explicacion de problemas

AZUCENA AGÜERO TORRES 2. C

LIC. GERARDO EDGAR MATA ORTIZ

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE

TORREÓN EXPLICACION DE PROBLEMAS

DISTRIBUCIONES :

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores quepueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la

prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de

diversos fenómenos naturales

Distribución Bernoulli

Distribución Binomial

Distribución Poisson

Distribución T de student

Distribución Gamma

Distribución Normal

Un ensayo bernoulli es un experimento que tiene dos

resultados

Al primero se e llama

“éxito”

La probabilidad de “éxito” se denota por P

Y al otro “fracaso”

Por consecuencia, la probabilidad de “fracaso” es

1-P

Distribución BernoulliPara cualquier ensayo de

bernoulli se define a la variable aleatoria x así: si el

experimento propicio “éxito” , entonces x = 1. De lo

contrario, x = 0. De ahí que x sea una variable aleatoria

discreta, con función de masa de probabilidad p(x)

P(0) =P(X = 0) = 1-PP(1) =P(X = 1) =P

Media y varianza de una variable aleatoria de BernoulliMedia = P

Varianza = P(1-P)

Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55. Sea X = 1, si anota el tiro, si no lo hace, X = 0. Determine la mediana y la varianza de X

Eventos Probabilidad

X = 1 P(1) =P(X = 1) =P 0.55

X = 0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.45

La probabilidad de éxito, P(X = 1), es igual a 0.1. Por lo tanto,

X~ Bernoulli (0.55)

Media: = P 0.55

Varianza: = P(1-P) 0.2475

En un restaurante de comida rápida, 25% delas ordenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande.

Sea X = 1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X= 0 en cualquier otro caso.

Sea Y = 1 si la orden es una bebida median y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si la orden es una bebida pequeña o mediana y Z = 0 en cualquier

otro caso.

Eventos Si la bebida es pequeña Probabilidad

X = 1 P(1) =P(X = 1) =P 0.25

X = 0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.75

Eventos Si la bebida es mediana Probabilidad

Y = 1 P(1) =P(Y = 1) =P 0.35

Y = 0 P(0) =P(Y = 0) = 1-P 0.65

Eventos Si la bebida es pequeña o mediana

Probabilidad

Z = 1 P(1) =P(Z = 1) =P 0.60

Z = 0 P(0) =P(Z = 0) = 1-P 0.40

Media: = P 0.25

Varianza: = P(1-P) 0.1875

Media: = P 0.35

Varianza: = P(1-P) 0.2275

Media: = P 0.60

Varianza: = P(1-P) 0.24

Extraer un solo componente de una población y determinar si está o no defectuosa es ejemplo de un ensayo bernoulli. En la práctica, es posible extraer varios componentes de una gran población y contar el número de elementos defectuosos. Esto implica realizar diversos ensayos de bernoulli independientes y contar el número de éxitos. El número de éxitos es una variable aleatoria, que tiene una distribución binomial.

Suponga que se lleva a cabo una serie de n ensayos de bernoulli, cada uno con la misma probabilidad de éxito p. además, suponga que los ensayos son independientes: esto es, que el resultado de un ensayo no influyen en los resultados de alguno de los otros ensayos. Sea la variable aleatoria X igual al numero de éxitos en n ensayos, entonces X tiene la distribución binomial con parámetros n y p. la notación es X~Bin(n,p). X es una variable aleatoria discreta y sus posibles valores son 0,1……n.

Distribución binomial

Se realiza un total de n

ensayos de bernoulli y si:

Los ensayos son

independientes

Cada ensayo tiene la misma probabilidad

de éxito p

X es el numero de

éxitos en los n ensayos

Entonces X tiene la

distribución binomial con

parámetros n y p, que se denota

como X~Bin(n,p)

Si X ~Bin (n,p), la función de masa de probabilidad de X es:

P(X) = P(X = x) =

Sea X~ Bin(8, 0.4). Determine

X Valores de la formula Sustituir formula Resultado

0 n=8 p=0.4 X=0 (8!/0!(8-0)!)(0.40)(1-0.4) 8-0 0.01679616

1 n=8 p=0.4 X=1 (8!/1!(8-1)!)(0.41)(1-0.4) 8-1 0.08957952

2 n=8 p=0.4 X=2 (8!/2!(8-2)!)(0.42)(1-0.4) 8-2 0.20901888

3 n=8 p=0.4 X=3 (8!/3!(8-3)!)(0.43)(1-0.4) 8-3 0.27869184

4 n=8 p=0.4 X=4 (8!/4!(8-4)!)(0.44)(1-0.4) 8-4 0.2322432

5 n=8 p=0.4 X=5 (8!/5!(8-5)!)(0.45)(1-0.4) 8-5 0.12386304

6 n=8 p=0.4 X=6 (8!/6!(8-6)!)(0.46)(1-0.4) 8-6 0.04128768

7 n=8 p=0.4 X=7 (8!/7!(8-7)!)(0.47)(1-0.4) 8-7 0.0688128

8 n=8 p=0.4 X=8 (8!/8!(8-8)!)(0.48)(1-0.4) 8-8 0.00065536

Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande, en la cual 10% de los elementos esta defectuosa

Sea X~ Bin(5, 0.1). Determine

X Valores de la formula

Sustituir formula Resultado

0 n=5 p=0.1X=0 (5!/0!(5-0)!)(0.10)(1-0.1)

5-00.59049

1 n=5 p=0.1X=1 (5!/1!(5-1)!)(0.11)(1-0.1)

5-10.32805

2 n=5 p=0.1X=2 (5!/2!(5-2)!)(0.12)(1-0.1)

5-20.0729

3 n=5 p=0.1X=3 (5!/3!(5-3)!)(0.13)(1-0.1)

5-30.0081

4 n=5 p=0.1X=4 (5!/4!(5-4)!)(0.14)(1-0.1)

5-40.00045

5 n=5 p=0.1X=5 (5!/5!(5-5)!)(0.15)(1-0.1)

5-50.00001

Se lanza una moneda 10 veces y la probabilidad de obtener cara es de .5

Sea X~ Bin(10, 0.5). Determine

X Valores de la formula

Sustituir formula Resultado

0 n=10 p=0.5 X=0

(10!/0!(10-0)!)(0.50)(1-0.5)

10-00.0009765

62

1 n=10 p=0.5 X=1

(10!/1!(10-1)!)(0.51)(1-0.5)

10-10.0097656

25

2 n=10 p=0.5 X=2

(10!/2!(10-2)!)(0.52)(1-0.5)

10-20.0439453

12

3 n=10 p=0.5 X=3

(10!/3!(10-3)!)(0.53)(1-0.5)

10-30.1171875

4 n=10 p=0.5 X=4

(10!/4!(10-4)!)(0.54)(1-0.5)

10-40.2050781

25

5 n=10 p=0.5 X=5

(10!/5!(10-5)!)(0.55)(1-0.5)

10-50.2460937

5

6 n=10 p=0.5 X=6

(10!/6!(10-6)!)(0.56)(1-0.5)

10-60.2050781

25

7 n=10 p=0.5 X=7

(10!/7!(10-7)!)(0.57)(1-0.5)

10-70.1171875

8 n=10 p=0.5 X=8

(10!/8!(10-8)!)(0.58)(1-0.5)

10-80.0439453

12

9 n=10 p=0.5 X=9

(10!/9!(10-9)!)(0.59)(1-0.5)

10-0.0097656

25

10 n=10 p=0.5 X=10

(10!/10!(10-10)!)(0.510)(1-0.5) 10-10

0.000976562

La distribución poissonLa distribución de poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una manera de considerarla es como una aproximación de la distribución binomial cuando n es grande y p es pequeño. Esto se muestra con un ejemplo:

Una masa contiene 10 000 átomos de una sustancia radiactiva. La probabilidad de que cierto átomo decaiga en un periodo de un minuto es 0.0002. Sea X el número de átomos que decae en un minuto. Se puede considerar a cada átomo como un ensayo de bernoulli, en lo que el éxito ocurre si el átomo decae. Por tanto, X es el numero de éxitos en 10 000 ensayos de bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito de 0.0002, de tal forma que la distribución de X es Bin (10 000, 0.0002). La media de X es µx =(10 000)(0.0002) = 2.

Otra masa contiene 5 000 átomos y cada uno de estos tiene probabilidad de 0.0004 de decaer en un intervalo de un minuto. Se Y el numero de átomos de esta masa que decae en un minuto. Por lo tanto Y ~ Bin(5 000, 0.0004) y µy = (5 000)(0.0004)=2.

En cada uno de estos casos, el número de ensayos n y la probabilidad de éxito p son diferentes, pero el número promedio de éxitos, que es igual al producto np, es el mismo. Ahora suponga que se quiere calcular la probabilidad de que solo tres átomos decaigan en un minuto para cada uno de estas masas. Mediante la función de masa de probabilidad binomial, se calcula de la siguiente manera:

Esta probabilidades son casi iguales entre sí. Aunque a partir de la fórmula de la función de masa de probabilidad binomial esto no es obvio, cuando n es grande y p es pequeño la función de masa depende por completo de la media np, y muy pocos de los valores específicos de n y p. por consiguiente, se puede aproximar la función

de masa binomial con una cantidad que dependa solo del producto np. Específicamente, si n es grande y p es pequeña, y λ =np, se puede demostrar

mediante métodos avanzados que para toda las X.

Si X es una variable aleatoria cuya función de masa de probabilidad esta dada por la ecuación entonces X sigue una distribución de

poisson con parámetro λ . La notación es X~ Poisson (λ)

Esto conduce a la definición de una nueva función de probabilidad, denominada función de masa de probabilidad de poisson, que se define mediante

Siempre y cuando X sea un numero

entero y no negativo

Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tiene estos defectos determine P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) y P(X = 5)

P(X = x) Sustitución de la formula

Resultado

P(X = 1) e-3 (31/1!) 0.149361205

P(X = 2) e-3 (32/2!) 0.224041807

P(X = 3) e-3 (33/3!) o.224041807

P(X = 4) e-3 (34/4!) 0.168031355

P(X = 5) e-3 (35/5!) 0.100818813

λ =np =(10 0008)(0.03%)λ = 3

Si X ~Poisson (5), calcule: P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) y P(X = 5)

λ

P(X = x) Sustitución de la formula Resultado

P(X = 1) e-5 (51/1!) 0.033689735

P(X = 2) e-5 (52/2!) 0.084224337

P(X = 3) e-5 (53/3!) 0.140373895

P(X = 4) e-5 (54/4!) 0.175467369

P(X = 5) e-5 (55/5!) 0.175467369

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. Distribución normal estándar N (0, 1) La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene

por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1. La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la

figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Distribución Normal

Tipificación de la variable Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue

una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N (0, 1).

Cálculo de probabilidades en distribuciones normales La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variable

tipificada. Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k). Φ (k) = P (z ≤ k)

Determine el área bajo la curva normal

a) Ala derecha de z= -0.85.

b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.

c) Entre z =0.30 y z = 0.90.

d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45

Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas

a) 1 – 0.1977 = 0.8023

b) 0.9032 – 0.6554 = 0.2478

c) 0.8159 – 0.3821 = 0.4338

d) 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404

Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con media de 480 y desviación estándar de 90.

a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?

b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?

Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se encuentra?

c) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?

µ = 480 σ = 90

a) Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073

b) la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67

El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7

c) z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082

Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91

d) z = (420 - 480)/90 = - 0.67

Z = (520 – 480)/90 = 0.44 El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186

3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 Gpa?

b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.

c)Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.

RESULTADOS

µ = 10 σ = 1.4

a) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764

b) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67

El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.

c) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645 El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.

4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un caldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo el día.

a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en que proporción de días se suspenderá el proceso?

b)El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida?

RESULTADOS

a) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336

b) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228 Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días

5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con media de 12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.

a)¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?

b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?

c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?

 RESULTADOS

a) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475

b)Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas

c)– 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas

La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= nlambda(escala) y p=n (forma). Se denota

Gamma(a,p).   Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de

la duración de elementos físicos (tiempo de vida). Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”.

Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).

Distribución Gamma

El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de

Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.

Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).

Solución:

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Ejemplos:

Gamma (a p)

a : Escala

60000

p : Forma 20000

Punto X 10000

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

.

Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

 1. El tiempo medio de supervivencia.

2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años

•Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

Aquí se encuentran las muestras que se tomaron para resolver el problema.

Solución:

Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo siguiente se aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar con los datos con los que contamos.

Tendremos que sustituir los datos

t= x -μ

SI n α = 1- Nc = 10%

v = n-1 = 24

t = 2.22

Procedimiento: se demostrara la forma en que se sustituirán los datos. VALOR DE LOS DATOS.. APLICACION DE LA FORMULA

µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22 n=25 12.07 25 Nc=90% v = 25 -1 = 24 X=505.36 α = 1- 90% = 10% S=12.07  

Distribución T de student En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de

probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

DondeZ tiene una distribución normal de media nula y varianza 1V tiene una distribución ji-cuadrado con  grados de libertadZ y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente    es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con

parámetro de no-centralidad

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea

La media muestral. Entonces sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,

1. Sea T ~ t(4,0.5) a) Determinar 𝜇𝑇 𝜇𝑡 = 40.5 = 8

b) Determinar 𝜎𝑇

𝜎𝑇 = ඨ 40.52 = 4

c) Determinar P(T≤ 1)

P(T< 1) = 1− σ 𝑒−ሺ0.5ሻሺ1ሻሾሺ0.5ሻሺ1ሻሿ𝑗𝑗!4−1𝑗=0

= 1- e –(0.5)(1) ሾ(0.5)(1)ሿ00! - e –(0.5)(1) ሾ(0.5)(1)ሿ11! - e –(0.5)(1) ሾ(0.5)(1)ሿ22! - e (0.5)(1) ሾሺ0.5ሻሺ1ሻሿ33!

=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636

=0.000175

d) Determinar P(T≥ 4) P(T< 1) = 1− σ 𝑒−ሺ0.5ሻሺ3ሻሾሺ0.5ሻሺ3ሻሿ𝑗𝑗!4−1𝑗=0

= e –(0.5)(3) ሾ(0.5)(3)ሿ00! - e –(0.5)(3) ሾ(0.5)(3)ሿ11! - e –(0.5)(3) ሾ(0.5)(3)ሿ22! - e (0.5)(3) ሾሺ0.5ሻሺ3ሻሿ33!

=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551

=0.9344

1. Sea T ~ Weibull(0.5,3) a) Determinar 𝜇𝑇 𝜇𝑇 = ൬

13൰2!= 23 = 0.6667

b) Determinar 𝜎𝑇

𝜎𝑇 = ට(132)ሾ4!− (2!)2ሿ= ට(19)ሾ24− 4ሿ= 1.4907

c) Determinar P(T> 5)

P (T>5) =1-P(T≤1) = 1 – e-ሾ(3)(1)ሿ0.5 = 1− 𝑒−150.5 = 0.0208

1. En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete Failure Observation”se modela la duración en horas, de cierto tipo de cojinete con la distribución de Weibull con parámetros 𝛼= 2.25 𝑦 𝛽 = 4.474𝑋10−4

a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas 𝑃ሺ𝑇> 1000ሻ= 1− 𝑃ሺ𝑡 ≤ 1000ሻ= 1−൫1− 𝑒−ሾሺ0.0004474ሻሺ1000ሻሿ2.25൯= 0.8490

b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas

P(T<2000)= P(T≤ 2000) = 1− 𝑒ሾሺ0.0004474ሻሺ2000ሻሿ2.25 ) = 0.5410 c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en

T=2000 horas? h(t) =𝛼𝛽𝛼𝑡𝛼−1 = 2.25ሺ0.00044742.25 ሻሺ20002.25−1ሻ= 8.761𝑋10−4

1. La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema computacional tiene una distribución de Weibull con 𝛼= 1.5 𝑦 𝛽 = 0.0001 a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000

horas?

P(T>10 000 ) =1 –(1-𝑒 −ሾ(0.0001)(10 000)ሿ1.5) = 𝑒 −ሾ(0.0001)(10 000)ሿ1.5 =0.3679

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas?

P(t<5000) =P(T≤ 5000) = 1− 𝑒 ሾሺ0.0001ሻሺ5000ሻሿ1.5 = 0.2978

5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara cuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistema falla. Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2 son independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con 𝛼= 2 𝑦 𝛽 = 0.2 a) Determine P(𝑋1 > 5) P(𝑋1 > 5) = 1− 𝑝ሺ𝑋1 ≤ 5ሻ= 1− (1− 𝑒−ሾሺ0.2ሻሺ5ሻሿ2= 𝑒−1 = 0.1353

b) Determine P(T≤5) P(T≤ 5) = 1− 𝑃(𝑇> 5) = 1− 𝑒−2=0.8647

c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus parametros? Si, T~ Weibull (2, ξ0.08) = 𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙 (2,0.2828)