habilidad operativa

Al niño “Mayorcito” se le pide que obtenga como respuesta 6 en cada fila, utilizando las 4 operaciones fundamentales; si sólo puede utilizar raíces cuadradas , mas no otras raíces.

)(

¿Cuántas raíces cuadradas cree usted que el niño utilizará como mínimo?

999

888

777

666

555

6444

6333

6222

R espuesta : ....................

Como usted notará el niño “Mayorcito” tiene que utilizar sus habilidades aritméticas con un razonamiento que le permita resolver el desafío.En consecuencia el capítulo que desarrollamos ahora, titulado como "Habilidad Operativa" consiste en desarrollar problemas aritméticos, algebraicos, geométricos, que aparentemente son operativos; pero con ingenio y habilidad en las operaciones, se podrá resolver de manera más simple y menos operativa.

HABILIDAD OPERATIVA

Prof. Jenner Huamán Callirgos

MULTIPLICACIÓN POR 5

Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo

426 x 5 =?

426 x 5 = 426 x (

Veamos

= = 2130

23 x 5 = 2

230= 115

Más ejemplos

976 x 5 =2

9760= 4880

Para multiplicar por 5, al número se le agrega un cero a su derecha y el resultado se divide entre 2.

Para que practiques: 

648 x 5 = 

9737 x 5 =

MULTIPLICACIÓN POR 25

Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo

24 x 25 =?

24 x 25 = 24 x (

Veamos

= = 600

72 x 25 = = 1800

Más ejemplos

229 x 25 =4

22900= 5725

Para multiplicar por 25, al número se le agrega dos ceros a su derecha y el resultado se divide entre 4.

Para que practiques: 

124 x 25 = 

645 x 25 =

4

7200

DIVISIÓN POR 5

Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo

Veamos

= 77

Más ejemplos

= 6428

Para dividir por 5, al número se le multiplica por 2 y el resultado se divide entre 10, es decir, se cancela un cero o se corre la coma decimal un lugar hacia la izquierda.

Para que practiques: 

8125 : 5 = 

94540 : 5 =

= = 27

=?

10

770

10

2385

5

385

x

10

64280

10

2x32140

5

32140

MULTIPLICACIÓN POR 11

52 x 11 = ?

Ejemplo

Veamos

5 2 x 11 = 2

+75

3124 x 11 = ?Veamos

3 1 2 4 x 11= 463+

43++

Para que practiques: 

79 x 11 = 

4599 x 11 =

5675 x 11 = ?Veamos

5 6 7 5 x 11= 524+

26++

Cuando la suma parcial de dos cifras resulta un número de 2 cifras, se coloca la cifra de las unidades y se lleva la otra cifra para adicionar en el resultado del paso siguiente.

Escribo 2, llevo 1

13 + 111 + 1

5 + 1

MULTIPLICACIÓN POR 9; 99; 999; 9999; …

Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo

347 x 99 = 347(100 – 1) = 34700 – 347 = 34353

Para multiplicar cualquier número natural (N) por otro número natural que está formado íntegramente por cifras 9, al otro número (N) hay que agregarle a su derecha tantos ceros como cifras nueves hay, y al número que resultare le restamos el mismo número (N).

Es decir:

N x 999 … 99 =

“n” cifras

N000… 00 - N

“n” cifras

N representa a cualquier número natural.

Ejemplos

123 x 99 = 12300 – 123 = 12177

746 x 9999 = 7460000 – 746 = 7459254

Para que practiques: 

87 x 99 = 

23 x 9999 =

501 x 999 =

1007 x 99999 =

MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2 CIFRAS CADA UNO

21 X 14 = ?Veamos

Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo

2 1 x1 4

4

Producto de lasunidades (4x1)

Suma de los productosen aspa(4x2) + (1x1)

9

Producto de lascifras de lasdecenas(2x1)

2

Para que practiques: 

34 x 46 = 

53 x 67 =

87 x 77 =

98 x 93 =

Si en una o en más de las operaciones parciales resulta un número mayor 9, dejamos la cifra de las unidades y llevamos las cifras restantes para la siguiente operación.

EMPLEO DELCOMPLEMENTO ARITMÉTICO(C.A.)

¿Qué es el complemento aritmético?

Se denomina complemento aritmético (C.A) de un número natural a la cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior.

Ejemplo

Hallar el C.A. de a) 748b) 4578Resolución

a) C.A(748) =1000 – 748 = 252

b) C.A(4578) =10000 – 4578 = 5422

En general:

C.A(N) = 10K - N

K ® Número de cifras de “N”

Regla Práctica: Para hallar el complemento aritmético de un número, a partir de su mayor orden se restan las cifras de 9 y a la última cifra significativa de 10; si hay ceros al final éstos permanecen en el CA.

Ejemplo:

019

310468

CA( ) = 895317

CA( ) = 765500

005234

019

)d10)(c9)(b9)(a9(abcd C A =

Complementos Aritméticos en Otras Bases

C A(34(7)) = 72 – 34(7)

C A (429(11)) = 113 – 429(11)

C A (7251(8)) = 84 – 7251(8)

Método Práctico:

En General:C.A (N(B)) = )B(

K)B( N10

K: números de cifras de “N”

Ejemplo

Utilicemos el C.A. para calcular algunas multiplicaciones. Los factoresson muy cercanos a una potencia de diez.

Calcula el resultado al multiplicar: 992 x 991

1º Paso

Calculamos los C.A. y los multiplicamos. Al resultado le hemos colocado un cero en el lugar mostrado para que su número de cifras sea igual al de cada uno de los Factores.

992 x 991=

8 9x

…….072

2º Paso

Restamos de uno de los factores el C.A. del otro factor. Podríamos tomar por ejemplo el factor 992 y restarle 9(que es el C.A. de 991)

992 x 991= 0728 9

El producto será: 983072

983

Ejemplo

Calcula la suma de las cifras del resultado de: 999987 x 999993

1º Paso

999987 x 999993 =

13 7x

…….000091

Al resultado le colocamos 4 ceros para que su número de cifras sea igual al de cada uno de los factores.

2º Paso

999987 x 999993 =

7

999980000091La suma de cifras será:9+9+9+9+8+9+1 = 54

CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS

Ejemplo

CUADRADO DE UN NÚMERO CUALQUIERA

(N)2 = (N – a)(N + a) + a2

Donde “a” es el C.A. para ser un múltiplo de 10 una unidad inmediata superior o inferior.

Ejemplo

(106)2 = (106 – 6)(106 + 6) + 62

= (100)(112) + 36 = 11200 + 36 = 11236

(108)2 = (108 – 8)(108 + 8) + 82

= (100)(116) + 64 = 11600 + 64 = 11664

CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA EN LA CIFRA 5

Ejemplo

Con decimales:

Para que practiques

(85)2 =(34)2 =(52)2 =(86)2 =(93)2 =(235)2 =(555)2 =(1005)2 =

Se llama así a la cifra de las unidades, después de efectuar diferentes operaciones, lo cual sólo se realiza con las cifras de las unidades.

CIFRAS TERMINALES

Para números que terminen en 0, 1, 5 y 6

(...0)n = ...0 (...5)n = ...5(...1)n = ...1 (...6)n = ...6 Donde n Î Z+

Para números que terminan en 4 y 9

(...4)impar = ...4 (...9)impar = ...9(...4)par = ...6 (...9)par = ...1

Aquí notaremos que la última cifra del desarrollo dependerá de la naturaleza par o impar.

(...4)²=(...4)(...4)=....6(...4)3=(...4)(...4)(...4)= ....4(...4)4=(...4)(...4)(...4)(...4)= ....6(...4)5=(...4)(...4)(...4)(...4)(...4)=...4

(...9)²=(...9)(...9)=....1(...9)3=(...9)(...9)(...9)= ....9(...9)4=(...9)(...9)(...9)(...9)= ....1(...9)5=(...9)(...9)(...9)(...9)(...9)=...9

Para números que terminan en 2, 3, 7 y 8

En estos casos dividiremos el exponente entre 4 y si el residuo es 1; 2 ó 3 la cifra terminal de la base se multiplica dicha cantidad de veces; pero si la división es exacta entonces la cifra terminal se multiplica por si misma 4 veces.

ObservaciónSólo es necesario dividir las 2 últimas cifras del exponente.

Hallar la cifra terminal de A = (2143)4375

Ejemplo

Resolución

* A = (2143)4375 = (...3)75

Dividiendo:75 4

18

3 residuo la cifra terminal (...3) se repite 3 veces

35

A = (...3) (...3) (...3) = ...7

Respuesta.- A termina en cifra 7

3 veces

Hallar la cifra terminal de B = (3148)7473

B = (3148)7473 = (...8)73

Resolución

Dividiendo:73 4

18331 residuo la cifra terminal (...8)

se repite 1 veces

B = (...8) = ...8

1 vez

Hallar la cifra terminal de C = (31427)2148

Resolución

C = (31427)2148 = (...7)48

48 4 1208

0 residuo la cifra terminal (...7) se repite 4 veces

Dividiendo: C = (...7) (...7) (...7) (...7) =...1

Respuesta.- B termina en cifra 8

Respuesta.- C termina en cifra 1

“El que aprende y aprende y no practica lo que aprende, es como el que

ara y ara la tierra y no siembra”

Anónimo

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

MAXIMOLOMATEMATICOTORAZONAMIEN 129919

Hallar la cifra terminal de:

E =

Resolución

Respuesta: 6

Hallar la cifra terminal de A = (21474)1217 + (32879)3146

Resolución

Respuesta: 5

Hallar la suma de las cifras del resultado:

1)10003)(10002)(10001)(10000(

A =

Resolución

Respuesta: 5

Hallar el resultado de “P” si P = (999997) (999993)

Resolución

Resolver: E = 16 1)257x17x5x3x1(

Resolución

En qué cifra termina A = 55 x 54 x 53 x 52 x … x 1 A) 3 B) 5 C) 7 D) 0 E) 1.

Resolución

Calcular: a + b si: ab......)x7x5x3x1(

factores2003

4

A) 16 B) 25 C) 7 D) 10 E) 8 Resolución

•En qué cifra termina: RM)22MATEMATICA864MAMA(

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 5

Resolución

Calcular la suma de cifras del resultado:E = (12345678)2 – (12345676)2

 A) 36 B) 39 C) 41 D) 52 E) 24

Resolución

66

66

)yx()zy()zx( 666

•Si: x – y = y – z = , Calcular el valor de:

A) 6 B) 16 C) 26 D) 36 E) N.A.

A =

Resolución

Si: (x + y + z + w)2 = 4(x + z) (y + w)

Calcular: M =wzyx wzyx 33 333

Resolución

•Hallar el resultado de:1414

4242

180180180

540540540

121212

363636

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) N.A.

Resolución

Si a + b + c = 0; a ≠ b ≠ cHalle:

A) 1 B) 0 C) 6 D) 2 E) 1/2

Si

Halle: (K + A + R + E +N)

A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 40

Resuelve:

]5

A) 32 B) 64 C) 128 D) 256 E) 1024

Si (+)(+) = (-)(-),Calcule el valor de:

]5

A) 81 B) 64 C) 246 D) 0 E) 243

Si: = 8181

81 veces

Halle:

𝐸=(𝑏−1 ) (𝑏−1 ) (𝑏 −1)

A) 8 B) 16 C) 32 D) 4 E) 3