el consumidor: la optimización microeconomía avanzada
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El Consumidor: La Optimización
Microeconomía Avanzada
AgregaciónAgregaciónOptimización
y estática comparada
Optimización y estática
comparadaBienestarBienestar
Panorámica
Oportunidades y
Preferencias
Oportunidades y
PreferenciasAgregaciónAgregación
Oprtunidades y
Preferencias
Oprtunidades y
PreferenciasBienestarBienestar
El consumidor
El consumidor
Lo que haremos:
Queremos resolver el problema de optimización del consumidor...
...utilizando métodos que ya hemos introducido.
Esto nos permite reciclar conocimientos ya adquiridos
Queremos resolver el problema de optimización del consumidor...
...utilizando métodos que ya hemos introducido.
Esto nos permite reciclar conocimientos ya adquiridos
AyuditaIntente ver de nuevo el capitulo 2 de la empresa......busque los puntos de comparación.
El Consumidor
El Consumidor
Oportunidades y
preferencias
Oportunidades y
preferencias
Optimización y estática
comparativa
Optimización y estática
comparativa Agregación AgregaciónBienestar
Lecciones de la
empresa
Lecciones de la
empresa
La ecuación de Slutsky
La ecuación de Slutsky
Lecciones de la
empresa
Lecciones de la
empresa
Primal y Dual
Primal y Dual
La ecuación de Slutsky
La ecuación de Slutsky
El óptimo del consumidor
El Consumidor intenta maximizar la utilidad....
increm
ento
en las
prefer
encias
x1
x2
...sujeto a la restricción presupuestariax2
x1
Este es conocido como el problema primal...
sujeto a
U(x)max
pi xi Mn
i=1
increm
ento e
n
prefer
encias
Solución al problema primal
x*
Pero hay otra manera
de ver esto...
RestricciónRestricción
Alternativamente el consumidor intenta minimizar costos...
reducir
costos
x2
x1
... sujeto a una restricción de utilidad
ux2
x1
Este enfoque alternativo se llama el problema dual
sujeto a
p x n
i=1 i i
U(x) u
min
reducir
costos
x*
La solución al problema dual
Conjunto restricciónConjunto restricción
Pero...
???
donde hemos visto antes el problema dual...
minimización de costos de la empresa
z 1
z 2
z*
Q
_
reducir
costos
Dos tipos de minimización de costos:
La similitud entre los dos problemas no es mera casualidad.
Podemos usarla para ahorrarnos trabajo.
TODOS los resultados del problema de la empresa que obtuvimos para la etapa 1 pueden ser utilizados.
Sólo necesitamos traducirlos en forma inteligente.
El Consumidor
El Consumidor
Opportunidades y
Preferencias
Opportunidades y
Preferencias
Optimisación y Estática
Comparada
Optimisación y Estática
Comparada Agregación AgregaciónBienestar
Lecciones de la
empresa
Lecciones de la
empresa
La ecuación de Slutsky
La ecuación de Slutsky
Primal y Dual
Primal y Dual
Primal y Dual
Primal y Dual
La ecuación de Slutsky
La ecuación de Slutsky
El óptimo del Consumidor
Comparando la minimización de costos de la empresa
z 1
z 2
z*
Q
_
reducir
costos
ux2
x1reducir
costos
x*
y para el consumidor...... la diferencia está solo en la notación
de modo que las funciones solución y las funciones
de respuesta deben ser las mismas
de modo que las funciones solución y las funciones
de respuesta deben ser las mismas
Repasemos las formalidades de la solución...
Use las CPO
Use las CPO
En x* encontramos
En x* encontramos
Si tanto i como j son comprados...
relaciónTMS = de Precios
_____ __ =Ui(x) pi
Uj(x) pj
Un conjunto de n +1 condiciones
U1(x*) = p1
U2(x*) = p2
... ... ...
Un(x*) = pn Restricción de
utilidad
Restricción de
utilidad
uno para cada bien
uno para cada bien
Y si las curvas de indiferencia tocan los ejes...
u = U(x*)
U1(x*) p1
U2(x*) p2
... ... ...
Un(x*) pn
multiplicadores de Lagrange
Resultado ?
La solución...
Obtenemos un valor de costo mínimo (gasto mínimo) para cada bien...
...para el multiplicador de Lagrange...
...y , por supuesto, para el costo total mínimo (gasto total mínimo).
Cada uno de ellos puede ser escrito en función del precio (p) y de la utilidad (u).
Veamos...
La solución es la función de costo del consumidor o su función de gasto-
C(p, u) :=
vector de pricios de los bienes
vector de pricios de los bienes
Nivel de UtilidadNivel de Utilidad
min pi xi{U(x) u}
No decreciente en precios-
Creciente en al menos un precio
Creciente en utilidad.
Concava en p
Homogenea de grado uno en p.
El Lema de Shephard.
La función de costos tiene las mismas propiedades que las de la empresa.
Y por supuesto otros resultados se siguen:
El Lema de Shephard da la demanda como función de los precios y el nivel de utilidad.
Las propiedades de la función solución determina la conducta de las funciónes respuesta.
Los resultados del corto plazo pueden usarse para modelar restricciones laterales tales como el racionamiento.
El Lema de Shephard da la demanda como función de los precios y el nivel de utilidad.
Las propiedades de la función solución determina la conducta de las funciónes respuesta.
Los resultados del corto plazo pueden usarse para modelar restricciones laterales tales como el racionamiento.
La tiene clara?
Aquí viene un apretado resumen...
Minimización de costo de la empresa
zi* = Hi(w,Q)zi* = Hi(w,Q)
C(w,Q)C(w,Q)
minz
wi zi sujeto a G(z) Qi
m
1
Problema...
...solución
respuesta:
Minimización de costos del consumidor:
xi* = Hi(p,u)xi* = Hi(p,u)
C(p,u)C(p,u)
Problema...
...solución
respuesta:
minx
pi xi sujeto a U(x) ui
n
1
Los problemas de minimización de costo son idénticos
zi* = Hi(w,Q)zi* = Hi(w,Q)
C(w,Q)C(w,Q)
minz
wi zi sujeto a G(z) Qi
m
1
Problem...
...solution
respuesta:
Ahora volvam
os atrás...
Ahora volvam
os atrás...
El Consumidor
El Consumidor
Oportunidades y
Preferenciass
Oportunidades y
Preferenciass
Optimisación y estática
Comparada
Optimisación y estática
Comparada AgregaciónAgregaciónBienestar
Lecciones de la
empresa
Lecciones de la
empresa
La ecuación de Slutsky
La ecuación de Slutsky
Primal y Dual
Primal y Dual
Primal y Dual
Primal y Dual
Lecciones de la
empresa
Lecciones de la
empresa
El óptimo del consumidor
El Problema Primal
x2
x1
increm
ento e
n
prefer
encias
x*
ux2
x1reducir
costos
x*
Asi podemos relacionar susfunciones de solución con sus
funciones de respuesta.
Asi podemos relacionar susfunciones de solución con sus
funciones de respuesta.
y el problema dualson equivalentesRepasemos el problema primal
De nuevo use las CPO
De nuevo use las CPO
En x* encontramos
...
En x* encontramos
...
Si i y j son comprados...
relaciónTMS = de precios
_____ __ =Ui(x) pi
Uj(x) pj
(igual que antes)
Un conjunto de n +1 condiciones
U1(x*) =p1
U2(x*) =p2
... ... ...
Un(x*) =pn(limitante) restricción
presupuestaria
(limitante) restricción
presupuestaria
una por
cada bien
una por
cada bien
Y si las curvas de indiferencia tocan los ejes...
U1(x*)
p1
U2(x*)
p2
... ... ...
Un(x*)
pn
Multiplicadores de Lagrange
pi xi* = Mn
i=1
Resultado?
La solución.
Obtenemos un valor que maximiza la utilidad para cada bien...
...para el multiplicador de Lagrange...
...y por supuesto para la función de utilidad.
Cada uno de los anteriores puede ser escrita en función de los precios (p) y del ingreso (M).
Veamos...
La solución es la función de utilidad indirecta
V(p, M) :=i=1 pi xi M
n
ingreso monetar
io
ingreso monetar
io
vector de
precios de los bienes
vector de
precios de los bienes
max U(x) sujeto a
u = V(p, M)
Así como la función de costo relaciona precios y utilidad con el ingreso mínimo...
M = C(p, u)
Las dos funciones solución deben ser
compatibles entre sí.
Dos lados de la misma moneda...
... de igual modo la función indirecta de utilidad relaciona precios e ingreso con la
utilidad máxima.
La función indirecta funciona como una “inversa” a la función de costo.
u = V(p, C(p,u))
M = C(p, V(p, M))
Algunas veces identidades
inocuas como éstas pueden hacer cosas interesantes
No decrecientes en todos los precios.
Decreciente en al menos un precio.
Creciente en ingreso.
Cuasi convexo en precios.
Homogeneos of grado 0 en p , M
La Identidad de Roy.
(Todo lo cual puede encontrarse haciendo uso de las propiedades de las funciones de costos)
La función de utilidad indirecta posee algunas propiedades familiares...
Identidad de Roy...???
u = V(p, M)
(...use la definición del óptimo)
= V(p, C(p,u))
0 = Vi(p, C(p,u)) + VM(p, C(p,u)) Ci(p,u)
(...Diferenciando)
0 = Vi(p, M) + VM(p, M) xi*
(...usando el Lema de Shephard.)
x D MV M
V Mi
i i
M
*,
,
, p
p
p
entonces..
La funcion de demanda corriente
para el bien i
La funcion de demanda corriente
para el bien i
Maximización de utilidad:resumen
V(p,M) ...solución
respuesta:
x D MV M
V Mi
i i
M
*,
,
, p
p
p
Problema...
max U(x) sujeto a i=1 pi xi M n
Minimización de costos del consumidor
C(p,u) ...solución
respuesta: xi* = Hi(p,u)xi* = Hi(p,u)
Problema...
min ( )x
xp x U ui ii
n
1
subject to
Dos enfoques equivalentes
PRIMAL
max utilidad
sujeto a una restricción presupuestaria
La Solución es una función de (p,M)
DUAL
min presupuesto
sujeto a una restricción de utilidad
La Solución es una función de (p,u)
Relaciones funcionales básicas.
Hi(p,u)
Di(p,M)
V(p,M)
demanda compensada para el bien i
utilidad indirecta
demanda ordinaria por el bien i
C(p,u) costo(gasto)
Usaremos e
stos
resulta
dos para
enganchar
algunas
importa
ntes
relaciones e
n el
próximo ca
pitulo.
Usaremos e
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dos para
enganchar
algunas
importa
ntes
relaciones e
n el
próximo ca
pitulo.H es tambien conocida
como la demanda "Hicksiana".
H es tambien conocida como la
demanda "Hicksiana".
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