factorización con ruffini
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cpvalladolid@gmail.com
Paolo Ruffini
Valentano, 22 de septiembre de 1765 – Módena
, 10 de mayo de 1822)
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MÉTODO DE RUFFINI
•Para factorizar polinomios p(x)=(x3 + 6x2 –x-30) = (x+3)(x+5)(x-2)
•Para dividir polinomios
(x3 + 6x2 –x-30) : (x+3)
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•Para factorizar polinomiosTenemos el siguiente polinomio de tercer grado:
p(x)=(6x2 + x3 –x - 30)Nos piden factorizarlo.
Al ser de grado 3, la solución será del tipo:P(x)=(x-x1) (x-x2) (x-x3)
Aplicamos el método de Ruffini.
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1º ORDENAMOS EL POLINOMIO
Ordenamos cada uno de los monomios que forman el polinomio, en orden decreciente de exponentes, o sea, de mayor a menor exponente.
p(x)=(6x2 + x3 –x - 30)
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)
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2º COMPLETAMOS EL POLINOMIO
Una vez ordenados, comprobamos que todas las potencias están presentes. Si no es así, rellenamos. Vamos a hacerlo con una plantilla.
¿Qué grado tiene nuestro polinomio? ….3Nuestra plantilla es:
x3+ x2 +x1 + x0
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2º COMPLETAMOS EL POLINOMIO
x3+ x2 +x1 + x0
Completamos la plantilla con los coeficientes de nuestro polinomio. Si para alguno de los huecos, no tenemos dato (o sea, no hay monomio con ese grado) pues ponemos 0.No te olvides de los signos.
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)
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2º COMPLETAMOS EL POLINOMIO
1x3+ 6x2 +x1 + x0
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)
SIGNOOOOOOOO!!!
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2º COMPLETAMOS EL POLINOMIO
1x3+ 6x2 +(-1)x1 + x0
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)
SIGNOOOOOOO
O!!!
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2º COMPLETAMOS EL POLINOMIO
1x3+ 6x2 +(-1)x1 + (-30) x0
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)
Nuestro polinomio está completo. Ahora está listo para aplicar Ruffini.
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3º PREPARAMOS “LA TABLA “
1
1x3+ 6x2 +(-1)x1 + (-30) x0
6 -1 -30
1El primer coeficiente lo bajamos tal cual
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4º LISTA DE “SOSPECHOSOS”
Ahora nos fijamos en el término independiente.
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)
Hallamos los divisores de 30, que son, entre otros, 5, 2, 3, y 1. También se puede dividir por 15, 30, 10, etc., pero estos son formas compuestas. Nos quedamos sólo con los primos: 5, 2, 3, y 1. Y con sus opuestos.
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4º LISTA DE “SOSPECHOSOS”
LISTA DE SOSPECHOSOS
+ 5 -5+ 3 -3+ 2 -2+ 1 -1
Empezaremos con este (puedes empezar por cualquiera, el 1 es lo más fácil)
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5º Aplicamos Rufinni
1 6 -1 -30
1
1
Multiplicamos el dividendo (1) por la primera cifra que habíamos bajado (1). El resultado lo ponemos bajo el siguiente coeficiente, encima de la línea
1 x 1 = 1
1
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5º Aplicamos Rufinni
1 6 -1 -30
1
1
Se suma el resultado anterior con el siguiente coeficiente, y se pone el resultado bajo la línea
6+1=7
1
7
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5º Aplicamos Rufinni
1 6 -1 -30
1
1
Procedemos igual con el resultado anterior: multiplicamos por 1 y el resultado se lo sumamos al siguiente coeficiente (-1)
1x7=7
1
7
7
6
-1+7=6
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5º Aplicamos Rufinni
1 6 -1 -30
1
1
Y terminamos con la última cifra. El resto obtenido es -24. Como no es 0, la división no ha sido exacta, es decir, (x-1) no es divisor de P(x)
1x6=6
1
7
7
6
-30+6=-24
6
-24 0
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4º LISTA DE “SOSPECHOSOS”
LISTA DE SOSPECHOSOS
+ 5 -5+ 3 -3+ 2 -2+ 1 -1
Eliminamos el +1 de la lista. NO nos sirve. ¿Servirá el -1?
X
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5º Aplicamos Rufinni
1 6 -1 -30
1
-1
Ahora del tirón…
1 -1 -5 +6
5 -6 -26 0
Tampoco da 0, no vale
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4º LISTA DE “SOSPECHOSOS”
LISTA DE SOSPECHOSOS
+ 5 -5+ 3 -3+ 2 -2+ 1 -1
Eliminamos el -1 de la lista. NO nos sirve. ¿Servirá el +2?
X X
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5º Aplicamos Rufinni
1 6 -1 -30
1
2
Observa lo que tenemos hasta ahora:
1 2 16 30
8 15 0P(x)=(x2 –8x +15)(x-2)
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5º Aplicamos Rufinni
Ya tenemos un polinomio de grado 2, por lo que los otros dos factores los podemos hallar con la fórmula general de resolución de ecuaciones de 2º grado.O bien, continuamos aplicando Rufinni en este polinomio. Como la lista de sospechosos aun es larga, optamos por la primera opción, la más sencilla
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6º Hallamos las raíces del polinomio de 2º grado
P(x)=(x2 –8x +15)(x-2)
𝑥=−𝑏±√𝑏2−4 ·𝑎 ·𝑐2 ·𝑎
𝑥=−(−8)±√(−8)2−4 ·1 ·15
2 ·1=8±√64−60
2=8±√42
=8±22
=4±1
Las soluciones son 5 y 3, ambos positivos
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7º Escribimos la solución al problema
p(x)=(6x2 + x3 –x - 30)
P(x)=(x-2) (x-3) (x-5)
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FACTORIZAR UN POLINOMIO
Ordenamos monomios de mayor a menor exponente
Completamos los monomios que falten
con coeficiente 0
¿Están ordenados
los monomios
?
Si No
¿Está completo
el polinomio
?
Si
No
Hallamos los múltiplos primos del
término independiente
Vamos aplicando Rufinni a cada uno de
ellos
¿Da resto
0?Si
NoVamos apuntando los resultados válidos
SOLUCIÓN:P(X)=(X-X1)(X-X2)…(X-Xn)
Siendo n=grado del polinomio
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