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ELIPSE

¿Qué es una elipse?

Una elipse es una curva, cerrada plana que resulta al cortar de forma oblicua un cono mediante un plano.

Elipse, analíticamente se dice que es el lugar

geométrico de un punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) que se mueve en

un plano, tal que la suma de sus distancias a dos

puntos fijos F1 y F2 llamados focos es una constante.

𝑃𝐹 1 + 𝑃𝐹 2 = 𝑐𝑡𝑒

La recta que contiene a los focos se llama eje focal.

El segmento 𝐹1 𝐹2 que tiene por extremos a los focos 𝐹1 y 𝐹2 se denomina segmento focal de la elipse, y tiene una longitud

igual a 2c.

Centro de la elipse es el punto medio de 𝐹1 𝐹2

Por lo que, la distancia del centro C de la elipse a cada uno de los focos es igual a c.

Se denominan

*Vértices, se denotándose 𝑉1 y 𝑉2 a los puntos de intersección del eje focal con la elipse.

Se denomina eje mayor a la distancia entre los vértices 𝑉1𝑉2 =2𝑎.

Se denomina eje menor la distancia entre los puntos de intersección de la curva con eje Y, 𝐵1𝐵2 = 2𝑏

La distancia entre los focos corresponde a 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

La longitud del lado recto corresponde a 𝐿𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎

Se llama excentridad a la razón entre la distancia entre centro y

focos, y vértices. Se denota por 𝑒 , 𝑒 =𝑐

𝑎< 1

Ecuación canónica de la elipse

. x

y

-a -c c a . .

b -b

F2 F1

. P(x,y)

d(P,F1) + d(P,F2) = Cte (a>b)

d(P,F1) + d(P,F2) = 2a (a >b)

Como la suma de las distancias de 𝑃 = (𝑥, 𝑦) a los focos es constante, entonces, cuando 𝑃 esté sobre el eje X , se tiene, constante = 2a

2a0ycx0ycx2222

Desarrollando y simplificando se obtiene

Ecuación de la elipse con

Centro en Origen y eje focal

coincide con eje X

EJEMPLO

EJE FOCAL PARALELO A LOS EJES COORDENADOS

EJEMPLO

Respuesta: B

Respuesta: C

1) Calcular la ecuación de la elipse de centro (1, 2), uno de los focos (6, 2) y que pase por el punto (4, 6)

2) Una elipse tiene sus vértices sobre los puntos (2, 6) y (2, – 2) si su lado recto mide 2, determine su excentricidad

3) Calcular la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos (4, 2) y (–2, 2) sea igual a 8

La hipérbola: Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos en un plano, para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (denominados focos) es una constante.

y

x Eje transverso

Eje transverso

Una hipérbola tiene dos ejes; el eje que corta a la hipérbola es su eje transverso; el punto en el que se cortan los ejes es el centro de la curva.

La recta que contiene a los focos se llama eje focal.

El segmento 𝐹1 𝐹2 que tiene por extremos a los focos 𝐹1 y 𝐹2 se denomina segmento focal de la hipérbola, y tiene una

longitud igual a 2c.

Centro de la hipérbola es el punto medio de 𝐹1 𝐹2

Por lo que, la distancia del centro C de la hipérbola a cada uno de los focos es igual a c.

Se denominan

*Vértices, se denotándose 𝑉1 y 𝑉2 a los puntos de intersección del eje focal con la hipérbola

Se denomina eje transverso a la distancia entre los vértices 𝑉1𝑉2 = 2𝑎.

Se denomina eje conjugado la distancia entre los puntos de intersección de la curva con eje Y, 𝐵1𝐵2 = 2𝑏

La distancia entre los focos corresponde a 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

La longitud del lado recto corresponde a 𝐿𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎

Se llama excentridad a la razón entre la distancia entre centro

y focos, y vértices. Se denota por 𝑒 , 𝑒 =𝑐

𝑎> 1

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA

Centro en el origen de las coordenadas y eje focal

coincidente con eje X

Centro en el origen de las coordenadas y eje focal

coincidente con eje Y

En la Hipérbola la relación entre 𝑎, 𝑏 y 𝑐

corresponde a:

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

DESAFÍO

Determinar las ecuaciones de la Hipérbola con centro en 𝐶 = (ℎ, 𝑘) y eje focal paralelo a

los ejes coordenados.

¿Cuáles serían las coordenadas de sus vértices y focos?

Revisar texto apuntes de la asignatura

Reducir la ecuación general de la hipérbola a su forma canónica y

obtener sus elementos importantes

6x2 – 12x – 4y2 – 16y – 34 = 0

EJERCICIO

34164126 22 y y – x – x

y y – x – x 344426 22

16634444126 22 yy – x – x

24241622

y – x

1

6

2

4

122

y

– x

Solución: 6x2 – 12x – 4y2 – 16y – 34 = 0

1

6

2

2

12

2

2

2

y

– x

1

6

2

2

12

2

2

2

y

– x

(1,-2)

x

y

Propuesto:

Obtener coordenadas de Centro,

vértices, focos, longitudes ejes

transverso, conjugado, lado recto y

ecuaciones de asíntotas.

Graficar

Respuesta: 𝒚 =𝟓

𝟒𝒙

Respuesta: A

1) Una hipérbola con centro en (1, 4) tiene un foco en (7, 4) y un vértice es (3, 4).

Hallar su ecuación

2) La ecuación de una hipérbola es

4𝑥2 – 9𝑦2 + 16𝑥 – 54𝑦 – 101 = 0

Calcular la longitud de su lado recto