funciones exponenciales y trigonometricas
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Fundamento teórico y conjunto de ejercicios de funciones exponenciales y trigonométricas.TRANSCRIPT
FUNCIONES
MATEMÁTICA 1
La función f: A B es inyectiva (univalente), si a cada
elemento del rango le corresponde un único elemento
en el dominio.
Función inyectiva
a.
b.
c.
n.
m.
p.
q.
A BfE
j
e
m
p
l
o
Forma simbólica:
Si x1, x2 Df : f(x1) = f(x2) x1 = x2
Ejemplos:
Determina que la función f(x) = 5x + 4, es
inyectiva o no.
1.
Dada la función f(x) = x + x2 + 7, x [-3; 3],
demostrar que f es inyectiva.
2.
Función inversa.- Una función f tiene inversa,
solamente cuando es inyectiva (correspondencia de
uno a uno), se representa por f-1 o f *.
Donde:
Df * = Rf
Rf * = Df
f-1(x) = (f(x), x) / xDf
Las gráficas de f y f * son
simétricas respecto de
la recta y = x.
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Una función lineal y = 2x + 3 y su inversa
f(x) = 2x + 3 f*(x) = 0,5(x - 3) y = f(x) = x
Dada la función: f(x) = (1; 3), (2; 5), (4; 7), (6; 9),
(8; 11). Determina la función inversa.
1.
Propiedad fundamental de las funciones inversas
Si f: A B, es una función inyectiva y f*: B A es
la función inversa de f, entonces:
f*(f(x)) = x, x Df
f(f*(x)) = x, x Df *
Dada la función: f(x) = 4x + 5. Graficar: a) f(x) y
b) f-1(x)2.
Halla la inversa de la función: f(x) = 5x – 3, si x
[0; 5],
3.
Función exponencial
f(x) = ax, a > 0 a ≠ 1
Una función exponencial, es de la forma f(x) = ax,
donde a es un número real positivo distinto de 1.
Para toda función exponencial, de la forma y = ax o
f(x) = ax, donde a > 0 a ≠ 1.
El dominio de la función es el conjunto de losnúmeros reales, Df = R.
El rango de la función exponencial: Rf = 0; +
Grafique la función exponencial y = f(x) = 2x,
determine el dominio y rango de la función.
Ejemplos:
1.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Gráfico de la función exponencial f(x) = 2x
Grafique la función exponencial y = f(x) = ( )x,
determine el dominio y rango de la función.2
12.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de la función exponencial f(x) = (1/2)x
Gráfica de las funciones exponenciales
Una suma de S/.1 000 se invierte a una tasa de
interés de 18% al año. Encuentre las cantidades en la
cuenta después de 3 años si el interés se capitaliza
anual, semestral, trimestral y mensualmente.
3.
La población ha crecido de forma exponencial desde
1650. La función exponencial que aproxima mejor la
población mundial dese el 1650 con proyección al
2015 es: f(x) = 0,5.e0,0072t; donde: f(x) es la población
mundial en miles de millones de personas.
Determina aproximadamente la población mundial
para el año 2015.
3.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica está definida, como:
Propiedades:
logbN = x N = bx, N > 0, b > 0 b ≠ 1
i) logb1 = 0 ii) logbb = 1
iii) logbAn = n.logbA iv) logbA = logbA
vi) logb( ) = logbN - logbM
v) logb(N.M) = logbN + logbM
n
n1
M
N
vii) logbN =logab
logaNCambio de base
Cambio de logaritmo natural de un
número cualquiera al logaritmo vulgar
viii) ln(N) =log e
log N
Halla ln(100) =
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfico de la función logarítmica f(x) = log2x
Grafique y determina el dominio y rango de la
función f(x) = log2x
1.
2. Grafique y determina el dominio y rango de la
función f(x) = log1/2 x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfico de la función f(x) = (0,5)x
Comparando gráficas de funciones exponenciales y
logarítmicas.
De acuerdo con la definición de logaritmo, podemos
reescribir esta función como y = loga x, que es una ecuación
donde y está despejada. Por consiguiente, y = ax y y = loga x
son funciones inversas, y podemos escribir: si f(x) = ax,
entonces f -1(x) = loga x.
Resuelva: log(27) - log(3) + 2 + loga(a)323
3.
4. Halla el valor de x, si: 2.log(x) + log(64) =
log(x)3
5. Resuelva: 5.log(x) - log(32) = log( )2x
Taller 4
Dada la función: f(x) = 5x + 3. Graficar: a) f(x) y
b) f-1(x)
1.
Graficar la función: f(x) = ln(x) = logex.2.
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 1 2 3 4 5
Gráfico de f(x) = ln(x)
Funciones trigonométricas (F.T.)
F.T = (x; y)RR / y = RT(x)
Se denomina función trigonométrica al conjunto de
pares ordenados (x; y), tal que la primera
componente “x” es la medida de un ángulo
trigonométrico en radianes (número real) y a segunda
componente “y” es el valor de la razón
trigonométrica de x.
Función seno
f(x) = (x; y)RR / y = sen(x), x R
O simplemente:
y = f(x) = sen x, xR
Dsen x = R
Rsen x = -1; 1
f(x) = (x; y)RR / y = cos(x), x R
O simplemente:
y = f(x) = cos x, xR
Dcos x = R
Rcos x = -1; 1
Función coseno
f(x) = (x; y)RR / y = tan(x), x ≠ (2k + 1)(/2), kZ
O simplemente:
y = f(x) = tan x
Dtan x = R - (2k + 1)(/2), kZ
Rtan x = R
Función tangente
Método práctico para el trazado de gráficas
y = f(x) + k
1. Desplazamiento vertical
La gráfica se desplaza hacia arriba
si k > 0
La gráfica se desplaza hacia abajo
si k < 0
Ejemplos:
a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x) + 3
b) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x) + 2
c) Si f(x) = cos x, graficar y = f(x) - 3
y = f(x - k)
2. Desplazamiento horizontal
La gráfica se desplaza
hacia la derecha si k > 0
La gráfica se desplaza
hacia la izquierda si k < 0
Ejemplos:
a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x - 2)
b) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x + 3)
c) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x - /4)
d) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x + /2)
y = - f(x)
3. Reflejo vertical
Ejemplos:
a) Graficar: f(x) = sen x, y f(x) = -sen x
b) Graficar: f(x) = x2 – 2x, y y = -f(x)
y = f(-x)
4. Reflejo horizontal
Ejemplos:
a) Graficar: f(x) = (2/3)x - 3, y y = f(-x)
b) Graficar: f(x) = sen x, y f(x) = sen (- x)
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Gráfica de sen x y sen (-x)
sen x sen (-x)
y = af(x)
Si 0 < a < 1 la gráfica se
comprime “a” veces.
Si a > 1 la gráfica se
dilata “a” veces.
Ejemplos:
a) Graficar: f(x) = (0,5)sen x
b) Graficar: f(x) = 2.sen x
5. Dilatación o compresión vertical
y = f(ax)
Si 0 < a < 1 la gráfica se
dilata con el factor 1/a.
Si a > 1 la gráfica se
comprime con el factor 1/a.
6. Dilatación o compresión horizontal
Ejemplos:
a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(2x)
b) Si f(x) = cos x, graficar y = f(0,5x)
y = f(x) = A F.T. (Bx + C) + D
Periodo de las funciones compuestas
de la forma:
Caso 1:
f(x) = A sen (Bx + C) + D, ó
f(x) = A cos (Bx + C) + D
Periodo:B
2T =
Ejemplos: Determine el periodo de:
a) f(x) = 1 – 3.sen (2x + /4)
b) f(x) = 2 + 5.cos (/6 - 3x)
Caso 2:
f(x) = A sec (Bx + C) + D, ó
f(x) = A csc (Bx + C) + D
Periodo:B
2T =
Ejemplos: Determine el periodo de:
a) f(x) = sec (/3 - x)
b) f(x) = 6 + 2.cos (2x/3 - /2)
Caso 3:
f(x) = A tan (Bx + C) + D, ó
f(x) = A cot (Bx + C) + D
Periodo:B
T =
Ejemplos: Determine el periodo de:
a) f(x) = 1 - tan (/8 - 2x)
b) f(x) = 3.cot (3x/4 - /3)
Líneas
trigonométricas
E(1; tg )
Q(ctg ; 1)
P(cos ; sen )
Líneas
trigonométricas
C(sec ; 0)
D(0; csc )
Resumen de las características de las funciones trigonométricas
Ejercicios
1. Determine el dominio de la función:
h(x) = cot x + sen x
2. Calcule el dominio de la función:
f(x) =cos x
sen x + 7
3. Calcule el dominio de:
f(x) =sen x - 2
sen x
4. Si el rango de la función:
f(x) = a.cos x + b; Rf -1; 3
Calcule el valor de la expresión
M = 2a - b
5. Determine el dominio de la función:
F = (x; y) / y = 2sen x – 1 + sen x;
0 x 2
6. Calcula el rango de la función:
f(x) = (1 + sen x) (3 + sen x)
7. Calcula el rango de la función f, cuya regla de
correspondencia es:
f(x) = 4sen2 x + 4sen x
8. Calcular el máxima valor de: sen + cos
9. Calcular el máxima valor de: R = 2sen - 3cos
10. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:
11. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:
12. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:
13. La función: y = f(x) - 4.cos (2x + /3) - 3;
es igual a -1 cuando x es igual a:
a) /6 b) /4 c) 2/3 d) e) 2
1. Calcula el rango de la función f, si:
f(x) = cos2 x + 2cos x; x 0; /2
2. Graficar: f(x) = 1 + (0,5) sen (2x - /4
Taller