geometría proyectiva

Geometría Proyectiva

UN POCO DE HISTORIA…

Origen de la geometría proyectivaRenacimientoSiglo XV-XVI

Métodos de perspectiva

Puntos de fuga

Filipp Brunelleschi (1377-1446) El primer artista del Renacimiento en tener una teoría sobre las leyes que rigen una interpretación del espacio tridimensional sobre un soporte bidimensional

Leone Battista Alberti (1404-1472)

Artista que adoptó y puso por escrito los principios de Brunelleschi, en Della Pintura.

La Flagelación de Cristo, 1469. Piero de la Francesca.

LA ULTIMA CENA DE GIOTTO DI BONDONE.

LA ULTIMA CENA DE LEONARDO DA VINCI.

LA ANUNCIACIÓN DE FRA ANGELICO.

Gerard Desargues Publicó en 1639

un tratado donde busca profundizar la teoría sobre las perspectiva.

Se lo considera precursor de la geometría proyectiva.

CURIOSIDADES

Anamorfosis

Es una deformación reversible de una imagen Es un efecto perspectivo utilizado en arte. Producida mediante un procedimiento óptico (espejo curvo) o a través de un procedimiento matemático. Obliga al espectador a colocarse en un punto especial y único para interpretar la imagen.

Los embajadores de Hans Holbein

Los embajadores de Hans Holbein

Señales viales en el pavimento

¿Cómo hacer un dibujo anamórfico?

Trazamos una cuadricula sobre el dibujo que se quiere convertir en imagen anamorfica.

A continuación se procede a distorsionar la red de la siguiente forma.

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Actividad para alumnos del nivel medio

Utilizando los procedimientos para realizar un dibujo anamórfico, transforma la siguiente imagen.

Habitación de Ames

La Habitación de Ames (Ilusión Óptica)(240p_H.263-MP3).flv

PROYECCIONES

Proyecciones

Proyección Central

Dado un par de planos π y π´ y un punto O fuera de

ellos, la imagen de cada punto P de π es

el punto P´ en π´, que está en la misma recta que pasa por P

y por O.

Proyección Paralela

Dados un par de planos π y π´ y una recta dada que los interseque pero no

pertenezca a ninguno de ellos, la imagen de cada punto P de π es el punto P´ en π´ que

está en la paralela a la recta dada que pasa

por P.

Propiedades de las proyecciones

Un punto se proyecta en un punto.

Una recta se proyecta en una recta

Si un punto esta en una recta, la proyección del punto estará

en la proyección de la recta y si una recta pasa por un punto la

proyección de la recta pasara por la proyección del punto

Si tres puntos están en una misma recta, sus proyecciones

estarán en una misma recta

Si tres rectas pasan por un mismo punto, sus proyecciones

pasaran por un mismo punto

Dilataciones-Homotecia Dilataciones: transformaciones que cambian una figura en una figura semejante.Conserva los ángulos y la alineación.Las distancias se incrementan o disminuyen en la misma razón.A´B´=kAB

K=1, isometrías

Actividad para alumnos del nivel medio

Dibuje en el geogebra un hexágono regular de perímetro 14,36. Realiza una homotecia de centro O razón 0,4 ¿cuánto mide el perímetro de la figura homotética? resize.swf

Semejanza en espiral

La suma de una dilatación y un giro (α≠0° α≠180°) es una semejanza que conserva ángulos tanto en magnitud como en signo. Se llama rotación dilatada o semejanza en espiral

Se determina por su centro O, su razón K, y el ángulo de rotación α. Se denota O(k,α)

o

A´

B´

BA

TEOREMAS

Teorema de Menelao

Si los X, Y, Z, puntos de los lados BC, CA, AB (convenientemente prologadas), del triángulo ABC

están alineados, entonces: 𝑩𝑿𝑪𝑿𝑪𝒀𝑨𝒀𝑨𝒁𝑩𝒁= 𝟏

Recíprocamente si X, Y, Z están en cada uno de los tres lados (o sus prolongaciones) de manera tal que: 𝐵𝑋𝐶𝑋𝐶𝑌𝐴𝑌𝐴𝑍𝐵𝑍= 1 entonces X, Y, Z están alineados

Teorema de Pappus

Teorema de PappusEnunciado

Si E, C, A son tres puntos de una recta; B, F, D de otra, y si las tres rectas AB, CD, EF cortan a DE, FA, BC, respectivamente, entonces los tres puntos de intersección L, M, N están alineados.

A

C

E

B DF

L MN

Teorema de Desargues

GERARD DESARGUES

FUNDADOR DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

ESCRIBE EL PRIMER TRATADO SOBRE EL TEMA EN1693

UNO DE LOS PRIMEROS TEOREMAS PROYECTIVOS

EnunciadoSi dos triángulos ABC y A’B’C’ en un plano están situados de tal manera que las rectas que unen los vértices correspondientes ( A y A’, B y B’, C y C’) se cruzan en un punto O, entonces los pares de lados correspondientes se intersecan en tres puntos que están situados en una misma recta.

Teorema de Desargues

Demostración

Teorema de PascalBlaise Pascal (1623-1662) Filósofo, físico y

matemático francés.

Teorema de Pascal

“En todo hexágono inscripto en una circunferencia, los puntos de intersección de los lados opuestos, son colineales”.Hipótesis: ABCDEF es un hexágono cualquiera inscripto en una circunferencia.

Tesis: MI NH LG 1 MG NI LH

Demostración:

AG FH MI 1 BG NH CI 1 LG EH DI 1

AH FI MG BH NI CG LH EI DG

MI NH LG 1 MG NI LH

Razón doble

DEFINICIÓN: Cuatro puntos distintos cualesquiera A, B, C, D determinan un número {ABCD} llamado razón doble de los puntos en ese orden; está definida en términos de cuatro de sus distancias recíprocas por la fórmula:

{ABCD} = AC.BD/AD.BC La razón doble es un invariante en la geometría proyectiva, por lo cual decimos que una aplicación es una

transformación proyectiva si y solo si conserva la razón doble.

Cuaternas Armónicas

DEFINICIÓN: Se dice que cuatro puntos A, B, C, D de una recta forman una cuaterna armónica si su razón doble es igual a -1.

{ABCD} = -1