funciones

FuncionesMtra. Teresa Carrillo

Relación

Proceso generado por la correspondencia que existe entre dos conjuntos de objetos o fenómenos.

El primer conjunto se denomina dominio y el segundo, contradominio o codominio.

A cada valor del contradominio que esté relacionado con algún elemento del dominio se le llama imagen y al conjunto de todas las imágenes se le denomina rango.

Parejas ordenadas son el conjunto de pares formados por un elemento del dominio y uno del contradominio.

Definición de función

Es una relación donde a cada valor de x le corresponde un valor de y.

Es una regla de correspondencia que asocia cada elemento del dominio con un solo valor del contradominio

x1

x2

x3

xn

y1

y2

y3

yn DominioContradominio

Codominio

Clasificación de funciones

FuncionesOperaciones

Algebraicas

Trascendentes

GráficasContinuas/Discontinuas

Crecientes/Decrecientes

Asociación Dominio-Rango

Inyectiva

Suprayectiva

Biyectiva

Clasificación por sus operaciones

OperacionesAlgebraicas

Polinomiales

Racionales

Radicales

Trascendentes

Trigonométricas

Exponenciales

Logarítmicas

Funciones algebraicas especiales

Función constante: Tiene la forma f(x) = c, donde c es una constante.

Ejemplo. f(x) = 9

Función identidad: Tiene la forma f(x) = x.

Ejemplo. f(x) = x

4 2 2 4

4

2

2

4

4 2 2 4

1

2

3

4

Función valor absoluto

Su dominio natural es el conjunto de los números reales. Por la manera en que está definido el valor absoluto, se trata de una función combinada

2 1 1 2

0 .5

1 .0

1 .5

2 .0x

Funciones algebraicas polinomiales

Funciones lineales: Son de la forma f(x) = Ax + B

Ejemplo: f(x) = 3x + 1

Funciones cuadráticas: Tienen la forma: f(x) = Ax2 + Bx + C

Ejemplo: 2x2 + x - 2

4 2 2 4

10

5

5

10

2 1 1 2

4

2

2

4

Más funciones polinomiales

Funciones cúbicas f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D

Ej: f(x) = x3 + 2x2 – x/2 - 1

Función polinomial

f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . + a1x1 + a0

Funciones racionales

Las funciones racionales son las que consisten en un cociente y su dominio debe excluir aquellos valores que provocarían una división entre cero

Ejemplo:

2)( 2

2

xx

xf

Funciones radicales

Este tipo de funciones contempla todas aquellas que incluyen raíces en su forma o dicho de otra manera potencias fraccionarias para la variable independiente. En estos casos el dominio debe excluir aquellos valores que originarían valores complejos o “raíces negativas”

2)( xxf

Funciones trascendentes. Trigonométricas

5 5

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0s inx

3 2 1 1 2 3

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

cosx2

Trascendentes – Logarítmicas y exponenciales

0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0

2

1

1

log2 x

0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0

5

10

15

20 x

Funciones continuas

Una función es continua cuando no hay una ruptura en su trazo. Esto quiere decir que todos los elementos del contradominio de la función pertenecen al conjunto de los números reales.

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

Funciones discontinuas

Una función es discontinua cuando uno de los elementos del contradominio no pertenece a los números reales.

Función mayor entero

f(x)=[x]=mayor entero que es menor o igual que x.

Si x es un numero entero [x] es igual a x. Si x no es un entero, entonces se traslada al entero menor.

Funciones crecientes/decrecientes

Una función es creciente si conforme aumentan los valores de x aumentan los de y.

Una función es decreciente si conforme aumentan los valores de x, los de y disminuyen.

2 1 1 2

10

5

5

10

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0 1 .5

10

5

5

10

Función inyectiva

Una función es inyectiva o uno a uno si para cada par de valores de x en el dominio, se encuentra un valor diferente y único en el rango. Es decir, si para cada valor del contradominio existe solo uno del dominio.

Puede sobrar algún valor en el contradominio, de manera que no es imagen de ningún valor en el dominio.

En una gráfica, si atraviesas un línea horizontal, solo deberá tocar la grafica en un punto.

Un ejemplo de función inyectiva es una función lineal.

x1

x2

xn

y1

y2

y3

yn

DominioContradominio

Función suprayectiva

Cuando los valores del dominio tienen su imagen (o incluso más de una) en el contradominio, es decir, cuando no queda un solo valor en y que no esté relacionado por lo menos con uno de x, se está hablando de una función suprayectiva.

x1

x2

xn

y1

y2

y3

yn Dominio Contradominio

Función biyectiva

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y suprayectiva a la vez, es decir un valor del dominio solo tiene uno del contradominio y no sobra algún valor del contradominio.

x1

x2

x3

xn

y1

y2

y3

yn Dominio Contradominio

Referencias

Méndez H., Arturo. Matemáticas IV. Enfoque por competencias. Santillana Bachillerato, 2012.

Oteysa, et. Al. Geometría analítica y trigonometría. Pearson Education. México, 2008.

Ruiz, Joaquín. Geometría Analítica. Grupo Editorial Patria. México, 2010.