UNIVERSIDAD PARTICULAR SAN MARTIN

TEMA : INTEGRALES 2015

INTEGRALES

Definición de Antiderivada

F(x) es la antiderivada de la función f,

F´ (x) = f (x)

Nota: una vez que se haya encontrado la antiderivada de una función, la respuesta siempre puede comprobarse mediante la derivación para obtenerse la función original

INTEGRALES¿Cuál es la función que dio origen a la siguiente derivada:

f ´ (x) = 3 ?

Respuesta: F(x) =

Por que:

F ´(x) =

f ’ (x) = 3 También se cumple:

F(x) = k

f ’(x) = 3 En general, si F es una antiderivada de f, toda función obtenida al agregar una constante a F será también una antiderivada de f, luego tendremos que: F(x) + k es la solución general, donde k es una constante

INTEGRALES

2x

INTEGRALES INDEFINIDASSe denomina así a la antiderivada general de la función. Es decir, si: f(x) es F´(x) ; , entonces: G(x) = F(x) + C ; De la notación se lee:

Sign

o in

tegr

al

Inte

gran

do

Varia

ble

resp

ecto

a la

cua

l se

inte

gra

Antid

eriv

ada

o d

eriv

ada

de f(

x)

Cons

tant

e de

Inte

grac

ion

INTEGRAL INDEFINIDATambién se cumple:

Es decir, la derivada y la integral son operaciones inversas. Ejemplo: P = P = P =

INTEGRALES INDEFINIDASPropiedades elementales de la integral indefinida:

a) = x + c

b) = ax + c

c) (n n

d) = + c

INTEGRALES indefinidase)

f)

g) =

h) (

INTEGRALES INDEFINIDASHallar las siguientes integrales:

Solución

2) Solución = =

INTEGRALES INDEFINIDAS

3) Solución

4) Solución

INTEGRALES INDEFINIDAS

5) Solución

6)

INTEGRALES INDEFINIDAS7) Solución

8) Solución =

9) Solución

INTEGRALES INDEFINIDAS

10) Solución

INTEGRALES INDEFINIDAS

11) Solución : Si entonces se divide: = x +1 + Ahora integramos: dx =

dx = + x +

INTEGRAL INDEFINIDA

METODO DEL CAMBIO DE VARIABLE =

EJEMPLO 1. Hallar: Hacemos: u = du= 2xdx = = = + K

INTEGRAL INDEFINIDA2. Hallar: Solución

Hacemos: u = x – 2 du= dx u + 2 = x

= =

INTEGRAL INDEFINIDAINTEGRALES POR PARTES

Ejemplo 1. Hacemos: u = x dv = du = dx v= = x. = x - + K

u

dv

INTEGRAL INDEFINIDA2. Hallar: Solución

u = x dv = dx du = dx v = = x. -

= + c

INTEGRAL INDEFINIDA3.Hallar : Solución u = ln x du = dv = dx v = x = x = x = x

INTEGRAL DEFINIDA

Integral Definida Sea f(x) una función continua definida en el intervalo [a; b]. Supongamos que la función F es continua en [a; b] y con derivada F´(x) = f(x) para todo x [a: b]. ∈ La integral definida de f en [a; b] es: (Teorema Fundamental del Cálculo)

INTEGRALES DEFINIDASPROPIEDADES IMPORTANTES:

INTEGRALES DEFINIDASEJERCICIOS DE APLICACIÓN.En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la integral:

Solución = = =

= 4 - =

1 1

INTEGRAL DEFINIDA

Solución = =

= = u dv u = dv = du = 2x dx v = Integrando por partes: = - = [ - =

INTEGRAL DEFINIDA

3.

Solución

= = = = - 3 =

INTEGRALES DEFINIDAS4. Solución = x + Entonces: = - = - [ - 2 ]

= - [ - 2(] = - [

00

1 1

INTEGRAL DEFINIDASuponga que el tamaño de una población, denominado N(t), cumple la ecuaciónpara t0.Determine N(t) si N(0)=10.Solución:N(t)=dt u= dv= du= 1/35 v= Integramos por partes: = uv - = - +c N(0)=10 c= - 7,14 = - - 7,14