f´ısica ii cf-342 ingenier´ıa plan com un.´diferencia de potencial y potencial el´ectrico...
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Fısica II CF-342Ingenierıa Plan Comun.
Omar Jimenez Henrıquez
Departamento de Fısica,Universidad de Antofagasta,
Antofagasta, Chile,
I semestre 2011.
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 1
Contenidos
1 Diferencia de Potencial y Potencial ElectricoDiferencia de potencial
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 2
Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico
De la definicion de campo electrico, tenemos
~E =~FE
q0
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 3
Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico
De la definicion de campo electrico, tenemos
~E =~FE
q0
Ahora, determinamos el trabajo realizado paramover una carga de prueba q0 desde el puntoA hasta el punto B,
dW (~FE ) = ~FE • d ~.
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 4
Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico
De la definicion de campo electrico, tenemos
~E =~FE
q0
Ahora, determinamos el trabajo realizado paramover una carga de prueba q0 desde el puntoA hasta el punto B,
dW (~FE ) = ~FE • d ~= q0~E • d ~.
Dado que la fuerza electrica es conservativa, entonces eltrabajo de la fuerza electrica es igual a menos el cambio de laenergıa potencial U,
dW (~FE ) = −dU.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico
Luego, tenemosdU = −q0
~E • d ~.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico
Luego, tenemosdU = −q0
~E • d ~.
Para un desplazamiento de la carga de prueba entre los puntosA y B, el cambio en la energıa potencial esta dado por
∆U = UB − UA = −q0
∫ B
A
~E • d ~.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico
Luego, tenemosdU = −q0
~E • d ~.
Para un desplazamiento de la carga de prueba entre los puntosA y B, el cambio en la energıa potencial esta dado por
∆U = UB − UA = −q0
∫ B
A
~E • d ~.
y el trabajo de la fuerza electrica es
W (~FE ) = q0
∫ B
A
~E • d ~.
La integral se considera a lo largo de la trayectoria por la cualla carga q0 se mueve desde A hasta B. Como la fuerzaelectrica es conservativa esta integral no depende de latrayectoria tomada entre A y B.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico
La diferencia de potencial entre los puntos A y B se definecomo el cambio de la energıa potencial dividido por la carga deprueba q0.
VB − VA =UB − UA
q0= −
∫ B
A
~E • d ~,
la cual es independiente de q0.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico
La diferencia de potencial entre los puntos A y B se definecomo el cambio de la energıa potencial dividido por la carga deprueba q0.
VB − VA =UB − UA
q0= −
∫ B
A
~E • d ~,
la cual es independiente de q0. En el SI de unidades, elpotencial electrico se mide en Volt(V), donde
1V = 1JC.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico
La diferencia de potencial entre los puntos A y B se definecomo el cambio de la energıa potencial dividido por la carga deprueba q0.
VB − VA =UB − UA
q0= −
∫ B
A
~E • d ~,
la cual es independiente de q0. En el SI de unidades, elpotencial electrico se mide en Volt(V), donde
1V = 1JC.
Para considerar el potencial en un punto se debe escoger unpunto de referencia y a ese punto asignarle el valor cero. Ge-neralmente, se considera que A→∞ y VA = 0, y el punto B sele llama p,
Vp = −∫ p
∞~E • d ~.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Diferencia de potencial en un campo electricouniforme
Tenemos un campo electrico constante ~E = Eiy los puntos A y B estan sobre el eje x, talcomo aparece en la figura, luego
VB − VA = −∫ B
A
~E • d ~,
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Diferencia de potencial en un campo electricouniforme
Tenemos un campo electrico constante ~E = Eiy los puntos A y B estan sobre el eje x, talcomo aparece en la figura, luego
VB − VA = −∫ B
A
~E • d ~,
= −∫ B
AEd` cos θ, θ = 0◦,
= −∫ B
AEd` = −E
∫ B
Ad`,
= −Ed .
Tenemos, VB − VA = −Ed , el signo menos nos indica que elpotencial en B es menor que el potencial en A.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Diferencia de potencial en un campo electricouniforme
Si ahora los puntos estan ubicados de lasiguiente manera. La diferencia de potencialentre los puntos A y B es
VB − VA = −∫ B
A
~E • d ~,
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Diferencia de potencial en un campo electricouniforme
Si ahora los puntos estan ubicados de lasiguiente manera. La diferencia de potencialentre los puntos A y B es
VB − VA = −∫ B
A
~E • d ~,
= −∫ B
AEd` cos θ,
= −E cos θ∫ B
Ad`,
= −E` cos θ = −Ed .
Por lo tanto, obtenemos el mismo resultado anterior. Esto seproduce porque la integral de lınea o integral de trayectoria,∆V = VB − VA = −
∫ BA~E • d ~, no depende de la trayectoria.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Diferencia de potencial en un campo electricouniforme
Los puntos B y C tienen el mismo potencial, porque no serealiza trabajo
W = q0
∫ C
B
~E • d ~= 0,
al hacer pasar la carga q0 entre los puntos B y C.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Diferencia de potencial en un campo electricouniforme
Los puntos B y C tienen el mismo potencial, porque no serealiza trabajo
W = q0
∫ C
B
~E • d ~= 0,
al hacer pasar la carga q0 entre los puntos B y C. Es decir
VB = VC ,
luego, para llegar al punto B desde el punto A, podemos tomarla trayectoria AB o ACB.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Diferencia de potencial en un campo electricouniforme
Los puntos B y C tienen el mismo potencial, porque no serealiza trabajo
W = q0
∫ C
B
~E • d ~= 0,
al hacer pasar la carga q0 entre los puntos B y C. Es decir
VB = VC ,
luego, para llegar al punto B desde el punto A, podemos tomarla trayectoria AB o ACB.En general, una superficie equipotencial es cualquier superficieque contiene una distribucion continua de puntos que tienen elmismo potencial.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio
Se suelta un proton desde el reposo en un campoelectrico uniforme de 8× 104 V
m , dirigido a lo largodel eje x positivo. El proton se desplaza 0.5m enla direccion del campo electrico E.a) Determine el cambio en el potencial electricoentre los puntos A y B.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio
Se suelta un proton desde el reposo en un campoelectrico uniforme de 8× 104 V
m , dirigido a lo largodel eje x positivo. El proton se desplaza 0.5m enla direccion del campo electrico E.a) Determine el cambio en el potencial electricoentre los puntos A y B.En este caso tenemos,
VB − VA = −Ed = −4× 104[V ],
el potencial VB es menor que el potencial VA.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio
Se suelta un proton desde el reposo en un campoelectrico uniforme de 8× 104 V
m , dirigido a lo largodel eje x positivo. El proton se desplaza 0.5m enla direccion del campo electrico E.a) Determine el cambio en el potencial electricoentre los puntos A y B.En este caso tenemos,
VB − VA = −Ed = −4× 104[V ],
el potencial VB es menor que el potencial VA.
b) Determine el cambio en la energıa potencial del proton paraeste desplazamiento, considere qp = 1.6× 10−19C.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio
Se suelta un proton desde el reposo en un campoelectrico uniforme de 8× 104 V
m , dirigido a lo largodel eje x positivo. El proton se desplaza 0.5m enla direccion del campo electrico E.a) Determine el cambio en el potencial electricoentre los puntos A y B.En este caso tenemos,
VB − VA = −Ed = −4× 104[V ],
el potencial VB es menor que el potencial VA.
b) Determine el cambio en la energıa potencial del proton paraeste desplazamiento, considere qp = 1.6× 10−19C.
∆U = qp∆V = −6.4× 10−15[J].
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico para cargas puntuales
Tenemos que la diferencia de potencial entrelos puntos A y B es
VB − VA = −∫ B
A
~E • d ~.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico para cargas puntuales
Tenemos que la diferencia de potencial entrelos puntos A y B es
VB − VA = −∫ B
A
~E • d ~.
El campo electrico que produce la cargapuntual es ~E = kq
r2 r , luego
VB − VA = −∫ B
A
kqr2 r • d ~,
donder • d ~= |r ||d ~|cosθ = dr .
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico para cargas puntuales
Luego,
VB − VA = −∫ B
A
kqr2 dr = −kq
(− 1
r
)∣∣∣∣rB
rA
= kq(
1rB− 1
rA
).
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico para cargas puntuales
Luego,
VB − VA = −∫ B
A
kqr2 dr = −kq
(− 1
r
)∣∣∣∣rB
rA
= kq(
1rB− 1
rA
).
Esta funcion no depende de la trayectoria. Si consideramosrA →∞ lo que implica VA = 0, tenemos que el potencialgenerado por una carga puntual a una distancia r es:
V =kqr.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico para cargas puntuales
Luego,
VB − VA = −∫ B
A
kqr2 dr = −kq
(− 1
r
)∣∣∣∣rB
rA
= kq(
1rB− 1
rA
).
Esta funcion no depende de la trayectoria. Si consideramosrA →∞ lo que implica VA = 0, tenemos que el potencialgenerado por una carga puntual a una distancia r es:
V =kqr.
Con lo cual el potencial es constante a una distancia r de lacarga q, es decir una esfera de radio r . Por lo tanto, en estecaso las superficies equipotenciales son esferas concentricascon la carga puntual.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico para cargas puntuales
Si tenemos varias cargas puntuales, elpotencial en un punto p es:
Vp = kn∑
i=1
qi
ri,
que se obtiene de aplicar el principio desuperposicion. Donde se considera qi con sumagnitud y signo, y ri es la distancia de lacarga qi al punto p.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico para cargas puntuales
Ejercicio: Calcule el potencial en el punto p, situado en elcentro del cuadrado de cargas puntuales que aparece en lafigura. Suponga que a = 1.3[m] y que las cargas son:q1 = 12[nC], q2 = −24[nC], q3 = 31[nC], y q4 = 17[nC].
Vp = 350[V ].
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio
Determinar el potencial electrico generado poruna esfera conductora aislada, con carga Q yradio R.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio
Determinar el potencial electrico generado poruna esfera conductora aislada, con carga Q yradio R.
El potencial en un punto p, ubicado a una distancia r ≥ R, es:
Vp = −∫ p
∞~E • d ~,
el campo electrico generado por la esfera con carga Q parar ≥ R es ~E = kQ
r2 r y
~E • d ~= Ed`cos(180◦) = −Ed`,
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio
pero tenemos que d` = −dr , luego
Vp = −∫ p
∞~E•d ~= −
∫ p
∞
kQr2 dr = −kQ
∫ p
∞
drr2 = −kQ
(−1r
)∣∣∣∣p∞,
Vp =kQr, para r ≥ R.
Si consideramos un punto b al interior de la esfera, es decir,para r < R, tenemos
Vb = −∫ b
∞~E • d ~= −
[ ∫ R
∞~Ee • d ~+
∫ b
R
~Ei • d ~],
Dado que el campo electrico al interior de la esfera conductoraes ~Ei = 0, nos queda
Vb = −∫ R
∞~Ee • d ~=
kQR,
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio
Tenemos,
Vr =
kQr para r ≥ R
kQR para 0 ≤ r ≤ R
En este caso, todos los puntos al interior de la esfera de cargaestan al mismo potencial V = kQ
R . En el caso donde r ≥ R, lassuperficies equipotenciales son esferas concentricas a laesfera de radio R.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio2
Determinar el potencial electrico generado poruna esfera no conductora, con carga Quniformemente distribuida y radio R.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio2
Determinar el potencial electrico generado poruna esfera no conductora, con carga total Quniformemente distribuida y radio R.
El calculo del potencial en un punto p, ubicado a una distanciar ≥ a, es equivalente al realizado anteriormente, con lo cual
Vp =kQr,para r ≥ R
El potencial electrico al interior de la esfera no conductora es
Vr =kQ2R
(3− r2
R2
)para 0 ≤ r ≤ R.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico debido a una distribucion continuade carga
El potencial dV en un punto p debido alelemento de carga dq esta dado por:
dV =kdq
r,
donde r es la distancia desde el elemento decarga dq al punto p.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Potencial electrico debido a una distribucion continuade carga
El potencial dV en un punto p debido alelemento de carga dq esta dado por:
dV =kdq
r,
donde r es la distancia desde el elemento decarga dq al punto p.Si sumamos las contribuciones de todas lascargas tenemos:
V = k∫
dqr,
el cual es el potencial electrico en el punto p.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejemplo
Determine el potencial electrico debido a unanillo uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del anillo.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejemplo
Determine el potencial electrico debido a unanillo uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del anillo.
En este caso el potencial se determina desde la relacionV = k
∫ dqr , donde la distancia r =
√x2 + a2. Dado que el
anillo tiene carga distribuida linealmente con λ = Q2πa
constante, tenemos
V = k∫
dqr
= k∫
dq√x2 + a2
=k√
x2 + a2
∫dq =
kQ√x2 + a2
,
⇒ V (x) =kQ√
x2 + a2.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejemplo 2
Determine el potencial electrico debido a undisco uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del disco.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejemplo 2
Determine el potencial electrico debido a undisco uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del disco.
En este caso el potencial se determina desde la relacionV = k
∫ dqr , donde la distancia r =
√x2 + r2. Dado que el disco
tiene carga distribuida uniformemente σ = Qπa2 constante,
dq = σdA donde dA = 2πrdr .
V = k∫
dqr
= k∫
σdA√x2 + r2
= kσ∫
2πrdr√x2 + r2
,
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejemplo 2
V = 2πkσ∫ a
0
rdr√x2 + r2
= 2πkσ(√
x2 + r2)
∣∣∣∣a0,
= 2πkσ(√
x2 + a2 −√
x2),
= 2πkσ(√
x2 + a2 − |x |),
finalmente, tenemos
V (x) = 2πkσ(√
x2 + a2 − |x |).
Vemos que esta funcion es simetrica es decir, V (x) = V (−x).
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejemplo 3
Determine el potencial electrico debido auna barra uniformemente cargada, concarga total Q y largo L, en un punto plocalizado sobre el eje x, tal como apareceen la figura.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejemplo 3
Determine el potencial electrico debido auna barra uniformemente cargada, concarga total Q y largo L, en un punto plocalizado sobre el eje x, tal como apareceen la figura.
En este caso, tenemos
dq = λdl = λdz ademas r =√
x2 + z2,
luego
V = k∫
dqr
= k∫
λdz√x2 + z2
= kλ∫ L/2
−L/2
dz√x2 + z2
,
= kλ[
ln(z +√
z2 + x2)
]∣∣∣∣L/2
−L/2,
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejemplo 3
V = kλ[
ln(L2
+
√(L2
)2 + x2)− ln(−L2
+
√(−L2
)2 + x2)
],
V (x) = kλ ln[ L
2 +√
(L2)2 + x2
−L2 +
√(−L
2 )2 + x2
]= kλ ln
[ 1 +√
1 + 4x2
L2
−1 +√
1 + 4x2
L2
].
Notar que dado la simetrıa la integral se puede evaluar desde 0a L/2 considerando dos veces el resultado, es decir
V = 2kλ∫ L/2
0
dz√x2 + z2
= 2kλ[
ln(z +√
z2 + x2)
]∣∣∣∣L/2
0,
V (x) = 2kλ[
ln(
L2
+
√(L2
)2 + x2)− ln(|x |)
].
Notar que esta funcion es simetrica, es decir, V (x) = V (−x).Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 45
Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Obtencion del campo electrico a partir del potencialelectrico.
La diferencia de potencial dV entre dos puntos apartados unadistancia d` se puede expresar como:
dV = −~E · d ~
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Obtencion del campo electrico a partir del potencialelectrico.
La diferencia de potencial dV entre dos puntos apartados unadistancia d` se puede expresar como:
dV = −~E · d ~
Si el campo electrico solo tiene componente x , tenemos
dV = −Exdx
luego
Ex = −dVdx
.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Obtencion del campo electrico a partir del potencialelectrico.
Si la distribucion de carga tiene simetrıa esferica y el campoelectrico solo tiene componente radial, tenemos
dV = −Er dr
luego
Er = −dVdr.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Obtencion del campo electrico a partir del potencialelectrico.
Si la distribucion de carga tiene simetrıa esferica y el campoelectrico solo tiene componente radial, tenemos
dV = −Er dr
luego
Er = −dVdr.
En general, si el potencial electrico V (x , y , z) depende de lastres componentes, las componentes del campo electrico son:
Ex = −∂V∂x
, Ey = −∂V∂y
Ez = −∂V∂z
,
donde, estas ahora son las derivadas parciales.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejemplo.
El potencial de una carga puntual Q, a una distancia r de lacarga es
V (r) =kQr,
luego el campo electrico a una distancia r de la carga puntualQ es
Er = −dVdr
= − ddr
kQr
=kQr2 ,
luego,
E(r) =kQr2 .
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Obtencion del campo electrico a partir del potencial.
Determine el campo electrico debido a unanillo uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del anillo, apartir del potencial electrico
V (x) =kQ√
x2 + a2.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Obtencion del campo electrico a partir del potencial.
Determine el campo electrico debido a unanillo uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del anillo, apartir del potencial electrico
V (x) =kQ√
x2 + a2.
En este caso, dado la simetrıa, el campo electrico solo tienecomponente x , luego
Ex = −dVdx
= − ddx
kQ√x2 + a2
=kxQ
(x2 + a2)3/2 .
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Obtencion del campo electrico a partir del potencial.
Determine el campo electrico debido a undisco uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del disco, a partir del potencial electrico(considere que el punto p esta a la derecha deldisco).
V (x) = 2πkσ(√
x2 + a2 − x).
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Obtencion del campo electrico a partir del potencial.
Determine el campo electrico debido a undisco uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del disco, a partir del potencial electrico(considere que el punto p esta a la derecha deldisco).
V (x) = 2πkσ(√
x2 + a2 − x).En este caso, dado la simetrıa, el campo electrico solo tienecomponente x , luego
Ex = −dVdx
= − ddx
2πkσ(√
x2 + a2 − x) = −2πkσddx
(√
x2 + a2 − x),
= 2πkσ(1− x√x2 + a2
).
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 54
Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Obtencion del campo electrico a partir del potencial.
Determine, a partir del potencial electrico, elcampo electrico debido a una barrauniformemente cargada, con carga total Q ylargo L, en un punto p localizado sobre y ala derecha del eje x, tal como aparece en lafigura.
V (x) = 2kλ[
ln(
L2
+
√(L2
)2 + x2)− ln(|x |)
].
Dado que el potencial solo depende de la componente x,tenemos
E(x) = −dV (x)
dx=
2kλx
1√1 + 4x2
L2
.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Energıa potencial electrica.
La energıa potencial tiene la siguiente forma U = qV .El potencial generado por q1 a una distanciar12 es
V1 = kq1
r12
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Energıa potencial electrica.
La energıa potencial tiene la siguiente forma U = qV .El potencial generado por q1 a una distanciar12 es
V1 = kq1
r12
Ahora, si ubicamos una segunda carga q2 auna distancia r12 de la carga q1, la energıapotencial electrica sera
U = q2V1 = kq2q1
r12= k
q1q2
r12
y esta energıa potencial U es igual al trabajo realizado por unafuerza externa para mover la carga q2 desde el infinito(potencial cero) hasta la distancia r12.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Energıa potencial electrica.
Para determinar el trabajo, ubicamos elorigen sobre la carga q1. Luego, el trabajopara traer desde el infinito la carga q2 hastauna distancia r12 es:
W =
∫~F · d ~=
∫kq1q2
r2 r · (−dr)r = −kq1q2
∫ r12
∞
drr2
= −kq1q2
(−1r
)∣∣∣∣r12
∞=
kq1q2
r12.
El trabajo W es mayor que cero, si las cargas tienen igualsigno.
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 58
Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Energıa potencial electrica.
Si tenemos mas de dos cargas, laenergıa potencial total se obtiene por elcalculo de U por pares de cargas, porejemplo si tenemos tres cargas
U = k(
q1q2
r12+
q1q3
r13+
q2q3
r23
)
La energıa potencial U para las tres cargas, se interpreta comoel trabajo realizado para traer desde el infinito primero a q2 yluego a q3, dado que esta presente q1.
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 59
Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio.
Demuestre que el trabajo requerido paracolocar cuatro cargas puntualesidenticas de magnitud Q en las esquinasde un cuadrado de lado a esta dado porU = 5,41kQ2/a.
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Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio.
Calcule la energıa necesaria paracomponer la configuracion de la figura,donde a = 0,2[m], b = 0,4[m] yq = 6[µC].
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 61
Diferencia de Potencial y Potencial Electrico
Ejercicio.
Calcule la energıa necesaria paracomponer la configuracion de la figura,donde a = 0,2[m], b = 0,4[m] yq = 6[µC].
U = −4[J]
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 62
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