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FORMA ESTÁNDAR DE LA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Prof. José Mardones CuevasE-Mail: cumarojo@yahoo.com

cbxaxy 2Sea

la función de segundo grado escrita en su forma general.

Pasamos el tercer término del trinomio al otro lado de la igualdad, para completar el trinomio cuadrado perfecto con los dos primeros términos.

bxaxcy 2

Para obtener la forma estándar de esta función podemos seguir el siguiente procedimiento:

)44

(2

2

2

22

a

b

a

bx

a

bxacy

)( 2 xa

bxacy

Factorizamos por el coeficiente a

Calculamos el tercer término del trinomio cuadrado perfecto del segundo factor, y lo agregamos y quitamos para no perder el equilibrio de la igualdad.

2

22

4)

2(

22

1

2

rmino tercer tédel Cálculo

a

b

a

b

a

b

a

b

x

xab

2

2

2

22

4)

4(

a

ba

a

bx

a

bxacy

)44

(2

2

2

22

a

b

a

bx

a

bxacy

Desarrollamos el paréntesis multiplicando el coeficiente a por el trinomio cuadrado perfecto y luego por el término restante.

a

acb

a

bxay

4

4)

2(

22

ca

b

a

bxay

4)

2(

22

a

b

a

bxacy

4)

2(

22

Escribimos el trinomio como cuadrado de binomio.

Despejamos y.

Reducimos …

grado segundo deecuación la deestándar Forma

2)( khxay

a

acbk

a

bhhacemossi

4

4

2

2

a

acb

a

bxay

4

4)

2(

22

Finalmente, en esta expresión …

Obtenemos…

a

bh

a

bh

2

1/2

Observación:

De las siguientes expresiones se tiene:

a

acbk

a

acbk

4

4

4

4

2

2

grado segundo deecuación la deestándar Forma

2)( khxay

¿De qué sirve escribir la función de segundo grado en su forma estándar?

Con ella podemos contestar las siguientes preguntas.

Dada la siguiente función de segundo grado determina:

a) Concavidad

b) Desplazamiento horizontal

c) Desplazamiento vertical

d) Punto de corte eje de ordenadas (eje y)

e) Punto de corte eje de abscisas (eje x)

f) Coordenadas del vértice

g) Punto de máximo o de mínimo

h) Ecuación del eje de simetría

Ejemplo 1.

Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde.

352 2 xxySolución:

Identificamos coeficientes

352 cba

Calculamos h

4

5

22

5

2

a

bh

Ejemplo 1.

Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde.

352 2 xxy___________________________________________________

Solución:

Ya tenemos

4

5352 hcba

Ahora calculamos k

8

1

8

2425

24

32425

4

42

a

acbk

Ejemplo 1.

Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde.

352 2 xxy__________________________________________________

Solución:

Con esta información …

8

1

4

5352 khcba

Escribimos la función en su forma estándar.

8

1)

4

5(2

)(

2

2

xy

khxay

Observa que el valor de h produjo un cambio de signo.

Ahora contestamos las preguntas:

La parábola tiene:

a) La concavidad hacia arriba, porque a>0

4

1

4

54

1

4

5

/16

1)

4

5(

2

1/

8

1)

4

5(2

despejamos/08

1)

4

5(2

0)(

2

2

2

2

x

x

x

x

x

khxay

b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0

c) Desplazamiento vertical hacia abajo, porque k<0

d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,3)

e) Corte en el eje de abscisas.

Aquí debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación.

2

3

4

6

4

1

4

5

14

4

4

1

4

5

2

1

x

x Los puntos de corte en eje de abscisas son (-3/2,0) y (-1,0)

Para reflexionar:

¿Qué pasaría si los coeficientes a y h tienen igual signo?

Seguimos contestando las preguntas:

La parábola tiene:

a) La concavidad hacia arriba, porque a>0

b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0

c) Desplazamiento vertical hacia abajo, porque k<0

d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,3)

e) Punto de corte en eje de abscisas: (-3/2,0) y (-1,0).

f) Coordenadas del vértice en V(h,k)=(-5/4,-1/8).

g) Punto de mínimo, porque a>0, y su valor es k=-1/8

h) Como eje de simetría x=h=-5/4 4x+5=0

Ejemplo 2.

Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde.

639 2 xxySolución:

Identificamos coeficientes

639 cba

Calculamos h

6

1

18

3

92

3

2

a

bh

Ejemplo 2.

Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde.

639 2 xxy___________________________________________________

Solución:

Ya tenemos

6

1639 hcba

Ahora calculamos k

4

25

36

225

36

2169

94

6949

4

42

a

acbk

Ejemplo 2.

Para la siguiente función de segundo grado, considera las preguntas anteriores y responde.

639 2 xxy__________________________________________________

Solución:

Con esta información …

4

25

6

1639 khcba

Escribimos la función en su forma estándar.

4

25)

6

1(9

)(

2

2

xy

khxay

Observa que el valor de h produjo un cambio de signo.

Ahora contestamos las preguntas:

La parábola tiene:

a) La concavidad hacia abajo, porque a<0

6

5

6

16

5

6

1

/36

25)

6

1(

9

1/

4

25)

6

1(9

despejamos/04

25)

6

1(9

0)(

2

2

2

2

x

x

x

x

x

khxay

b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0

c) Desplazamiento vertical hacia arriba, porque k>0

d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,6)

e) Corte en el eje de abscisas.

Aquí debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación.

16

6

6

5

6

13

2

6

4

6

5

6

1

2

1

x

xLos puntos de corte en eje de abscisas son (2/3,0) y (-1,0)

Seguimos contestando las preguntas:

La parábola tiene:

e) Punto de corte en eje de abscisas: (2/3,0) y (-1,0).

f) Coordenadas del vértice en V(h,k)=(-1/6,25/4).

g) Punto de máximo, porque a<0, y su valor es k=25/4

h) Como eje de simetría x=h=-1/6 6x+1=0

a) La concavidad hacia abajo, porque a<0

b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0

c) Desplazamiento vertical hacia arriba, porque k>0

d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,6)

Para practicar un poco:

Con las siguientes funciones, contesta las 8 preguntas formuladas para los ejemplos 1 y 2.

37369.6

3108.5

126.4

276.3

384.2

10133.1

2

2

2

2

2

2

xxy

xxy

xxy

xxy

xxy

xxyTambién sería bueno que practicaras utilizando el procedimiento mostrado aquí para obtener la forma estándar de la función de segundo grado. Ten presente que las fórmulas se olvidan más rápidamente, pero los procedimientos tienden a perdurar en el tiempo.

Para practicar un poco:

Aplicando procedimiento para obtener forma estándar de la función.

384 2 xxy

)2(43 2 xxy

)112(43 2 xxy

14)12(43 2 xxy

4)1(43 2 xy

34)1(4 2 xy

1)1(4 2 xy

xxy 843 2

11112

2

2

2

x

x

Cuando sientas que te puedes saltar algunos pasos sin equivocarte, hazlo. Ganarás tiempo.