estudio de función
DESCRIPTION
calculo diferencial (funciones)TRANSCRIPT
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
Estudio de función
a) f (x) =
Dominio de la función : R
Asíntotas :
A.V. : A.V.: x= a
Para que la función tienda a infinito la x debe tender hacia infinito positivo y negativo. En
conclusión, no existen asíntotas verticales.
A.H. : A.H.: y= b
Ídem que las asíntotas verticales.
A.O. : .
Puntos Críticos : Máximos y Mínimos.
Para hallar estos puntos, es necesario calcular la primera derivada de la función:
Luego de hallar la primera derivada hay que igualarla a cero para hallar los puntos críticos:
Como 3 es raíz: Regla de ruffini: 4 -24 44 -24
3 12 -36 24
4 -12 8 0
Una vez hallados los puntos críticos, hay que determinar cuáles son Máximos y cuales Mínimos. Para
ello hay que estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función.
Crecimiento y decrecimiento : Teniendo los puntos críticos, hay que comparar el comportamiento de
valores de x previos y posteriores a dichos puntos. Si las imágenes de dichos valores son negativas en
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
la primera derivada (es decir ), la función decrece y por el contrario cuando la primera
derivada es positiva (es decir ), la función crece. Una vez conocido esto, si la función crece
antes del punto y luego decrece, estamos ante la presencia de un punto Máximo. Por el contrario, si
primero decrece y luego crece, el punto crítico es un punto Mínimo.
Para esta función elegimos los valores 0, 1.5, 2.5 y 4 (previos y posteriores a 1, 2 y 3,
respectivamente).
Tanto para x= 0 como para x= 2.5 notamos que la derivada es negativa, mientras que en x= 1.5 y x= 4
la derivada es positiva:
x 0 1 1.5 2 2.5 3 4
f ’(x) -24 0 1.5 0 -1.5 0 24
f (x) Mínimo Máximo Mínimo
Los períodos de Crecimiento de la función son:
Los períodos de Decrecimiento de la función son:
Concavidad y Puntos de Inflexión (Tangente Horizontal y Oblicua) :
Para estudiar la concavidad es necesario calcular la segunda derivada de la función:
Si las imágenes son positivas en la segunda derivada (es decir ), el tramo correspondiente
en la función original tendrá concavidad positiva mientras que si son negativas (es decir )
su concavidad será negativa. Para analizar esto primero calcularemos los Puntos de Inflexión
(Tangentes Horizontales y Tangentes Oblicuas). Para ambos casos hay que igualar a cero esta
derivada:
Para saber si son Tangentes Horizontales u Oblicuas, se sustituyen estos valores en la primera
derivada. Si la imagen es igual a cero entonces es Horizontal, de lo contrario es Oblicua. En este caso
ambas son Oblicuas.
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
x 0 1.42 2 2.58 3
f ’’(x) 44 0 -4 0 8
f (x) Tg. Obl. Tg. Obl.
Gráfico correspondiente a la función (f(x) en azul, f’(x) en rojo y f’’(x) en verde) :
b) f (x) =
Dominio de la función :
Asíntotas :
A.V. : A.V.: x= a
Para que la función tienda a infinito, el denominador debe tender hacia cero:
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
A.V.: x = { }
A.H. : A.H.: y= b
Para salvar la indeterminada es necesario dividir por x a la mayor exponente, en este caso x1. Hay
que dividir tanto en el numerador como en el denominador:
Para poder incluir la x dentro de la raíz es preciso compensar esa raíz con un cuadrado ya que de lo
contrario se estaría creando una función nueva. A su vez, como la compensación creada da como
resultado un módulo se debe desglosar el estudio del límite en de
acuerdo con la definición de módulo en donde, para x positivos, y
para x negativos, .
A.H.: y = { }
A.O. : Al existir asíntotas horizontales en la función, podemos afirmar que no existe ninguna
asíntota oblicua debido a que estos dos tipos de asíntotas no pueden coexistir en una misma función.
Puntos Críticos : Máximos y Mínimos.
Además de tener los puntos críticos correspondientes a las asíntotas verticales, existen otros puntos
críticos. Para hallar estos puntos, es necesario calcular la primera derivada de la función:
Luego de hallar la primera derivada hay que igualarla a cero para hallar los puntos críticos:
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
Crecimiento y decrecimiento : Una vez hallados los puntos críticos (en este caso solo las AV), hay que
comparar el comportamiento de valores de x previos y posteriores a dichos puntos. Si las imágenes de
dichos valores son negativas en la primera derivada (es decir ), la función decrece y por el
contrario cuando la primera derivada es positiva (es decir ), la función crece.
Para esta función elegimos los valores -2 y 2 (previos y posteriores a , respectivamente).
Entre dichas asíntotas los valores de x no corresponden al dominio asique no serán tomados en cuenta.
Tanto para x= -2 como para x= 2 notamos que la derivada es negativa por lo tanto la función original
es estrictamente decreciente.
Concavidad y Puntos de Inflexión (Tangente Horizontal y Oblicua) :
Para estudiar la concavidad es necesario calcular la segunda derivada de la función:
Luego de eso, realizamos el mismo procedimiento que para determinar los periodos de crecimiento y
decrecimiento, con la diferencia que esta vez, si las imágenes son positivas en la segunda derivada (es
decir ), el tramo correspondiente en la función original tendrá concavidad positiva mientras
que si son negativas (es decir ) su concavidad será negativa.
Para el x = -2, la segunda derivada es negativa, por ende, la concavidad es negativa para el tramo
. Para el x = 2 la segunda derivada es positiva y la concavidad en el tramo es
positiva.
Respecto a los Puntos de Inflexión, con la segunda derivada se puede confirmar la existencia de
Tangentes Horizontales y hallar Tangentes Oblicuas. Para ambos casos hay que igualar a cero esta
derivada:
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
Gráfico correspondiente a la función (f(x) en azul, f’(x) en rojo y f’’(x) en verde) :
c) f (x) =
Dominio de la función :
Asíntotas :
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
A.V. : A.V.: x= a
Para que la función tienda a infinito, el denominador debe tender hacia cero:
A.V.: x = { }
A.H. : A.H.: y= b
Para salvar la indeterminada se puede aplicar la regla de L’ Hôpital que enuncia lo siguiente:
A.O. : .
Puntos Críticos : Máximos y Mínimos.
Además de tener el punto crítico correspondiente a la asíntota vertical, existen otros puntos críticos.
Para hallar estos puntos, es necesario calcular la primera derivada de la función:
Luego de hallar la primera derivada hay que igualarla a cero para hallar los puntos críticos:
Una vez hallado, hay que determinar si es un punto Máximo o uno Mínimo. Para ello hay que estudiar
el crecimiento y decrecimiento de la función.
Crecimiento y decrecimiento : Teniendo los puntos críticos, hay que comparar el comportamiento de
valores de x previos y posteriores a dichos puntos. Si las imágenes de dichos valores son negativas en
la primera derivada (es decir ), la función decrece y por el contrario cuando la primera
derivada es positiva (es decir ), la función crece. Una vez conocido esto, si la función crece
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
antes del punto y luego decrece, estamos ante la presencia de un punto Máximo. Por el contrario, si
primero decrece y luego crece, el punto crítico es un punto Mínimo.Para esta función elegimos los valores 0.5, 2, y 3 (previos y posteriores a 1 y e, respectivamente). Tanto para x= 0.5 como para x= 2 notamos que la derivada es negativa mientras que en x=3 la derivada es positiva (crece).
x 0.5 1 2 e 3
f ’(x) -3.52 -0.64 0 0.08
f (x) Mínimo
El período de Crecimiento de la función es:
Los períodos de Decrecimiento de la función son:
Concavidad y Puntos de Inflexión (Tangente Horizontal y Oblicua) :Para estudiar la concavidad es necesario calcular la segunda derivada de la función:
Si las imágenes son positivas en la segunda derivada (es decir ), el tramo correspondiente en
la función original tendrá concavidad positiva mientras que si son negativas (es decir ) su
concavidad será negativa. Para analizar esto primero calcularemos los Puntos de Inflexión (Tangentes
Horizontales y Tangentes Oblicuas). Para ambos casos hay que igualar a cero esta derivada:
Para saber si es una Tangente Horizontal u Oblicua, se sustituye este valor en la primera derivada. Si la imagen es igual a cero entonces es Horizontal, de lo contrario es Oblicua. En este caso es Oblicua.
x 0.5 1 2 7.39 10
f ’’(x) -16.17 1.96 0 -0.0025
f (x) Tg. Obl.
Gráfico correspondiente a la función (f(x) en azul, f’(x) en rojo y f’’(x) en verde) :
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
d) f (x) =
Dominio de la función :
Asíntotas :
A.V. : No existen asíntotas verticales ya que la función es continua en R (no existen puntos de
discontinuidad).
A.H. : A.H.: y= b
Para salvar la indeterminada se puede aplicar la regla de L’ Hôpital que enuncia lo siguiente:
Volvemos a aplicar L’ Hôpital:
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
A.H.: y = { }
A.O. : Al existir una asíntota horizontal en la función, podemos afirmar que no existe ninguna
asíntota oblicua debido a que estos dos tipos de asíntotas no pueden coexistir en una misma función.
Puntos Críticos : Máximos y Mínimos.
Para hallar estos puntos, es necesario calcular la primera derivada de la función:
Luego de hallar la primera derivada hay que igualarla a cero para hallar los puntos críticos:
Una vez hallados los puntos críticos, hay que determinar cuáles son Máximos y cuales Mínimos. Para
ello hay que estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función.
Crecimiento y decrecimiento : Teniendo los puntos críticos, hay que comparar el comportamiento de
valores de x previos y posteriores a dichos puntos. Si las imágenes de dichos valores son negativas en
la primera derivada (es decir ), la función decrece y por el contrario cuando la primera
derivada es positiva (es decir ), la función crece. Una vez conocido esto, si la función crece
antes del punto y luego decrece, estamos ante la presencia de un punto Máximo. Por el contrario, si
primero decrece y luego crece, el punto crítico es un punto Mínimo.Para esta función elegimos los valores -1, 1, y 3 (previos y posteriores a 0 y 2, respectivamente). Tanto para x= -1 como para x= 3 notamos que la derivada es negativa mientras que en x=1 la derivada es positiva (crece).
x -1 0 1 2 3
f ’(x) -8.1548 0.3679 0 -0.1494
f (x) Mínimo Máximo
El período de Crecimiento de la función es:
Los períodos de Decrecimiento de la función son:
Concavidad y Puntos de Inflexión (Tangente Horizontal y Oblicua) :
Para estudiar la concavidad es necesario calcular la segunda derivada de la función:
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª
Si las imágenes son positivas en la segunda derivada (es decir ), el tramo correspondiente
en la función original tendrá concavidad positiva mientras que si son negativas (es decir )
su concavidad será negativa. Para analizar esto primero calcularemos los Puntos de Inflexión
(Tangentes Horizontales y Tangentes Oblicuas). Para ambos casos hay que igualar a cero esta
derivada:
Para saber si son Tangentes Horizontales u Oblicuas, se sustituyen estos valores en la primera
derivada. Si la imagen es igual a cero entonces es Horizontal, de lo contrario es Oblicua. En este caso
ambas son Oblicuas.
x -1 0.59 2 3.41 5
f ’’(x) 19.03 0 -0.27 0 0.05
f (x) Tg. Obl. Tg. Obl.
Gráfico correspondiente a la función (f(x) en azul, f’(x) en rojo y f’’(x) en verde) :
Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª