i introducción · 2007. 12. 19. · bifurcaciones en sistemas dinÆmicos sistema dinÆmico: sea m...
Post on 06-Jul-2021
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Índice
I Introducción
I Bifurcaciones en sistemas dinámicos
I Balance armónico
I Función descriptiva
F. Salas dic03– p.1/20
Introducción
� Los sistemas en ingeniería son no lineales.
� Métodos lineales en ingeniería insuficientes en determinadascondiciones (Ej. Colapso de tensión).
� Estabilidad y controlabilidad en sistemas lineales songlobales.
� Necesidad de recurrir a modelos no lineales para explicar lacomplejidad de los sistemas dinámicos.
� Problema local (control lineal) y global son distintos ⇒Análisis de bifurcaciones es necesario en el diseño decontroladores (estabilidad y robustez paramétrica).
F. Salas dic03– p.2/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosSistema dinámico: Sea M un conjunto arbitrario en un espaciométrico, y G una transformación uniparamétrica en M
G = {gt|t ∈ R} gt : M → M para cualquier t ∈ R
Si gt satisface:
� g0 = I
� gt+s = gt ◦ gs = gs ◦ gt
� gt(x) son continuos en t y x
Entonces el conjunto (M,G) es un sistema dinámico y M es el espacio
de fases.
F. Salas dic03– p.3/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicos
Tipos de sistemas dinámicos [Chen 99]
� Sistemas dinámicos continuos.
� Sistemas dinámicos diferenciables.
� Sistemas dinámicos discretos.
� Sistemas híbridos.
� Sistemas semidinámicos
Un sistema dinámico es la extensión de un sistema mecánico descritopor las ecuaciones diferenciales Newtonianas y describe todas las ór-bitas que pasan por todos los puntos del dominio de definición en elespacio de fases en función del tiempo. x = f(x, µ)
F. Salas dic03– p.4/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicos
Tipos de sistemas dinámicos [Chen 99]
� Sistemas dinámicos continuos.
� Sistemas dinámicos diferenciables.
� Sistemas dinámicos discretos.
� Sistemas híbridos.
� Sistemas semidinámicos
Un sistema dinámico es la extensión de un sistema mecánico descritopor las ecuaciones diferenciales Newtonianas y describe todas las ór-bitas que pasan por todos los puntos del dominio de definición en elespacio de fases en función del tiempo. x = f(x, µ)
F. Salas dic03– p.4/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosGeometría del flujo en dimensión 1:
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
PSfrag replacements x
t
−1 0 1x
−1 0 1
PSfrag replacements
xx0
γ+(x0)γ−(x0)
γ(x0)
� Campo de direcciones
� trayectoria
� campo de direcciones
� órbitas positiva y negativa
� diagrama de fases
� punto de equilibrio
� conjuntos α-limite y ω-límite
F. Salas dic03– p.5/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación: Cambio cualitativo en la estructura de órbitas de un sis-tema dinámico al variar uno o mas parámetros.
Cambio asociado al número y estabilidad de los atractores que puedenser:
� Estáticos (equilibrios);
� Estables (nodo o foco)
� Inestables (nodo o foco)
� Tipo silla
� Periódicos (ciclos límite);
� Extraños (atractores caóticos);
F. Salas dic03– p.6/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación: Cambio cualitativo en la estructura de órbitas de un sis-tema dinámico al variar uno o mas parámetros.
Cambio asociado al número y estabilidad de los atractores que puedenser:
� Estáticos (equilibrios);� Estables (nodo o foco)
x1
x2x2
x1
� Inestables (nodo o foco)
� Tipo silla
� Periódicos (ciclos límite);
� Extraños (atractores caóticos);
F. Salas dic03– p.6/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación: Cambio cualitativo en la estructura de órbitas de un sis-tema dinámico al variar uno o mas parámetros.
Cambio asociado al número y estabilidad de los atractores que puedenser:
� Estáticos (equilibrios);� Estables (nodo o foco)
� Inestables (nodo o foco)x1
x2 x2
x1
� Tipo silla
� Periódicos (ciclos límite);
� Extraños (atractores caóticos);
F. Salas dic03– p.6/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación: Cambio cualitativo en la estructura de órbitas de un sis-tema dinámico al variar uno o mas parámetros.
Cambio asociado al número y estabilidad de los atractores que puedenser:
� Estáticos (equilibrios);� Estables (nodo o foco)
� Inestables (nodo o foco)
� Tipo sillax1
x2
Ws
Wu
U
� Periódicos (ciclos límite);
� Extraños (atractores caóticos);
F. Salas dic03– p.6/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación: Cambio cualitativo en la estructura de órbitas de un sis-tema dinámico al variar uno o mas parámetros.
Cambio asociado al número y estabilidad de los atractores que puedenser:
� Estáticos (equilibrios);� Estables (nodo o foco)
� Inestables (nodo o foco)
� Tipo silla
� Periódicos (ciclos límite);
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
� Extraños (atractores caóticos);
F. Salas dic03– p.6/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación: Cambio cualitativo en la estructura de órbitas de un sis-tema dinámico al variar uno o mas parámetros.
Cambio asociado al número y estabilidad de los atractores que puedenser:
� Estáticos (equilibrios);� Estables (nodo o foco)
� Inestables (nodo o foco)
� Tipo silla
� Periódicos (ciclos límite);
� Extraños (atractores caóticos);
−30 −20 −10 0 10 20 30 40−50
050
1000
20
40
60
80
100
120
F. Salas dic03– p.6/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicos
Clasificación: Locales y Globales [Hale&Koçac 91], [Kutnetzov 95]
� Locales: Su aparición es un fenómeno local que es posiblecaptar analizando el sistema linealizado (Jacobiano) en elpunto de bifurcación. (por ejemplo: transcrítica, tridente, Hopf, ...)
� Globales: Son más complejas y en su producción estánimplicados fenómenos globales. No existe una forma clara ysencilla de determinación. (por ejemplo: conexión homoclina,conexión heteroclina, ...)
F. Salas dic03– p.7/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación silla-nodo x = x2 + c
PSfrag replacements
x(c > 0)
x(c = 0)
x(c < 0)
f(x)
xe
c
PSfrag replacementsx(c > 0)x(c = 0)x(c < 0)
f(x)
xe
F. Salas dic03– p.8/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación transcrítica x = x2 + cx
PSfrag replacements
f(x, c)
x
c < 0.
PSfrag replacements
f(x, c)
x
c = 0.
PSfrag replacements
f(x, c)
x
c > 0
PSfrag replacements
xe
c
F. Salas dic03– p.9/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosHistéresis x = c + x − x3
PSfrag replacementsf(x, c)
x(c = 23√
3)
x(c = 0)
x(c = −23√
3)
xe
cPSfrag replacements
f(x, c)
x(c = 23√
3)
x(c = 0)
x(c = −23√
3)
F. Salas dic03– p.10/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosPliegue o cúspide x = c + dx − x3
x
PSfrag replacementsc
d
4d3 = 27c2
F. Salas dic03– p.11/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación silla-nodo x1 = λ + x2
1
x2 = −x2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacementsx1
x2
x1
x2
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ > 0
PSfrag replacements
xe
λ
F. Salas dic03– p.12/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación tridente x1 = λ + x2
1
x2 = −x2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ > 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ < 0
PSfrag replacements
xe
λ
PSfrag replacements
xe
λ
supercrítica
PSfrag replacements
xe
λ
subcrítica
F. Salas dic03– p.13/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación tridente x1 = λ + x2
1
x2 = −x2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ > 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ < 0
PSfrag replacements
xe
λ
PSfrag replacements
xe
λ
supercrítica
PSfrag replacements
xe
λ
subcrítica
F. Salas dic03– p.13/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación vertical x1 = λx1 + x2
x2 = −x1 + λx2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ > 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ < 0
Se consiguen órbitas periódicas con un sistema lineal, pero no son es-tructuralmente estables.
F. Salas dic03– p.14/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación de HopfCondiciones de aparición de ciclos límite para un sistema :
x = f(x, µ) con x ∈ Rn y µ ∈ R con f(xe, µ0) = 0
Aparece un ciclo límite cuando un par de autovalores complejos deljacobiano A(µ) = Dxf(xe(µ), µ) crucen el eje imaginario, cumpliendola condición de transversalidad [Moiola&Chen 96]:
dRe(λ(µ))
dµ
∣
∣
∣
∣
µ=µ0
6= 0.
siendo µ0 el valor para el que A(µ0) tiene sólo un par de autovaloresimaginaros puros.
F. Salas dic03– p.15/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación de Hopf x1 = x2 + x1(λ − x2
1 − x2
2)
x2 = −x1 + x2(λ − x2
1 − x2
2)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ > 0
p1
p2
jw
s
PSfrag replacementsxe
λ
rx1
x2
00
PSfrag replacementsxe
λ λsupercrítica
jw
p1
p2
s
PSfrag replacementsxe
λ
x1
x2
r
0 0
PSfrag replacementsxe
λλsubcrítica
F. Salas dic03– p.16/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación de Hopf x1 = x2 + x1(λ − x2
1 − x2
2)
x2 = −x1 + x2(λ − x2
1 − x2
2)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2PSfrag replacements
x1
x2
x1
x2
λ > 0
p1
p2
jw
s
PSfrag replacementsxe
λ
rx1
x2
00
PSfrag replacementsxe
λ λsupercrítica
jw
p1
p2
s
PSfrag replacementsxe
λ
x1
x2
r
0 0
PSfrag replacementsxe
λλsubcrítica
F. Salas dic03– p.16/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación silla-nodo de órbitas periódicas
x1 = −x1 sen λ − x2 cos λ + (1 − x2
1− x
2
2)2 (x1 cos λ − x2 sen λ)
x2 = x1 cosλ − x2 sen λ + (1 − x2
1− x
2
2)2 (x1 sen λ + x2 cos λ)
SNOP
PSfrag replacements‖x‖
λπ
4π
2
H∞
H0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
0 < λ < π
4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
0 < λ < π
4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
π
4< λ < π
2
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
yλ > π
2
F. Salas dic03– p.17/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación silla-nodo de órbitas periódicas
x1 = −x1 sen λ − x2 cos λ + (1 − x2
1− x
2
2)2 (x1 cos λ − x2 sen λ)
x2 = x1 cosλ − x2 sen λ + (1 − x2
1− x
2
2)2 (x1 sen λ + x2 cos λ)
SNOP
PSfrag replacements‖x‖
λπ
4π
2
H∞
H0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
0 < λ < π
4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
0 < λ < π
4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
π
4< λ < π
2
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
yλ > π
2
F. Salas dic03– p.17/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación silla-nodo de órbitas periódicas
x1 = −x1 sen λ − x2 cos λ + (1 − x2
1− x
2
2)2 (x1 cos λ − x2 sen λ)
x2 = x1 cosλ − x2 sen λ + (1 − x2
1− x
2
2)2 (x1 sen λ + x2 cos λ)
SNOP
PSfrag replacements‖x‖
λπ
4π
2
H∞
H0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
0 < λ < π
4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
0 < λ < π
4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
π
4< λ < π
2
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
yλ > π
2
F. Salas dic03– p.17/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación silla-nodo de órbitas periódicas
x1 = −x1 sen λ − x2 cos λ + (1 − x2
1− x
2
2)2 (x1 cos λ − x2 sen λ)
x2 = x1 cosλ − x2 sen λ + (1 − x2
1− x
2
2)2 (x1 sen λ + x2 cos λ)
SNOP
PSfrag replacements‖x‖
λπ
4π
2
H∞
H0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
0 < λ < π
4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
0 < λ < π
4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
π
4< λ < π
2
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
yλ > π
2
F. Salas dic03– p.17/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación silla-nodo de órbitas periódicas
x1 = −x1 sen λ − x2 cos λ + (1 − x2
1− x
2
2)2 (x1 cos λ − x2 sen λ)
x2 = x1 cosλ − x2 sen λ + (1 − x2
1− x
2
2)2 (x1 sen λ + x2 cos λ)
SNOP
PSfrag replacements‖x‖
λπ
4π
2
H∞
H0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ < 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
0 < λ < π
4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
0 < λ < π
4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
π
4< λ < π
2
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
yλ > π
2
F. Salas dic03– p.17/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicos
Conexión homoclina
F. Salas dic03– p.18/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicos
Conexión heteroclina
F. Salas dic03– p.19/20
Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación Takens-Bogdanov x1 = x2
x2 = λ1 + λ2x1 + x2
1+ x1x2
� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �
� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �
� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �
� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �
� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
PSfrag replacements
H
SNa
SNb
1
2 3
4
CH
λ1
λ2
F. Salas dic03– p.20/20
top related