i introducción · 2007. 12. 19. · bifurcaciones en sistemas dinÆmicos sistema dinÆmico: sea m...

Índice

I Introducción

I Bifurcaciones en sistemas dinámicos

I Balance armónico

I Función descriptiva

F. Salas dic03– p.1/20

Introducción

� Los sistemas en ingeniería son no lineales.

� Métodos lineales en ingeniería insuficientes en determinadascondiciones (Ej. Colapso de tensión).

� Estabilidad y controlabilidad en sistemas lineales songlobales.

� Necesidad de recurrir a modelos no lineales para explicar lacomplejidad de los sistemas dinámicos.

� Problema local (control lineal) y global son distintos ⇒Análisis de bifurcaciones es necesario en el diseño decontroladores (estabilidad y robustez paramétrica).


Bifurcaciones en sistemas dinámicosSistema dinámico: Sea M un conjunto arbitrario en un espaciométrico, y G una transformación uniparamétrica en M

G = {gt|t ∈ R} gt : M → M para cualquier t ∈ R

Si gt satisface:

� g0 = I

� gt+s = gt ◦ gs = gs ◦ gt

� gt(x) son continuos en t y x

Entonces el conjunto (M,G) es un sistema dinámico y M es el espacio

de fases.


Bifurcaciones en sistemas dinámicos

Tipos de sistemas dinámicos [Chen 99]

� Sistemas dinámicos continuos.

� Sistemas dinámicos diferenciables.

� Sistemas dinámicos discretos.

� Sistemas híbridos.

� Sistemas semidinámicos

Un sistema dinámico es la extensión de un sistema mecánico descritopor las ecuaciones diferenciales Newtonianas y describe todas las ór-bitas que pasan por todos los puntos del dominio de definición en elespacio de fases en función del tiempo. x = f(x, µ)


Bifurcaciones en sistemas dinámicosGeometría del flujo en dimensión 1:

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

PSfrag replacements x

t

−1 0 1x

−1 0 1

PSfrag replacements

xx0

γ+(x0)γ−(x0)

γ(x0)

� Campo de direcciones

� trayectoria

� campo de direcciones

� órbitas positiva y negativa

� diagrama de fases

� punto de equilibrio

� conjuntos α-limite y ω-límite


Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación: Cambio cualitativo en la estructura de órbitas de un sis-tema dinámico al variar uno o mas parámetros.

Cambio asociado al número y estabilidad de los atractores que puedenser:

� Estáticos (equilibrios);

� Estables (nodo o foco)

� Inestables (nodo o foco)

� Tipo silla

� Periódicos (ciclos límite);

� Extraños (atractores caóticos);




� Estáticos (equilibrios);� Estables (nodo o foco)

x1

x2x2

x1


� Tipo silla







� Inestables (nodo o foco)x1

x2 x2

x1

� Tipo silla








� Tipo sillax1

x2

Ws

Wu

U








� Tipo silla


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y







� Tipo silla



−30 −20 −10 0 10 20 30 40−50

050

1000

20

40

60

80

100

120



Clasificación: Locales y Globales [Hale&Koçac 91], [Kutnetzov 95]

� Locales: Su aparición es un fenómeno local que es posiblecaptar analizando el sistema linealizado (Jacobiano) en elpunto de bifurcación. (por ejemplo: transcrítica, tridente, Hopf, ...)

� Globales: Son más complejas y en su producción estánimplicados fenómenos globales. No existe una forma clara ysencilla de determinación. (por ejemplo: conexión homoclina,conexión heteroclina, ...)


Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación silla-nodo x = x2 + c

PSfrag replacements

x(c > 0)

x(c = 0)

x(c < 0)

f(x)

xe

c

PSfrag replacementsx(c > 0)x(c = 0)x(c < 0)

f(x)

xe


Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación transcrítica x = x2 + cx

PSfrag replacements

f(x, c)

x

c < 0.

PSfrag replacements

f(x, c)

x

c = 0.

PSfrag replacements

f(x, c)

x

c > 0

PSfrag replacements

xe

c


Bifurcaciones en sistemas dinámicosHistéresis x = c + x − x3

PSfrag replacementsf(x, c)

x(c = 23√

3)

x(c = 0)

x(c = −23√

3)

xe

cPSfrag replacements

f(x, c)

x(c = 23√

3)

x(c = 0)

x(c = −23√

3)


Bifurcaciones en sistemas dinámicosPliegue o cúspide x = c + dx − x3

x

PSfrag replacementsc

d

4d3 = 27c2


Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación silla-nodo x1 = λ + x2

1

x2 = −x2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2PSfrag replacementsx1

x2

x1

x2

λ < 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2PSfrag replacements

x1

x2

x1

x2

λ = 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


x1

x2

x1

x2

λ > 0

PSfrag replacements

xe

λ


Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación tridente x1 = λ + x2

1

x2 = −x2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


x1

x2

x1

x2

λ > 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


x1

x2

x1

x2

λ = 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


x1

x2

x1

x2

λ < 0

PSfrag replacements

xe

λ

PSfrag replacements

xe

λ

supercrítica

PSfrag replacements

xe

λ

subcrítica


Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación vertical x1 = λx1 + x2

x2 = −x1 + λx2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


x1

x2

x1

x2

λ > 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


x1

x2

x1

x2

λ = 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


x1

x2

x1

x2

λ < 0

Se consiguen órbitas periódicas con un sistema lineal, pero no son es-tructuralmente estables.


Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación de HopfCondiciones de aparición de ciclos límite para un sistema :

x = f(x, µ) con x ∈ Rn y µ ∈ R con f(xe, µ0) = 0

Aparece un ciclo límite cuando un par de autovalores complejos deljacobiano A(µ) = Dxf(xe(µ), µ) crucen el eje imaginario, cumpliendola condición de transversalidad [Moiola&Chen 96]:

dRe(λ(µ))

dµ

∣

∣

∣

∣

µ=µ0

6= 0.

siendo µ0 el valor para el que A(µ0) tiene sólo un par de autovaloresimaginaros puros.


Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación de Hopf x1 = x2 + x1(λ − x2

1 − x2

2)

x2 = −x1 + x2(λ − x2

1 − x2

2)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


x1

x2

x1

x2

λ < 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


x1

x2

x1

x2

λ > 0

p1

p2

jw

s

PSfrag replacementsxe

λ

rx1

x2

00


λ λsupercrítica

jw

p1

p2

s


λ

x1

x2

r

0 0


λλsubcrítica


Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación silla-nodo de órbitas periódicas

x1 = −x1 sen λ − x2 cos λ + (1 − x2

1− x

2

2)2 (x1 cos λ − x2 sen λ)

x2 = x1 cosλ − x2 sen λ + (1 − x2

1− x

2

2)2 (x1 sen λ + x2 cos λ)

SNOP

PSfrag replacements‖x‖

λπ

4π

2

H∞

H0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

λ < 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

λ < 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

λ = 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

0 < λ < π

4

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

0 < λ < π

4

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

π

4< λ < π

2

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

yλ > π

2



Conexión homoclina



Conexión heteroclina


Bifurcaciones en sistemas dinámicosBifurcación Takens-Bogdanov x1 = x2

x2 = λ1 + λ2x1 + x2

1+ x1x2

� � � � � � � � ��

� � � � � � � ��

� � � � � ��

� � � � � ��

� � ��

� � ��

PSfrag replacements

H

SNa

SNb

1

2 3

4

CH

λ1

λ2


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