estudio completo de una función
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Estudio completo de una función
Funciones crecientes y decrecientes
Definición 1
es creciente en si
Definición 2
es decreciente en si
Si es derivable, este crecimiento o decrecimiento de la función está ligado con el
signo de la derivada primera , que indica la pendiente de la recta tangente.
Si es creciente en
Si es decreciente en
En el caso de funciones simples el dominio de la función se puede dividir en un número finito de
intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Estos intervalos están limitados por los puntos
donde ó .
crece
decrece
crece
1
recta tangente
Crece
recta tangente
Decrece
Ejemplos
1)
en
Dom y crece
y crece
La función es siempre creciente
2)
Intervalos decrece
crece
3) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de
intervalos
Si crece en
Si decrece en
Si crece en
4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de
Esta función derivada no se anula, sin embargo no existe en
Entonces los intervalos serán
decrece
crece
2
crecedecrece
crecedecrece
Extremos relativos de una función
Máximo relativo
tiene un máximo relativo en si su valor es mayor que en cualquier otro punto x de un
entorno de .
tiene un máximo relativo en si
Mínimo relativo
tiene un minimo relativo en si su valor es menor que en cualquier otro punto x de un
entorno de .
tiene un mínimo relativo en si
Condición necesaria para la existencia de un extremo relativo
En los puntos donde hay extremo se verifica que la derivada primera es cero o la función no es derivable.
Si tiene un extremo en ó ( discontinua en
)
Se llama puntos críticos a los posibles extremos de una función.
Condición suficiente para la existencia de extremos
1. Si es continua en un intervalo que contiene a un punto crítico y derivable en todo punto
de ese intervalo (a excepción quizás del mismo ), podemos asegurar la existencia de un máximo
relativo en , si al pasar por dicho punto de izquierda a derecha la función pasa de ser creciente a
ser decreciente. Es decir que la derivada cambia de signo de positiva a negativa.
tendrá un mínimo relativo en si al pasar de izquierda a derecha por él la función pasa de
decreciente a creciente, es decir que su derivada pasa de ser negativa a positiva.
Sean
> 0 -
0 a mínimo
< 0 +
> 0 +
0 a máximo
< 0-
3
Ejemplo
en
en mínimo-1 -20 01 2
Observación
Si no hay cambio de signo, no hay extremo.
2. Signo de la derivada segunda
Sea derivable en y
Si existe y entonces:
Si tiene un mínimo relativo en
Si tiene un máximo relativo en
La explicación está dada: porque significa que , luego es creciente pero al
ser entonces debe pasar de negativa a positiva (criterio anterior: es mínimo).
Al revés si significa que decreciente, pero al ser
debe pasar de positiva a negativa (criterio anterior: es máximo).
4
Ejemplos
1)
punto crítico
El cero no es punto crítico porque no pertenece al dominio.
Primer método (derivada primera):-7 -
1 0 a es un mínimo
2 +
Segundo método (derivada segunda) : mínimo
2)
3 puntos críticos
-2 72 > 0 + < 0 - > 0 +
-1 0 a 0 0 a 1 0 a
< 0 - > 0 + 2 -72 -
Máximo Mínimo Máximo
5
mínimo en
máximo en
máximo en
1
3
Concavidad y puntos de inflexión
Sea derivable, diremos que es cóncava hacia abajo (y negativas) en un intervalo si
todos los puntos de la curva están por debajo de las rectas tangentes trazadas a la misma en cualquier punto de ese intervalo.
Del mismo modo es cóncava hacia arriba (y positivas) en un intervalo si todos los puntos de
la curva están por encima de las rectas tangentes trazadas a la misma en cualquier punto del intervalo.
Por lo tanto es
Cóncava positiva si la derivada es creciente (de + a -)
Cóncava negativa si la derivada es decreciente (de - a +)
O sea:
Si es cóncava + en
Si es cóncava - en
Punto de inflexión
La función derivable tiene en un punto de inflexión si existen dos intervalos y
tales que sea cóncava hacia arriba en uno de ellos y cóncava hacia abajo en el otro (la recta
tangente atraviesa la curva en ese punto).La condición necesaria para que exista un punto de inflexión es que la derivada segunda se anule o
no exista.
ó
La condición suficiente es que haya un cambio en la concavidad.
Ejemplos
1)
Posible punto de inflexión en
cóncava + No hay cambio de signo, entonces no es punto de inflexión cóncava +
2)
6
_ +
Cóncava –
(máximo )
Cóncava +
(mínimo )
ó
Posible punto de inflexión en
cóncava más
punto de inflexión
cóncava menos
3)
ó
es un punto de inflexión
Estudio completo de una función (Construcción de gráficos)
Dada una función vamos a aplicar todos los conocimientos anteriores para obtener el
máximo de información posible sobre ella y proceder al trazado de su gráfico.
Ejemplos
1) Hacer un estudio completo de
Dominio :
Imagen :
Ceros :
Par o impar : no es ni par ni impar
Continuidad : discontinua en pues pero no evitable
Crecimiento y decrecimiento : en
creciente pues
creciente
Máximos y mínimos : no tiene
Concavidad : en posible punto de inflexión
cóncava +
7
cóncava – en
luego, es un punto de inflexión
Asíntotas : A.V.
A.H.
Gráfico :
2)
Dominio:
Imagen: Intersecciones con los ejes
en
Impar Asíntotas:
A.V.
A.O.
punto de inflexión
mínimo
máximo
8
1
-1
Gráfico simultáneo de y, y’ e y’’
9
A
B
C
D
E
A’
B’
C’
D’
E’
A’’
B’’
C’’
E’’
D’’
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