guía 3 cálculo iii
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Universidad de TarapacáDepartamento de MatemáticaIngenierías Cálculo III Guía 3
Derivadas parciales
1.- Señale si las siguientes aseveraciones son verdaderas o falsas, fundamentandoclaramente su respuesta:
a)@f
@x(x; y) = lim
(h;k)!(0;0)
f (x+ h; y + k)� f (x; y)h+ k
, si tal límite existe.
b)@f
@y(x; y) = lim
k!0
f (x; y + k)� f (x; y)k
, si tal límite existe.
c)@f
@x(�1; 4) = lim
h!0
f (�1 + h; 4)� f (�1; 4)h
, si tal límite existe.
d)@f
@y(0; 0) = lim
k!0
f (0; k)� f (0; 0)k
, si tal límite existe.
2. Para cada una de las funciones dadas, determine las derivadas parcialesrespecto a cada variables
a) f (x; y) =xy
x2 + y2b) f (x; y) =
ypx� y2
c) f (x; y) = lnxy
d) f (x; y; z) =px2 + y2 + z2 e) f (x; y; z) =
1px2 + y2 + z2
f). f (x; y; z; u) = arctan (4x+ 3y + 5z + u)
3. Encuentre@f
@x(x; y) y
@f
@y(x; y) si:
a) f (x; y) =
yZx
ln (sen t) dt b) f (x; y) =
yZx
ecos tdt
4. Sea f : R2 ! R de�nida como f (x; y) =
8>><>>:2xy2
x2 + y2si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
a) Determine@f
@x(x; y) y
@f
@y(x; y) en todos los puntos donde (x; y) 6= (0; 0)
1
b) Determine@f
@x(0; 0) y
@f
@y(0; 0) directamente de la de�nición.
c) Muestre que tanto f es discontínua en (0; 0) :
5. Sea � 2 R un parámetro real y la función de�nida
por: f (x; y) =
8>><>>:(x� �) y
(x� �)2 + y2si (x; y) 6= (�; 0)
0 si (x; y) = (�; 0)
a) Calcular, para cada �, si existen, las derivadas parciales en el punto (�; 0) :b) Veri�car si la función dada es contínua en el punto (�; 0).¿ Existe algúnproblema entre a) y b) ?
6.a) Si w = f(x; y; z), de�na los incrementos de x, y, z. (x0; y0; z0)?b) Enuncie la aproximación de f(x; y; z):¿Como se mide el error de aproxi-mación?c) ¿Qué signi�ca que f(x; y; z) sea diferenciable end) De�na diferencial total. De�na plano tangente.e) Evalúe por diferenciales f (1; 01; 0; 98) para f(x; y) = exy
f) Use diferenciales para estimar el cambio en la longitud de la diagonal espacialde una caja de dimensiones 200 cm, 200 cm y 100 cm, si éstos cambian a 201cm,202cm y 99cm, respectivamente.
7. Determine si la función f(x; y) =
( xy
x2 + y2si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0), tiene
plano tangente en (0; 0). determine si es diferenciable en(0; 0)
8. Determie la ecuación de todos los planos tangentes a la super�ciez = 5� x22 + 4y que son paralelos al plano xy.
9. Determine las segundas derivadas parciales de las funciones
a) f (x; y) = xy2 + 2x� 7 b) f (x; y) = x+ y sen 2x c) f (x; y; z) = xyz
d) f (x; y; z) = xyey+z + 5 e) z = x2 arctany
x
10. Determine las terceras derivadas parciales de las funciones del ejercicioanterior.
11. Muestre que las funciones dadas satisfacen la Ecuación de Laplace
bidimensional,@2u
@x2+@2u
@y2= 0
2
a) u (x; y) = ln�x2 + y2
�, (x; y) 6= (0; 0) b) u (x; y) = ex sen y
12. Sea f (x; y) =
8>><>>:x3y � xy3x2 + y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
a) Pruebe que f se anula sobre los ejes x e y y concluya que@f
@x(0; 0) y
@f
@y(0; 0) son iguales a cero.
b) Calcule@f
@x(x; y) y
@f
@y(x; y) para todos los puntos donde (x; y) 6= (0; 0)
y concluya que@f
@x(0; y) = �y y
@f
@y(x; 0) = x:
c) Muestre que@2f
@y@x(0; 0) =
@
@y
�@f
@x
�(0; 0) = lim
h!0
@f
@x(0;h)�
@f
@x(0;0)
h = �1
d) Muestre que@2f
@x@y(0; 0) =
@
@x
�@f
@y
�(0; 0) = lim
h!0
@f
@y(h;0)�
@f
@y(0;0)
h = +1
y concluya que las derivadas mixtas de f no son iguales en (0; 0) :
e) Calcule@2f
@x@y(x; y) para (x; y) 6= (0; 0) :
f) Use lo anterior para mostrar que@2f
@x@y(x; x) = 0 para x > 0:
g) Concluya que@2f
@x@y(x; y) es discontínua en el orígen.
13. Sea f(x; y) =1
2ln(x2 + y2) + arctan
y
x, hallar
�@ f
@x
�2+
�@f
@y
�2
14. Sea f(x; y) = arcsinx-yx+ y
, hallar x@f
@x+y@f
@y. .
15. Compruebe que �(x; y) =ax2 + by2
cx2 + dy2es solución de la ecuación diferencial
x@�
@x+y@�
@y.
3
16. Sea u(x; y) =xy
x+ y, compruebe que es solución de la ecuación diferencial
x2@2u
@x2+ 2xy
@2u
@x@y+ y2
@2u
@y2= 0
DERIVADA DIRECCIONAL, VECTOR GRADIENTE
17. Establezca la de�nición de la derivada direccional de una función:f : �Rn ! R en un punto P 2 . ¿ Qué interpretación puede atribuirle a estaderivada ?.
18. Si f : R2 ! R es de�nida por f (x; y) = 3x2 + 2y2 y u =1p5(1; 2),
encuentre Duf (3; 1)
19. Determine, la derivada direccional de las siguientes funciones, en los puntosy en las direcciones que se indican :
a) f (x; y; z) = exy + ln z en el punto P = (x; y; z) y en la dirección de
u =1p13(2; 0; 3).
b) f (x; y) = 2x2 � 3y2 en el punto P = (1; 0) y en la dirección de un vectorque forma un ángulo de 120� con el eje x.
c) f (x) = kxk , x 2 Rn en el punto x0 2 Rn y en la dirección de un vectoru 2 Rn:
20. De�na el gradiente de un campo escalar en un punto interior de su Dominio.
21. Determine el gradiente de las siguientes funciones:
a) f (x; y) =4x
x2 + y2b) f (x; y; z) =
px2 + y2 + z2
c) f (x; y; z) =1p
x2 + y2 + z2
d) f (x; y; z; w) = arctan (4w + 3x+ 5y + z) e) f(x; y) = arcsin�x� yx+ y
�22. Establezca una relación entre derivada direccional, gradiente y derivadaparcial.
4
23. Para cada caso, encuentre la derivada direccional de f en el punto P en ladirección del vector �!v dados.a) f (x; y) = 3x2y , P = (�2; 1) y �!v = (2; 3).
b) f (x; y; z) = ln�x2 + 2y2 + z2
�, P = (2; 1; 1) y �!v = (�1; 2; 3) .
c) f (t; x; y; z) = tx2yz2 , P = (2; 1;�1; 2) y �!v = (1;�1; 2; 3)
24. Pruebe que si f : � R2 ! R función entonces
Duf (x; y) =@f
@xcos � +
@f
@ysen �,
donde � es el ángulo que forma el vector u con el eje x:
25. Determine la derivada direccional de f (x; y) = ex cos y en el punto P =(0; 0) en la dirección que forma un ángulo de 60� con el eje x:
26. Hallar la derivada direccional de f (x; y; z) = xey + yex � z2 en el puntoP = (3; 0; 2) en la dirección que apunta hacia el punto Q = (4; 1; 3) :
27. Para f (x; y) = x� y � z, hallar en el punto P = (1; 2; 3)a) La máxima derivada direccional. b) La dirección en que se obtiene a).c) La derivada en la dirección v = (1;�2; 0) :
28. Determine la mayor y la menor derivada direccional y su módulo, de lassiguientes funciones:
a) f (x; y) = x2 + y2 en P = (2; 3) b) h (x; y) = xy + 2x2 + 3y2 en P = (5; 3)
c) g (x; y; z) = xyz + 3x2y3z + z4 + x3y3z5. en P = (1; 5; 2)
29. Dada la función diferenciable f(x; y) tal que:
D�!v f(1; 2) = 2, si �!v = 1
2p2(2; 2)
D�!v f(1; 2) = �2, si �!v = 1p2(1;�1):
Determinar:rf(1; 2) y D�!v f(12); si �!v = (4; 6).
5
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