integrales
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Integrales
• Integrales Simples.• Integrales Múltiples.
• Integrales de Superficie.• Integrales en Línea.
Unidad IV
Integral doble
La integral doble• Sea R una región cerrada en el plano xy y sea g(x, y) una función
definida en un rectángulo que contiene a R.
Hacemos una partición del rectángulo que contiene a la región R en n x n rectángulos, donde el k-ésimo rectángulo tiene dimensiones Xk
por Yk (no necesariamente iguales).
Luego evaluamos una función g(x,y) en algún punto (Xk*, Yk*) de cada rectángulo, y formamos la suma...
n2
g(xk*, yk
*) xk yk
k = 1
La integral doble• La suma anterior, como en la integral definida, se llama Suma de
Riemann. A continuación se ilustra lo anterior.
• Ejemplos: 1) Integrando g(x,y) = x + 1
• Región R : Área comprendida entre las curvas • y = x; y = 4 - x, x = 0.
• En las siguientes imágenes se hará una partición del rectángulo en 8 x 8 = 64 rectángulos. Si el punto medio de una subregión queda dentro de R, se le incluye en la partición y por lo tanto en la suma de Riemman.
Funciones = {x, 4 - x}
• Gráfica de funciones en el plano xy
La integral doble• Gráfica de la región R
La integral doble• Partición de la región
R en 64 rectángulos.
La integral doble• A continuación se muestra el resultado de evaluar la
función g(x, y) = x + 1 en el punto medio de cada rectángulo de la partición y el cálculo de la
sumatoria de Riemann, n2
g(xk*, yk
*) xk yk k = 1
• y la integral doble de la función sobre la región R, aunque aún no hemos definido que significa "Integral doble".
La integral doble
• Para la función g(x, y) = 1 + x La suma de Riemann = 6.625 para n = 64 rectángulos
Integral doble = 6.66667•
Como habrás observado, el valor de la suma de Riemann está cercano al valor de lo que llamamos "Integral doble".
La integral doble• Enseguida se ilustrará
la partición tridimensional de el
• volumen comprendido entre la superficie
• z = g(x, y) y la región R.
La integral doble• Se hace las columnas
para calcular el volumen.
La integral doble• Volumen de los 64
paralelepipedos es 6.625
• Volumen exacto = 6.66667
La integral doble• A continuación veremos otro
ejemplo de lo anterior para reafirmar el concepto.
• Ejemplo 2. Integrando g(x,y) = 25 - x8 - y8 Región R : área comprendida entre las curvas y = x8 - 4 ; y = 4 - x8.
En seguida se hará una partición de la región R en 8 x 8 = 64 rectángulos.
La integral doble• Funciones = • {- 4 + x2 , 4 - x2}
• Gráfica de funciones en el plano xy
• Gráfica de la región R
La integral doble• Partición de la región
R en 64 rectángulos
La integral doble• A continuación se muestra el resultado de evaluar la función g(x,y) =
25 - x2 - y2 en el punto medio de cada rectángulo de la partición y el cálculo de la sumatoria de Riemann,
• Para la función g(x, y) = 25 - x2 - y2
• • La suma de Riemann = 418.75 para n = 64 rectángulos
• • Integral doble = 438.242
La integral doble• En las siguientes gráficas
se ilustrará la partición tridimensional de el volumen comprendido entre la superficie
• z = g(x,y) y la región R.
La integral doble• La región se divide en
partes iguales (en este caso) y se calcula el volumen.
La integral doble• Volumen de los 64
paralelepípedos es 433.484
• Volumen exacto 438.248
La integral doble• Definición:
Si g(x, y) está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, la Integral Doble de g(x, y) sobre R se define como:
• n2
• g(x, y) dA = lim g(xk*, yk
*) xk yk
• R n 0 k = 1•
cuando la norma de la partición tiende a cero. ( lo que equivale a n 0)
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