guía 2 cálculo iii

Universidad de TarapacáDepartamento de MatemáticaCálculo III Guía # 2

1. Para los siguientes conjuntos de IR2 determine: el interior, la frontera, surepresentación grá�ca, si son o no acotados

a)A = f(x; y) : �1 � x � 1; y < 0g. b)B = f(x; y) : x = 1; 1 < y < 2g:c) C = f(x; y) : x � 1; 0 � y � 2xg. d) D = f(x; y) : 2x+3y�5 = 0g:e) E = f(x; y) : x2 + 3y2 � 2g. f) F = f(x; y) : x2 + 3y2 < 2g:g) G = f(x; y) : x2 � 3y2 = 2g. h) H = f(x; y) : y > x2g

2. Considere una función f : V � IRn �! IR. Señale el valor de verdadde las siguientes a�rmaciones, fundamentando su respuesta:

a) domf = V = f�!x = (x1;x2; ::::; xn) 2 V � IRn = 9 z = f (�!x ) 2 IRgb) recf = fz 2 IR = z = f (x1;x2; ::::; xn)gc) Gr�afico(f) = f(x1;x2; ::::; xn; z) = z = f (x1;x2; ::::; xn)g � IRn+1d) Si V � IR2, entonces para la función f : V �! IR, su dominio es unsubconjunto del plano, su recorrido es un subconjunto de los números realesy su grá�co está contenido en el espacio.

3. En relación al grá�co de una función f : IR2 �! IR, ¿qué representan lastrazas?, ¿qué representan las curvas de nivel?, ¿qué posible utilidad puedenprestar?. Explique claramente.

4. Determine el dominio de las siguientes funciones, esboce su grá�co (deldominio), señale si se trata de un conjunto abierto y/o cerrado o ni abiertoni cerrado, indique la frontera y si es acotado.. Señale, cuando sea posible,las trazas y las respectivas curvas de nivel. �nalmente esboce el gra�co de lafunción en cada caso.a) f(x; y) =

xy

x2 + y2b) f(x; y) =

p25� x2 � y2 c) f(x; y) = xp

x2 + y2 � 9

d) f(x; y) =

px2 + y2 � 9

xe) f(x; y) = xy f) f(x; y) =

1

xy

g) f(x; y) = arcsin (x+ y) h) f(x; y) = ln(xy) i) f(x; y) = sin(x�y)

5. De�na el límite de una función de dos variables

1

6. Calcular los límites

a) lim(x;y)!(1;1)

�x2 � 1x� 1 +

y � 1y2 � 1

�b) lim

(x;y)!(1;1)

(x3 � 1) (y4 � 1)(x� 1) (y2 � 1)

c) lim(x;y)!(0;0)

(1 + x2y)1x2 d) lim

(x;y)!(0;0)

�x sin

�1

y

�+ y sin

�1

x

��e) lim

(x;y)!(2;0)

2x+ ln (1 + xy)

1 + x+ yf) lim

(x;y)!(0;0)

px2 + y2 � 1x2 + y2 � 1 +

x2 + xy2

x2 + y3

!

g) lim(x;y;z)!(1;2;1)

3xyz

2xy2 + 4zh) lim

(x;y;z)!(2;1;3)ye2x�3y+z

7. Dadas las funciones f(x; y), calcular los límites dados siguiendo caminosparticulares que pasen por el punto (x0; y0) indicado

a) f(x; y) =xy

x2 + y2, (x0; y0) = (0; 0)

i) Límites iterados.ii) A lo largo de familias de rectas que pasen por el origen.

b) f(x; y) =y3

x2 + y2, (x0; y0) = (0; 0)

c) f(x; y) =x2y2

x2 + y2, (x0; y0) = (0; 0)

i) Límites iterados.ii) A lo largo de familias de rectas que pasen por el origen.

d) f(x; y) =xy

jxj+ jyj ; (x0; y0) = (0; 0)

e) f(x; y) = ln�1� x1� y

�, (x0; y0) = (1; 1); x, y < 1

i) Límites iterados.ii) A lo largo de familias de rectas que pasen por el punto (1; 1):

f) f(x; y) =x2y � 6xy � x2 + 6x� 9y � 9

(x� 3)2 + (y � 1)2, (x0; y0) = (3; 1)

i) Recta que pasa por el origen y por el punto (3; 1).ii) A lo largo de la parábola y = (x� 3)2 + 1

8. Sea f(x; y; z) =xyz

x3 + y3 + z3. ¿Dónde está de�nido este campo?

Determine si existe lim(x;y;z)!(0;0;0)

f(x; y; z), considere los límites iterados y

el límite a lo largo de la recta x = y = z:

2

9. Analice la continuidad de

a) f(x; y) =

( exy � 1x

si (x; y) 6= (0; 0)1 si (x; y) = (0; 0)

b) g(x; y) =

8<:x2y2

x4 + y4si (x; y) 6= (0; 0)

1 si (x; y) = (0; 0)

10. Sea la función f(x; y) =

8<:x3y

x6y2si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0; 0)a) Calcular el límite de f cuando (x; y) tiende a (0; 0) a lo largo de las rectasy = kx:b) Calcular el límite de f cuando (x; y) tiende a (0; 0) a lo largo de la curvay = x3.c) ¿Es f continua en (0; 0)?

11. Analice la continuidad de

a) f(x; y) =

( exy � 1x

si (x; y) 6= (0; 0)1 si (x; y) = (0; 0)

b) g(x; y) =

8<:x2y2

x4 + y4si (x; y) 6= (0; 0)

1 si (x; y) = (0; 0)

12. Sea la función f(x; y) =

8<:x3y

x6y2si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0; 0)a) Calcular el límite de f cuando (x; y) tiende a (0; 0) a lo largo de las rectasy = kx:b) Calcular el límite de f cuando (x; y) tiende a (0; 0) a lo largo de la curvay = x3.c) ¿Es f continua en (0; 0)?

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