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Funciones exponenciales Funciones exponenciales

y logaritmicasy logaritmicas

1

Temas

• Funciones Exponenciales

• Funciones logarítmicas

• Leyes de los logarítmos

• Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

• Examen

2

Funciones Exponenciales Funciones Exponenciales

33

Esquema del capítulo

• Se estudia una nueva forma de funciones llamadas funciones exponenciales.

• Las funciones exponenciales son apropiadas para modelar el crecimiento poblacional para los seres vivos.

4

Ejemplos:

5

xxf 2)( Es una función exponencial con base 2.

82)3( 3 f

Veamos con la rapidez que crece:

10242)10( 10 f

824,741,073,12)30( 30 f

Funciones Exponenciales

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:

6

xaxf )(donde 0;0 aa

Ejemplos de funciones exponenciales:

xxf 2)( xxh 3)( xxq 10)(

Base 2 Base 3 Base 10

Ejemplo 1:Ejemplo 1:Evaluación de funciones exponencialesEvaluación de funciones exponenciales

7

Sea y evalúe lo siguiente: xxf 3

2) fa

3

2) fb

2) fc

932

4807.03 32

7288.43 2

Ejemplo estructural Ejemplo estructural

8

El arco Gateway en San Luis, Missouri Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una combinación de funciones exponenciales, no una parábola como pareceria. Es una función de la forma:

)( bxbx eeay Se eligió esta forma porque es óptimo para dirtibuir las fuerzas estructurales internas del arco.

Función Exponencial NaturalFunción Exponencial Natural

9

La función exponencial natural función exponencial natural es la función exponencial

xexf )(con base ee. Es común referirse a ella como la función exponencial.

xexf )(

Ejemplo:Ejemplo:Evaluar la función exponencialEvaluar la función exponencial

10

Evalúe cada expresión correcta hasta cinco decimales.

Solución:

8.4

53.0

3

)

2)

)

ec

eb

ea

51042.121

17721.1

08554.20

Ejemplo:Ejemplo:Modelo exponencial para la diseminación de un virusModelo exponencial para la diseminación de un virus

11

Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

tetv

97.012455

10000)(

Contesta:a)Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)

b) Calcule el número de personas infectadas despues de un día y depués de cinco días.

c) Grafique la función y describa el comportamiento.

Solución:Solución:Ejemplo anteriorEjemplo anterior

12

a) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).

81250

10000

12455

10000)(

0

etv

8 personas tienen inicialmente la enfermedad.

b) Calcule el número de personas infectadas después de un día y cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)

Días Personas infectadas

1 21

2 54

5 678

Solución:Solución:Ejemplo anterior (cont)Ejemplo anterior (cont)

13

c) Grafique la función y describa el comportamiento.

El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.

0 12

2000

Interes compuestosInteres compuestos

14

El interés compuesto se calcula mediante la fórmula

nt

n

rPtA

1)(

donde: A(t) = cantidad después de t años

P = principal

r = tasa de interés por año

n = número de veces que el interés se compone por año

t = número de años

EjemploEjemploCálculo del interés compuestoCálculo del interés compuesto

15

Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario.

Solución:Datos

P = 1000

r = 12% = 0.12

t = 3

EjemploEjemploCálculo del interés compuestoCálculo del interés compuesto

16

Capitalización n Cantidad después de tres años

Anual 1

Semianual 2

Trimestral 4

Mensual 12

Diaria 365

93.14041

12.011000

)3(1

52.14182

12.011000

)3(2

76.14254

12.011000

)3(4

77.143012

12.011000

)3(12

24.1433365

12.011000

)3(365

Interés Interés compuesto en forma continuacompuesto en forma continua

• El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula

donde A(t) = cantidad después de t años

P = principal

r = tasa de interés por año

t = número de años

17

rtPetA )(

EjemploEjemploCalcular el interés compuesto de manera continuaCalcular el interés compuesto de manera continua

• Calcule la cantidad después de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado de forma continua.

• Solución:

Datos: P = 1000

r = 0.12

t = 3

18

33.143310001000)3( 36.03)12.0( eeA

PetA )( rt

Se puede comparar con el ejemplo anterior.Se puede comparar con el ejemplo anterior.

Funciones Logarítmicas Funciones Logarítmicas

19

Definición Definición de la función logarítmicade la función logarítmica

• Sea a un número positivo con . La función logarítmica con base a, denotada por

, se define

Así, es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x.

20

1a

alog

xayx ya log

xalog

ComparaciónComparación

21

Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica

xa y

Logarítmica: Exponencial:

yxa log

Base

Exponente

Base

Exponente

En ambas formas la base es la misma.En ambas formas la base es la misma.

EjemploFormas logarítmicas y exponenciales

22

Forma LogarítmicaForma Logarítmica Forma ExponencialForma Exponencial

5100000log10

38log2

32

1log2

rs 5log

100000105

823

8132

sr 5

Evaluación de logarítmosEvaluación de logarítmos

23

31000log10

532log2

11.0log10

2

14log16

1000103

3225

1.010

110 1

416 21

Propiedad de los logarítmosPropiedad de los logarítmos

© copywriter 24

Propiedad Razón

Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1.

Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a.

Se debe elevar a a la potencia x para obtener .

es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x.

xa

xalog

01log a

1log aa

xa xa log

xa xa log

EjemploEjemploAplicación de las propiedades logarítmicasAplicación de las propiedades logarítmicas

25

125

85log

15log

01log

12log

85

5

5

5

Propiedad 1

Propiedad 2

Propiedad 3

Propiedad 4

EjemploEjemploGraficación de funciones logarítmicasGraficación de funciones logarítmicas

26

xxf 2log)(

Traza la gráfica de

Solución:

xxf 2log)(

x

3

2

1

0

-1

-2

-3

x2log32

2212

120 12

22

32

Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos.

Familia de Funciones Familia de Funciones LogarítmicasLogarítmicas

27

xy 2log

xy 3log

xy 10logxy 5log

Logarítmos ComunesLogarítmos ComunesVeamos logarítmos con base 10Veamos logarítmos con base 10

28

Definición:

Logarítmo comúnLogarítmo común

El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se denota omitiendo la base:

xx 10loglog

29

De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que:

log 10 = 1

log 100 = 2

Cómo se calcula log 50?

No tenemos un número tal que , 1 es pequño y 2 es demasiado grande.

5010 y

250log1 5

Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da los valores de manera directa de los logaritmos comunes.

EjemploEvaluación de logarítmos comunes

30

Use una calculadora para hallar los valores apropiados de Use una calculadora para hallar los valores apropiados de f(x) = log xf(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica., use los valores para bosquejar una gráfica.

x Log x

0.01

0.1

0.5

1

4

5

10

-2

-1

-0.30

0

0.602

0.699

1

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 5 6

xxf log)(

© copywriter 31

Propiedades de los logarítmos naturales

Propiedad Razón

xe

xe

e

x

x

ln

ln

1ln

01ln Se tiene que elevar e a la potencia 0 para obtener 1.

Se tiene que elevar e a la potencia 1 para obtener e.

ln x es la potencia a la cual e debe ser elevada para obtener x.

Se tiene que elevar e a la potencia x para obtener .

xe

EjemploElevar la función logaritmo natural

© copywriter 32

5ln)

1ln)

ln)

2

8

c

eb

ea

8

2ln 2 e

609.1

Definición de logarítmo natural

Definición de logarítmo natural

Uso de la calculadora

33

Funciones Logarítmicas Funciones Logarítmicas

Leyes de los logarítmosLeyes de los logarítmos

34

En esta sección se estudian las propiedades de En esta sección se estudian las propiedades de los logarítmos. Estas propiedades dan a las los logarítmos. Estas propiedades dan a las funciones logarítmos una amplia variedad de funciones logarítmos una amplia variedad de aplicaciones.aplicaciones.

Ya que los logarítmos son exponentes, las Ya que los logarítmos son exponentes, las leyes de los exponentes dan lugar a las leyes leyes de los exponentes dan lugar a las leyes de los logarítmos.de los logarítmos.

Leyes de los logarítmosLeyes de los logarítmos

35

Leyes de los logarítmos

Sea a un número positivo, con . Sea A, B y C números Sea a un número positivo, con . Sea A, B y C números reales cualesquiera con . reales cualesquiera con .

Ley DescripciónLey Descripción

1a00 yBA

ACA

BAB

A

BAAB

ac

a

aaa

aaa

loglog)3

logloglog)2

loglog)(log)1

El logarítmos de un producto de números es la suma de los logarítmos de los números.

El logarítmo de un cociente de números es la diferencia de los logarítmos de los números.

El logarítmo de una potencia de un número es el exponente multiplicado por el logarítmo de número.

EjemploEjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresionesUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones

36

Evalúe cada expresión:

8log3

1)

5log80log)

32log2log)

22

44

c

b

a

EjemploEjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresionesUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones

37

364log

)32.2(log

4

4

32log2log) 44 a

BAAB aaa loglog)(log)1

Propiedad utilizada:

EjemploEjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresionesUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones

38

5log80log) 22 b

416log5

80log

2

2

BAB

Aaaa logloglog)2

Propiedad utilizada:

EjemploEjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresionesUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones

39

8log3

1) c

301.0

)2log()1log(2

1log

2

1

2

1

8

1

8

1log

8log

3 3331

31

ACA ac

a loglog)3

Propiedad utilizada:

EjemploEjemploExpandir expresiones logarítmicasExpandir expresiones logarítmicas

40

Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cada expresión.

3

635

2

ln)

log)

)6(log)

c

abc

yxb

xa

cba

cba

cab

yx

yx

x

ln3

1lnln

lnlnln

ln)ln(

log6log3

loglog

log6log

31

3

55

35

35

22

Ley 1

Ley 1

Ley 3

Ley 2

Ley 1

Ley 3

EjemploEjemploCombinar expresiones logarítmicasCombinar expresiones logarítmicas

41

)1log(2

1log3) xxa

Combinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:

213

213

)1(log(

)1log(log

xx

xx

)1ln(4ln2

1ln3) 2 ttsb

42

3

42213

42213

1ln

)1ln()ln(

)1ln(lnln

t

ts

tts

tts

Cambio de baseCambio de base

• Sea:

• Entonces se forma de manera exponencial:

• Se toma el logarítmo base a en cada lado:

• Ley 3 de logarítmo:

• Se divide entre ambos logarítmos:

42

xy blog

xb y

xb ay

a loglog xby aa loglog

b

xy

a

a

log

log

Fórmula de cambio de baseFórmula de cambio de base

43

b

xy

a

a

log

log

Por consiguiente, si x = a, entonces y esta fórmula se convierte en:

1log aa

ba

ab log

1log

Fórmula de cambio de baseFórmula de cambio de baseEvaluar logarítmos con la fórmula de cambio de baseEvaluar logarítmos con la fórmula de cambio de base

44

20log)

5log)

9

8

b

aSe usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10:

77398.08log

5log5log

10

108

Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e:

36342.19ln

20ln20log9

Nota: Se tiene la misma respuesta si se usa ó ln.

10log

Ecuaciones Exponenciales Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas y Logarítmicas

45

Ecuaciones Ecuaciones exponenciales y logarítmicasexponenciales y logarítmicas• Una ecuación exponencial es aquella en la que la

variable ocurre en el exponente.

• Por ejemplo:

• La variable x representa una dificultad por que esta en el exponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo en cada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.

Veamos:

46

72 x

Ecuaciones Ecuaciones exponenciales y logarítmicasexponenciales y logarítmicas

47

7ln2ln

7ln2ln

x

x

807.22ln

7lnx

72 x

Recuerde la regla 3

Normas para resolver ecuaciones exponencialesNormas para resolver ecuaciones exponenciales

1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la

ecuación.

2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes

de los logarítmos para “bajar el exponente”.

3) Despeje la variable.

48

EjemploResolver una ecuación exponencial

49

Encuentre la solución de:

Solución:

73 2 x

7log)3log( 2 x

73 2 x

7log3log)2( x

3log

7log)2( x

228756.023log

7logx

Si verificas en tu calculadora:

73 2)228756.0(

EjemploEjemploResolución de una ecuación exponencialResolución de una ecuación exponencial

50

Resuelva la ecuación:

Solución:

208 2 xe

208 2 xe

8

202 xe

5.2lnln 2 xe5.2ln2 x

458.02

5.2lnx

Ojo:El, ln e = 1

Si verificas en tu calculadora:

208)458.0(2 e

51

EjemploEjemploResolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz Resolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz la gráficala gráfica

Resuelva la ecuación: AlgebraicamenteAlgebraicamente

Solución (1):

423 xe

423 xe

4lnln 23 xe

4lnln23 ex

14ln23 x

4ln32 x

807.0)4ln3(2

1x

52

EjemploEjemploResolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz Resolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz la gráficala gráfica

Resuelva la ecuación:

Solución (2): Se gráfican las ecuaciones, y

423 xe

xey 23 4y

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 5 6

4y

xey 23

53

EjemploEjemploUna ecuación exponencial de tipo cuadráticoUna ecuación exponencial de tipo cuadrático

Resuelva la ecuación:

Solución:

062 xx ee

062 xx ee

06)( 2 xx ee

0)2)(3( xx ee

03xe o 02xe3xe 2xe

54

EjemploEjemploResolver una ecuación exponencialResolver una ecuación exponencial

Resuelva la ecuación:

Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

03 2 xx exxe

0)3( xxex03 2 xx exxe

0)3( xx

Se divide entre xe

0x 03 x3x

Las soluciones son:

55

Ecuaciones LogarítmicasEcuaciones LogarítmicasUna ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de la variable.

5)2(log2 x

3023222 5 x

Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial.

Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cada la de ecuación.

5)2(log 22 2 x

522x30232 x

Los pasos se resumen a continuación.

56

Normas para resolver ecuaciones logarítmicas

1)Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación; podría ser necesario combinar primero los términos logarítmicos.2)Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la base a cada lado de la ecuación).3)Despeje la variable.

57

EjemploEjemploResolver ecuaciones logarítmicasResolver ecuaciones logarítmicas

De cada ecuación despeje x.

3)25(log)

8ln)

2

xb

xa8ln x8ex 2981x

32725 825 x

17825 x

58

EjemploEjemploResolver una ecuacion logarítmicaResolver una ecuacion logarítmica

Resuelva la ecuación: 16)2log(34 x

SoluciónSolución: Se aísla primero el término logarítmico. Esto permite : Se aísla primero el término logarítmico. Esto permite escribir la ecuación en forma exponencial.escribir la ecuación en forma exponencial.

16)2log(34 x416)2log(3 x

12)2log(3 x4)2log( x

4102 x100002 x5000x

59

EjemploEjemploResolver una ecuación logarítmica de manera Resolver una ecuación logarítmica de manera algebraica y gráficaalgebraica y gráfica

Resuelva la ecuación (1): 1)1log()2log( xx

1)1)(2(log xx

10)1)(2( xx

1022 xx

0122 xx

0)3)(4( xx

3,4 xx

60

EjemploEjemploResolver una ecuación logarítmica de manera Resolver una ecuación logarítmica de manera algebraica y gráficaalgebraica y gráfica

Resuelva la gráfica (2): 01)1log()2log( xx

1)1log()2log( xxy

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 5 6

61

EjemploEjemploResolver una ecuación de manera gráficaResolver una ecuación de manera gráfica

Resuelva la ecuación: )2ln(22 xx

SoluciónSolución: Primero se mueven todos los términos a un lado de la : Primero se mueven todos los términos a un lado de la ecuación.ecuación.

0)2ln(22 xxLuego se hace la gráfica:Luego se hace la gráfica: )2ln(22 xxy

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 5 6 4 3 2 1