H0 y H1 compuestas y unilaterales→Contraste Unilateral (tema 4.3)
Hipótesis nula Ho Es la que contrastamos, es la más simple de
las dos hipótesis. Siempre hay una igualdad: = , ,
Los datos pueden refutarla.
No debería ser rechazada sin una gran evidencia en contra. Supondremos que es cierta a no ser que se pruebe lo contrario.
Hip. Alternativa H1 Es lo opuesto de la H0
No hay igualdad: suele haber , > , <
Los datos pueden mostrar evidencia a favor.
No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.
:H
:H
1
00,45p
0,45p
, , , ,
:H
:H
1
0500
500
Ejemplo 1) peso medio paquetes de cereales
Ejemplo 2) % hogares que no llegan a fin de mes
, , , ,
Bilateral
Bilateral
Unilateral
Unilateral
, , > ,< ,
, , > ,< ,
Para resolver el contraste y tomar una decisión respecto a la H0 nos vamos a basar en: La información que nos proporciona una muestra (es la única
evidencia que tenemos de la población). Una prueba o test estadístico, basado en un estadístico muestral del
tema 2. En base a este estadístico de prueba y a su distribución de probabilidad se establece una regla de decisión que nos indica cuando debe rechazarse o aceptarse la HO. Se establecen dos regiones:
- La región de Rechazo o región crítica: si el valor del estadístico está en esta región entonces se Rechaza la H0.
- La región de Aceptación: si el valor del estadístico está en esta región entonces se Acepta la H0.
Tomar una decisión respecto a la H0 en base a un test y con la información parcial de la muestra no es proceso fiable al 100% y cabe la posibilidad de cometer errores.
Tipos de error al contrastar hipótesisDecisión
Realidad
No Rechazar H0
(Aceptar H0)
Rechazar H0
(Aceptar H1)
H0 cierta
H0 falsa
Tipos de error al contrastar hipótesisDecisión
Realidad
No Rechazar H0
(Aceptar H0)
Rechazar H0
(Aceptar H1)
H0 cierta Correcto
H0 falsa
Tipos de error al contrastar hipótesisDecisión
Realidad
No Rechazar H0
(Aceptar H0)
Rechazar H0
(Aceptar H1)
H0 cierta Correcto
H0 falsa CorrectoProbabilidad 1- β →potencia del contraste = P(Rechazar H0/ H0 falsa)
Tipos de error al contrastar hipótesisDecisión
Realidad
No Rechazar H0
(Aceptar H0)
Rechazar H0
(Aceptar H1)
H0 cierta Correcto Error de tipo I
Probabilidad = P(Error tipo I)
= P(Rechazar H0/ H0 cierta)
H0 falsa CorrectoProbabilidad 1- β →potencia del contraste = P(Rechazar H0/ H0 falsa)
Tipos de error al contrastar hipótesisDecisión
Realidad
No Rechazar H0
(Aceptar H0)
Rechazar H0
(Aceptar H1)
H0 cierta Correcto Error de tipo I
Probabilidad = P(Error tipo I)
= P(Rechazar H0/ H0 cierta)
H0 falsa Error de tipo II
Probabilidad β = P(Error tipo II)
= P(Aceptar H0/ H0 falsa)
CorrectoProbabilidad 1- β →potencia del contraste = P(Rechazar H0/ H0 falsa)
No se puede tener todo: Para un tamaño muestral fijo, no se pueden
reducir a la vez ambos tipos de error. Si ↓ α entonces ↑ β y viceversa.
Como los dos errores no se pueden minimizar a la vez, hay que controlar o fijar uno de los dos errores. Lo usual es controlar la probabilidad del error de tipo I α, ya que este error se considera el más grave de cometer de los dos.Se llama nivel de significación α al mayor permitido o tolerado para la probabilidad del error de tipo I. Es el valor que se fija para α.
La fiabilidad de un test depende de lo pequeños que sean las probabilidades de los errores α y β.
0,1
= 0,05
0,01
Se fija nivel de significación
Nos determina un test
concreto
Resulta un valor concreto
para β
Analogía con un juicio: Se juzga a un individuo por la Analogía con un juicio: Se juzga a un individuo por la presuntapresunta comisión de un delito comisión de un delito
H0: Hipótesis nula Acusado inocente
H1: Hipótesis alternativa Acusado culpable
Los datos pueden refutarla
La que se acepta si las pruebas no indican lo contrario
Rechazarla por error tiene graves consecuencias
Riesgos al tomar decisiones
No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.
Rechazarla por error tiene consecuencias consideradas menos graves que la anterior
Tipos de error al tomar una decisiónDecisión
Realidad
Aceptar H0
Declararlo Inocente
Rechazar H0
Declararlo Culpable
H0 cierta Inocente Correcto Error de tipo I = P(Rechazar H0/ H0 cierta)
= P(Decl. Culpable/ Inocente)
Error muy graveH0 falsa Culpable Error de tipo II
= P(Aceptar H0/ H0 falsa)
= P(Inocente / Culpable)
Error menos grave
Correcto
Decisión
Realidad
Aceptar H0
No Adelantar
Rechazar H0
Adelantar
H0 cierta
No hay tiempoCorrecto Error de tipo I
= P(Rechazar H0/ H0 cierta)
= P(Adelantar/ No hay tiempo)
Error muy graveH0 falsa
Hay tiempoError de tipo II = P(Aceptar H0/ H0 falsa)
= P(No Adelantar / Hay tiempo)
Error menos grave
Correcto
EJEMPLO 2: Conductor decide si efectúa o no un adelantamiento H0: No adelantar ya que cree que no hay tiempo H1: Adelantar ya que cree que hay tiempo
Procedimiento a seguir en un Contraste de Hipótesis:Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la alternativa
Ho y H1
Paso 2: Fijar el nivel de significación α
Paso 3: Identificar el estadístico de pruebay su distribución de probabilidad (Normal, t Student, Chi Cuadrado, F Snedecor)
Paso 4: Establecer una regla de decisión(identificar las regiones de rechazo y de aceptación de Ho)
Paso 5: Seleccionar una muestra,calcular el valor del estadístico de prueba
Paso 6: Tomar una decisión respecto a la Ho
Aceptar (No rechazar) la hipótesis nula Rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa
EJEMPLO CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS
Sea Población X: peso de los paquetes de cereal, en gramos.X~N( , 2=100)Muestra: (x1, x2,...., xn) m.a.s. n=16
Se pretende contrastar las siguientes hipótesis:
Ho: = 500 →afirmación del fabricante
H1: = 495 →opinión organización de consumidores
Para resolver el contraste se proponen tests basados en el estadístico
y definidos mediante su región crítica o de rechazo:
Rechazar Ho si:
Cada posible valor de k es un test distinto, ¿cómo elegir un test
concreto?
x
k x
495,89
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0,3000
0,3500
0,4000
0,4500
0,5000
495 495,5 496 496,5 497 497,5 498 498,5 499 499,5 500
Valores de k
prob
abili
dade
s
alpha beta
Alpha=α
Beta=β
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