geometría proyectiva
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Geometría Proyectiva
UN POCO DE HISTORIA…
Origen de la geometría proyectivaRenacimientoSiglo XV-XVI
Métodos de perspectiva
Puntos de fuga
Filipp Brunelleschi (1377-1446) El primer artista del Renacimiento en tener una teoría sobre las leyes que rigen una interpretación del espacio tridimensional sobre un soporte bidimensional
Leone Battista Alberti (1404-1472)
Artista que adoptó y puso por escrito los principios de Brunelleschi, en Della Pintura.
La Flagelación de Cristo, 1469. Piero de la Francesca.
LA ULTIMA CENA DE GIOTTO DI BONDONE.
LA ULTIMA CENA DE LEONARDO DA VINCI.
LA ANUNCIACIÓN DE FRA ANGELICO.
Gerard Desargues Publicó en 1639
un tratado donde busca profundizar la teoría sobre las perspectiva.
Se lo considera precursor de la geometría proyectiva.
CURIOSIDADES
Anamorfosis
Es una deformación reversible de una imagen Es un efecto perspectivo utilizado en arte. Producida mediante un procedimiento óptico (espejo curvo) o a través de un procedimiento matemático. Obliga al espectador a colocarse en un punto especial y único para interpretar la imagen.
Los embajadores de Hans Holbein
Los embajadores de Hans Holbein
Señales viales en el pavimento
¿Cómo hacer un dibujo anamórfico?
Trazamos una cuadricula sobre el dibujo que se quiere convertir en imagen anamorfica.
A continuación se procede a distorsionar la red de la siguiente forma.
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
Actividad para alumnos del nivel medio
Utilizando los procedimientos para realizar un dibujo anamórfico, transforma la siguiente imagen.
Habitación de Ames
La Habitación de Ames (Ilusión Óptica)(240p_H.263-MP3).flv
PROYECCIONES
Proyecciones
Proyección Central
Dado un par de planos π y π´ y un punto O fuera de
ellos, la imagen de cada punto P de π es
el punto P´ en π´, que está en la misma recta que pasa por P
y por O.
Proyección Paralela
Dados un par de planos π y π´ y una recta dada que los interseque pero no
pertenezca a ninguno de ellos, la imagen de cada punto P de π es el punto P´ en π´ que
está en la paralela a la recta dada que pasa
por P.
Propiedades de las proyecciones
Un punto se proyecta en un punto.
Una recta se proyecta en una recta
Si un punto esta en una recta, la proyección del punto estará
en la proyección de la recta y si una recta pasa por un punto la
proyección de la recta pasara por la proyección del punto
Si tres puntos están en una misma recta, sus proyecciones
estarán en una misma recta
Si tres rectas pasan por un mismo punto, sus proyecciones
pasaran por un mismo punto
Dilataciones-Homotecia Dilataciones: transformaciones que cambian una figura en una figura semejante.Conserva los ángulos y la alineación.Las distancias se incrementan o disminuyen en la misma razón.A´B´=kAB
K=1, isometrías
Actividad para alumnos del nivel medio
Dibuje en el geogebra un hexágono regular de perímetro 14,36. Realiza una homotecia de centro O razón 0,4 ¿cuánto mide el perímetro de la figura homotética? resize.swf
Semejanza en espiral
La suma de una dilatación y un giro (α≠0° α≠180°) es una semejanza que conserva ángulos tanto en magnitud como en signo. Se llama rotación dilatada o semejanza en espiral
Se determina por su centro O, su razón K, y el ángulo de rotación α. Se denota O(k,α)
o
A´
B´
BA
TEOREMAS
Teorema de Menelao
Si los X, Y, Z, puntos de los lados BC, CA, AB (convenientemente prologadas), del triángulo ABC
están alineados, entonces: 𝑩𝑿𝑪𝑿𝑪𝒀𝑨𝒀𝑨𝒁𝑩𝒁= 𝟏
Recíprocamente si X, Y, Z están en cada uno de los tres lados (o sus prolongaciones) de manera tal que: 𝐵𝑋𝐶𝑋𝐶𝑌𝐴𝑌𝐴𝑍𝐵𝑍= 1 entonces X, Y, Z están alineados
Teorema de Pappus
Teorema de PappusEnunciado
Si E, C, A son tres puntos de una recta; B, F, D de otra, y si las tres rectas AB, CD, EF cortan a DE, FA, BC, respectivamente, entonces los tres puntos de intersección L, M, N están alineados.
A
C
E
B DF
L MN
Teorema de Desargues
GERARD DESARGUES
FUNDADOR DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA
ESCRIBE EL PRIMER TRATADO SOBRE EL TEMA EN1693
UNO DE LOS PRIMEROS TEOREMAS PROYECTIVOS
EnunciadoSi dos triángulos ABC y A’B’C’ en un plano están situados de tal manera que las rectas que unen los vértices correspondientes ( A y A’, B y B’, C y C’) se cruzan en un punto O, entonces los pares de lados correspondientes se intersecan en tres puntos que están situados en una misma recta.
Teorema de Desargues
Demostración
Teorema de PascalBlaise Pascal (1623-1662) Filósofo, físico y
matemático francés.
Teorema de Pascal
“En todo hexágono inscripto en una circunferencia, los puntos de intersección de los lados opuestos, son colineales”.Hipótesis: ABCDEF es un hexágono cualquiera inscripto en una circunferencia.
Tesis: MI NH LG 1 MG NI LH
Demostración:
AG FH MI 1 BG NH CI 1 LG EH DI 1
AH FI MG BH NI CG LH EI DG
MI NH LG 1 MG NI LH
Razón doble
DEFINICIÓN: Cuatro puntos distintos cualesquiera A, B, C, D determinan un número {ABCD} llamado razón doble de los puntos en ese orden; está definida en términos de cuatro de sus distancias recíprocas por la fórmula:
{ABCD} = AC.BD/AD.BC La razón doble es un invariante en la geometría proyectiva, por lo cual decimos que una aplicación es una
transformación proyectiva si y solo si conserva la razón doble.
Cuaternas Armónicas
DEFINICIÓN: Se dice que cuatro puntos A, B, C, D de una recta forman una cuaterna armónica si su razón doble es igual a -1.
{ABCD} = -1